八年级上册三角形解答题专题练习（word 版
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.
(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.
(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .
(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分
EPK ∠，求HPQ ∠的度数.
【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-1
2
∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1，
图1
∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=?，
又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=?， ∴//AB CD ；
(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，
图2
∴180BEF EFD ∠+∠=?．
又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1
(2
)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=
∠+∠=?， ∴90EPF ∠=?，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3，
∵PHK HPK ∠=∠，
2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥，
∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1
452
QPK EPK HPK ∠=
∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.
2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）∠ABC＋∠ADC＝°；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；
（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝1
4
∠CDN，∠CBE
＝1
4
∠CBM），试求∠E的度数．
【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450
【解析】
【分析】
（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=1
2
∠ADC，∠CBF=
1
2
∠CBM，
然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】
（1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；
故答案为180°；
（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=1
2
∠ADC，∠CBF=
1
2
∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=1
4
×180°=45°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°-45°=45°
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．
3．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．
如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．
（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；
（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判
断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】
（1）答案为：30°；是；
（2）∵AB⊥OM
∴∠B AO＝90°
∵∠BAC＝60°
∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°
∵∠MON＝60°
∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°
∴∠ACO＝3∠OAC，
∴△AOC为“灵动三角形”；
（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°
∵△ABC为“智慧三角形”，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，
∴30＝3（90-x），∴x=80
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴30=3（60+x）∴x= -50 （舍去）
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴60+x＝3（90-x），
∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴60+x＝90°，
∴x＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴90-x＝90°，
∴x＝0°（舍去）
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴90-x＝3（60+x），
∴x= -22.5（舍去），
∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。
【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
4．（1）如图1．在△ABC中，∠B=60°，∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O，则
∠O = °，
（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11
,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n n
α∠=-?- 【解析】 【分析】
（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；
（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；
（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=
1
11-1802
2
α?
?-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】
解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.
（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE
11
()22
ACO ACE αβ∴∠=
∠=+ 同理可得：1
()2
CAO αγ∠=
+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，
∴11
180180()()22
O ACO CAO αβαγ?
?
∠=-∠-∠=-
+-+ 1180()2αβαγ?=-+++111
180()1809090222
αβααα????=-++=--=-；
（3）∵∠B=α，
11
,
PAC DAC PCA E
n n
AC
∠=∠∠=∠，
由（2）可知n=2时，有∠P=
1
18090
2
α
??
--=
11
1-180
22
α
?
?-
（），将2替换成n即可，
∴11
(1)180
P
n n α
∠=-?-.
【点睛】
本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.
5．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设AED
∠的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②∠1=180°?2x,∠2=180°?2y；③∠A=1
2
（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=
1
2
（∠2-∠1），
见详解
【解析】
【分析】
（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；
②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-1
2
∠1，y=90-
1
2
∠2，再根据三角形内角
和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=1
2
（∠1+∠2）；
（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】
（1）①根据翻折的性质知△EAD ≌△EA ′D ，
其中∠EAD =∠EA ′D ，∠AED =∠A ′ED ，∠ADE =∠A ′DE ； ②）∵∠AED=x，∠ADE=y， ∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y， ∴∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ； ③∠A=
1
2
（∠1+∠2）； ∵∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ， ∴x=90-
12∠1，y=90-1
2
∠2， ∴∠A=180°-x-y=190-（90-
12∠1）-（90-12∠2）=1
2
（∠1+∠2）． （2））∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到， ∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1， ∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°， 整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A=
1
2（∠2-∠1）． 【点睛】
此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；
（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）15°；（2）DCE 2
αβ
-∠=；（3）75°．
【解析】 【分析】
（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后
根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝
2
αβ
- ．
（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+1
2
∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】
解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE 是∠ACB 的平分线，
所以1
352
ACE ACB ∠=
∠=?． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，
所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，
所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2
αβ
-∠=
．
（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′， 则152
DCE αβ
-'=
=?∠．
因为CE 是∠ACB 的外角平分线，
所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1
(+)2
ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE 的度数为75°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．
7．Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解
析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．
【解析】
试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；
（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．
试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1＋∠2＝140°，
故答案为140；
（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，
∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.
故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.
（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，
设DP与BE的交点为M，
∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.
（4）如图④，
设PE与AC的交点为F，
∵∠PFD＝∠EFC，
∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α.
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α
点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.
8．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：．（填“能“或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ=度；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果.
【详解】
(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去；
(2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3=45°，
∴∠AA2A1+∠θ=45°，
∵∠AA2A1=∠θ，
∴∠θ=22.5°；
(3)如图乙，∵A2A1=A2A3，∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°，
∵A2A3=A4A3，∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°，
∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°，
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ?90°，5θ<90°，
∴15°?θ<18°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.
9．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。
（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；并说明理由；（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积.
【答案】（1）△EPF 是等边三角形，理由见解析；（2）S △GBE =3. 【解析】
试题分析：（1）要证三角形EPF 是等边三角形，已知∠EPF=60°，只需要证PE=PF 即可，可通过证△PBE 和△PFC 全等来得出结论，是证明全等，则需要证明FP ⊥BC 和BE=PC ；
（2）由（1）不难得出∠CFG=90°，那么在△CFG 中，有∠C 的度数，可以根据CF 的长求出GC 的长，从而求出GB 的长，下面的关键就是求GB 边上的高，过E 作EH ⊥BC ，那么EH 就是所求的高，在直角△BEP 中，有BP 的长，有∠ABC 的度数，可以求出BE 、EP 的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH 的长，即可求出△GBE 的面积； 试题解析：（1）△EPF 是等边三角形，理由如下： ∵PE⊥AB，∠B=60°，因此Rt△PEB 中，BE=
12BP=1
3
BC=PC ，∴∠BPE=30°，∵∠EPF=60°，∴FP⊥BC，∵∠B=∠C=60°，BE=PC ，∠PEB=∠FPC=90°，∴△BEP≌△CPF，∴EP=PF，∵∠EPF=60°，∴△EPF 是等边三角形. （2）过E 作EH⊥BC 于H ，由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=
23BC=4，BE=CP=1
3
BC=2，在三角形FCP 中，∠PFC=90°-∠C=30°，∵∠PFE=60°，∴∠GFC=90°，Rt△FGC 中，∠C=60°，CF=4，∴GC=2CF=8，∴GB=GC -BC=2，Rt△BEP 中∠EBP=60°，BP=4，∴PE=23，BE=2，∴EH=BE?PE÷BP=3，∴S △GBE =
1
2
BG?EH=3. 点睛：本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，熟练掌握全靠三角形的判定方法和等边三角形的性质是解题的关键.
10．如图 (1)所示，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，连接AD ，MD ，BC ，BD ， MC ，AC ，S △DMC ，S △DAC 和S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝
2
DAC
DBC
S
S +.
(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 不平行时，S △DMC =2
DBC
DAC
S
S +是否仍然成立?请
说明理由；
(2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 相交于点O 时，S △DMC 与S △DAC ，S △DBC 有什么样的数量关系?试说明你的结论．
【答案】(1) S △DMC =2
DAC
DBC
S
S +仍成立，理由见解析； (2)S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -，理由见
解析. 【解析】 【分析】
（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC ，DMC ，DBC 都是同底，而由于AB ∥DC ，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A ，M ，B 分别作BC 的垂线AE ，MN ，BF ，AE ∥MN ∥BF ，由于M 是AB 中点，因此MN 是梯形AEFB 的中位线，因此MN=
1
2
（AE+BF ），三个三角形同底因此结论①是成立的． （2）本题可以利用AM=MB ，让这两条边作底边来求解，三角形ADB 中，小三角形的AB 边上的高都相等，那么三角形ADM 和DBM 的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD ，OMD 的和就等于三角形BMD 的面积，同理三角形AOC 和OMC 的面积和等于三角形CMB 的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系． 【详解】
(1)当AB 与CD 不平行时，S △DMC =
2
DAC
DBC
S
S +仍成立．分别过点A ，M ，B 作CD 的垂线
AE ，MN ，BF ，垂足分别为E ，N ，F.∵M 为AB 的中点，∴MN ＝
12(AE+BF)，∴S △DAC +S △DBC =12DC·AE+12DC·BF ＝12
DC·(AE+BF)= 12
DC·2MN=DC·MN=2S △DMC .∴S △DMC =2
DAC
DBC
S S +；
(2)S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -.理由：∵M 是AB 的中点，∴S △ADM ＝S △BDM ，S △ACM =S △BCM ,而
S △DBC =S △BDM +S △BCM +S △DMC ,① S △DAC =S △ADM +S △ACM -S △DMC ,②∴①-②得S △DBC -S △DAC =2S △DMC ,故S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -.
【点睛】
本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.