概率论习题册答案
第一章 随机事件及其概率
§1.1 样本空间与随机事件
一、 计算下列各题
1.写出下列随机实验样本空间：
(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；
(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；
(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；
(4) 有C B A ,,三只盒子，c b a ,,三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；
(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
解 1（1）}18,,5,4,3{ ；
（2）}10,,5,4,3{ ；
（3）},,,,,,{RW B W B RB RW B W R ；其中B W R ,,分别表示红色，白色和蓝色；
（4）{,,;,,;,,;,,;,,,,,}Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Ba Cc Ab Bc Ca Ac Bb Ca Ac Ba Cb 其中Aa 表示a 求放在盒子A 中，可类推；
（5）}1,0,0,0|),,{(=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示三段之长。
2. 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,运算关系表示下列事件：
（1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生, 而C 不发生；
（3）C B A ,,均发生； （4）C B A ,,至少一个不发生；
（5）C B A ,,都不发生； （6）C B A ,,最多一个发生；
（7）C B A ,,中不多于二个发生； （8）C B A ,,中至少二个发生。
解 （1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A B C ++；（5）C B A ；
（6）C B A C B A C B A C B A +++；（7）ABC ；（8）BC AC AB ++
3．下面各式说明什么包含关系？
(1) A AB = ； (2) A B A =+； (3) A C B A =++
解 （1）B A ?； （2）B A ?； （3）C B A +?
4. 设}7,6,5{ },5,4,3{ },4,3,2{A },10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{====ΩC B 具体写出下列各事件： (1) B A ， (2) B A +， (3) B A ， (4) BC A ， (5))(C B A +.
解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；
(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。
5．如下图，令i A 表示“第i 个开关闭合”, 6,5,4,3,2,1=i ，试用621, , ,A A A 表示下列
事件，（1）系统Ⅰ为通路，（2）系统Ⅱ为通路。
系统Ⅰ 系统 Ⅱ 1 5 2 3 1 2 3 4 1L 4 1R 2L 6 2R
解 (1) 4321A A A A ++ (2) 526436432151A A A A A A A A A A A A +++。
§1.2 事件的频率与概率
一．填空题
1．设事件B A ,的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件AB 的概率=)(AB P 0 ；
2．设随机事件B A ,及其和事件B A +的概率分别是0.4、0.3和0.6，若B 表示B 对立事件，那么积事件B A 的概率=)(B A P 0.3 ；
3. 已知P (A )=0.4, P(B )=0.3,
(1) 当A ,B 互不相容时, P (A+B )== 0.7; P(AB )= 0 .
(2) 当B +A 时, P(A+B )== 0.4 ; P (AB )= 0.3 ；
4. 若γ=β=α=)(,)(,)(AB P B P A P ,=
+)(B A P 1;=)(B A P ; )(B A P +=1αγ-+。
二、选择题
1. 若二事件A 和B 同时出现的概率P(AB )=0则（C ）
（A ）A 和B 不相容； （B ）AB 是不可能事件；
（C ）AB 未必是不可能事件； （D ）P(A )=0或P(B )=0.
2. 对于任意二事件A 和B 有=-)(B A P (C )
(A) )()(B P A P -; （B ）)()()(AB P B P A P +-;
（C ）)()(AB P A P -; （D ）)()()()(B A P B P B P A P -++.
3. 设A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D ） (A) B A 与不相容; (B)B A 与相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A).
4. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则（B ）
()()()()1;()()()()1;()()(); ()()().
A P C P A P
B B P
C P A P B C P C P AB
D P C P A B ≤+-≥+-==+ 三、计算下列各题
1. 已知16
1)()(,0)(,41)()()(====
==BC P AC P AB P C P B P A P ，求事件C B A ,,全不发生的概率。
8381431)]()()()()()()([1 )
(1)()(=??????--=+---++-=++-=++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 解 2 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。
解 报纸分别表示读甲，乙，丙，，设C B A
35.002.004.005.008.014.016.02.0)
()()()()()()()
(=+---++=+---++=++ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P
3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？
解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70
即该学生这门课结业的可能性为70%。
4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1. 只要炸中一个，另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。
解 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示军火库爆炸这个事件，则
P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.
四、证明题 试证）（）（）（）（AB P B P A P B A B A P 2-+=+. 证)()()()() A B P B A P B A B A P B A P B A P B A B A P -+-=-+=+（）（
)(2)()()()()()( AB P B P A P AB P B P AB P A P -+=-+-= 。
§1.3 古典概型与几何概型
一、填空题
1．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为 12
1 ； 2．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概
率是 n N m n M n m M C C C /-- ；
3．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 ；
4．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于5
6 ”的概率为 0.68 ； 5. 将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 1/1260 ；
6.在区间()0,1中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于
12的概率为34
。 二、选择题 1. 奖券中含有m 有奖的，k 个人购买，每人一，其中至少有一人中奖的概率是（B ）
(A) k n C m ; (B) k n k m n C C --1; (C) k n k m n m C C C 11-- ; (D) ∑=k r k n
r m C C 1. 2. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（B ）
1113 ; () ; () ; ().3244
A B C D （） 三、计算下列各题 1．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。
解 （1） ;4528210281==C C p 45
1)2(210222==C C p .45
4445111 (4) ;4516)3(2421012183=-=-===p p C C C p 2. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。
解 .42
1!10!5!6=?=p 所求概率 3. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？
解 ;7171)1(881??
? ??==p ;7676)2(8882??? ??==p 8
3811(3)1177p ??=-=- ???。 4．从0 ~ 9中任取4个数构成（可重复取）求：
（1）有2个相同，另2个不同的概率p ；
（2）取的至少有3个相同的概率q 。
解 432.010)1(4
2924110==A C C p ； 131********
(2)0.03710C C A C q +== 5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量
时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率p 。
解 ,5100 个次品个产品中有可以认为一批
50514910095595
51499559550100, C C C C C C C p C ==++=基本事件总数有利的基本事件数所求概率 。
6. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p （2）3名优秀生在同一个班的概率q 。
解 基本事件总数有！
！！！5 5 515种 (1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为！！！！4 4 412种, 所以共有！
！！！！4 4 412 3种分法. 所以 p =91255 5 5154 4 4
12 3=！
！！！！！！！
！. (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中分法总数为！！！！5 5 212, 共有！
！！！5 5 2123?种, 所以 q =9165 5 5155 5 2
123=?！
！！！！！！！
。 7. 随机的向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）掷一点，点落在半圆任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与X 轴的夹角小于
4
π的概率。 解 这是几何概型, 样本空间占有面积为2 21a π, 所求事件占有面积为222
1 41a a +π 所以, 所求概率πππ121 2
121 4
12
2
2+=+=a a a p 。 8. 设点),(q p 随机地落在平面区域D: |p |≤1, |q |≤1上, 试求一元二次方程02=++q px x 两个根 (1) 都是实数的概率, (2) 都是正数的概率。 .24134)141( ,4
1 ,04 )1( 1
1222=+=≤≥-??-dp p p q q p 率方程两根都是实数的概即方程两根都是实数解