坐标系与参数方程
1．以双曲线C ：13
12
2=-y x 的左焦点为极点，x 轴正方向为极轴方向（长度单位不变）建立极坐标系，则
双曲线C 的一条倾斜角为锐角的渐近线的极坐标方程是 ．
2.在极坐标系中，曲线C
的极坐标方程为)4
π
ρθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建
立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x t
y t
=-+??=-+?（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并
说明理由．
3.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
)0(sin 2cos :2>=a a C θθρ，过点)2,4(--P 的直线l 的参数方程为???
?
??
?
+-=+-=t y t x 2
222
2
4（t 为参数），l 与C 分别交于N M ,，（1）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； （2）若||PM 、||MN 、||PN 成等比数列，求a 的值.
4. 已知直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C 的参数方程为2cos ,(sin x y ?
??
=??
=?为参数)．
(1)在极坐标系下,若曲线犆与射线14θ=
和射线1
4
θ=-分别交于A,B 两点,求ΔAOB 的面积; (2)在直角坐标系下,给出直线l
的参数方程为22(x t y ?=+????=??为参数),求曲线C 与直线l 的交点坐标．
5.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标
系，直线l 的参数方程为1cos ,
1sin x t y t αα=+??
=-+?
(t 为参数).
（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若直线l 和曲线C 相交于,A B
两点，且AB =l 的斜率.
6.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3cos sin x y α
α
?=??
=??（α为参数）．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,
)2
π，判断点P 与直线l 的位置关系；
（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
7.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθ
θ=+??
=?
(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：2
sin()4t π
ρθ+
=
（其中t 为常数）. （1）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离. 8.
9.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4 cos θ 与直线l ：θ＝π
4 （ρ∈R ）交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．
10.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的方程为2
2
1x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为
(2cos sin )6ρθθ-=。
（1）将曲线1C 2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（2）设P 为曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．
坐标系与参数方程 参考答案与解析
1.【答案】3)3
sin(
=-θπ
ρ
【命题立意】本题主要考查极坐标方程、双曲线的性质
【解析】由13
12
2=-y x 可知左焦点为（2,0）
，倾斜角为锐角的渐近线的极坐标方程是y =，所以其极
坐标方程为sin cos )ρθρθ=-，化简得3)3
sin(=-θπ
ρ.
2.【答案】相交．
【命题立意】本题旨在考查极坐标方程、参数坐标方程与普通方程的相互转化与应用，直线与圆的位置关系．
【解析】将直线l 与曲线C 的方程化为普通方程，得直线l ：4310x y -+=，曲线C ：2
2
220x y x y +--=，
所以曲线C 是以(1,1)的圆，所以圆心到直线l 的距离2
5
d =<，因此，直线l 与曲线C 相交． ………10分
3.【答案】（1）ay x 22=(a ＞0)，x －y+2＝0；（2）1.
【命题立意】考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，中等题.
【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为ay x 22
=(a ＞0)；
直线l 的普通方程为x －y+2＝0．
(2)将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得
t 2－2(4＋t ＋8(4＋a)＝0 (*) △＝8a(4＋a)＞0．
设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根． 则|PM|＝|t 1|，|PN|＝|t 2|，|MN|＝|t 1－t 2|． 由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|．
由(*)得t 1＋t 2＝2(4＋t 1t 2＝8(4＋a)＞0，则有 (4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a ＝1，或a ＝－4． 因为a ＞0，所以a ＝1． 4.【答案】（1）
45；（2）(2，0)或64-55??
???
，
【命题立意】本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化、曲线的参数方程和普通方程的互化等知
识，属于中档题．
【解析】（1）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为1422
=+y x ，将其化为极坐标方程为1422=θρ+θρ22sin cos 分别代入θ＝π4和θ＝－π
4，得|OA|2＝|OB|2＝5
8， 因∠AOB ＝
π2，故△AOB 的面积S ＝1
2|OA||OB|＝5
4． …………… 5分
（2）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得
2
221
4t 152t 1t t 04228
+++=+=
，t 0t -5==解得或l 的参数方程，得x ＝2，y ＝0，
或5
456-y x ==，
所以曲线C 与直线l 的交点坐标为(2，0)或 ??
? ??5456
-，．……………… 10分 5.【答案】(I)相交，理由略；(II)1±
【命题立意】本题旨在考查直线的参数方程及其几何意义、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)
2cos 4sin ρθθ=-，22cos 4sin ρρθρθ∴=-，
∴曲线C 的直角坐标方程为2224x y x y +=-，即22(1)(2)5x y -++=，
直线l 过点(1,1)
直线l 与曲线C 相交.
(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，直线l
过圆心，AB =≠，
则直线l 必有斜率，设其方程为1(1)y k x +=-，即10kx y k ---=， 圆心到直线l
的距离2
d =
==
， 解得1k =±，∴直线l 的斜率为1±. 6.【答案】（1）点P 在直线l 上；（2
【命题立意】本题主要考查椭圆的参数方程、辅助角公式以及点到直线的距离公式，难度中等. 【解析】
7.【答案】（1）2121t <≤
或54t =-
；
（2）82
3．
【命题立意】本题旨在考查参数方程与普通直角坐标方程的转化与应用，函数与方程思维，点到直线的距离公式．
【解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为
2
,12≤-=x x y ,曲线M 是抛物线的一部分； 对
于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)
(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N 过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(2,1)-之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以2121t -<≤
满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得
210,x x t +--=14(1)0t ?=++=，求得54
t =-. 综合可求得t 的取值范围是：2121t -<≤或
5
4
t =-
. （6分） (2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(2
00-x x ，02x ≤
8232
43)21(212002
≥++=
++=x x x d ， 当
012x =-
时取等号，满足0x ≤82
3. (10分)
8.【答案】
（Ⅱ
【命题立意】（Ⅰ）参数方程化普通方程，以及点到直线距离公式.
（Ⅱ）极坐标方程化普通方程以及面积最值.
【解析】 （Ⅰ）将2(1为参数)x t
t y t
=+??
=--?化为普通方程,得10x y +-=
将方程3=ρ化为普通方程得到2
2
9x y +=
圆心到直线的距离2d ==
AB == （Ⅱ）圆周上的点到直线l 的最大距离为d =
所以max 1()2222
ABP S AB d ?=
=+= 9.【答案】ρ＝2（cos θ＋sin θ）．
【命题立意】本题旨在考查极坐标与直角坐标方程的转化与应用，直线的方程，圆的方程。 【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得
圆C 的直角坐标方程 x 2＋y 2－4x ＝0，
直线l 的直角坐标方程 y ＝x ． ………………………… 4分
由???x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ， 解得???x ＝0，
y ＝0，
或 ???x ＝2，
y ＝2．
所以A （0，0），B （2，2）．
从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ．
………………………… 7分
将其化为极坐标方程为：ρ2－2ρ（cos θ＋sin θ）＝0，即ρ＝2（cos θ＋sin θ）．
…………………… 10分 10.【答案】（1）260x y --=
，2sin x y θ
θ
?=??
=??（θ为参数）；（2
）【命题立意】本题旨在考查极坐标系、极坐标方程和直角坐标方程的互化、曲线的参数方程、图象变换、点到直线的距离等知识。
【解析】(1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为：260x y --=………2分
曲线2C
的直角坐标方程为：22
()12y +=，即22134x y +=………4分 ∴曲线2C
的参数方程为：2sin x y θ
θ
?=??=??（θ为参数）………5分
(2)设点P
的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为
d ==………8分
∴当cos()16
π
θ+=-
时，max d ==10分