高考数学《线面位置关系》复习
耒阳一中谢凤生曾尧生
直线和平面是立体几何的基本概念，直线、平面及其相互间的位置关系（线面位置关系）是立体几何的最基本、最重要的内容。通过对《高考考纲》及近几年高考试题的分析和研究，不难发现线面位置关系每年高考必考，而且是高考立体几何试题中的核心内容，因此搞好线面位置关系的复习，是拿下高考立体几何题的基本保障。下面我结合教学实践谈谈对线面位置关系复习的一些看法。
第一，从知识要求来讲
线面位置关系包括线线关系，线面关系和面面关系。
1、两条直线的位置关系：平行于同一条直线的两条直线互相平行，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，两条异面直线互相垂直的概念，异面直线的公垂线及距离。
2、直线和平面的位置关系：直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及逆定理。
3、两个平面的位置关系：平行平面的判定和性质、平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质。
第二，从考试要求来讲，应使学生做到：
1、掌握空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系（特别是平行与垂直关系）以及它们所成的角和距离的概念。
对于异面直线的距离，只要求会计算以给出公垂线时的距离。
2、能运用有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直的性质和判定，进行论证和解决有关问题。
3、能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
第三，从能力要求来讲
高考试题越来越注重对学生能力的考查，高考试卷通常考查学生是否具备以下四种能力：逻辑思维能力、运算能力、空间想象力、分析解决问题能力（数学化能力）。这些能力的核心是逻辑思维能力。
逻辑思维能力主要是指使用逻辑的思维方式，正确合理地进行判断、推理的思考能力，包括观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比等。高考对逻辑思维能力的考查主要体现在对演绎推理的考查。高中教材中虽然加强了代数演绎推理的教学，如函数的单调性证明、奇偶性的判定，不等式的证明等内容，但与立体几何中的几何演绎推理相比较，由于代数缺少几何图形的直观性，学生对代数演绎推理感到抽象，仍是高中教学的难点之一。
空间想象力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力，主要包括有四个方面的要求：一是对基本的几何图形必须非常熟悉能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系和位置关系，想象出直观形象；二是能借助图形来反应并思考客观事物的空间形状和位置关系；三是能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状和位置关系；四是有熟练的识图
能力，即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系。
然而，立体图形画在平面上，必然与实际图形产生差异，容易造成错觉，因此，空间想象力就能克服这种错觉，正确认识个别元素的空间位置和图形的空间结构；能准确领会“点线--线线--线面--面面”之间的联系，并能根据解题的需要，对这些关系加以转化，多数情况是把给出的条件转化到某个平面上来，利用平面几何的知识来解题，这就是降维思想，即数学转化思想，从而寻找解题的最佳方法。
第四、从复习要求来讲
高考试题在试题类型的设置上，主要通过两方面考查：一是在证明中进行考查，要求学生以典型的三段论形式，严格按照演绎推理的步骤完成推理的论证；二是在计算中进行考查。
我们在复习中，不要刻意追求基本知识点的全面，要突出在重点知识--空间基本元素的位置关系，空间距离和角的求法，重点数学思想--化归转化思想上给学生以指导，典型几何体经常是用来考查学生综合运用知识进行逻辑思维的的载体，应重点研究其性质和空间结构（如线线关系、线面关系、二面角等基础知识）的位置关系以及它们之间的转化关系。通过线面位置关系的复习，培养和提高学生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力和分析解决问题的能力。
化归转化思想是解决线面位置关系问题的基本数学思想，在解有关直线和平面的位置关系问题中，通常把线线关系，线面关系，面面关系问题进行相互转化，在系统的逻辑推理中逐步培养逻辑思维能力
和空间想象能力。
高考试题对空间想象能力的考查集中在立体几何试题上，由于新教材编制了A、B两种版本，在B版中，增加了空间向量的方法，开拓了解决立体几何问题的空间，总体上讲，由于引入空间向量，对于适合建立空间直角坐标系的问题，将几何元素间的关系数量化，加上近几年高考命题中保持了一题两解的特点，使得用空间向量的方法解立体几何问题带来了优势，同时可弥补空间想象能力的不足。
在解线、面有关问题时，利用传统方法，通过逻辑推理解决，主要培养逻辑思维能力；利用向量方法，通过数量关系计算解决，主要培养运算能力。向量是新增内容，也是解决立体几何问题的有效工具，在解立体几何解答题时，要鼓励学生用向量方法解，要求学生掌握以下基本方法：
1、线线关系：线线平行可转化为直线上两向量共线；线线垂直可转化为直线上两向量垂直，即它们的数量积为0；异面直线所成的角转化为异面直线上两向量夹角，异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系是相等（两向量夹角为锐角时）或互补（两向量夹角为钝角时）。
2、线面关系：线面平行转化为直线上的向量与平面内某一向量共线或直线上的向量与平面内的两不共线向量共面；线面垂直转化为直线上的向量与平面内不共线的两向量垂直或直线的方向向量与平面的法向量共线；斜线与平面所成角转化为斜线的方向向量与平面法向量所成角来表示（它们的和角或差角为直角，即线面角的正弦值等
于两向量夹角的余弦值的绝对值）。
3、面面关系：面面平行转化为两平面的法向量共线；面面垂直转化为两平面的法向量互相垂直；二面角转化为两平面法向量夹角，（注意两法向量的方向应“一内一外”，即一个指向二面角内部，一个指向二面角外部）；距离转化为已知点与平面上任一点为端点的向量在单位法向量上的投影的绝对值。
把立体几何中的线面关系问题及求角和距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键，求点的坐标及运算是难点。在解立体几何解答题时，要鼓励学生用向量方法解，用向量方法求解立体几何中的问题，基本技能明显，易于操作。
例如（2005年全国高考试题）已知四棱锥P ABCD -的底面为直
角梯形，AB//CD ，0
90DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=12，AB=1，M 是PB 的中点。
（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；
（2）求AC 与PB 所成的角 ；
（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的大小。
证明：（1）取如图坐标系。
则P （0，0，12），D （12，0，0），C （12，12，0）， B （0，1，0），M （0，1
2，14） 1(0,1,0)n = 是平面PAD 的一个法向量。
设2(,,)n x y z = 是面PCD 的法向量, 111(0,,0),(,0,)222DC PD == 由21002
n DC y y =?=?= ① 由z x z x PD n =?-=?=2
12102② ①②取 21,1(1,0,1)x z n ==?= 120n n ?= ∴ 平面PAD ⊥PCD
（2） 111(0,1,),(,,0)222PB AC =-=
510414141
121cos =++=
=θ
∴ AC 与PB 所成的角为
arccos 5 （3）设 3(,,)n x y z = 是平面AMC 的法向量
由3110(1)22
n AC x y x y =?=+?=- 311110(,,)(0,,)2(2)2424
n AM x y z y z z y =?=?=+?=- 取31,(1)(2)(1,1,2)y n =?=--
设4(,,)n x y z =
是平面 BMC 的法向量 由41111(,,)(0,,)2(1)2424
o n MB x y z y z z y =?=?--=--?=- 41111(,,)(,,0)(2)2222
o n BC x y z x y x y =?=?-=-?= 由（1）（2） 取y=1,得 4(1,1,2)n =-
(
)32411411)2,1,1()2,1,1(cos =++++-?--==-n n θπ 2arccos()3θ∴=-，平面AMC 与平面BMC 所成的角为2arccos()3
-