2005年高考数学总复习讲座之八
数形结合思想
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
Ⅰ、再现性题组：
1.设命题甲：0 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若log a 2 b 2<0，则_____。(92年全国理) A. 0 B. 0 C. a>b>1 D. b>a>1 3.如果|x|≤π 4 ,那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文) A. 21 2 - B. － 21 2 + C. －1 D. 12 2 - 4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国) A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 5.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| y x - - 3 2 ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那 么M N ∪等于_____。 (90年全国) A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1 6.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ 2 －sin θ 2 ＝1-sinθ,那么 θ 2 是_____。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第 二象限角 7.已知集合E＝{θ|cosθ 间是_____。（93年全国文理） A. (π 2 ,π) B. ( π 4 , 3 4 π ) C. (π, 3 2 π ) D. ( 3 4 π , 5 4 π ) 8.若复数z的辐角为5 6 π ，实部为－23，则z＝_____。 A. －23－2ｉ B. －23＋2ｉ C. －23＋23ｉ D. －23－23ｉ 9.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么y x 的最大值是_____。 (90年全国理) A. 1 2 B. 3 3 C. 3 2 D. 3 10.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。 【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A; 2小题：由已知画出对数曲线，选B； 3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D； 4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B； 5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B； 6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B； 7小题：利用单位圆，选A； 8小题：将复数表示在复平面上，选B； 9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D； 10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－3 2 ＋ 3 2 ｉ。 【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一 解，求实数m的取值范围。 【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范 围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。 【解】原方程变形为 30 33 2 -> -+-=-? ? ? x x x m x 即： 30 21 2 -> -=-? ? ? x x m () 设曲线y 1＝(x－2)2 , x∈(0,3)和直线y 2 ＝1－m，图像如图所示。由图可知： ①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3 ∴ m＝1或－3 此题也可设曲线y 1＝－(x－2)2＋1 , x∈(0,3)和直线y 2 ＝m后画出图像求解。 【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。 例2. 设|z 1|＝5，|z 2 |＝2, |z 1 －z 2 |＝13，求 z z 1 2 【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。 【解】如图，设z 1＝、z 2 ＝后，则z 1 ＝、z 2 ＝ 如图所示。 由图可知，|z z 12 |＝52，∠AOD ＝∠BOC ，由余弦定理得： cos ∠AOD ＝5213252 222 +-()××＝45 ∴ z z 12＝52(45±35 ｉ)＝2±32ｉ 【另解】设z 1＝OA 、z 2＝如图所示。则|z 12|＝52 ，且 cos ∠AOD ＝5213252 222 +-()××＝45，sin ∠AOD ＝±35， 所以z z 1 2＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即z z 12＝2±32ｉ。 【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。 本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z 1＝5(cos θ 1＋ｉsin θ1)，z 2＝＋ｉsin θ2)，则|z 1－z 2|＝|(5cos θ1－2cos θ2)＋(5sin θ1＋2sin θ2)ｉ|＝ 292012-+cos()θθ＝13，所以cos(θ1＋θ2)＝45,sin(θ1＋θ2)＝±35 ， z z 12＝521222[cos()sin()](cos sin )-+-+θθθθi i ＝52[cos(θ1＋θ2)＋ｉsin(θ1＋θ2)]＝52(45±35ｉ)＝2±32 ｉ。 本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z 1－z 2|＝13得： （z 1－2）(z 1－z 2)＝z 1z 1＋z 2z 2－z 1z 2－z 12＝25＋4－z 1z 2－z 12＝13, 所以z 1z 2＋z 1z 2＝16,再同除以z 2z 2得z z 12＋z z 12＝4，设z z 12 ＝z ，解得z ＝2±32ｉ。 几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。 例3. 直线L 的方程为：x ＝－p 2 (p>0),椭圆中心D(2＋p 2 ,0)，焦点在x 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A 。问p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离？ 【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以A 为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。 【解】 由已知得：a ＝2，b ＝1, A(p 2 ,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： y px x p y 22222241=-++=????? ??[()]，消y 得：x 2－(4－7p)x ＋(2p ＋p 24)＝0 所以△＝16－64p ＋48p 2>0,即6p 2－8p ＋2>0，解得：p<13 或p>1。 结合范围(p 2,4+p 2)内两根，设f(x)＝x 2－(4－7p)x ＋(2p ＋p 2 4 )， 所以 p 2<472-p <4+p 2即p<12，且f(p 2)>0、f(4+p 2 )>0即p>－4＋32。 结合以上，所以－4＋32 例4. 设a 、b 是两个实数，A ＝{(x,y)|x ＝n ，y ＝na ＋b} （n ∈Z ），B ＝{(x,y)|x ＝m ，y ＝3m 2＋15} (m ∈Z)，C ＝{(x,y)|x 2＋y 2 ≤144}，讨论是否，使得A ∩B ≠φ与(a,b)∈C 同时成立。(85年高考) 【分析】集合A 、B 都是不连续的点集，“存在a 、b ，使得A ∩B ≠φ”的含意就是“存在a 、b 使得na ＋b ＝3n 2＋15(n ∈Z)有解（A ∩B 时x ＝n ＝m ）。再抓住主参数a 、b ，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L ：nx ＋y ＝3n 2＋15上，且直线与圆x 2＋y 2＝144有公共点，但原点到直线L 的距离≥12。 【解】由A∩B≠φ得：na＋b＝3n2＋15 ; 设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n2＋15上，且直线与圆x2＋y2＝144有公共点， 所以圆心到直线距离d＝|| 315 1 2 2 n n + + ＝3(n21 +＋ 4 1 2 n+ )≥12 ∵ n为整数∴上式不能取等号，故a、b不存在。 【注】集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。 本题直接运用代数方法进行解答的思路是： 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n2＋15 ,即b＝3n2＋15－an （①式）； 由(a,b)∈C得，a2＋b2≤144 （②式）； 把①式代入②式，得关于a的不等式： (1＋n2)a2－2n(3n2＋15)a＋(3n2＋15)2－144≤0 （③式）, 它的判别式△＝4n2(3n2＋15)2－4(1＋n2)[(3n2＋15)2－144]＝－36(n2－3)2 因为n是整数，所以n2－3≠0,因而△<0，又因为1＋n2>0,故③式不可能有实数解。 所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立 Ⅲ、巩固性题组： 1.已知5x＋12y＝60，则x y 22 +的最小值是_____。 A. 60 13 B. 13 5 C. 13 12 D. 1 2.已知集合P＝{(x,y)|y＝92 -x}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。 A. |b|<3 B. |b|≤32 C. －3≤b≤32 D. －3 3.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。 A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不对 4.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。 5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。 6.设z＝cosα＋1 2 ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。 7. 若方程x 2－3ax ＋2a 2＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a 的取值范围是______。 8. sin 220°＋cos 2 80°＋3sin20°·cos80°＝____________。 9. 解不等式： --x x 22>b －x 10. 设A ＝{x|<1x<3}，又设B 是关于x 的不等式组x x a x bx 2220250-+-+?????≤≤的解集，试确定a 、b 的取值范围，使得A ?B 。 （90年高考副题） 11. 定义域内不等式2-x 〉x ＋a 恒成立，求实数a 的取值范围。 12. 已知函数y ＝()x -+112＋()x -+592，求函数的最小值及此时x 的值。 13. 已知z ∈C ，且|z|＝1，求|(z ＋1)(z －ｉ)|的最大值。 14. 若方程lg(kx)＝2lg(x ＋1)只有一个实数解，求常数k 的取值范围。 专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 第十三专题 数形结合思想 考情动态分析： 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化，从而起到优化解题途径的目的. 一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果. 数形结合的重点是研究“以形助数”，但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视. 数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择题、填空题解答中更显优越. 第一课时 方程、函数中数形结合问题 一、考点核心整合 利用“形”的直观来研究方程的根的情况，讨论函数的值域（或最值），求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，能使烦琐的数量运算变得简捷. 二、典例精讲： 例1 方程的实根的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无穷多个 例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2 -=-=，构造函数)(x F ，定义如下：当)()(x g x f ≥时，)()(x g x F =；当)()(x g x f <时，)()(x f x F =.那么)(x F （ ） A 、有最大值3，最小值1- B 、有最大值727-，无最小值 C 、有最大值，无最小值 D 、无最大值，也无最小值 例3 已知0>x ，设:P 函数x c y =在R 上单调递减；:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围. 例 4 已知0>a ，且方程022 =++b ax x 与方程022 =++a bx x 都有实数根，求b a +的最小值. 三、提高训练： （一）选择题： 1．函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、),1(+∞ B 、)1,1(- C 、),1[]1,(+∞--∞ D 、),1()1,(+∞--∞ 2．已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3 sin(2π 有两个不同的实数解，则实数a 的 取值范围为（ ） 高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围. 第一部分 二 27 一、选择题 1．已知f (x )＝2x ，则函数y ＝f (|x －1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一：f (|x －1|)＝2|x － 1|. 当x ＝0时，y ＝2.可排除A 、C ． 当x ＝－1时，y ＝4.可排除B ． 法二：y ＝2x →y ＝2|x |→y ＝2|x － 1|，经过图象的对称、平移可得到所求． [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求： ①会画各种简单函数的图象； ②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． 2．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． 3．利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )，2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题15 数形结合思想(原卷版)
高中数学解题思想之分类讨论思想
q D.当a>1时，p>q；当0
高考数学思想方法汇总(80页)
高三数学教案 数形结合思想
高中数学专题练习：分类讨论思想
2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：27转化与化归思想、数形结合思想