一 简答题
1. 请简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点?(15)
2. 简述裂纹扩展的能量平衡理论?(15分)
3. 断裂力学中,按裂纹受力情况,裂纹可以分为几种类型?(10分)
4. 请简述疲劳破坏过程的几个阶段?(5)
5.试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别? (10分)
二 推导题
在I-II 复合型裂纹问题中,裂纹尖端附近周向应力场由下式给出
[]
cos(/2)(1cos )3sin I II K K θσθθθ=+-
请简述最大应力准则的基本假定,并根据基本假定推导出开裂角的表达式?
一、 证明题(25分)
定义J 积分如下,, (/)J wdy T u xds Γ
=-???? 围绕裂纹尖端的回路Γ,始于裂纹下表面,终于裂纹上表面,按逆时针方向转动,其中w 是板的应变能密度,T 为作用在路程边界上的力,u 是路程边界上的位移矢量,ds 是路程曲线的弧元素。证明J 积分值与选择的积分路程无关,并说明J 积分的特点。
二、 简答题(70分)
1. 请简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点?(15)
答:裂纹尖端应力场有如下三个特点:
1)0=r 处,应力趋于无穷大,即在裂尖出现奇异点;
2)应力强度因子在裂尖为有限量;
3)裂尖附近的应力分布是r 和θ的函数,与无限远处应力和裂纹长无关。
2. 简述裂纹扩展的能量平衡理论?(15分)
答:对完全脆性材料,应变能释放率等于形成新表面所需要吸收的能量率。
对于金属等有一定塑性的材料,裂纹扩展中,裂尖附近发生塑性变形,裂纹扩展释放出来的应变能,不仅用于形成新表面所吸收的表面能,更主要的是克服裂纹扩展所吸收的塑性变形能,即塑性功。对金属材料,能量平衡理论这时需要更广泛的概念。这时,抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能,对金属材料这是常数。
3. 断裂力学中,按裂纹受力情况,裂纹可以分为几种类型?(10分)
答:按裂纹受力情况把裂纹(或断裂)模式分成三类:张开型(I 型)、滑开型
(II 型)和撕开型(III 型)。
4. 请简述疲劳破坏过程的几个阶段?(5)
答: 1)裂纹成核阶段
2)微裂纹扩展阶段
3)宏观裂纹扩展阶段
4)断裂阶段
5.试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别? (10分)
答:
断裂力学和材料力学的研究对象不同,材料力学研究完整的材料,而断裂力学则研究带裂纹的材料。虽然断裂力学是材料力学的发展和补充,但是断裂力学与材料力学的设计思想不同,其差别可从一下几方面来看:
1)静载荷情况
传统的强度条件要求最大计算应力小于材料强度指标,即:
s
s n σσ≤max (屈服),s σ为屈服应力 b
b n σσ≤max (破坏),b σ为强度极限 而断裂力学的裂纹失稳准则是:n
K K IC I ≤ I K -裂纹尖端的应力强度因子
2)循环载荷情况
传统的疲劳设计,是用光滑试件作S -N 曲线,求出下界限应力1-σ疲劳极限。如果最大工作应力满足下式
1
1max --≤n σσ 1-n 为循环载荷下的安全系数,并认为凡是有缺陷的构件都不能应用。
断裂力学认为:含裂纹构件,只有裂纹未达到临界长度仍可使用;在循环载荷作用下,裂纹先缓慢扩展,直至达到临界长度,构件才失稳破坏。并选用指标dN
da ——作用载荷每循环一周裂纹的扩展量,代表材料抵抗裂纹扩展的能力。
3)腐蚀介质下的情况
综上所述,断裂力学出现后,对宏观断裂有了进一步认识,对传统设计思想进行了改善与补充。
三、 推导题(20分)
在I-II 复合型裂纹问题中,裂纹尖端附近周向应力场由下式给出
[
]cos(/2)(1cos )3sin I II K K θσθθθ=+-
请简述最大应力准则的基本假定,并根据基本假定推导出开裂角的表达式? 答:
最大应力准则的基本假定:
1)裂纹沿最大周向应力方向开裂;
2)在该方向上周应力达到临界值时,裂纹开始扩展。
根据该假定有,
0=??θ
σθ, 022?θσθ 把[]θθπθ
σθsin 3)cos 1(222cos II I K K r -+=带入上面两式 并利用 1cos sin 22=+θθ,可求得开裂角的表达式
2222420983arccos I I
I I I I I I I ++±=K K K K K K θ 对于纯I 型,0=I I K ,00=θ,故根号前必须取正,则
2222420983arccos I I
I I I I I I I +++=K K K K K K θ
四、 证明题(25分)
定义J 积分如下, (/)J wdy T u xds Γ
=-????,围绕裂纹尖端的回路Γ,始于裂纹下表面,终于裂纹上表面,按逆时针方向转动,其中w 是板的应变能密度,为作用在路程边界上的力,是路程边界上的位移矢量,ds 是路程曲线的弧元素。证明J 积分值与选择的积分路程无关,并说明J 积分的特点。
答:1)由弹性力学公式
ij i i n T σ=, 2,1,=j i
i n ——弧元素法线的方向余弦。
利用2dx dy =,1dx dx =,带入?Γ???-= )(ds x
wdy J
可以得到 ?Γ???-= 1
2)(ds x u n wdx J i ij i σ i u ——位移分量。
由图(1)可知,ds dx n /21=,ds dx n /12-=
所以有,ds n ds n dx j j 112.δ==
则, ds n x u w J j i ij j ?Γ???-= 1
1)(σδ 作一封闭曲线*Γ,分四段1Γ、2Γ、3Γ、4Γ,如图(2),故*Γ内无奇异点。 由格林公式:?????-??=+A s dx dx x Q x Q Qdx Pdx ))()(212
121 令0=Q ,同时ds n dx .21-=,ds n dx .12=,则格林公式可改写成
?????=A j
s j dA x P ds Pn 则线积分
dA x u x x w dA x u w x ds n x u w A i ij j i ij j A j j i ij j ????????
? ???????-??=???? ?????-??=???-Γ)()(1111 11*σσδσδ (a )
利用:ij ij w σε=??,)(21i
j j i ij x u x u ??+??=ε及jji ij σσ= 可以推出 11111)()(21x u x x u x x u x u x x w x w i j ij i ij j i j j i ij ij ij ????-????=???
???????+????=????=??σσσεε 利用平衡方程0,=j ij σ,可得
)(1
1x u x x w i ij j ????=??σ 将上式带入(a)式,有
0)(* 1
1=???-?Γds n x u w j i ij j σδ
即0)(* =???-=?Γds x
wdy J 注意到,04321* =+++=????ΓΓΓΓΓJ
又因为在路径2Γ、4Γ上,0=dy ,且由于2Γ、4Γ是自由表面,0=
则有,???-ΓΓΓ=-=331
所以积分路径与选择的路线无关。
2)J 积分的局限性主要有:
a )积分中使用了全量理论,ij ij
w σε=??,因此不允许卸载; b )用到了)(21i
j j i ij x u x u ??+??=ε,因此必须是小变形; c )用到了0,=j ij σ,指系统处于静平衡状态。
三、计算题(本大题共2小题,每小题15分,总计30分)
1、无限大板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上,距离为b x ±=处各作用一对集中力。
1、Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠ
Re Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠ Re xy y Z τ'=-Ⅰ
选取复变解析函数:222()
Z z b π=-。 边界条件: a.,0x y xy z σστ→∞===. b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。 10分 c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板,在x 轴所在截面上内力总和为p 。 以新坐标表示:
Z =
?lim ()K Z ξξ→==Ⅰ
2 无限大板中心穿透Ⅲ裂纹。
2、根据几何方程和物理方程:
1xz xz w r x G
τ?=
=? 1yz yz w r y G τ?==? 0x y xy z σστσ==== 单元体的平衡方程:
200yz xz w x y
ττ??+=??=?? 位移函数满足laplace 方程. 所以w 为调和函数.
解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.
1(,)Im ()w x y Z z G
?=Ⅲ
Im Im xz Z w G Z x x
τ???===??ⅢⅢ Im Re yz Z w G
Z y y τ??===??ⅢⅢ 5分 边界条件: a.0,,0yz y x a τ=<=. b.,0,xz yz z τττ→∞==. 选取函数
()Z z =Ⅲ满足边界条件.
取新坐标z a ξ=-.()
Z ξ?=
Ⅲ
令lim K ξ→==Ⅲ
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