离散数学综合练习题
一、判断下列命题是否正确．如果正确，在题后括号内填“\/”；
否则，填“?”
（1）空集是任何集合的真子集． （ ）
（2）{
}φ是空集． （ ） （3）{}{
}a a a },{∈ （ ） （4）如果B A a ??，则A a ?或B a ?． （ ）
（5）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则
},,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ ）
（6）设集合}1,0{=A ，则
}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ
是A
2到A 的关系． （ ）
（7）关系的复合运算满足交换律． （ ）
（8）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则21ρρ?也是集合 A 上的等价关系
( )
（9）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈
（10）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则
2
121~~ρρρροο= ( ) （11）集合A 上的任一运算对A 是封闭的． （ ）
（12）设A 是集合，A A A →?:ο，b b a =ο，则ο是可结合的． （ ）
（13）设>?<,G 是群．如果对于任意G b a ∈,，有
222)(b a b a ?=?
则>?<,G 是阿贝尔群． （ ）
（14）设a 是群>?<,G 的元素，记
}|{y a a y G y y H ?=?∈=且
则>?<,H 是>?<,G 的子群． （ ）
（15）<{0，1，2，3，4}，max ，min>是格． （ ）
（16）设a ，b 是格>∧∨<,,L 的任意两个元素，则
a b a b b a =∧?=∨． （ ）
（17）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则>∧∨<,,B 是格． （ ）
（18）设集合},{b a A =，则>??<,},},{},{,{A b a φ是格． （ ）
（19）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则对任意B b a ∈,，有
b a b a ∨=∧． （ ）
（20）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则对任意B a ∈，都有B b ∈，使得
0,1=∧=∨b a b a ． （ ）
（21）n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为1. （ ）
（22）在有向图中，结点i v 到结点j v 的有向短程即为j v 到i v
的有向短程． （ ）
（23）强连通有向图一定是单向连通的． （ ）
（24）不论无向图或有向图，初级回路一定是简单回路． （ ）
（25）设图G 是连通的，则任意指定G 的各边方向后所得的有
向图是弱连通的． （ ）
（26）设A 是某个无向图的邻接矩阵，则T A A =(T A 是A 的转置
矩阵)． （ ）
（27）设有向图D 的可达矩阵为
??????
? ??=1000110011101111P 则G 是单向连通的． （ ）
（28）有生成树的无向图是连通的． （ ）
（29）由r 棵树组成的森林的结点数n 与边数m 有下列关系：
m=n-r. （ ）
（30）如果有向图D 仅有一个结点的入度为0，其余结点的入度都为1，
则D 是有向树． （ ）
（31）“如果8＋7＞2，则三角形有四条边”是命题． （ ）
（32）设Q P ,都是命题公式，则Q P ?也是命题公式． （ ）
（33）命题公式Q P ,的真值分别为0，1，则Q P →的真值为0
（以上是在对Q P ,所包含的命题变元的某个赋值下）． （ ）
（34）逻辑结论是正确结论． （ ）
（35）设B A ,都是谓词公式，则B A ?也是谓词公式． （ ）
（36）设B A ,都是谓词公式，B A ?，则B A →是永真式． （ ）
（37）设C B A ,,都是命题公式，则
)()(C A C B A →→?∨∨
也是命题公式． （ ）
（38）命题公式Q P ,的真值分别为0，1，则Q P ?的真值为0
（以上是在对Q P ,所包含的命题变元的某个赋值下）． （ ）
（39）设c 是个体域中某个元素，则
)()()()(c Q c P x xQ x xP ∧??∧?
其中Q P ,都是谓词． （ ）
（40）),(),(y x xA y y x yA x ????? （ ）
二、填空题
（1）设A 有n 个元素，则集合A 的幂集)(A P 中有 个元素。
（2）设}}{,{φφ=A ，则A
2= .
（3）设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=?B A ，
则集合B A ?中元素的个数=?)(#B A .
（4）设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A Y 中元素的个数为 .
(5)设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρο .
(6)集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．
(7)设1ρ：a 称b 为母亲，2ρ：b 称c 为父亲，则21ρρο： ,
(8)设N 为自然数的集合，“≤”为自然数的小于等于关系，N 的子集}9,7,5{=A ，则
A 的下确界为 ，下确界为 ,
(9)设10人集合=E {赵茵，钱小滨，孙丽春，赵萍，钱浩，李靖华，李秀娟，钱钰，
李惠芝，李莉}上的同姓关系为ρ，则等价类[赵]= ，[钱]= ，
(10)设 },{b a A =, ρ 是 A 2 上的包含于关系，,则有
ρ= .
(11)设S 为非空有限集，代数系统> 元为 . (12)循环群>⊕<33,I 的生成元为 . (13)循环群>⊕<66,I 的所有子群为 . (14)代数系统>+<,Z 中（其中Z 为整数集合，+为普通加法），对任意的I x ∈，其 =-1x . (15)在整数集合Z 上定义ο运算为b a b a ++=2ο，则><ο,Z 的单位元为 . (16)设}10,,4,3,2,1{Λ=T ,在代数系统> ，可逆元为 . (17)设?,G 是群，则对于任意的G b a ∈,，方程 和 有唯一解。 (18)设?,G 是群，对任意G c b a ∈,,，如果,c a b a ?=?，则 . (19)设?,G 是群，e 为单位元，若G 元素a 满足a a =2，则=a . (20)在整数集合Z 上定义ο运算为ab b a b a -+=ο，则><ο,Z 的单位元为 . (21)设>= 片树叶。 (22)为了从（n ，m ）连通无向图得到一棵生成树，必须删除G 的 条边． (23)设树T 中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，问T 中有 个4度结 点。 (24)无环有向图的关联矩阵的所有元素之和为 ． (25)n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为 ． (26)图G 为n 阶无向完全图，则G 共有 条边。 (27)设G 为),(m n 图，则图中结点度数的总和为 。 (28)设图G 有6结点，若各结点的度数分别为：1，4，4，3，5，5，则G 共有 条边。 (29)无向图G 是由)2(≥k k 棵树组成的森林，至少要添加 条边才能使G 成为一 棵树。 (30)在任何图>= (31)设:p 天气很冷，:q 老王还是来了，则命题“虽然天气很冷, 但老王还是来了”符 号化为 . (32)设:p 天下雨，:q 我骑自行车上班，则命题“如果天不下雨, 我就骑自行车上班” 符号化为 . (33)设:p 经一事, :q 长一智，则命题“不经一事, 不长一智”符号化为 . (34)设q p ,的真值为0，r 的真值为1，则命题公式)(r q p ∧∨的真值为 . (35)设q p ,的真值为0，s r ,的真值为1，则命题公式)()(s q r p ∨?∧?的真值 为 . (36)由n 个命题变项可以组成 个不等值的命题公式。 (37)设个体域},,,{21n a a a A Λ=，公式)()(x F x ?在A 上消去量词后应 为 . (38)设x x N :)(是自然数，x x F :)(是奇数，x x G :)(是偶数，则命题“任何自然数不 是奇数就是偶数” 符号化为 . (39)设x x F :)(是素数，x x G :)(是偶数，2:a ，则命题“2既是偶数又是素数”符号 化为 . (40)设x x G :)(是金子，x x F :)(是发光的，则命题“金子是发光的, 但发光的不一定 是金子”符号化为 . 三、选择题（每题后面有四个选项，四个选项中只有一个是正确的，请将正确的所对应的字母填在括号内） （1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ ） A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{ } R x x x ∈=+且,09|2 C. {}R x x x x ∈+=且,1| D. {}R x x x ∈-=且,1|2 （2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ ） A. φ=B B ．φ≠B C. B A ? D. B A ? （3）下列各式中不正确的是 （ ） A. φφ? B ．{ }φφ∈ C. φφ? D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ ） A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2? C. {}A a 2}{∈ D. {}A a 2}{? （5）设{ }2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A I ?为 （ ） A. {}><> C. {}><><2,,,1c c D. {}><><2,,1,c c （6）设{}b A ,0=，{ }3,,1b B =，则B A Y 的恒等关系为 （ ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0 C. {}><><><3,3,,,0,0b b D. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b （7）集合}10,,2,1{Λ=A 上的二元关系},10|),{(A y x y x y x ∈=+=且ρ，则ρ的 性质为 （ ） A. 自反的； B ．对称的； C. 反对称的； D. 反自反的. （8）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ ） A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρ B ． {}><><=a c c a ,,,2ρ C. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρ D. {}><=a a ,4ρ （9）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ ） A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈. （10）映射的复合运算满足 （ ） A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律 （11）在整数集Z 上，下列哪种运算是可结合的 （ ） A. b a b a -=ο B ．},max{b a b a =ο C. b a b a 2+=ο D. ||b a b a -=ο （12）设集合{}10,,4,3,2,1Λ=A ，下面定义的哪种运算关于集合A 不是封闭的 （ ） A. },max{y x y x =ο B ． },min{y x y x =ο C. },{GCD y x y x =ο，即y x ,的最大公约数 D. },{LCM y x y x =ο，即y x ,的最小公倍数 （13）下列哪个集关于减法运算是封闭的 （ ） A. N （自然数集）； B ．)}(|2{整数集I x x ∈； C. }|12{I x x ∈+； D. }|{是质数x x . （14）设Q 是有理数集，在Q 定义运算*为ab b a b a -+=*，则*,Q 的单位元 为 （ ） A. a ； B ．b ； C. 1； D. 0 （15）下列代数系统*,G 中，哪一个不构成群 （ ） A. *=},10,1{G 是模11乘法； B. *=},2,1,0{G 是模3加法； C. *=),(有理数集Q G 普通加法； D. *=,Q G 普通乘法. （16）循环群33,⊕I 的生成元为1和2，它们的周期为 （ ） A. 5 B ．6 C. 3 D. 9 （17）循环群55,⊕I 的所有子群为 （ ） A. 55,⊕I B ．5},0{⊕ C. 55,⊕I 和5},0{⊕ D. φ （18）循环群+,Z 的所有生成元为 （ ） A. 1，0 B ．-1，2 C. 1，2 D. 1，-1 （19）有限布尔代数的元素个数必定等于 （ ） A. n 2； B ．2n ； C. n 2； D. n 4. （20）在下面偏序集的哈斯图中，哪一个是格 （ ） A B C D （21）仅由孤立点组成的图称为 （ ） A. 零图； B ．平凡图； C. 完全图； D. 多重图. （22）仅由一个孤立点组成的图称为 （ ） A. 零图； B ．平凡图； C.多重图； D. 子图. （23）在任何图G 中必有偶数个 （ ） A. 度数为偶数的结点； B ．度数为奇数的结点； C. 入度为奇数的结点； D. 出度为奇数的结点. （24）设G 为有n 个结点的无向完全图，则G 的边数为 （ ） A. )1(-n n B ．)1(+n n C. 2)1(-n n D. 2)1(-n （25）图G 和G '的结点和边分别存在一一对应关系是G G '?（同构）的 （ ） A. 充分条件； B ．必要条件； C. 充分必要条件； D. 既不充分也不必要条件. （26）给定下列序列，哪一个可构成无向简单图的结点度数序列 （ ） A. )3,2,2,1,1( B ．)2,2,2,1,1( C. )3,3,3,1,0( D. )5,4,4,3,1( （27）在有n 个结点的连通图G 中，其边数 （ ） A. 最多1-n 条； B ．至少1-n 条； C. 最多n 条； D. 至少n 条. （28）()m n ij m M ?=是无向图>= A. i v 对应的一行元素全为0； B ．i v 对应的一行元素全为1； C. i v 对应的一列元素全为0； D. i v 对应的一列元素全为1. （29）任何无向图G 中结点间的连通关系是 （ ） A. 偏序关系； B ．等价关系； C. 既是偏序关系又是等价关系； D. 既不是偏序关系也不是等价关系. （30）有向图>= A. 强连通图； B ．单向连通图； C. 弱连通图； D. 不连通图. （31）下面哪个联结词不可交换 （ ） A. ∧； B ．→； C.∨； D.? . （32）命题公式q q p p →→∧))((是 （ ） A. 矛盾式； B ．非永真式的可满足式； C. 重言式； D. 等价式. （33）下列哪一组命题公式是等值的 （ ） A. q p ?∧?，q p ∨； B ．)(p q p →→，)(q p p →→?； C. )(q p q ∨∨，)(q p q ∨∧?； D. )(q p p ∧∨?，q （34）下面哪一个命题是假命题 （ ） A. 如果2是偶数，那么一个公式的析取范式唯一； B ．如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不唯一； C. 如果2是奇数，那么一个公式的析取范式唯一； D. 如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不唯一. （35）设论域为整数集，下列公式中哪个值为真 （ ） A. )0)()((=+??y x y x ； B. )0)()((=+??y x x y ； C. )0)()((=+??y x y x ； D. )0)()((=+???y x y x . （36）设谓词x x P :)(是奇数，x x Q :)(是偶数，谓词公式))()()((x Q x P x ∧?在哪个论域中是可满足的 （ ） A. 自然数； B ．整数； C. 实数； D. 以上均不成立. （37）命题“没有不犯错误的人”符号化为(设x x A :)(是人,x x B :)(犯错误) （ ） A. ))()()((x B x A x ∧?； B.))()()((x B x A x →??； C. ))()()((x B x A x ∧??； D.))()()((x B x A x ?∧??. （38）设个体域},{b a A =，公式)()()()(x S x x P x ?∧?在A 上消去量词后应为 （ ） A. )()(x S x P ∧； B. ))()(()()(b S a S b P a P ∨∧∧； C. )()(b P a P ∧； D. )()()()(b S a S b P a P ∨∧∧. （39）在谓词演算中，下列各式中，哪一个是正确的 （ ） A.),())((),())((y x A x y y x A y x ?????； B.),())((),())((y x A x y y x A y x ?????； C.),())((),())((y x A y x y x A y x ?????； D.),())((),())((y x B x y y x A y x ?????. （40）“学习有如逆水行舟，不进则退”。设:p 学习如逆水行舟，:q 学习进步，:r 学习退步。则命题符号化为 （ ） A. )(r q p →?∧； B ．)(r q p →?→； C. )(r q p →?∨； D. )(r q p →??. 四、解答题 1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ 试 （1）写出ρ的关系矩阵； （2）验证ρ是A 上的等价关系； （3）求出A 的各元素的等价类。 2. 设{}24,12,8,6,4,3,2=A ，A 是≤上的整除关系，画出≤,A 的哈斯图。 3. 设集合 }32,24,16,12,8,6,3,2{=A , ρ是A 上的整除关系, 画出><ρ,A 的哈斯图； 4. 设集合}6,5,4,3,2,1{=A , ρ是A 上的整除关系，试求： （1） 集合A 的最大元，最小元 （2） 子集}5,3,2{1=A 和}6,3,2{2=A 的上界、下界、上确界和下确界。 5. 在下面的无向图G 中，回答下列问题 a b c （1）写出d a ,之间的所有初级通路； （2）写出d a ,之间的所有短程，并求),(d a d ； （3）判断无向图G 是否为欧拉图并说明理由。 6. 下列各图是否为欧拉图，是否为哈密尔顿图？为什么？ v 3v 4v 6v f g h i 789 (1) (2) 7. 下列图形中最少需添加几条边才能成为欧拉图． （1） （2） 8. 有向图D 如下图所示 e 3 e 7 (1) 求D 的邻接矩阵A ； (2) 求D 中长度为4的通路数和回路数，并找出D 中从1v 到4v 长度为4的所有通路。 (3) D 是哪类连通图？ 9. 设有向图>= ??????? ? ??=00101100000101010000 01010A (1) 画出有向图D ； (2) D 中长度为4的通路有多少条？其中有多少条为回路？ (3) D 是那类连通图？ 10. 设连通图G 如下图所示，求它的一棵生成树． 答案不唯一。 五、构造下列推理的证明 1. 证明 p r r q q p ???∨??∧?,),( 2. 证明 q t r s t s r p q p ??→?→?→∨,,,, 3. 证明 r s q p s r q p ?∨?→→,,),( 4. 证明 ))()()(())()()(()),()(()()((x R x Q x x Q x C x x R x W x C x ∧??∧?∧→? 5. 构造下列推理的证明： 每个学术委员会的成员都是专家并且是大学生，有些成员是青年人，所以有些成员是青年专家。 6.“有些病人相信所有的医生，病人都不相信骗子，所以医生都不是骗子。” 在一阶逻辑中证明以上推理是正确的。 六、证明题 1. 设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 试证21ρρ?也是集合A 上的等价关系。 2. 设w u ,为无向连通图G 中任意两个顶点，证明：若2),(≥w u d ，则存在顶点v ，使得 ),(),(),(w u d w v d v u d =+ 3. 证明下面四个矩阵关于矩阵乘法运算构成群。 ???? ??1001， ???? ??--1001， ???? ??-1001， ??? ? ??-1001 4. 设 ><ο,G 是一个群，试证 G 是交换群 当且仅当对任意的G b a ∈, ,有 222)(b a b a οο= . 5. 设a 是群>?<,G 的元素，记}|{y a a y G y y H ?=?∈=且，证明>?<,H 是> ?<,G 的子群． 6. 设><ο,G 是一个群，取定G u ∈，定义 b u a b a οο1*-=， G b a ∈?, 证明><,*G 是一个群。 离散数学综合练习题答案 一、 判断下列命题是否正确 （1）错误； （2）错误； （3）正确； （4）错误； （5）错误； （6）正确； （7）错误； （8）正确； （9）正确； （10）错误； （11）正确；（12）正确；（13）正确；（14）正确；（15）正确； （16）正确；（17）正确；（18）正确；（19）正确；（20）正确； （21）正确；（22）错误；（23）正确；（24）正确；（25）正确； （26）正确；（27）正确；（28）正确；（29）正确；（30）错误； （31）正确；（32）错误；（33）错误；（34）错误；（35）错误； （36）正确；（37）正确；（38）正确；（39）错误；（40）错误. 二、 填空题 （1）n 2； （2）}}}{,{}},{{},{,{φφφφφ； （3）3； （4）40； (5)1 2~~ρρο (6) ρρρ?ο； (7)a 称c 为外祖父； (8)5，9； (9)[赵]= {赵茵，赵萍}，[钱]= {钱小滨，钱浩，钱钰}，[孙]={ 孙丽春}， [李]= {李靖华，李秀娟，李惠芝，李莉}. (10) } ,,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><=A A A b b b A a a a A b a φφφφφρ(11) S ,φ； (12) 1和2； (13)>⊕<6},0{，>⊕<6},3,0{，>⊕<6},4,2,0{，>⊕<66,I ； (14) x -； (15) –2； (16) 1，1； (17) b x a =?，b a y =?； (18) c b =； (19) e ； (20) 0； (21) 5； (22) m-n ＋1； (23) 1； (24) 0； (25) 1； (26) 2)1(-n n ； (27) m 2； (28) 11； (29) 1-k ； (30) 偶数； (31) q p ∧； (32) q p →?； (33) q p ?→?； (34) 0； (35) 0； (36) n 22； (37))()()(21n a F a F a F ∨∨∨Λ； (38) ))()(()()((x G x F x N x ∨→?； (39) )()(a G a F ∧； (40) ))()()(())()()((x G x F x x F x G x ?∧?∧→?. 三、 选择题 （1） A ； （2） C ； （3） C ； （4） B ； （5） B ； （6） A ； （7） B ； （8） D ； （9） B ； （10）B ； （11）B ； （12）D ； （13）B ； （14）D ； （15）D ； （16）C ； （17）C ； （18）D ； （19）C ； （20）A ； （21）A ； （22）B ； （23）B ； （24）C ； （25）B ； （26）B ； （27）B ； （28）A ； （29）B ； （30）C ； （31）B ； （32）C ； （33）B ； （34）A ； （35）A ； （36）D ； （37）D ； （38）B ； （39）B ； （40）B. 四、 解答题 1. 解 （1）ρ的关系矩阵为 ?????? ? ??=1100110000110011ρM （2）从ρ的关系矩阵可知：ρ是自反的和对称的。 又由于 ρρρM M M ≤?????? ? ??=??????? ????????? ??=110011000011001111001100001100111100110000110011οο 所以ρ是传递的。 因为ρ是自反的、对称的和传递的，所以ρ是A 上的等价关系。 （3） },{][][b a b a ==，},{][][d c d c == 2. 解： 3. 解： 4. 解：由于ρ是A 上的整除关系，所以ρ 是A 上的偏序关系，><ρ,A 的 哈斯图为 （1）集合A 的最大元：无，最小元：1 （2） 5. 解：（1）d a ,之间的所有初级通路共有7条，分别为 aed ，aecd ，aebcd ，abed ，abcd ，abecd ，abced （2）d a ,之间的长度最短的通路只有1条，即aed ，因而它是d a ,之间 唯一的短程，2),(=d a d （3）由于无向图G 中有两个奇度顶点3)deg(,3)deg(==c b ，所以无向图G 没有欧拉图回路，因而不是欧拉图。 6. 解：图（1）中各顶点的度数为 4)deg(=a ，4)deg(=b ，4)deg(=c ，4)deg(=d ，4)deg(=e ， 2)deg(=f ，4)deg(=g ，4)deg(=h ，2)deg(=i 由于图（1）中各顶点的度数均为偶数，所以图（1）为欧拉图。 回路abihecdgfa 为经过图（1）中每个结点一次且仅一次的回路，所以回路abihecdgfa 为哈密尔顿回路，因此图（1）是哈密尔顿图。 图（2）中各顶点的度数为 2)deg(1=v ，4)deg(2=v ，3)deg(3=v ，4)deg(4=v ，5)deg(5=v ， 4)deg(6=v ，2)deg(7=v ，4)deg(8=v ，2)deg(9=v 由于图（2）中有两个奇度顶点，所以图（2）存在欧拉图通路，但是没有欧拉图回路，因此图 （2）不是欧拉图。 回路2356987412v v v v v v v v v v 为经过图（2）中每个结点一次且仅一次的回路，所以回路2356987412v v v v v v v v v v 为哈密尔顿回路，因此图（2）是哈密尔顿图。 7. 解 由于(1)只有两个奇度结点，b,e. 因此，要由(1)得到一个欧拉图，必须使它们的度数都为偶数。最少需添加一条边才能使(1)为欧拉图。 由于(2)有 4个奇度结点，因此，要由(2)得到一个欧拉图，必须使它们的度数都为偶数。最少需添加两条边才能使(2)为欧拉图。 例如，可在(1)中添加边(b,e), 在(2)中添加边(a,b),(c,d) （1） （2） 8. 解：(1) 求D 的邻接矩阵 ?????? ? ? ?=0100100001000121A ； (2) ??????? ??=10000100100013212A , ??????? ? ?=01001000010034213A , ??????? ??=10000100100046214A D 中长度为4的通路数为16414 1)4(=∑∑==i j ij a ，其中对角元素之和为3，D 中长度为4的回路有3 条。由于4A 中4) 4(14=a ，所以D 中1v 到4v 长度为4的通路有4条。即6411e e e e ，6764e e e e ，6521e e e e ，6531e e e e ，其中6521e e e e 为简单通路。 (3) 由于 ?????? ? ??=+++=22002200220081484432A A A A B 由B 可知道D 是单向连通图。 9. 解：(1) 有向图D 为 v 3 2 (2) 由于 ????? ?? ? ??=00404400000404040000040404A D 中长度为4的通路数为32。因对角元素之和为0，故D 中无长度为4的回路。 (4) 从图可得D 的可达矩阵为 ??????? ? ? ?=11111111111111111111 11111P 从P 可知D 是强连通的。 10. 解： 五、 构造下列推理的证明 1. 证明： ① r ? 前提引入； ② r q ∨? 前提引入； ③ q ? ①② 析取三段论； ④ )(q p ?∧? 前提引入； ⑤ q p ∨? 置换；④ ⑥ p ? ③⑤析取三段论。 2. 证明 ① t ? 前提引入； ② t s → 前提引入； ③ s ? ①②拒取式； ④ r s →? 前提引入； ⑤ r ③④假言推理； ⑥ r p ?→ 前提引入； ⑦ p ? ⑤⑥拒取式； ⑧ q p ∨ 前提引入； ⑨ q ⑦⑧析取三段论。 3. 证明 ① p s ∨? 前提引入； ② s 前提引入； ③ p ①②析取三段论； ④ )(r q p →→ 前提引入； ⑤ r q → ③④假言推理； ⑥ q 前提引入； ⑦ r ⑤⑥假言推理。 4. 证明： ① ))()()((x Q x C x ∧? 前提引入； ② ))()((c Q c C ∧ ①EI ； ③ )(c C ②化简； ④ ))()(()()((x R x W x C x ∧→? 前提引入； ⑤ )()(()(c R c W c C ∧→ ④UI ； ⑥ )()(c R c W ∧ ③⑤ 假言推理； ⑦ )(c R ⑥化简； ⑧ )(c Q ②化简； ⑨ )()(c R c Q ∧ ⑦⑧合取引入 (10) ))()()((x R x Q x ∧? ⑨EG 5. 解：设x x F :)(是学术委员会的成员，x x G :)(是专家，x x H :)(是大学生，x x R :)(是青年人。 前提 ))()()(()),()(()()((x R x F x x H x G x F x ∧?∧→? 结论))()()()((x R x G x F x ∧∧? 证明： ① ))()()((x R x F x ∧? 前提引入； ② )()(c R c F ∧ ①EI ； ③ ))()(()()((x H x G x F x ∧→? 前提引入； ④ ))()(()(c H c G c F ∧→ ③UI ； ⑤ )(c F ②化简； ⑥ )()(c H c G ∧ ④⑤ 假言推理； ⑦ )(c R ②化简； ⑧ )(c G ⑥化简； ⑨ )()()(c R c G c F ∧∧ ⑤⑦⑧合取引入 (10) ))()()()((x R x G x F x ∧∧? ⑨EG 6. 解：记x x F :)(是病人， x x G :)(是医生， x x H :)(是骗子， x y x L :),(相信y 。 则上述推理符号化为 前提：))),()(()((y x L y G y x F x →?∧? ))),()(()((y x L y H y x F x ?→?→? 结论：))()((x H x G x ?→? 证明： ① ))),()(()((y x L y G y x F x →?∧? 前提引入； ② )),()(()(y a L y G y a F →?∧ ①存在量词消去规则； ③ )(a F ②化简规则； ④ ))),()(()((y x L y H y x F x ?→?→? 前提引入； ⑤ )),()(()(y a L y H y a F ?→?→ ④全称量词消去规则； ⑥ )),()((y a L y H y ?→? ③⑤假言推理规则； ⑦ ),()(y a L y H ?→ ⑥全称量词消去规则； ⑧ )(),(y H y a L ?→ ⑦置换； ⑨ )),()((y a L y G y →? ②化简规则； （10）),()(y a L y G → ⑨全称量词消去规则； （11）)()(y H y G ?→ ⑧（10）假言三段论规则； （12）))()((x H x G x ?→? （11）全称量词引入规则； 六、 证明题 1. 证明：由于21,ρρ是自反的，所以对任意A a ∈,21,,,ρρ>∈<>∈∈ 若21,ρρ?>∈∈<>∈∈<>∈∈ 若21,,,ρρ?>∈<> 由于21ρρ?是自反的、对称的和传递的，所以21ρρ?是等价关系。 2. 证明：由于G 的连通性，w u ,之间必存在短程)2(,121≥=-l w v v uv P l Λ，则 l w u d =),(，取v 为P 上除w u ,外的任意一点)11(-≤≤l i v i ，都有i v u ,之间的短程为i v v uv P Λ211=，w v i ,之间的短程为w v v v P l i i 112-+=Λ. 否则，若i v u ,之间存在比i v v uv P Λ211=短的短程i v u uu P Λ21'1=，则w v v v u uu P l i i 1121'-+=ΛΛ比P 短，这与P 为w u ,之间的短程矛盾。 同理可证：w v v v P l i i 112-+=Λ为w v i ,之间的短程。 因而),(),(w v d v u d i i +等于1P 的长度加上2P 的长度，而1P 的长度加上2P 的长度为P 的长度 ，即为l ，所以),(),(),(w u d l w v d v u d i i ==+. 3. 证明：令A 为由上述四个矩阵组成的集合，?是矩阵乘法运算，容易验证上述四个矩阵关于矩阵乘法运算是封闭的。 (1)由矩阵乘法运算知识知，?是可结合的； (2)任取矩阵A b a ∈??? ? ??00，由于 ???? ??=???? ??????? ??b a b a 00100100， ??? ? ??=???? ??????? ??b a b a 00001001 所以矩阵???? ??1001是运算?的单位元。 (3)由于 ???? ??=???? ??-100110011， ??? ? ??--=???? ??---100110011， ???? ??-=???? ??--100110011， ???? ??-=??? ? ??--100110011 ， 所以A 中每个元素都是可逆的。 由上面的1，2，3知，>?<,A 是群。 4. 解：充分性 若在群><ο,G 中，对任意的G b a ∈, ,有2 22)(b a b a οο= . 则 )()()()(b a b a b b a a οοοοοο= b a b a b b a a οοοοοο)()(= a b b a οο= 从而 ><ο,G 是一个交换群。 必要性 若><ο,G 是一个交换群，对任意的G b a ∈, ,有a b b a οο=，则 b a b a b b a a οοοοοο)()(= )()()()(b a b a b b a a οοοοοο= 即222)(b a b a οο=. 5. 证明：由于对任意的H y x ∈,，有 a y y a a x x a ?=??=?, 所以 a y a a x a y x ????=??---111)()( a y a a x ????=--)()(11 a a y x a ????=-1)()( a y a x a ????=-1)()( a a y x a ????=--11 )(1-??=y x a 即 H y x ∈?-1，由子群的判定定理知>?<,H 是>?<,G 的子群。 6. 证明 显然，*是G 上的二元运算。 先证结合律成立。G c b a ∈?,,，有 c u b u a c b a οοοο11)(*)*(--= )(11 c u b u a οοοο--= )*(1c b u a οο-= )*(*c b a = 即运算是可结合的. 由于G a ∈?，有 a u u a u a ==-οο1* a a u u a u ==-οο1* 故u 是运算*的单位元. 最后证明G a ∈?，u a u οο1-是a 在><,*G 中的逆元。由于 )()(*111u a u u a u a u a οοοοοο---= u a u u a οοοο11)(--= u a a οο)(1-= u = a u u a u a u a u οοοοοο111)(*)(---= a u u a u οοοο)(11--= )(1a a u οο-= u = 因此><,*G 是一个群. 浙江农林大学暨阳学院 2016 - 2017 学年第 二 学期考试卷答案 课程名称： 离散数学 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 适用专业： 计算机151-152 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题2分，共8分） 1. 公式q p p ?→?→)(的类型是 ( C ) A. 重言式 B. 矛盾式 C. 非重言式的可满足式 D. 以上均不对 2. |A |=n , |B |=m , 且m , n >0, 则|B A |= ( D ) A.m 2 B. 2n C. n m D. m n 3. 集合的广义并}},{},,,{},,,{{d a d c a c b a ?= ( B ) A.},,{c b a B.},,,{d c b a C.},,{d c a D.}{a 4. f ：R→R, f (x )=-x 2+2x -1，则f 是 ( D ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 以上均不对 系（部） ： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 二、填空题（每小题3分，共36分） 1. 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明，吴颖既用功又聪明符号化为__q p ∧_____ 2. 如果2 <1,则23≥的真值为___1___ 3. (q →p ) ∧q →p 的成真赋值为 ___00,01,10,11_ __ 4. (p →?q)→r ? 13567m m m m m ∨∨∨∨的成假赋值为__000,010,100_ 5. 设A 有3个命题变项, 且已知A= m 2∨m 4∨m 5∨m 6，A 的主合取范式为 ___7310M M M M A ∧∧∧= 6. 设D 为人类集合，G(x)：x 用左手写字，则一阶逻辑中命题有人用左手写字符号 化为__)(x xG ?__ _ 7. 给定解释 I 如下： (a) 个体域 D=R (b) 0a = (c) (,),(,)f x y x y g x y x y =+=? (d) (,):F x y x y = 则公式?xF (g (x ,y ),a ) 在I 下的解释为__)0(=??y x x _____ 8. R = {<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}，S = {<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 则S ?R = __{1,2,1,4,3,3,3,2}<><><><>__ 9. 设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}, 则R ?{2} = ___}4,2,2,2{><><___ 10. 设R 为A 上的关系, 则有R 的对称闭包s(R)=__ 1-?R R ____ 11. 设G= 04任务_0006 试卷总分：100 测试时间：0 单项选择题 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图所示，则下列结论成立的是( )． A. （a）只是弱连通的 B. （b）只是弱连通的 C. （c）只是弱连通的 D. （d）只是弱连通的 2. 设无向图G的邻接矩阵为 ， 则G的边数为( )． A. 1 B. 6 C. 7 D. 14 3. 设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为( )． A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 无向简单图G是棵树，当且仅当( )． A. G连通且边数比结点数少1 B. G连通且结点数比边数少1 C. G的边数比结点数少1 D. G中没有回路． 5. 图G如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A. {(a, d)}是割边 B. {(a, d)}是边割集 C. {(a, d) ,(b, d)}是边割集 D. {(b, d)}是边割集 6. 若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )． A. 平面图 B. 对偶图 C. 欧拉图 D. 连通图 7. 设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )． A. e－v＋2 B. v＋e－2 C. e－v－2 D. e＋v＋2 8. 无向完全图K4是（）． A. 欧拉图 B. 汉密尔顿图 C. 非平面图 D. 树 9. 设图G＝ 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列句子不是．． 命题的是（ D ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的 D ．太好了！ 2．下列式子不是．． 谓词合式公式的是（ B ） A ．（?x ）P (x )→R (y ) B ．(?x ) ┐P （x ）?(?x )(P (x )→Q (x )) C ．(?x )(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ) D ．(?x )(P (x ,y )→Q (x ,z ))∨(?z )R (x ,z ) 3．下列式子为重言式的是（ ） A ．(┐P ∧R )→Q B ．P ∨Q ∧R →┐R C ．P ∨(P ∧Q ) D ．(┐P ∨Q )?(P →Q ) 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ） A ．(?x )(P (x )∨Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2} B ．(?x )(P (x )∧Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域: {1,2} C ．(?x )(P (x ) →Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} D ．(?x )(P (x )→Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} 5．对于公式(?x ) (?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元 C ．(?x )的辖域是R(x , y ) D ．(?x )的辖域是(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ) 6．设论域为{1,2}，与公式(?x )A (x )等价的是（ ） A ．A (1)∨A (2) B ．A (1)→A (2) C ．A (1)∧A (2) D ．A (2)→A (1) 7．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ） A ．仅是入射 B ．仅是满射 C ．是双射 D ．不是函数 8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ） A ．???? ??????001110101 B ．??????????101110001 C ．??????????001100100 D ．???? ??????001010101 9．设R 1和R 2是集合A 上的相容关系，下列关于复合关系R 1?R 2的说法正确的是（ ） A ．一定是等价关系 B ．一定是相容关系 2017下半年中学综合素质真题答案 一、单项选择题(本大题共29小题，每小题2分，共58分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。 1.在生物实验课上，韩老师自始至终引导学生完成事先准备好的填空题：“实验过程一：从____ 号烧瓶倒入____号烧瓶……”“显微镜的取镜和放置：右手紧握____左手托住____……”这说明韩老师 A.教学理念偏失 B.教学态度不端 C.教学评价不当 D.教育行为失当 【参考答案】A(实验课的目的主要是使学生获取间接经验，需要教师具有素质教育的观念，而韩老师则是以学生做题为目的，所以属于应试教育的观念。) 2.综合实践活动中，段老师设计了主题为“社会旅游资源”的调查。有部分同学对某座古塔的建筑材料、风格产生了兴趣，在指导大家完成调查报告之后，段老师又引导这部分同学确定了新课题——“古塔建筑材料、风格与保护”。对于段老师的法，下列评价不恰当的是 A.尊重了学生的学习需要 B.培养了学生的探究意识 C.激发了学生的学习兴趣 D.纠正了学生的研究方法 【参考答案】D(段老师在整个教学环节中，启发诱导学生独立完成课题，并没有将自己的意识强加在学生的学习之上。) 3.下列教学用语中，不利于促进学生学习的是 A.“你读得很响亮，若再有感情一点就好了。你再试试。” B.“刚才这位同学概括得不准确，还是我来吧。” C.“这位同学的发言并没有重复前面同学说过的话，有自己的观点，非常好!” D.“请大家想一想，刚才这两位同学报告的结论，有何不同?” 【参考答案】B(B选项中的教师主动帮助学生回答问题，忽略了学生的主观能动性。该题回答时可用排除法解答。) 4.多年来,曾老师坚持让学生采用反思记录表、学习日志或成长记录袋等多种方法来记录学习过程,并不断指导学生优化记录的方法,曾老师的做法 A.忽视了学生的发展性 B.忽视了学生的差异性 C.尊重了学生的创造性 D.尊重了学生的自主性 02任务_0001 试卷总分：100 测试时间：0 单项选择题 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )． A. {{1}, {a}} B. {,{1}, {a}} C. {{1}, {a}, {1, a }} D. {,{1}, {a}, {1, a }} 2. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={ 5. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包． A. 自反 B. 传递 C. 对称 D. 自反和传递 6. 若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A. A B，且A B B. B A，且A B C. A B，且A B D. A B，且A B 7. 设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集 ??????????????????????精品自学考料推荐?????????????????? 浙江省 2019 年 7 月高等教育自学考试 离散数学试题 课程代码： 02324 一、单项选择题 (在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在 题干的括号内。每小题 1 分，共 14 分 ) 1.给定如下 4 个语句 : (1) 我不会游泳。(2)如果天不下雨,我就去踢足球。 (3) 我每天都看新闻联播。(4)火星上有人吗? 其中不是复合命题的是()。 A.(1)(4) B.(1)(3)(4) C.(1)(3) D.(3)(4) 2.设 P,Q,R 是命题公式 ,则 P→ R， Q→ R， P∨Q ()。 A. P B. Q C. R D. ┐ R 3.下列公式中正确的等价式是()。 A. ┐ ( x)A(x)(x) ┐ A(x) B. ┐ ( x)A(x)(x)┐ A(x) C. ( x)( y)A(x,y)( y)( x)A(x,y) D. ( x)( (x)∧ B(x))( x)A(x) ∨ ( x)B(x) 4.谓词公式 ( x)(P(x) ∨ ( y)R(y)) → Q(x) 中的 x()。 A.只是约束变元 B.只是自由变元 C.既非约束变元又非自由变元 D.既是约束变元又是自由变元 5.设个体域为整数集 ,则下列公式中值为真的是 ()。 A. (y)(x)(x · y=2) B. (x)(y)(x · y=2) C. (x)(x · y=x) D. (x)(y)(x+y=2y) 6.设 A={a,b,c}, 则 A 中的双射共有 ()。 A.3 个 B.6 个 C.8 个 D.9 个 7.设 S={a,b,c}, 则 S 的幂集的元素的个数有()。 A.3 个 B.6 个 C.8 个 D.9 个 8.设 A={a,b,c}, 则 A ×A 中的元素有 ()。 A.3 个 B.6 个 1 2017年教师资格证考试中学综合素质 1.在生物实验课上，韩老师自始至终引导学生完成事先准备好的填空题：“实验步骤一：从-号烧瓶倒入-号烧瓶”“显微镜的取镜和放置：右手紧握-左手托住-”这说明韩老师( )。 A.教学理念偏失 B.教学态度不端 C.教学评价不当 D.教育行为失范 【答案】A 【解析】新课程改革背景下的教学观倡导教学行“教学者为中心”转向“学习者为中心”，在韩老师的教学过程中完全以教育者自身作为主体，忽视了学生的 课堂参与和积极性，所以选A。 2.综合实践活动中，段老师设计了主题为“社会旅游资源”的调查。有部分同学对一座古塔的建筑材料、风格产生了兴趣。在指导学生完成调查报告之后，段老师又引导这部分同学确定了新课题——“古塔建筑材料、风格与保护”。对于段老师的法，下列评价不恰当的是() A.尊重了学生的学习需要 B.培养了学生的探究意识 C.激发了学生的学习兴趣 D.纠正了学生的研究方法 【答案】D 【解析】题中段老师的行为体现了尊重学生的学习需要与兴趣，并鼓励学生 进行自主探究指导大家完成调查报告和确定新课题，并非是纠正研究方法。 3.下列教学用语中，不利于促进学生学习的是() A.“你读得很响亮，若再有感情一点就好了。你再试试。” B.“刚才这位同学概括得不准确，还是我来吧。” C.“这位同学的发言并没有重复前面同学说过的话，有自己的观点，非常好!” D.“请大家想一想，刚才这两位同学报告的结论，有何不同?” 【答案】B 【解析】B选项直接否定和打消了学生学习的积极性，所以不利于促进学生 的学习。 4,多年来,曾老师坚持让学生采用反思记录表、学习日志或成长记录袋等多种 方法来记录学习过程,并不断指导学生优化记录的方法,曾老师的做法() A.忽视了学生的发展性 B.忽视了学生的差异性 C.尊重了学生的创造性 D.尊重了学生的自主性 【答案】D 【解析】曾老师通过让学生采用多种方法记录学习过程，并指导学生不断优 化学习记录，这一教学行为充分体现了尊重学生的自主性。 5.《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020)年》提出,要把教育摆在优先发展的战略地位。对于教育优先发展战略的理解,下列选项中不正确的是()。 06任务_0001 试卷总分：100 测试时间：0 单项选择题 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 命题公式的析取范式是( )． A. B. C. D. 2. 设个体域为整数集，则公式"x$y(x+y=0)的解释可为( )． A. 存在一整数x有整数y满足x+y=0 B. 任一整数x对任意整数y满足x+y=0 C. 对任一整数x存在整数y满足x+y=0 D. 存在一整数x对任意整数y满足x+y=0 3. 下列公式成立的为( )． A. ?P∧?Q ?P∨Q B. P→?Q??P→Q C. Q→P? P D. ?P∧(P∨Q)?Q 4. 下列公式中( )为永真式． A. ?A∧?B ??A∨?B B. ?A∧?B ??(A∨B) C. ?A∧?B ?A∨B D. ?A∧?B ??(A∧B) 5. 设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符 号化为( )． A. B. C. D. 6. 命题公式(P∨Q)→R的析取范式是( ) A. ?(P∨Q)∨R B. (P∧Q)∨R C. (P∨Q)∨R D. (?P∧?Q)∨R 7. 命题公式（P∨Q）的合取范式是( )． A. （P∧Q） B. （P∧Q）∨（P∨Q） C. （P∨Q） D. ?（?P∧?Q） 8. 设命题公式G：，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别 是( )． A. 0, 0, 0 B. 0, 0, 1 C. 0, 1, 0 D. 1, 0, 0 9. 命题公式P→Q的主合取范式是( )． A. (P∨Q)∧(∏∨?Θ)∧(?∏∨?Θ) B. ?P∧Q C. ?P∨Q D. P∨?Q 10. 下列等价公式成立的为( )． A. ?P∧P??Q∧Q B. ?Q→P?P→Q C. P∧Q?P∨Q D. ?P∨P?Q 全国2018年7月高等教育自学考试 离散数学试题 课程代码：02324 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填 在题干的括号内。每小题1分，共14分) 1.下列语句不是 ．．命题的是( )。 A.黄金是非金属。 B.要是他不上场，我们就不会输。 C.他跑100米只用了10秒钟，你说他是不是运动健将呢? D.他跑100米只用了10秒钟，他是一个真正的运动健将。 2.关于命题变元P和Q的大项M01表示( )。 A.┐P∧Q B.┐P∨Q C.P∨┐Q D.P∧┐Q 3.公式(?x)(?y)(P(x,z)→Q(y))S(x,y)中的(?x)的辖域是( )。 A.(?y)(P(x,z)→Q(y)) B.P(x,z)→Q(y) C.P(x,z) D.S(x,z) 4.下列等价式不成立 ．．．的是( )。 A.┐(?x)A(x)?(?x)┐A(x) B.┐(?x)A(x)?(?x)┐A(x) C.(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x) D.(?x)(A(x)∨B(x))?(?x)A(x)∨(?x)B(x) 5.公式(?x)(?y)(P(x,y)∧Q(z))→R(x)中的x( )。 A.只是约束变元 B.只是自由变元 C.既是约束变元又是自由变元 D.既非约束变元又非自由变元 6.设A={a,{a}}，则下列各式正确的是( )。 A.{a}∈p(A)(A的幂集) B.{a}?p(A) C.{{a}}?p(A) D.{a,{a}}?p(A) 7.集合的以下运算律不成立 ．．．的是( )。 A.A∩B=B∩A B.A∪B=B∪A C.A⊕B=B⊕A D.A-B=B-A 8.设N是自然数集，R是实数集，函数f：Ｎ→R，f(n)=lgn是( )。 A.入射 B.满射 C.双射 D.非以上三种的一般函数 9.设实数集R上的二元运算o为：xoy=x+y-2xy,则o不满足( )。 A.交换律 B.结合律 1 全国2009年4月自学考试离散数学试题（附答案） 课程代码：02324 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（） A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q 2．下列语句中是真命题的是（） A．我正在说谎B．严禁吸烟 C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的 3．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q）D．?（? P∨? Q） 4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（） A．矛盾式B．蕴含式 C．重言式D．等价式 5．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（） A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无 6．在公式（x ?）F（x，y）→（?y）G（x，y）中变元x是（） A．自由变元B．约束变元 C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元 7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={ 【导读】四川华图为各位考生提供2017年上半年中小学教师资格考试综合素质试题(中学)答案解析，以供各位考生参考学习。更多详询请关注四川华图，我们将及时为你更新推送消息。 2017年上半年中小学教师资格考试 综合素质试题(中学) (科目代码：301) 注意事项： 1、考试时间为120分钟，满分为150分。 2、请按规定在答题卡上填途、作答。在试卷上作答无效，不予评分。 一、单项选择题(本大题共29小题，每小题2分，共58分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。 1.由于生源存在差异，某中学将学生按入学成绩高低，分为快慢班，该学校的做法( ) A.正确，有利于因材施教 B.正确，有利于资源配置 C.错误，不利于教育公平 D.错误，不利于均衡发展 2.为了改变学生从课本中找“标准答案”的习惯，刘老师经常在课堂上设计一些开放性问题，引导学生自由讨论、探索答案。同事马老师对刘老师说：“你这样会使学生思维太发散，也浪费时间，将来考试肯定会吃亏的，我从不这样做!”下列选项中正确的是( ) A.马老师的说法合理，有利于提高学生学习成绩 B.刘老师的做法得当，有利于培养学生创新意识 C.马老师的说法欠妥，不利于维持课堂教学秩序 D.刘老师的做法欠妥，不利于保证正常教学进度 3.进入初三年级后，班主任石老师把每周的综合实践活动课用于补数学，中考时该班的数学成绩名列前茅，石老师的做法( ) A.正确，是提高学习成绩的有效途径 B.正确，是提高班级声誉的有利措施 C.错误，不利于学生公平竞争 D.错误，不利于学生全面发展 4.吴老师把课程教学中存在的突出问题归纳、提炼为若干主题进行研究，并发表系列论文，这表明吴老师具有( ) A.良好的教学研究能力 B.良好的课程管理能力 C.良好的课堂开发能力 D.良好的校本研修能力 5.《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年)》提出，建立城乡一体化义务教育发展机制，在有些方面向农村倾斜，下列选项中不符合要求的是( ) A.财政拨款向农村倾斜 B.课程标准向农村倾斜 C.教师配置向农村倾斜 D.学校建设向农村倾斜 一、单项选择题(本大题共１５小题，每小题1分,共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列句子不是．． 命题的是( D ) A.中华人民共和国的首都是北京?B ．张三是学生 C.雪是黑色的? D.太好了! 2．下列式子不是．． 谓词合式公式的是（ Ｂ ) A.(?x ）P (x ）→R (y ） B.（?x ) ┐Ｐ（x ）?(?x )(P (x )→Q （x ）) Ｃ.(?x )(?y )(P (x )∧Q (y ))→（?ｘ)R (x ) D ．(?x )(P (x ，y )→Ｑ(x ，z ))∨(?ｚ）R (ｘ,z ） 3．下列式子为重言式的是( ） A ．（┐P ∧R )→Q ?B.Ｐ∨Q ∧R →┐Ｒ C ．P ∨(P ∧Q ）?D.(┐P ∨Q )?(P →Q ） 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ) Ａ．(?x )(P （x )∨Q (ｘ)），P (x ）:x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2｝ B ．(?x )(P (x ）∧Q (x ))，P （ｘ):x =1,Ｑ(ｘ)：x =2,论域： {1，2} C ．(?x )(P (x ) →Q (ｘ))，Ｐ(x ):ｘ>2,Q (x )：x =０，论域:{3,4} Ｄ．(?x ）(P （ｘ)→Ｑ(x )）,P (ｘ):ｘ>２,Q （x ):x ＝0，论域：｛3，4} 5.对于公式(?x ) （?y )（Ｐ(x )∧Q (y ))→(?x ）Ｒ(x ,y )，下列说法正确的是（ ) A ．y 是自由变元? B ．y 是约束变元 Ｃ．（?x ）的辖域是R(x , ｙ) D.(?x )的辖域是(?ｙ）(Ｐ(x ）∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ) 6．设论域为{1,2},与公式(?x ）A (x )等价的是( ) Ａ．A (1)∨A (2)?B.A (1)→Ａ(2) C.Ａ(1）∧Ａ(2)?D ．A (2)→A （1) 7．设Z ＋是正整数集,R 是实数集，ｆ:Z ＋ →R , ｆ(n )=lo ｇ2n ,则f ( ） A ．仅是入射? B ．仅是满射 C ．是双射 Ｄ．不是函数 ８.下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ) Ａ.???? ??????001110101 B ．??????????101110001 C ．??????????001100100 D.???? ??????001010101 9.设R 1和R 2是集合A 上的相容关系,下列关于复合关系R １?R ２的说法正确的是( ) A.一定是等价关系? B.一定是相容关系 全国2018年7月自学考试离散数学试题 课程代码：02324 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列句子不是 ．．命题的是（） A．中华人民共和国的首都是北京B．张三是学生 C．雪是黑色的D．太好了！ 2．下列式子不是 ．．谓词合式公式的是（） A．（?x）P(x)→R(y) B．(?x) ┐P（x）?(?x)(P(x)→Q(x)) C．(?x)(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x) D．(?x)(P(x,y)→Q(x,z))∨(?z)R(x,z) 3．下列式子为重言式的是（） A．(┐P∧R)→Q B．P∨Q∧R→┐R C．P∨(P∧Q) D．(┐P∨Q)?(P→Q) 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（） A．(?x)(P(x)∨Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,论域:{1,2} B．(?x)(P(x)∧Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,论域: {1,2} C．(?x)(P(x) →Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,论域:{3,4} D．(?x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,论域:{3,4} 5．对于公式(?x) (?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y)，下列说法正确的是（） A．y是自由变元B．y是约束变元 C．(?x)的辖域是R(x, y) D．(?x)的辖域是(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y) 6．设论域为{1,2}，与公式(?x)A(x)等价的是（） A．A(1)∨A(2) B．A(1)→A(2) C．A(1)∧A(2) D．A(2)→A(1) 7．设Z+是正整数集，R是实数集，f:Z+→R, f(n)=log2n ,则f（） 1 2017年下半年中小学教师资格考试 综合素质试题（小学） 注意事项：1. 考试时间为120分钟，满分为150分。 2. 请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。 一、单项选择题（本大题共29小题，每小题2分，共58分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。 1.某小学几名学生以“我市文化市场的现状调查”为题开展研究性学习活动。当研究小组 到报社采访时，门卫说他们是“瞎捣乱”，将其拒之门外。作为指导老师应（）。 A.分析原因，修改计划 B.指责门卫素质差 C.安慰学生，劝其放弃 D.埋怨学生能力差 2.张老师在用天平称一支粉笔时，没有拆下天平托盘下的胶垫，第一次称重为100克，第 二次为80克，学生问道：“为什么会这样呢？”对此，张老师恰当的做法是（）。 A.让学生自己寻找问题产生的原因 B.告诉学生不必在意 C.向学生解释这是天平本身的误差 D.不予理睬，继续上课 3.小峰经常迟到、旷课，多门功课“挂红灯”。不过，他百米赛跑速度很快，连续两年获得 校运会百米赛冠军。对此，教师的下列做法中不恰当的是（）。 A.获得信任，寻找恰当教育时机 B.认真分析，了解问题形成的原因 C.因势利导，帮助小峰树立学习的信心 D.扬长避短，告诉小峰不要在意文化成绩 4.青年教师小王刚入职就加入冯老师主持的名师工作室，积极参与各种教研活动，很快适 应了岗位工作。这表明王老师在专业发展上注重（）。 A.同伴互助 B.自我反思 C.自我研修 D.脱产进修 5.《国家中长期教育改革与发展规划纲要（2010—2020年）》提出，均衡发展是义务教育的 战略性任务，下列实施这一战略性任务的措施，不正确的是（）。 A.推进义务教育学校标准化建设 B.建立城乡二元结构义务教育发展机制 C.建立健全义务教育均衡发展保障机制 D.均衡配置老师、设备、图书，校舍等资源 6.钱某闯入某乡中心校寻衅滋事，破坏了一间教室的门。依据《中华人民共和国教育法》 离散数学综合练习题 一、判断下列命题是否正确．如果正确，在题后括号内填“\/”； 否则，填“?” （1）空集是任何集合的真子集． （ ） （2）{ }φ是空集． （ ） （3）{}{ }a a a },{∈ （ ） （4）如果B A a ??，则A a ?或B a ?． （ ） （5）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则 },,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ ） （6）设集合}1,0{=A ，则 }1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ 是A 2到A 的关系． （ ） （7）关系的复合运算满足交换律． （ ） （8）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则21ρρ?也是集合 A 上的等价关系 ( ) （9）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈?<,G 是群．如果对于任意G b a ∈,，有 222)(b a b a ?=? 则>?<,G 是阿贝尔群． （ ） （14）设a 是群>?<,G 的元素，记 }|{y a a y G y y H ?=?∈=且 则>?<,H 是>?<,G 的子群． （ ） （15）<{0，1，2，3，4}，max ，min>是格． （ ） （16）设a ，b 是格>∧∨<,,L 的任意两个元素，则 a b a b b a =∧?=∨． （ ） （17）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则>∧∨<,,B 是格． （ ） （18）设集合},{b a A =，则>??<,},},{},{,{A b a φ是格． （ ） （19）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则对任意B b a ∈,，有 b a b a ∨=∧． （ ） （20）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则对任意B a ∈，都有B b ∈，使得 0,1=∧=∨b a b a ． （ ） （21）n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为1. （ ） （22）在有向图中，结点i v 到结点j v 的有向短程即为j v 到i v 全国2010年7月自学考试离散数学试题 课程代码：02324 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列句子不是．．命题的是（ D ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的 D ．太好了！ 2．下列式子不是．．谓词合式公式的是（ B ） A ．（?x ）P (x )→R (y ) B ．(?x ) ┐P （x ）?(?x )(P (x )→Q (x )) C ．(?x )(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ) D ．(?x )(P (x ,y )→Q (x ,z ))∨(?z )R (x ,z ) 3．下列式子为重言式的是（ ） A ．(┐P ∧R )→Q B ．P ∨Q ∧R →┐R C ．P ∨(P ∧Q ) D ．(┐P ∨Q )?(P →Q ) 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ） A ．(?x )(P (x )∨Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2} B ．(?x )(P (x )∧Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域: {1,2} C ．(?x )(P (x ) →Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} D ．(?x )(P (x )→Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} 5．对于公式(?x ) (?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元 C ．(?x )的辖域是R(x , y ) D ．(?x )的辖域是(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ) 6．设论域为{1,2}，与公式(?x )A (x )等价的是（ ） A ．A (1)∨A (2) B ．A (1)→A (2) C ．A (1)∧A (2) D ．A (2)→A (1) 7．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ） A ．仅是入射 B ．仅是满射 C ．是双射 D ．不是函数 8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ） A ．???? ? ?????001110101 B ．???? ? ?????101110001 习题参考答案 1、设无向图G有16条边，有3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：G中至少有几个结点。 阮允准同学提供答案: 解：设度数小于3的结点有x个，则有 3×4＋4×3＋2x≥2×16 解得：x≥4 所以度数小于3的结点至少有4个 所以G至少有11个结点 2、设无向图G有9个结点，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。 阮允准同学答案： 证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。 若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。 若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。 由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。 3、证明：简单图的最大度小于结点数。 阮同学认为题中应指定是无向简单图. 晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n. 4、设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3 。阮同学给出证明如下： 证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。所以结论成立。 5、试证明下图中两个图不同构。 晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。 6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。 解：如下图所示：(晓津与阮同学答案一致) 2017年下中学综合素质真题及答案解析 一、单项选择题(本大题共29小题，每小题2分，共58分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答案 上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。 1、在生物实验课上，韩老师自始至终引导学生完成事先准备好的境空题：“实验一：从号烧瓶倒入号烧瓶...”显微镜的取镜和放置，右手紧握，左手托住…..”这说明韩老师（） A.教学理念偏失 B.教学态度不端 C.教学评价不当 D.教育行为失风格 2.综合实践活动中，段老师设计了主题为“社会旅游资源”的调查，有部分间学观座古塔的建筑材料，风格产生了兴趣，在指导大家完成调查报告之后，段老师引导这部分同学确定了新课题一“古塔建筑材料、风格与保护”，对于段老师的做法，下列评价不恰当的是（） A 尊睢了学生的学习需要B.培养了学生的探究意识C 激发了学生的学习兴趣 D.纠正了学生的研究方法 3、下列教学用语中，不利于促进学生学习的是（） A.“你读得很响亮”若再有感情一点就好了，你再试试”。 B.“刚才这位同学概括得不准确，还是我来吧”。 C. “这位同学的发言并没有重复前面同学说过的话，有自己的观点，非常好。” D.“请大家想一想，刚才这两位同学报告的结论，有何不同”？ 4.多年来，曾老师坚持让学生采用反思记录表，学习日志或成长记录袋等多种方法来记录学习过程，并不断指导学生优化记录的方法，曾老师的做法（） A.忽视学生的发展性 B. 忽视学生的差异性 C.尊重了学生的创造性D尊重了学生的自主性 5.《国家中长期教育改革和发展规划纲要2010-2020 年》提出，要把教育摆在优先发展的战略地位。对于教育优先发展战略的理解，下列选项中不恰当的是（） A.财政资金优先保障教育投入 B.社会资源优先向教育领城倾斜 C.经济社会发展规划优先安排教育发展 D.公共资源优先满足教育和人力资源开发需要 6.中学生邹某上课时玩手机游戏，班主任王老师发现后，当场删除了邹某的游戏张号和他购买的游戏装备，并告诚邹某不要在上课时玩游戏。课后，王老师将手机返还给了邹某。王老师的做法（） A.合法，教师有权批评和管教学生 B.不合法，侵犯了邹某的财产权 C.合法，教师无权没收学生的手机 D.不合法，侵犯了邹某的隐私权 7.某地区教育行政部门未经公开招标，直接将当地两所较为薄弱的公办学校移交给一家民办教育集团承办，并规定对该校所有学生按市场价格收费。该地区教育行政部门的做法（） A.合法，有利于促进博弱学校本身的内涵发展 B.合法，有利于实现优质教育资源的均衡共享 C.不合法，不得以任何名义改变或变相改变公办学校的性质 D.不合法，不得以任何方式或理由规避公开招标的原则要求 8.某中学规定，凡主动参加所在地区教研室组织的教研活动的教师，在职称晋升、评优评先中予以优先考虑。该学校的做法（） A.合法，有利于教师科学研究权的落实和保障 B.合法，有利于教师教学自由权的落实和保障 C.不台法，侵犯了其他教师享受平等待遇的权利 D.不合法，违反了教师考核评价的客观公正原则 9.某中学化学老师宋某正组织学生上实验课，学生李某因借用坐在实验泉对面的国学的钢笔[亿师学考试研究院整理]，碰倒了酒精行，酒精溅在本组同学韩某的手上并燃烧，致使韩某手部皮肤被灼伤。在这起事故中，应当承担略偿责任的是（） A.学校和宋某 B.宋某和李某的监护人水 C.学校和李某的监护人 D.李某的监护人和韩术的监护人 10.林某长期辱骂、虐待亲生儿子晓光，经有关单位教育后仍拒不悔改。依据《中华人民共和国未成年人保护法》，当地人民法院可以采取的措统是（） A.撤销林某的临护人资格 B.给下林某行政处分 C.责令林某赔礼道歉 D.要求林某财偿损失 11.为了提高学生的法制意识，预防可能发生的未成年人犯罪事件，学校拟采取应对措施。下列选项中不正确的是（） 02 任务_0001 试卷总分：100 测试时间：0 单项选择题 一、单项选择题(共10道试题，共100 分。) 1. 设集合A = {1, a },则P(A)=( ). A {{1}, { a}} 厂 B. {0{1}, { a}} 厂 C. {{1}, { a}, {1, a }} P D. EU, { a}, {1, a }} 2. 集合A={1,2, 3, 4} 上的关系R={<χ，y>∣χ=y且x, y A},则R的性质为 ( )? A. 不是自反的 厂B.不是对称的 R C.传递的 D.反自反 3. 若集合A= { a , {a}, {1 , 2}},贝U下列表述正确的是()? A. {a, {a}} A C B. {1 , 2}H A * C. {a}l」A 厂D.佻A 4. 设集合A ={1 , 2, 3} 上的函数分别为：f = {<1,2> , <2, 1> , <3, 3>} , g = {<1, 3>, <2, 2> , <3, 2>} , h = {<1,3> , <2, 1> , <3, 1>}, 则h =( ). * A. f?g B. g?f 厂 C. f?f C D. g?g 4. 设集合 A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系 R={<1, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <4, 4>}, S={<1, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 2>, <4, 4>},则 S 是 R 的（ ）闭包. A.自反 B.传递 C.极大元 .极小元 8. 若集合A 的元素个数为10,则其幕集的元素个数为（ .1024 9. 如果R i 和R 是A 上的自反关系，则R U R b R ∩ R ,R-R 中自反关系有（ ） 个. A. 0 B. 2 C.对称 设集合A ={1 , 2, 3, 4, 5},偏序关系■<是 A 上的整除关系，则偏序集
离散数学试卷答案2017.6月
2017离散数学答案(6--10)
自考离散数学试题及答案
2017下半年中学综合素质真题答案
2017离散数学答案(1--5)
2020年7月全国自考离散数学试题及答案解析试卷及答案解析真题.docx
2017教师资格证中学综合素质试题
2017离散数学答案1--5)(2)
7月全国自考离散数学试题及答案解析试卷及答案解析
自考离散数学02324真题含答案(2009.4-2016.4年整理版)
2017年上半年中小学教师资格考试综合素质试题(中学)答案解析
2010年7月自考离散数学试题及标准答案
7月全国自考离散数学试题及答案解析
2017年下半年小学综合素质真题(附答案)
离散数学2017秋综合练习题
离散数学及答案
自考离散数学教材课后题第五章答案
2017年下中学综合素质真题及解答
2017离散数学答案(1--5)
相关主题
文本预览