第2讲:整式与因式分解
一、知识梳理
整式的有关概念
单项式定义：数与字母的________的代数式叫做单项式，单独的一个________或一个________也是单项式
单项式次数：一个单项式中，所有字母的________ 叫做这个单项式的次数
单项式系数：单项式中的叫做单项式的系数
多项式定义：几个单项式的________叫做多项式
多项式次数：一个多项式中，_____________ _的次数，叫做这个多项式的次数多项式系数：多项式中的每个________叫做多项式的项
整式：________________统称整式
同类项、合并同类项
同类项概念：所含字母________，并且相同字母的指数也分别________的项叫做同类项，几个常数项也是同类项
合并同类项概念：把中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的，且字母部分不变
整式的运算
整式的加减实质就是____________．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项
幂的运算：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：a m·a n＝________(m，n都是整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即：(a m)n＝________(m，n都是整数)
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：(ab)n＝
________(n为整数)
同底数幂相除，底数不变，指数相减. 即：a m÷a n＝________(a≠0，m、n都为整数) 整式的乘法：
单项式与单项式相乘，把它们的分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a ＋b＋c)＝
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝
整式的除法：
单项式除以单项式，与分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别这个单项式，然后把所得的商相加
乘法公式：
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________
完全平方公式：(a±b)2＝________
常用恒等变换：(1)a2＋b2＝____________＝____________
(2)(a－b)2＝(a＋b)2－
因式分解的相关概念及分解基本方法
公因式定义：一个多项式各项都含有的的因式，叫做这个多项式各项的公因式提取公因式法定义：一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即ma＋mb＋mc＝________
运用公式法：
平方差公式a2－b2＝___________
完全平方公式a2＋2ab＋b2＝________ ，a2－2ab＋b2＝________
二次三项式x2+(p+q)x+pq=________
二、题型、技巧归纳
考点一整式的有关概念
1、如果□×3ab=3a2b，则□内应填的代数式是（）
A.ab
B.3ab
C.a
D.3a
技巧归纳：注意单项式次数、单项式系数
2、在下列代数式中，次数为3的单项式是( )
A．xy2 B．x3－y3
C．x3y D．3xy
技巧归纳：由单项式次数的概念可知次数
考点二同类项、合并同类项
3、如果单项式23
11
23b
a y y
x x
与是同类项，那么a，b的值分别为( ) A．2，2 B．－3，2 C．2，3 D．3，2
技巧归纳：(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．
考点三整式的运算
4、下列运算中，正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．a3÷a2＝a C．(a3)2＝a9 D．a2＋a2＝ a5
技巧归纳：(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号． (2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆 (3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，一定不能把同底数幂的指数相除．
5、先化简，再求值：
(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x
技巧归纳：整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算．
考点四因式分解的相关概念及分解基本方法
6、分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( )
A．(x－1)(x－2) B. x2 C．(x＋1)2 D. (x－2)2
技巧归纳：
(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．
(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换
(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．
(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．
7、①是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图3－1②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )
A．2mn B．(m＋n)2 C．(m－n)2 D．m2－n2
技巧归纳： (1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式，关键要能准确计算阴影部分的面积．(2)利用因式分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分解，再代入已知条件计算．
三、随堂检测
1、把分解因式，结果是（）
A．B．
C．D．
2、若(2x)n－81＝(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n的值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3、多项式x2＋y2、－x2＋y2、－x2－y2、x2＋（－y2）、8x2－y2、（y－x）3＋（x－y）、2x2－y2中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
4、能被下列数整除的是（）
A．3 B．5 C．7 D．9
5、若m、n互为相反数，则5m＋5n－5＝__________．
6、当x=90.28时，8.37x+5.63x－4x=____ _____.
7、.
8、多项式24ab2－32a2b提出公因式是.
9、已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3求：(1)ab的值；(2)a2＋b2的值．
10．若(mx3)·(2x k)＝－8x18，则适合此等式的m＝______，k＝_____.
11若(x －12)0没有意义，则x －2的值为____．
12已知a ＋b ＝4，a －b ＝3，则a 2－b 2＝______．
13．地震中里氏震级增加1级，释放的能量增大到原来的32倍，那么里氏______级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍．
14．定义??????a b c d 为二阶行列式，规定它的运算法则为????
??a b c d ＝ad －bc ，那么当x ＝1时，二阶行列式????
??x －1 10 x －1的值为____． 15．一个大正方形和四个相同的小正方形按图①，②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是____．(用a ，b 的代数式表示)
16．先化简，再求值： (4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ＋(2a ＋b)(2a －b)，其中a ＝2，b ＝1.
17、把下列各式分解因式：
（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）
（2）﹣8a 2b+12ab 2﹣4a 3b 3．
(3)（x ﹣1）（x ﹣3）+1．
(4)（x 2+4）2﹣16x 2．
(5) x 2+y 2+2xy ﹣1．
（6）（x 2y 2+3）（x 2y 2﹣7）+37（实数范围内）．