点直线平面之间的位置关系练习题含答案
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
高一数学点直线平面之间的位置关系强化练习题
一、选择题
1．已知平面α外不共线的三点
,,A B C 到α
的距离都相等,则正确的结论是（ ）
A. 平面
ABC 必平行于α B. 平面ABC 必与α相交
C. 平面ABC 必不垂直于α
D. 存在ABC ?的一条中位线平行于α
或在α内
2．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题: ①若l 与m 为异面直线,l ?α,m ?β,则α∥β; ②若α∥β,l ?α,m ?β,则l ∥m;
③若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,l ∥γ,则m ∥n. 其中真命题的个数为( )
.2 C
3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点
确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） （A ）48 （B ）18 （C ）24 （D ）36 4． 已知二面角l αβ--的大小为060，m n 、为异面直线，且m n αβ⊥⊥，，则m n 、所成的角为
（ ）
（A ）0
30 （B ）0
60 （C ）0
90 （D ）0
120
5．如图,点P 在正方形ABCD 所在的平面外,PD ⊥平面ABCD,PD ＝AD,则PA 与BD 所成角的度数为( )
° ° ° °
7．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是
（ ） A ．βαβα⊥?⊥?⊥n m n m ,, B ．n m n m ⊥?⊥βαβα//,,//
C ．n m n m ⊥?⊥⊥βαβα
//,,
D ．β
βαβα
⊥?⊥=⊥n m n m ,,
8．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．
的是（ ） A ．AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面 B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC D ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC 9．若l 为一条直线，αβγ，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α
γβγαβ⊥⊥?⊥，；②αγβγαβ⊥?⊥，∥；③l l αβαβ
⊥?⊥，∥．
其中正确的命题有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．如图,在正三棱锥P —ABC 中,E 、F 分别是PA 、AB 的中点,∠CEF ＝90°,若AB ＝a,则该三棱锥的全面积为( )
A.
2233a + B.2
4
33a +
C.
2
4
3a D.
2436a + 11．如图，正三棱柱
111ABC A B C -的各棱长都为2，E F 、分别为AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是（ ） （A ）2 （B ）
3 （C ）5 （D ）7
12．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ）
（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交 （B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直 （C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行 13．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）
（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线 14．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（ ）
（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n
（C ）若,m n αα?∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 15．关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：
① 若//m α，//n β且//α
β，则//m n ；② 若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③ 若m α⊥，//n β且//αβ
，则m n ⊥；④ 若//m α，n β
⊥
且α
β
⊥，则//m n 。
其中真命题的序号式（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③ 16．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行 ④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线 其中假命题．．．
的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 17．如图平面α
⊥平面β
，
,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为
4π和6
π
。过A 、B 分别作两
平面交线的垂线，垂足为
'A 、B '，若AB=12，则''A B =（ ）
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ） 18．已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（ ）
A ．1
B ．
3
C ．2
D ．3
19．已知三棱锥S ABC -中，底面
ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么
直线
AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（ ）
A ．
34
B ．
54
C ．
74
D ．
34
A'
B'A B β
α
20．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形
的铁架，则a 的取值范围是 （ ） A ．（0,62+）
B ．（1,22）
C ． （
62-,62+）
D ．（0,2
2）
21．在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个
顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是 （ ） A ．2R π
B ．
7
3
R π C ．
8
3R π D ．
76
R
π 22．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，
AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则
球O 的表面积等于（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
23．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A ．
3263
+ B ．2+
263
C ．4+
263
D ．
4326
3
+
24.如图,正方体AC 1的棱长为1,过点A 作平面A 1BD 的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是( ) A.点H 是△A 1BD 的垂心 垂直于平面CB 1D 1 的延长线经过点C 1 D.直线AH 和BB 1所成角为45°
二、填空题
1．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个
顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．） 2．平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中
有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是： ①1； ②2； ③3； ④4；
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．）
3．如图，在正三棱柱
111ABC A B C -中，所有棱长均为1，则点1B 到平面1ABC 的距离为 。
4．已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两点的球面距离
为 ，球心到平面ABC 的距离为______________。
5．如图，在正三棱柱
111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角
1C AB C --的大小为 60，则点C 到平面1ABC 的距离为______________。
6．如图（同理科图），在正三棱柱
111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60
，则点
1C 到直线AB 的距离为
。
A B
C
D
αA
7．（如图，在6题上）正四面体ABCD 的棱长为l ，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构
成的图形面积的取值范围是____________。 8．如图，矩形ABCD 中，DC=
3，AD=1，在DC 上截取DE=1，将△ADE 沿AE
翻折到D 1点，点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角D 1—AE —B 的平面角的余弦值是 。
9．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=_____。 10．已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为2
6，则侧面与底面所成的二面角为____________。
11．m n 、是空间两条不同直线，αβ、是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①,;m n
m n αβαβ⊥?⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥?
③,,;m n m n αβαβ⊥?⊥
④,,;m m n n ααββ⊥?⊥ 其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。
12．如图，已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA ⊥底面ABC ，SA ＝3，那么直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为________． 三、解答题：
13.如图,正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4,点E 在C 1C 上且C 1E ＝3EC. (1)证明A 1C ⊥平面BED; (2)求二面角A 1-DE-B 的正切值。.
在正△ABC 中,E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点,满足AE ∶EB ＝CF ∶FA ＝CP ∶PB ＝1∶2〔如图(1)〕.将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置,使二面角A 1-EF-B 成直二面角,连结A 1B 、A 1P 〔如图(2)〕. (1)求证:A 1E ⊥平面BEP;
(2)求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小; (3)求二面角B-A 1P-F 的余弦值。 一、选择题
1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 7．B 8．C 9．C 10．B 11．C 12．D 13．C 14．C 15．D 16．D 17．B
18．C ；19．D ；20．A ；21．B ；22．A ；23．B ；
二、填空题
1．①③④⑤ 2．①③ 3．
21 4．1
3
R π
3R 5．
3
4
6．3 7．21[
,]42 8. 32- 9．
6 10．3
π
11．①，② 12.
39
13
解法二:(1)证明:如图,连结B 1C 交BE 于点F,连结AC 交BD 于点O.由题知B 1C
是A 1C 在面BCC 1B 1内的射影,在矩形BCC 1B 1中,B 1B ＝C 1C ＝4,BC ＝B 1C 1＝2,C 1E ＝3,EC ＝1. 因为
2
1
1==B B BC BC CE 且∠B 1BC ＝∠BCC 1＝90°, 所以△BB 1C ∽△BCE.
所以∠BB 1C ＝∠CBE.所以由互余可得∠BFC ＝90°.所以BE ⊥B 1C.所以BE ⊥A 1C;由四边形ABCD 为正方形,所以BD ⊥AC. 所以BD ⊥A 1C 且BD∩BE ＝B. 所以A 1C ⊥平面BDE.
(2)连结OE,由对称性知必交A 1C 于G 点,过G 点作GH ⊥DE 于点H,连结A 1H.由(1)的结论,及三垂线定理可得,∠GHA 1就是所求二面角的平面角,根据已知数据,计算3
6
51=
G A , 在Rt △DOE 中,15
30=GH , 所以55tan 11==
∠GH
G
A GHA . 故二面角A 1DE
B 的大小为55arctan . 解法一:不妨设正△AB
C 的边长为3. (1)证明:在图(1)中,取BE 的中点D,连结DF. ∵AE ∶EB ＝CF ∶FA ＝1∶2, ∴AF ＝A
D ＝2.而∠A ＝60°, ∴△ADF 是正三角形. 又A
E ＝DE ＝1,∴E
F ⊥AD.
在图(2)中,A 1E ⊥EF,BE ⊥EF,
∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角, ∴A 1E ⊥BE.
又BE∩EF ＝E,∴A 1E ⊥平面BEF, 即A 1E ⊥平面BEP.
(2)在图(2)中,∵A 1E 不垂直于A 1B, ∴A 1E 是平面A 1BP 的斜线. 又A 1E ⊥平面BEP,∴A 1E ⊥BP.
从而BP 垂直于A 1E 在平面A 1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理). 设A 1E 在平面A 1BP 内的射影为A 1Q,且A 1Q 交BP 于点Q,则 ∠EA 1Q 就是A 1E 与平面A 1BP 所成的角,且BP ⊥A 1Q. 在△EBP 中,
∵BE ＝BP ＝2,∠EBP ＝60°, ∴△EBP 是等边三角形.∴BE ＝EP. 又A 1E ⊥平面BEP,∴A 1B ＝A 1P. ∴Q 为BP 的中点,且3=EQ . 又A 1E ＝1,在Rt △A 1EQ 中,
3tan 11==
∠E
A EQ
Q EA , ∴∠EA 1Q ＝60°.
∴直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为60°.
(3)在图(3)中,过F 作FM ⊥A 1P 于点M,连结QM 、QF.
(3)
∵CF ＝CP ＝1,∠C ＝60°, ∴△FCP 是正三角形.∴PF ＝1. 又PQ ＝2
1BP ＝1, ∴PF ＝PQ.①
∵A 1E ⊥平面BEP,EQ ＝EF ＝3, ∴A 1F ＝A 1Q. ∴△A 1FP ≌△A 1QP. 从而∠A 1PF ＝∠A 1PQ.②
由①②及MP 为公共边知△FMP ≌△QMP, ∴∠QMP ＝∠FMP ＝90°,且MF ＝MQ. 从而∠FMQ 为二面角B-A 1P-F 的平面角. 在Rt △A 1QP 中,A 1Q ＝A 1F ＝2,PQ ＝1, ∴51=P A . ∵MQ ⊥A 1P, ∴5
5
211=
?=
P A PQ Q A MQ . ∴5
52=
MF . 在△FCQ 中,FC ＝1,QC ＝2,∠C ＝60°, 由余弦定理得3=QF . 在△FMQ 中,
8
72cos 222-=?-+=∠MQ MF QF MQ MF FMQ .
∴二面角B-A 1P-F 的大小为8
7
arccos -π.
点直线平面之间的位置关系知识点总结 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理（需加线线 两平面的法线 垂 面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义（交线面平行转面面平行判定定 面面平行性质定 两平面内分别垂直于交线的直线互相 两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两 面面垂直定
3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥；
《平面上两条直线的位置关系》 第1课时相交与平行 教学目标： 1.知识与能力： 了解同一平面上两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种， 理解平行线的概念. 2.过程与方法 经历探索平行公理及其直线平行关系的传递性的内容，理解并 掌握此内容.会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线. 3.情感态度与价值观 联系实际生活学习几何，感受几何知识的现实意义. 教学重点： 理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容 教学难点： 对平行公理及直线平行关系的传递性的理解. 教学过程： 一、快乐启航 1.经过一点可以画几条直线？经过两点呢？经过三点呢？ 2.线段AB＝CD，CD＝EF，那么AB与EF的关系怎样？ 3.同一平面内两条直线的位置关系有哪些? 二、我会自主学习 1.观察P72的图形 说出这些直线的不同的位置关系？相交、重合、不相交也不重合（平行） 平面内两条直线的位置关系可能相交，可能重合，也可能不相交也不重合.归纳 得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念. 关键：有没有公共点 2.平行线概念：在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线。 3.直线AB与CD平行，记作AB∥CD，读作AB平行于CD。
4.用三角板画平行线AB∥CD. 平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行 线的问题． 方法为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）， 三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）. 5.P72的注意内容. 6.说一说：生活中的平行线的实例. 三、我会合作交流探究 7.做一做 任意画一条直线a，并在直线a外任取一点A，通过点A画直线a的平行线，看 能画出几条？（学生画图，实际上只能画一条） 8.归纳：经过直线外一点有一条并且只有一条直线与已知直线平行 9.直线的平行关系具有传递性： 设a、b、c是三条直线，如果a∥b，b∥c,那么a∥c 因为如果直线a与c不平行，就会相交于一点p，那么过p点就有两条直线 与直线b平行，这是不可能的，所以a∥c 四、我会归纳总结 1.2.平行线：在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线 3.基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4.平行的传性：平行于同一条直线的两条直线平行，如果b∥a，c∥a，那 么b 五、快乐摘星台 1下列说法正确的是（）
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b
【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b
第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2
点、直线、平面之间的位置关系 1、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2、空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。 ③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是 （0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 3、求异面直线所成角步骤： A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B 、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角 4、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 5、空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点． 三种位置关系的符号表示：a ?α a ∩α＝A a ∥α 6、平面与平面之间的位置关系 平行——没有公共点；α∥β。相交——有一条公共直线。α∩β＝b
平面上直线的位置关系和度量关系知识要点 1. 直线、射线、线段的联系和区别 联系： 射线、线段是直线的一部分，把射线反向延长，而线段向两方延长，就得到一条直线。 区别： 直线没严密的定义，只能说明像一根拉紧无限长的线，可用两个大写字母或一个小写字母表示，无始无终，没有端点，向两方向延伸，并且两点确定一条直线。射线是直线上一点和它一旁的部分，可用两个大写字母表示，顶点字母写在前面，也可用小写字母表示，有一端点，可向一方向延伸，线段是直线上两点和它们之间的部分。可用两大写字母表示，或一个小写字母表示，有两个端点，不可延伸，并且两点之间，线段最短。 2. 角的定义： ①有公共端点的两条射线组成的图形。 ②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到 另一个位置组成的图形。 3. 线段的比较 角的比较： 方法一：度量法 线段的度量工具是刻度尺。 角的度量工具是量角器。 方法二：叠合法。 4. 线段与角的换算： 5. 线段的中点： 它是把一条线段分成两条相等的线段的点。 6. 角的平分线是把一个角分成两个相等的角，并且以这个角 的顶点为端点的一条射线。 7. 角的分类： 特殊角：周角平角直角0°角
关系角： 数量关系的角：互为余角互为补角位置关系的角： 对顶角 同位角 内错角 同旁内角 数、位关系角：邻补角 范围角：钝角、锐角 8. 角的性质： ①互余的两个角和为90° ②互补的两个角和为180° ③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等 9. 点与直线的位置关系 ①点在直线上 ②点在直线外 10. 平面内不重合的两直线的位置关系有平行、相交。 11. 平行线的几个结论： ①平行公理及推论： 公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 ②平行线的性质与判定： 两直线平行 12. 垂直的概念、结论 ①两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，这两条直线互相垂直，其中每一条直线叫另一条的垂线，交点叫垂足。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系(必修2) 一、知识结构 1． 2．空间中平行、垂直间的转化关系 二、学习目标 1．直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解可以作为推理依据的公理和定理。 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。 等角定理 。。。。 2．以空间的上述公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。 判定定理在选修2-1中在证明，性质定理要求证明。 3．运用获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 三、课时安排 全章约需10+2课时 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 ------------------- 3课时 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 --------------------3+1课时
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质--------------------3+1课时 小结----------------------------------1课时 四、教学建议 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时） 第一课时平面 教学内容平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。 学习目标 1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。 2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。 3．了解作为以后推理依据的三个公理。 教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。 要点分析 1．三种语言间的联系 图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。 文字语言——对图像的描述、解释与讨论。 符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。 在对空间图形的认识中，注意有序的建立三种数学语言间的联系，合理使用三种数学语言描述图形的性质，加深对图形性质的理解。 课本按照图形语言——文字语言——符号语言——三种语言综合描述的顺序安排学习内容。 注意：符号语言只是借用集合符号，读法仍用几何语言。 2．两个重要模型 四面体、长方体作为图形语言的载体作用——典型性、简明性、直观性、概括性、趣味性。 建议：要求学生能熟练画出四面体、长方体，利用这两个模型理解所学概念、定理，发展几何直观能力，提高空间想象力。 3．平面的基本性质 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 作用：用直线的直刻划平面的平，是判断直线在平面内的依据。 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 作用：确定平面的依据。 课本并没有给出常用的三个推论，只是在练习题中以判断题的形式涉及，建议学生将其作为重要结论使用，但不涉及推论字眼。 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：
β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα
直线和平面的位置关系（1） 田家炳实验中学 马晓红 一、考纲要求 1．了解空间直线和平面的位置关系； 2．掌握直线和平面平行的判定和性质. 二、知识梳理 1．直线和平面的位置关系 、 、 ． 2．直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行) 证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等. 三、基础训练 1．（1）若两直线a 、b 异面，且 a ∥ α,则b 与α的位置关系可能是 （2）若两直线a 、b 相交，且a ∥ α，则b 与α的位置关系可能是 （3）“直线a 垂直于平面α内的无数条直线”是“a 垂直于平面α”的 条件 2．对于直线m ，n 和平面α，下面命题中的真命题是 ①如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n ∥α ②如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交 ③如果m ?α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n ④如果m ∥α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n 3．在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ACD 和△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________． 4．已知直线m ，n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m ，n 距离相等的点 的集合可能是(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是 5．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________． ① ?????m ?αl ∥m ?l ∥α ② ?????l ∥m m ∥α ?l ∥α ③ ? ????l ⊥βα⊥β ?l ∥α 6．已知P-ABC 为正三棱锥，D 为BC 中点，则直线BC 与平面P AD 的位置关系是 四、典型例题 例1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； 例2：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PD 平面⊥,DC PD =，
高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3 1 3台体的体积h S S S S V ?++=)3 1 下下上上（ 4球体的体积 334R V π= 第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈ 且。 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把 a '与 b '所 成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角 范围090θ<≤?） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位 置 关 系 有 三 种 ： //l l A l ααα??? =?? ?? ?? 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点 （4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ??=? 两个平面平行（）没有公共点 两个平面相交（）有一条公共直线 2 22r rl S ππ+=
第1章 立体几何初步 §1.2.3 直线与平面的位置关系 重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化． 经典例题：直角?ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC. ⑴求证：点S 与斜边中点D 的 连线SD ⊥面ABC ； ⑵若直角边BA=BC ，求证：BD ⊥面SAC ． 当堂练习： 1．下面命题正确的是 （ ） A ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点 B ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C ．若一条直线与一个平面有公共点，直线与这相交 D ．直线在平面外，则直线与平面相交或平行 2．直线b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b||α的是（ ） A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交 C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交 3．下列命题正确的个数是（ ） ①若直线λ上有无数个点不在平面α内, 则α||λ; ②若直线λ与平面α平行, 则 λ与平面α内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线λ与平面α平行, 则λ与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A ．0个 B ． 1个 C ． 2个 D ．3个 4．下无命题中正确的是（ ） ①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行. A ． ① B ． ③ C ． ①③ D ． ①②③ 5．直线a,b 是异面直线，A 是不在a,b 上的点，则下列结论成立的是（ ） A ． 过A 有且只有一个平面平行于a ，b B ． 过A 至少有一个平面平行于a ，b C ． 过A 有无数个平面平行于a ，b D ． 过A 且平行于a ，b 的平面可能不存在 6． 直线a,b 是异面直线，则下列结论成立的是（ ） A ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一个平面与a ，b 平行 B ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 相交 C ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 都平行 D ． 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．下面条件中, 能判定直线α平面⊥λ的一个是（ ） A ． λ与平面α内的两条直线垂直 B ． λ与平面α内的无数条直线垂直 C ． λ与平面α内的某一条直线垂直 D ． λ与平面α内的任意一条直线垂直 8．空间四边形ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则AB 与CD 所成的角为（ ） A ． 300 B ． 450 C ． 600 D ． 900 9．如果直线λ与平面α不垂直, 那么在平面α内（ ） A ． 不存在与λ垂直的直线 B ． 存在一条与λ垂直的直线 C ． 存在无数条与λ垂直的直线 D ． 任意一条都与λ垂直 10．定点P 不在?ABC 所在平面内, 过P 作平面α, 使?ABC 的三个顶点到平面α的距离相等, 这样的平面共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 11．?ABC 所在平面外一点P, 分别连结PA 、PB 、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个 12．下列四个命题：①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；② 若一条直线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；③仅 当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂 直；④若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 13．如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三 D S G 2G 3G 1F E G
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∴,所以,与平面所成角得余弦值为. 例2、如图,已知ＡP⊥BＰ,PＡ⊥PC,∠ＡＢP＝∠ＡCP=60o,PB=PC＝BＣ,D就是ＢC中点,求AＤ与平面PBC所成角得余弦值. 解析:∵AP⊥BP,P A⊥PC,∴AＰ⊥PBC 连PD,则PD就就是AD在平面PＢC上得射影 ∴∠ＰＤＡ就就是ＡD与平面PBＣ所成角 又∵∠ABP=∠AＣP=60o,PＢ=ＰC＝ＢC,D就是ＢＣ中点, ∴ＰＤ=,PＡ=BC∴AＤ= ∴ ∴AD与平面PＢC所成角得余弦值为 巩固练习: 1选择题 (１)一条直线与平面所成角为θ,那么θ得取值范围就是( ) ?(A)(0o,9０o)(B)［0o,９0o] (Ｃ)[0o,1８0o］(D)[０o,１８0o) (2)两条平行直线在平面内得射影可能就是①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点.上述四个结论中, 可能成立得个数就是() ?(A)1个?(B)２个(C)3个(D)４个 (3)从平面外一点Ｐ引与平面相交得直线,使Ｐ点与交点得距离等于1,则满足条件得直线条数不可能就是( ) ?(A)０条或1条(Ｂ)０条或无数条? (C)1条或2条(D)0条或1条或无数条 答案:(1)B (2)Ｃ(3)D 2.填空题 (1)设斜线与平面α所成角为θ,斜线长为,则它在平面内得射影长就是. (2)一条与平面相交得线段,其长度为10ｃm,两端点到平面得距离分别就是2cm,3cm,这条线段与平面α所成得角就 是。 (3)若(2)中得线段与平面不相交,两端点到平面得距离分别就是２cm,3ｃm,则线段所在直线与平面α所成得角就 是. ?答案:(１) (２) (３) 3.若Ｐ为⊿AＢC所在平面外一点,且PＡ＝ＰＢ=ＰC,求证点Ｐ在⊿ABC所在平面内得射影就是⊿ＡBC得外心. 分析:斜线段长相等,则射影长也相等从而由P A=PＢ=ＰC,点P得射影到⊿ABC得三个顶点得距离相等,所以射影为⊿ABC得外心、 例3、如图,平面,,若,求二面角得正弦值。 解析:过作于,过作交于,连结, 则垂直于平面,为二面角得平面角, ∴,又平面, ∴,,∴平面,∴,, 又∵,,∴平面,∴,设,则, 在中,,∴, 同理,中,, ∴, 所以,二面角得正弦值为。
）））））） 直线与平面的位置关系第二章空间点、直线、平面之间的位置关系2.12.1.1 平面含义：平面是无限延展的1 2 平面的画法及表示0且横边画成邻平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，（1）倍长（如图）边的2等，也可以用表示平面的βα、平面2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面（等。、平面ABCD平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 三个公理：3 ：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内）公理1（1 符号表示为C D L A∈A α L => L αB∈α·B A L A∈α B∈α 1作用：判断直线是否在平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）公理B A ·α·C ， => 有且只有一个平面α符号表示为：A、B、C三点不共线·∈α。使A∈α、B∈α、C 公理2作用：确定一个平面的依据。：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共）公理3（3 直线。βL P∈∩β =>α∩β=L，且α符号表示为：P∈ 3作用：判定两个平面是否相交的依据公理αP L·空间中直线与直线之间的位置关系2.1.2 空间的两条直线有如下三种关系：1 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理4：平行于同一 条直线的两条直线互相平行。、是三条直线b、c符号表示为：设ab ∥a c=>a∥ b ∥c 平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。4强调：公理实质上是说 4作用：判断空间两条直线平行的依据。公理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3 注意点：4 O、b的相互位置来确定，与的选择无关，为简便，点Oa a'①与b'所成的角的大小只由一般取在两直线中的一条上；?∈θ )(0，；②两条异面直线所成的角2当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作；a⊥b ③两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；④计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直⑤ ）））． ）））））） ''''bbaa我们把b,∥∥a, 所成的锐角（或直角）叫作直线a，b，经过空间任一点O与线?90 b 所成的角。（注意：异面直线所成的角不大于）。做异面直线a与 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系2.1.3 — 1、直线与平面有三种位置关系：有无数个公共点1）直线在平面内——（有且只有一个公共点——2）直线与平面相交（没有公共点）直线在平面平行——（3指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈ 且。 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角范围090θ<≤?） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα??? =??? ??? 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点 （4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ??=? 两个平面平行（）没有公共点 两个平面相交（）有一条公共直线
空间中直线与平面之间 的位置关系 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
空间中直线与平面之间的位置关系 知识点一 直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为 (2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面 外，我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周 应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行 四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果 一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有 且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线 平行于这个平面。 变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l平行于平面α内无数条直线，则lαααα bα?答案：B ? bαα ? 变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系. 图3 解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交. 图5 用符号语言表示为：若a∩b=A,b?α,则a?α或a∩α=A. 变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交. 图6 用符号语言表示为：若a与b异面,a?α,则b∥α或b∩α=A. 例3、若直线a不平行于平面α,且a?α,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线 分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a?α,则a与平面α相交. 图7 例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB
高中数学《直线与平面的位置关系》练习题 【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高中数学《直线与平面的位置关系》练习题，希望能给大家带来帮助! 当堂练习： 1.下面命题正确的是 () A.若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点 B.若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C.若一条直线与一个平面有公共点，直线与这相交 D.直线在平面外，则直线与平面相交或平行 2.直线b是平面 外的一条直线，下列条件中可得出b|| 的是( ) A.b与 内的一条直线不相交 B.b与 内的两条直线不相交 C.b与 内的无数条直线不相交 D.b与 内的所有直线不相交 3.下列命题正确的个数是() ①若直线
上有无数个点不在平面 内, 则 ; ②若直线 与平面 平行, 则 与平面 内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线 与平面 平行, 则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点. A.0个 B. 1个 C. 2个 D.3个 4.下无命题中正确的是() ①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行. A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②③ 5.直线a,b是异面直线，A是不在a,b上的点，则下列结论成立的是( )
A. 过A有且只有一个平面平行于a，b B. 过A至少有一个平面平行于a，b C. 过A有无数个平面平行于a，b D. 过A且平行于a，b 的平面可能不存在 6. 直线a,b是异面直线，则下列结论成立的是( ) A. 过不在a，b上的任意一点，可作一个平面与a，b平行 B. 过不在a，b上的任意一点，可作一条直线与a，b相交 C. 过不在a，b上的任意一点，可作一条直线与a，b都平行 D. 过a可以并且只可以作一个平面与b平行 7.下面条件中, 能判定直线 的一个是() A. 与平面 内的两条直线垂直 B. 与平面 内的无数条直线垂直 C. 与平面 内的某一条直线垂直 D.