对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较
摘要：根据对拉格朗日插值法和牛顿插值法的理解，本文主要介绍了拉格朗日插值法和牛顿插值法的相关内容以及它们的区别。
关键词：拉格朗日插值法；牛顿插值法
The leaning and comparison of the Lagrange interpolation and Newton
interpolation
Abstract: Based on the understanding of the Lagrange interpolation and Newton interpolation ，this paper
mainly describes some related knowledge as well as the difference between these two methods. Keywords: Lagrange interpolation ; Newton interpolation
前言
在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。
如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使
),,1,0()(n i y x P i
i ==
而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。
通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。
插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。
在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式
n
n x
a x a a x P +++= 10)(
使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n
a a a ,,,10 为实数。
拉格朗日插值法即是寻求函数)(x L n （拉格朗日插值多项式）近似的代替函数)(x f 。相似的，牛顿插值法则是通过)(x N n （牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。
1.拉格朗日插值法
在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点
),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一
n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，
而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即
??
?≠==k
i k
i x l i k 01)(
上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设
]
1[1110)
())(())(()(n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+-
其中，k A 为待定系数。由条件1)(=k k x l 立即可得
)
())(()(1
110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----=
+-
故 )
())(()()())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=
+-+-
由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。我们称它们为在1+n 个节点n x x x ,,,10 上的n 次基本插值多项式或n 次插值基函数。
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n 次插值多项式
)()()(1100x l y x l y x l y n n +++
根据条件??
?≠==k
i k
i x l i k 01)(，容易验证上面多项式在节点i x 处的值为),,1,0(n i y i =，
因此，它就是待求的n 次插值多项式)(x P n 。
形如)()()(1100x l y x l y x l y n n +++ 的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为
)(x L n ，即
)
())(()()())(()()
()()()(1101102211n k k k k k k n k k n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x l y x l y x l y x L --------=
+++=+-+-
作为常用的特例，令1=n ，由上式即得两点插值公式
)()(00
10101x x x x y y y x L ---+
=，这是一个线性函数，故又名线性插值。
若令1=n ，则又可得到常用的三点插值公式
)
)(())(()
)(())(()
)(())(()(1202102
2101201
2010210
2x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----=
这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物插值。
2.牛顿插值法
由线性代数知，任何一个不高于n 次多项式，都可以表示成函数
)
())((,),)((,,1110100-------n x x x x x x x x x x x x 的线性组合。既可以吧满足插值条件
),,1,0()(n i y x P i i ==的n 次插值多项式写成如下形式
)())(())(()(110102010----++--+-+n n x x x x x x a x x x x a x x a a
其中，k a 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为)(x N n ，即
]
1[110102010)
())(())(()()(----++--+-+=n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x N
因此，牛顿插值多项式)(x N n 是插值多项式)(x P n 的另一种表示形式。
设函数)(x f 在等距节点),,1,0(0n k kh x x k =+=处的函数值k k y x f =)(为已知，其中
h
是正常数，称步长。我们称两个相邻点k x 和1+k x 处函数之差k k y y -+1为函数)(x f 在点k x 处
以h 为步长的一阶向前差分，记作k y ?，即k k k y y y -=?+1。于是，函数)(x f 在各节点处的一阶差分依次为11121010,,---=?-=?-=?n n n y y y y y y y y y 又称一阶差分的差分
k k k k y y y y ?-?=??=?+12
)(为二阶差分。一般的，定义函数)(x f 在点k x 处的m 阶差分为
k
m k m k m
y y y 1
11
-+-?
-?
=?。
在等距节点),,1,0(0n k kh x x k =+=情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。事实上，由插值条件00)(y x N n =可得00y a =；再由插值条件11)(y x N n =可得
h
y x x y y a 00
1011?=--=
；一般的，由插值条件k k n y x N =)(可得),,2,1(!0n k h
k y a k
k
k =?=
。于是，
满足插值条件i i n y x N =)(的插值多项式为
)())((!))((!2)()(1100102
02
000----??+
+--??+
-?+
=n n
n
n x x x x x x h
n y x x x x h
y x x h
y y x N
3.两者的比较
拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。拉格朗日插值法的线性插值与抛物插值的计算过程没有继承性，即增加一个节点时整个计算工作必须重新开始。 而牛顿法插值法则更为简便，与拉格朗日插值多项式相比较，它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。因此，对于一些结构相当复杂的函数)(x f ，牛顿插值法比拉格朗日插值法要占优势。
数值分析实验报告三 插值法（2学时） 一实验目的 1．掌握不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式。二实验内容 1．已知函数表： 用牛顿插值公式求) (y的近似值。 102 2. 已知函数表： 用拉格朗日插值公式计算01 x以及所对应的近似值。 =y .5 4.1= 三实验步骤（算法）与结果 1．不等距节点下的牛顿插值公式 Ⅰ.按差商表计算n阶差商
12111[,,,][,,,] [,,,]i i i n i i i n i i i n i n i f x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-= - 其中 Ⅱ.按以下公式，带入x 值 00010120101101()() ()[,] ()()[,,]()()()[,,] n n f x f x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x -=+-+--++--- Ⅲ.得出结果()f x 程序代码： #include"stdio.h" #include"math.h" int main() { int a,i,j; printf("输入x 系数的个数："); scanf("%d",&a); float d,e=0,c; float x[a]; float y[a-1][a]; printf("输入x 的系数："); for(i=0;i 拉格朗日插值公式的证明及其应用 摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估 曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()n k k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的 准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值 １.１. 线性插值的定义 假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =, ()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ． ()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线， 如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即 ()()k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++111 (点斜式)， 图１ ()11111++++--+--= k k k k k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)． y=L 1x () y=f x () y k+1 y k x k+1 x k o y x 实验 一 .拉格朗日插值法C 语言的实现 1.实验目的： 进一步熟悉拉格朗日插值法。 掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。 2.实验要求： 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标 。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值 。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X 坐标； （3）分别输入已知点的Y 坐标； （4）通过调用函数lagrange 函数，来求某点所对应的函数值。 拉格朗日插值多项式如下： 0L ()()0,1,n n j k k j j k x y l x y j n ====∑…… 其中00()()0,1,,()k k x x l x k n x x -= =-k-1k+1n k k-1k k+1k n ……(x-x )(x-x )?…(x-x )…………(x -x )(x -x )?…(x -x ) 程序流程图： ↓ 程序如下： #include 课题一：拉格朗日插值法 1.实验目的 1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X坐标； （3）分别输入已知点的Y坐标； 程序如下： #include 插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。 牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。 牛顿插值法C程序 程序框图#include 浅析拉格朗日插值法 目录： 一、 引言 二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验 四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献 一、引言 插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。 二、插值及多项式插值 1、插值问题的描述 设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠= 的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。 x 0x 0 y y 1 y 1 n y -n y 1 x 1 n x -n x 2、插值的几何意义 插值的几何意义如图1所示： 图1 3、多项式插值 3.1 基本概念 假设()y f x =是定义在区间,a b ????上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤ 处的函数值01,,n y y y 。找一个简单的函数，例如函数 ()P x ，使之满足条件 (),0,1,2,, i P x y i n == （3.1） 通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。 3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式： 1 011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++ 那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数 011,,,m m a a a a - 。由于插值条件包含n+1独立式，只要m=n 就可证明插值函数多项式是唯一存在。 实际上，由n+1个插值条件可得 多项式插值法和拉格朗日插值 教案一多项式插值法和拉格朗日插值 基本内容提要 1 多项式插值法的基本概念 2 插值多项式的存在性与唯一性分析 3 拉格朗日插值多 项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法教学目的和要求 1 熟练掌握多项式插值法的基本概念 2 理解插值多项式的存在性与唯一性 3 掌握拉 格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法 5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法 6 掌握运用拉格朗 日插值法处理问题的基本过程教学重点 1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造 2 拉格朗日插值多项式的截断 误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想教学难点 1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析 2 插值误差的分析与估计 3 Aitken逐次线性插值法的计算过程课程类型新知识理论课教学方法 结合提问，以讲授法为主教学过程 问题引入 实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数 的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的 有效工具之一。 §2.1 多项式插值 2.1.1 基本概念 假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0 P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。 (2.1) 把P(x)称为f(x)的插值多项式（函通常把上述x0 数）， f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把 求P(x)的过程称为插值法。 . 牛顿插值法一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 x?x)f(二、实验内容：给定函数，已知： 4832401.2)?.?1449138f(2.f.f(20)?1.414214(2.1) 549193.)?1f(2.4516575(f2.3)?1. 三、实验要求：以此作为函数2.15插值多项式在处的值，用牛顿插值法求4 次Newton（ 1）2.15?N(2.15)。在MATLAB中用内部函数ezplot绘制出的近似值4次Newton插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB中用内部函数ezplot可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor编辑器，输入Newton插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); 0 / 3 . %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： 实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。 3算法描述 1.分段线性插值流程图 2.分段二次插值流程图 3.拉格朗日插值流程图 4程序代码及注释 1.分段线性插值 牛顿插值法的分析与应用 学生： 班级： 学号： ： 指导教师： 成绩： 一．定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 三.算法 步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ； 步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 （2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。 步骤4：若i #include 对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较 摘要：根据对拉格朗日插值法和牛顿插值法的理解，本文主要介绍了拉格朗日插值法和牛顿插值法的相关内容以及它们的区别。 关键词：拉格朗日插值法；牛顿插值法 The leaning and comparison of the Lagrange interpolation and Newton interpolation Abstract: Based on the understanding of the Lagrange interpolation and Newton interpolation ，this paper mainly describes some related knowledge as well as the difference between these two methods. Keywords: Lagrange interpolation ; Newton interpolation 前言 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。 通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)( 使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n a a a ,,,10 为实数。 (){} 2 1 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)() ()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x = -≤≤=+=-+====-+ = 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点 的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和； 、计算，； 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两 种插值多项式的算法如下： 一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下： Newton 插值多项式的表达式如下： )())(()()(110010--???--+???+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -???-???= ???=- 根据i c 以上公式，计算的步骤如下： ?? ??? ?? ?????+??????? ???????????----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下： 目录： 一、 引言 二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验 四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献 一、引言 插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。 二、插值及多项式插值 1、插值问题的描述 设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数 值。 2、插值的几何意义 x x 0 y y 1 y 1 n y -n y 1 x 1 n x -n x 插值的几何意义如图1所示： 图1 3、多项式插值 基本概念 假设()y f x =是定义在区间,a b ????上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<< <≤处的函数值01,,n y y y 。找一个简单的函数，例如函数 ()P x ，使之满足条件 (),0,1,2, ,,i P x y i n == （） 通常把上述01n x x x << < 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项 式，条件（）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式： 1011()m m m m m P x a x a x a x a --=++ + 那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数 011,, ,m m a a a a -。由于插值条件包含n+1独立式，只要m=n 就可证明插值函数多 项式是唯一存在。 实际上，由n+1个插值条件可得 摘要 插值法是函数逼近的一种重要方法,是数值计算的基本课题.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.Lagrange 插值是n次多项式插值,其成功地用构造插值基函数的方法,解决了求n次多项式插值函数问题.Lagrange插值的基本思想是将待求的n次多项式插值函数改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数,从而求出插值多项式. 拉格朗日插值法是一种很实用的插值方法，可以应用在渔业资源评估中、化学中、工程中、工业中、机械设计与制造领域,以及计算机方面.本课题意在将拉格朗日插值法应用到实际中,主要通过程序的编写(有拉格朗日插值法的Matlab和C语言实现)将算法在计算机中实现，求得相应的解.进一步体现拉格朗日插值法在解决问题时的实际意义. 关键词插值基函数；插值多项式；Lagrange插值；算法 Abstract Interpolation function approximation is a kind of important method, numerical calculation is the basic subject.Mathematical speaking,Lagrange interpolation method can give a right through the two dimensional plane several known point polynomial https://www.doczj.com/doc/4e4223892.html,grange interpolation is n times polynomial interpolation,which succeeded in structure interpolation basis function method,solve the on times polynomial interpolation function problem. Lagrange interpolation basic idea is to will stay for n times polynomial interpolation function rewritten into another means,reuse interpolation condition to determine the required function,so as to find out the interpolation polynomial. Lagrange interpolation method is a very practical interpolation method, can be used in fishery resources evaluation,chemistry,engineering, industry, mechanical design and manufacturing,and computers to.This topic will be Lagrange interpolation method was used to practice,mainly through the process of writing(with Lagrange interpolation method of Matlab and C language implementation)algorithm is realized in computer,get the corresponding solution.Further reflected Lagrange interpolation method in solving problems of practical significance. Keywords interpolation basis function;Interpolation polynomial;Lagrange interpolation;algorithm 拉格朗日插值公式的证明及其应用 拉格朗日插值公式的证明及其应用 摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词：拉格朗日插值公式唯一性证明解题应用资产评估 曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数 3 据点()n k k k f x 0 ,=是准确的，这些数据点所表现的准确函 数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值 １.１. 线性插值的定义 假定已知区间[]1 ,+k k x x 的端 点处的函数值() k k x f y =, () 11++=k k x f y , 要求线性插值多项式()x L 1 使它满 足()k k y x L =1 , ()1 11++=k k y x L ． () x L y 1=的几何意义:通过两点() k k y x ,和() 11 ,++k k y x 的直线，如图１所示，()x L 1 的表达式由几何 意义直接给出，即 ()()k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++111 (点斜式)， 图１ ()1 1111++++--+--= k k k k k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)． 由两点式方程看出，()x L 1 由两个线性函数 ()1 1 ++--= k k k k x x x x x l ,()k k k k x x x x x l --= ++11的线性组合得到,其系数分别 y=L 1x () y=f x () y k+1 k x k+1 x k o y 数值计算方法上机报告拉格朗日插值多项式 学院：计算机与通信学院 班级：计算机科学与技术05级3班姓名：柴小辉 学号：05240326 尽管满足插值条件P n(x i)=y i(i=0,1,2,…,n) (1) 的n次插值多项式是唯一的，然而它的表达式却可以有多种形式。如果取满足条件 1 i＝k l k(x i)= (i=0,1,2,…,n) (2) 0 i≠k 的一组n次的代数多项式l0(x)、l1(x)、…、l n(x)作为上述线性空间的基，容易看出 y0l0(x)+ y1l1(x)+…+y n l n(x)=∑y k l k(x) (3) 必是一个不高于n次的代数多项式，而且它在节点x0、x1、…、x n 上的值依次是y0、y1、…、y n也就是说，由n+1个n次代数多项式y0l0(x)、y1l1(x)、…、y n l n(x)线性生成的多项式（3），就满足插值条件（1）的n次插值多项式。 满足条件（2）的n次代数多项式l k(x)（k=0,1,2…,n），称为在n+1个节点x i （i=0,1,2,…,n）上的n次基本插值多项式；形如（3）的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记作L n(x),即 (4) 其中基函数 例给定函数表如下： 试求e0.285的近似值。 附： #define M 5 struct data {double x; double y; }; main() {int i,j,k; double x,sum=0,p; struct data z[M]; printf("Your data:\n"); for(i=0;i 题目一:多项式插值 某气象观测站在8:00(AM)开始每隔10分钟对天气作如下观测,用三次多项式插值函数(Newton)逼近如下曲线,插值节点数据如上表,并求出9点30分该地区的温度(x=10)。 二、数学原理 假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(x 0,y 0),……(x n ,y n ),插值多项式有如下形式: ）（） ）（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -??-+??+-++=αααα (1) 其中系数i α(i=0,1,2……n)为特定系数,可由插值样条i i n y x P =） （(i=0,1,2……n)确定。 根据均差的定义,把x 瞧成[a,b]上的一点,可得 f(x)= f(0x )+f[10x x ，](0x -x ) f[x, 0x ]= f[10x x ，]+f[x,10x x ，] (1x -x ) …… f[x, 0x ,…x 1-n ]= f[x, 0x ,…x n ]+ f[x, 0x ,…x n ](x-x n ) 综合以上式子,把后一式代入前一式,可得到: f(x)= f[0x ]+f[10x x ，](0x -x )+ f[210x x x ，，](0x -x )(1x -x )+ …+ f[x, 0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n )+ f[x, 0x ,…x n ,x ]） （x 1n +ω= N n (x)+） （x n R 其中 N n (x)= f[0x ]+f[10x x ，](0x -x )+ f[210x x x ，，](0x -x )(1x -x )+ …+ f[x, 0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n ) (2) 拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较 [摘 要]在生产和科研中出现的函数是多样的。对于一些函数很难找出其解析表达式。即使在某些情况下，可以写出函数的解析表达式，但由于解析表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者的比较。 [关键词] 拉格朗日插值 牛顿插值 插值多项式 比较 一、 背景 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。 通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)(拉格朗日插值公式的证明及其应用
拉格朗日插值法C语言的实现
课题一： 拉格朗日插值法
牛顿插值法原理及应用
拉格朗日插值法理论及误差分析
多项式插值法和拉格朗日插值
牛顿插值法试验报告
计算方法实验报告 插值
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