高考数学一轮复习 91课时作业
一、选择题
1．已知定点A 、B ，且|AB |＝4，动点P 满足||PA |－|PB ||＝3，则|PA |的最小值是( ) A.1
2 B.32 C.7
2
D ．5
答案 A
解析 P 为以A 、B 为左、右焦点的双曲线上的点，当P 为左顶点时|PA |最小，此时|PA |＝c －a ＝2－32＝1
2
.
2．(09·宁夏)双曲线x 24－y 2
12＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A ．2 3
B ．2 C. 3
D ．1
答案 A
解析 双曲线x 24－y 2
12
＝1的一条渐近线为y ＝3x ，
c ＝4＋12＝4，其一焦点坐标为(4,0)．
由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为
431＋
3
2
＝23，答案为A.
3．(2010·浙江卷，文)设O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦点，
若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0
D.2x ±y ＝0
答案 D
解析 在ΔF 1PF 2中，根据余弦定理得|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|PF 1||PF 2|＝4c 2
，不妨设P 在双曲线的右支上，F 1、F 2 为双曲线的左、右焦点，根据定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，平方得|PF 2|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|＝4a 2
，两式相减得|PF 1|·|PF 2|＝4b 2
，代入上式得|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝4a 2＋8b 2，由于2PO →＝PF 1→＋PF 2→，所以4|PO →|2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos∠F 1PF 2，故28a 2
＝4a 2
＋8b 2
＋4b 2
，即2a 2
＝b 2
，即b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程是y ＝±b
a
x ，即y ＝±2x ，即2x ±y ＝0.
4．(2011·唐山一中)双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左准线为l ，左焦点和右焦点分
别为F 1和F 2；抛物线C 2的准线为l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，则|F 1F 2||MF 1|－|MF 1|
|MF 2|等于
( )
A ．－1
B ．1
C ．－12
D.12
答案 A 解析
|F 1F 2||MF 1|－|MF 1||MF 2|＝2c c a
|MF 2|
－|MF 1|
|MF 2|
＝
2a －|MF 1||MF 2|＝－|MF 2|
|MF 2|
＝－1.
5．(2011·青岛模拟)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2
为边作正三角形MF 1F 2，若边|MF 2|的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
A ．4＋2 3 B.3－1 C.
3＋1
2
D.3＋1
答案 D
解析 设N 为MF 2的中点，连结F 1N ，则|NF 2|＝c ， |F 1N |＝3c ，(3－1)c ＝2a ∴e ＝3＋1
6．等轴双曲线x 2
－y 2
＝1上一点P 与两焦点F 1、F 2连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( ) A.1
2 B ．2 C ．1
D ．4
答案 C
解析 设P (x 0，y 0)，则x 02
－y 02
＝1①
PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)， PF 1→
＝(2－x 0，－y 0)
∵PF 1→·PF 2→＝0, ∴x 02－2＋y 02
＝0② 由①②解得|y 0|＝
22
∴S △PF 1F 2＝1
2
·|F 1F 2|·|y 0|＝1
7．(09·浙江)过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与
双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12
BC →
，则双曲线的离心率是( )
A. 2
B. 3
C. 5
D.10
答案 C
解析 双曲线的两条渐近线为y ＝±b a
x ，又过顶点A 的直线方程为y ＝－x ＋a ，分别联立方程，求得B 、C 两点的横坐标分别为：x B ＝
a 2
a ＋b
，x C ＝
a 2
a －
b (a ≠b )，由AB →＝12BC →
得，x B －a ＝12
(x C
－x B )，即a 2
a ＋
b －a ＝12(a 2a －b －a 2
a ＋
b )?b ＝2a ，∴
c ＝a 2＋b 2
＝5a ，∴双曲线的离心率为e ＝
c a ＝5，故选C.
二、填空题
8．(2011·西城区)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条准线方程为x ＝32
，则a 等于________，
该双曲线的离心率为________．
答案
3 23
3
解析 由双曲线方程可得其准线方程为x ＝±a 2a 2＋1，令a 2a 2＋1＝3
2，解之得a ＝ 3.
其离心率e ＝a 2＋1a ＝23
＝23
3.
9．如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，一条渐近线方程为y ＝2x ，那么它的两条准线间的距离是________．
答案 2
解析 ∵c ＝3，b a
＝ 2 ∴a ＝3，b ＝ 6 ∴两准线间距离是2a 2
c
＝
2×
32
3
＝2
10．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2
9＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －y ＝0，设
F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝__________.
答案 5
11．(2010·福建卷，文)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±1
2
x ，则b 等于
________．
答案 1
解析 x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±12bx ，∵y ＝±12x ，∴12b ＝1
2
，∴b ＝1.
12．(2010·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2
9
＝1的焦点相
同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
答案 (±4,0)
3x ±y ＝0.
解析 椭圆的焦点坐标是(±4,0)，这也是双曲线的焦点坐标．对于此双曲线，根据c
a
＝2且c ＝4，得a ＝2，故b ＝16－4＝23，所以双曲线的渐近线方程是y ＝±b a
x ＝±3x ，即3
x ±y ＝0.
三、解答题
13．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1、F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π
3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该
双曲线的方程．
解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1
∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得
|F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1|·|PF 2|·cos π
3
＝(|PF 1|－|PF 2|)2
＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2
＝4a 2
＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23，
∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π
3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2
＝4a 2
＋8，即b 2
＝2.
又∵e ＝c a ＝2，∴a 2
＝23
.
∴所求双曲线方程为3x 2
2－y
2
2
＝1.
14．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作直线PF 垂直于该双曲线的
一条渐近线l 1于P (
33，63
)． (1)求该双曲线方程；
(2)过点F 作直线l 2交该双曲线于M ，N 两点，如果|MN |＝4，求直线l 2的方程． 解析 (1)设F (c,0)，l 1：y ＝b
a x ，PF ：y ＝－a b
(x －c )．
解方程组?????
y ＝b a
x y ＝－a
b
x －c
，得P (a 2c ，ab
c
)，
又已知P (
33，6
3
)，故解得a ＝1，b ＝2， 所以双曲线方程为x 2
－y 2
2
＝1.
(2)若直线l 2垂直于x 轴，交双曲线于M ，N . 由(1)得右焦点为F (3，0)， 将x ＝3代入x 2
－y 2
2＝1，得y ＝±2，
所以|MN |＝4，
若直线l 2不垂直于x 轴，设MF ：y ＝k (x －3)， 代入x 2
－y 2
2＝1，得2x 2－k 2(x －3)2
＝2，
整理，得(2－k 2
)·x 2
＋23k 2
x －3k 2
－2＝0， 所以x 1＋x 2＝23k
2k 2－2
，
如果M ，N 两点均在双曲线的右支上，则k 2
>2； 如果M ，N 两点在双曲线的两支上，则k 2
<2.
又若M ，N 两点均在双曲线的右支上，由于通径最短且为4，故M ，N 两点只可能分别在双曲线的两支上，
此时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
|MN |＝||NF |－|MF ||＝3[(13
－x 2)－(x 1－
13
)]，
所以4＝2－3(x 1＋x 2)，
即3·23k 2
k 2－2＝－2，k ＝±22，
所以所求直线l 2的方程为
x ＝3或y ＝±
2
2
(x －3)． 15．(09·北京)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝3
3
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2
＋y 2
＝5上，求m 的值．
解析 (1)由题意得???
?
?
a 2c ＝3
3
，c a ＝
3，
解得??
?
a ＝1，c ＝ 3.
所以b 2
＝c 2
－a 2
＝2.∴C 的方程为x 2
－y 2
2
＝1.
(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．
由?
???
?
x －y ＋m ＝0，x 2－y 2
2＝1得x 2
－2mx －m 2
－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝
x 1＋x 2
2
＝m ，y 0＝x 0
＋m ＝2m .
因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2
＝5，故m ＝±1.