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高等数学练习题全部答案

《高等数学》第一章综合练习题（一）参考答案

一、填空题 1．函数()ln =

--1

y x x 的定义域为{1,2,3,4}x x R x ∈≠且。

提示：即解不等式组40ln 2020

x x x ?-≠?

-≠??

-≠?，可得1,2,3,4x ≠

2．设函数)(x f 的定义域为]11[，-，则)13(2

++x x f 的定义域为[3,2][1,0]---U 。提示：即解不等式：2

1311x x -≤++≤。

3．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(sin )f x 的定义域为[2,2]k k πππ+ 。提示：即解不等式0sin 1x ≤≤。

4．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为3[2,2]2

k k π

ππ++

。提示：即解不等式1cos 0x -≤≤

5．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为1

[0,tan1]2

。提示：即解不等式0arctan 21x ≤≤，可得02tan1x ≤≤ 6

．函数y =

的定义域为(1,1]- 。

提示：即解不等式组11020x x -≤≤??

≠??+>?

，可得11x -<≤

7．若极限223lim

2x x x a

b x

→-+=-，则=a 2 ，b =1-。提示：要使此极限存在，则2

lim(3)0x x x a →-+=，即20a -=，所以2a =；

又222232(2)(1)

lim

lim lim(1)122x x x x x x x x x x

→→→-+--==-=---，所以1b =-。 8．若0x →

cos x 与n

mx 是等价无穷小，则=

m 1

，n = 2 。

提示：由于0

cos n x x x mx →→=

20x →=

22200,2

sin 11lim ,2

4,2

x n x x n x m

m n -→??

所以2n =，1

m =

。 9．若0x →时函数tan sin x x -与n

mx 是等价无穷小，则=

m 1

，n = 3 。提示：000sin sin tan sin sin (1cos )cos lim lim lim cos n n n x x x x

x x x x x mx mx mx x

→→→---== =33301

)cos 1(cos 1sin lim -→?+?n x mx x x x

x 30

0,31

1lim ,322,3

n x n x n m m n -→

==??∞>??，由提示知，0tan sin lim

1n x x x mx →-=，所以1

,32

m n ==。 10．若3

2(1)lim[]0(1)x x ax b x →∞+--=-，则a = 1 ，b = 5 。

提示：因为3

(1)lim[

]0(1)x x ax b x →∞+--=-，即3

(1)lim 1(1)x x a x x →∞+==-

则3

(1)lim[

]5(1)x x b x x →∞+=-=- 11．若221lim 21

x x ax b

x →++=-，则a = 2 ，b =3-。提示：要使此极限存在，则2

lim()0x x ax b →++=，即10a b ++=，所以1a b =--；

又22111(1)()(1)1lim lim lim 21(1)(1)12

x x x x b x b x b x x b b

x x x x →→→-++----====--++，所以3b =-，2a =。

12. 极限0

2sin 3lim[sin

]x x x x x

→+= 3 。提示：第一个极限用的是有界函数与无穷小的乘积还是无穷小;第二个极限用的是第一个重要极限。

13. 极限3sin 2lim[sin

]x x x x x

→∞+= 3 。

提示：3sin

3sin 21lim[sin ]lim3lim sin 23033x x x x x x x x x

x x

→∞→∞→∞+=?

+=+= 注意与第六题的不同之处。

14．若1x →时，2(1)1m

x x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是(2,)+∞ 。

提示：222111

,2(1)(1)111lim lim lim(1),211220,2

m m x x x m x x x x m x x m --→→→∞??

由题意2(1)1m x x --是比1x -高阶的无穷小知，21(1)1lim 01

m x x x x →--=-，所以2m >。 15．若12lim(

)0k k k

n n

n n n →∞

+++=L ，则k 的取值范围是(2,)+∞。提示：22,21

121120lim()lim lim ,2220,2

k k k k

k n n n k n n n k n n n n n k →∞→∞→∞∞??L 16．函数3arccos

2x y =的反函数是2cos [,]3

y x ππ=∈- 。

17. 函数221x x y =+的反函数是2

log (0,1)1x

y x x

=∈- 。

18．如果lim(

)4x

x x a x a

→∞

+=-，则=a ln 2 。提示：22224lim(

)lim 1x a

a a a

x a x x x a a e x a x a -?+→∞

→∞+?

?==+= ?--??

所以：ln 4

ln 22

a ==。 19．如果201cos ()3lim ()x x f x f x x

→-=

+，则0lim ()x f x →=1

4- 。

提示：设0

lim ()x f x A →=，则220

001cos 1cos 1lim ()lim 3lim 332x x x x x A f x A A A x x →→→--??

==+=+=+

???

所以1

A =-

。

20．设2

(1)32f x x x +=-+，则f =6x -。

提示：提示：令1t x =+可得2

()56f t t t =-+

《高等数学》第一章综合练习题（二）参考答案

一、单项选择题

1．下列结论不正确的是（ C ）。

A ．基本初等函数在其定义域内是连续的

B ．基本初等函数在其定义区间内是连续的

C ．初等函数在其定义域内是连续的

D ．初等函数在其定义区间内是连续的 2. 下列说法正确的是（ D ）

A ．无穷小的和仍为无穷小

B ．无穷大的和仍为无穷大

C ．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大 D. 收敛数列必有界 3．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（

D ）无穷小

A ．与β同阶不等价的

B ．与β等价的

C ．比β低阶的

D ．比β高阶的 4．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（ C ）

A ．1lim ()x f x →+

必存在 B ．1

lim ()x f x →必存在 C ．1lim ()x f x →-

必存在 D. 1

lim ()x f x →-必存在

5. 下列说法不正确的是（ B ）。

A ．两个无穷小的积仍为无穷小

B ．两个无穷小的商仍为无穷小

C ．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 D. 在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小 6．偶函数的定义域一定是（ B ）

A.包含原点的区间

B.关于原点对称

C. (,)-∞+∞

D.以上三种说法都不对 7．若()f x 是奇函数，()?x 是偶函数，且[]()?f

x 有意义，则[]()?f x 是（ A ）

。 .A 偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.奇函数或偶函数

8．下列函数中,( B )是奇函数.

A ．2

ln(1)x + B ．)x C ．sin x x D ．x x e e -+

9．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加,()x ?是单调减少,则[()]f x ?在(,)-∞+∞内( B ) A.单调增加 B.单调减少 C.不是单调函数 D.无法判定单调性

10．函数-=+x x

y e e

的图形对称于直线（ C ）

A.y x =

B.y x =-

C.0x =

D.0y = 11．若()f x 是奇函数,且对任意实数x ,有(2)()f x f x +=,则必有(1)f =( B )。

A.1-

B. 0

C.1

D.2

12．下列各式中正确的是（ A ）

0.lim

0cos x x A x →= 0cos .lim 1x x B x →= .lim 0cos x x C x →∞= .lim 1cos x x D x

→∞=

13．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（ C ）

A ．3sin 2x +

B ．32sin 2x -

C ． 3cos2x +

D ．3cos2x - 提示：2

(sin )3cos 23(12sin )22sin f x x x x =-=--=+ 2

(cos )22cos 2(cos 21)3cos 2f x x x x =+=++=+

14．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x

→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（ D ）

。 .

2A .

12B .-2C .-12

D 提示：设lim ()x f x A →∞

=，则

2211

lim ()lim arcsin 3lim arcsin 311x x x x x A f x A A x x x x →∞→∞→∞??==+=+ ?++??

arcsin

lim 3131

x x x A A x x

→∞=+=++ （因为1lim 0x x →∞=，所以1arcsin

lim 11x x x →∞=）

所以1

A =-

15．设()()-=-

321x

f x x

，则lim ()→∞=x f x （ C ）。

....---12

3A e B e C e D e

提示：()()-=-

321x f x x ，令2t x =-，则2

3()(1)2

t f t t +=-+ 故()lim ()lim ()lim()lim()+?-+--→∞→∞→∞→∞==-

=-=++2

3233

331122

t t x t t t f x f t e t t

16．极限lim sin

x x x

→∞

=（ B ）

.1A .B π 2.C e .D 不存在

17．当0x →时，1x

e 的极限是（ D ）。

A ．0

B ．+∞

C ．-∞

D ．不存在提示：1

0lim x

x e →+

=+∞，10lim 0x

x e →-

=，所以当0x →时，1x

e 的极限不存在

18．当5x →时，5

()5

x f x x -=

-的极限是（ D ） .0A .B ∞ .1C .D 不存在

提示：5555lim

lim 155x x x x x x →+

→+--==--；5555lim lim 155x x x x

x x →-→---==---；当5x →时，5

()5

x f x x -=-的极限不存在。

．设()=f x ，则lim ()→=0

x f x （ D ）。

A ．1

B ．不存在

C ．2e

D ．2

e -

提示：lim ()→=0

x f x 2)2(21

00)

21(lim )21(lim 21lim --?-→→→=-=-=-e x x x x

x x

??20．若→0x 时，k

x x x ~2sin sin 2-，则=k （）

(1)

234A B C D

提示：k x k x x

x x x x x )

cos 1(sin 2lim 2sin sin 2lim

00-=-→→ ??

??>∞=<==??+=-→-→3,3,13

,0lim sin cos 12lim

30333

0k k k x x x

x k

x k x 《高等数学》第二章综合练习题参考答案

一、填空题

1．若()f x 在0x =处可导，且(0)2f '=，则0

(5)()

lim

x f x f x x

→-=8 。

提示：根据导数的定义0

()0()()[()](()lim

lim ()

x x f x x f x f x x f x f x x x ααα?→→+?-+-'==?）

所以可得：0000()()

lim

()()x f x x f x x f x x αβαβ→+-+'=-

0(5)()

lim 4(0)8x f x f x f x

→-'==

2．设()f x 在0x 处可导，且0()0f x =，0()1f x '=，则02

lim ()n n f x n

→∞

+=2 。

提示： 00002

()()

2lim ()lim 22()22n n f x f x n n f x f x n

→∞→∞+-'+===g

3．若()(1)(21)(1001)f x x x x =---L ，则(1)f '=99! 。提示：由题意知：(1)0f =且

111()(1)(1)(21)(1001)0

(1)lim

lim lim(21)(1001)11

x x x f x f x x x f x x x x →→→-----'===----L L

129999!=???=L 4．设函数()f x 在0x 处二阶可导，且000

()(2)lim

1h f x f x h h

→''--=，则0()f x ''=1

2。

提示：0000

()(2)

lim

2()1h f x f x h f x h

→''--''==

5．若曲线2

y ax =与曲线ln y x =相切，则=

a 1

。提示：两条曲线相切，说明有一个交点，所以2

ln ax x =

还说明他们具有共同的切线，所以切线的斜率相同，即12ax x

= 所以可以得到：1ln 2

x =

，即x =12a e =

6．若极限0

[()(0)]lim

11cos x x f x f x

→-=-，则(0)f '=1

2 。

提示：)0(2)0()cos 1(sin lim )0()(cos 1lim cos 1)]0()([lim 22

0200f f x x

x x f x f x x x f x f x x x x '='+?=-?-=--→→→ 7．设函数()f x 在1x =处可导，且(1)2f '=，则20(2cosh)(1)

lim h f f h

→--= 1 。提示：2200(2cosh)(1)(2cosh)(1)1cosh 1

lim lim[](1)11cosh 2

h h f f f f f h h →→-----'=?==- 8．若000(2)()2

lim

x f x x f x x ?→-?-=?，则0()f x '=1-。提示：0000000(2)()(2)()22

lim

lim ()3323

x x f x x f x f x x f x f x x x ?→?→-?--?-'=-=-?-? 9．设(2)

2()ln n f

x x x -=(2)n >，则()()n f x =

提示：由(2)

2()ln n f x x x -=知：()(1)2()ln 2ln n f x x x x x x -'==+

()

()2ln 212ln 3n f

x x x =++=+

10．设sin x

y x =，则微分dy =sin sin cos ln x

x x

x x dx x ?

?+ ??

? 。

提示：用对数求导法求sin x

y x

=的导数为：sin cos ln x y y x x x ??

'=+

???

所以sin sin cos ln x

x dy y dx x x x dx x ?

?'==+ ??

二、单项选择题

1．若()'=-02f x 。则lim

()()

→=--0

002x x

f x x f x （ D ）。

提示：00000000

111

lim

lim lim (2)()(2)()2()4x x x x f x x f x f x x f x f x x

→→→===--'---

2．已知()f x 为可导的偶函数，且0(1)(1)

lim 22x f f x x

→-+=，则曲线()y f x =在(1,2)-处的切线方

程为（ A ）。

....=+=--=+=-+46

4231A y x B y x C y x D y x

提示：0

00(1)(1)(1)(1)(1)(1)

(1)lim

lim lim 2*24x x x f x f f x f f f x f x x x

→→→----+--+'-=====-- 3．设曲线()y f x =在0x x =处的切线是水平的，则当0x x →时，0()()f x f x -较之0x x - 为（ D ）无穷小。

A ．同阶不等价

B ．等价

C ．低阶

D ．高阶提示：因为曲线()y f x =在0x x =处的切线是水平的，所以0()0f x '= 即0

()()

lim

0x x f x f x x x →-=-，所以0()()f x f x -较之0x x -为高阶无穷小。

4．设4

sin y x =，则

2()dy

d x =（ B ）

提示：令2

t x =，则2

sin y t =，则

22cos dy

t t dt

=，所以242

2cos ()dy x t d x = ....

111

A B C D .cos .cos .cos .cos 34

244

4242A x x B x x C x x D x x

5．设()f x 可导，则()()

lim

→--=-1

211

x f x f x （ C ）

.()

.()''''---1112A f x B f C f D f

提示：1

(2)(1)21

lim

(1)(1)11

x f x f x f f x x →----''==---

6．函数sin y x =在0x =处是（ C ）。

A ．连续且可导

B ．不连续不可导

C ．连续不可导

D ．不连续但可导

提示：sin ,02sin sin ,02

x x y x x x ππ?

≤

?--<

00()(0)sin 0

(0)lim

lim 1x x f x f x f x x

-→-→----'===-

00()(0)sin 0

(0)lim lim 1x x f x f x f x x

+→+→+--'===

所以该函数在0x =不可导。但是从图形上看该函数在0x =点连续。 7．下列函数中在点1x =处连续但不可导的是（ C ）。

221

..ln(1).1.(1)1

A y

B y x

C y x

D y x x ==-=-=--

解：根据连续与可导的关系，可导一定连续，知，不连续一定不可导。所以下面的函数中， 1

y x =

-在1x =处没有定义，所以一定不连续，所以一定不可导 2

ln(1)y x =-在1x =处没有定义，所以一定不连续，所以一定不可导 2

(1)y x =-1x =处即可导也连续 1,111,1

x x y x x x -≥?=-=?

(1)1f +=，所以不可导。

8．设函数)(x f 在0x 处可导，且()()

lim

→--=00021h f x h f x h ，则0()f x '=（ C ）

。 ....--111

222

A B C D 提示： 0000

(2)()

lim

2()1h f x h f x f x h

→--'=-=

9．函数)(x f 在点0x 处可导，下列极限等于0()f x '是（ C ）。

()().lim

→+-0002h f x h f x A h ()()

.lim →--000h f x h f x B h

()().lim →+--0002h f x h f x h C h ()()

.lim →+--000h f x h f x D h

提示： ()()lim

()→+-'=000022h f x h f x f x h ()()

lim ()→--'=-0000h f x h f x f x h

()()

lim

()→+-'=--0000

h f x h f x f x h

10．设()y f x =在0x 处可导，当x 由0x 增至0x x +?时，极限0lim

x y dy

?→?-=?（ A ）.

A ．0

B ．1

C ．()dx

f x x

? D ．不存在提示：根据()y f x =在0x 处可导知()y f x =在0x 处可微，由可微的性质知： y dy ?-是x ?的高阶无穷小，所以0lim

0x y dy

?→?-=?

（计算）10.设4)(2-=x x x f ，求导数)(x f '

解：?????>-<-<<--=2

2,42

2,4)(33x x x x x x x x f 或

当22<<-x 时，2

34)(x x f -=' 当2-x 时，43)(2

-='x x f

又82

4lim )2()2()(lim

)2(322=+--=----=-'

--→--→-x x x x f x f f x x 82

4lim )2()2()(lim

)2(322-=+--=----=-'

--→+-→+x x x x f x f f x x 82

4lim 2)2()(lim

)2(322-=---=--='

-→-→-x x x x f x f f x x 820

4lim 2)2()(lim )2(322=---=--='

+→+→+x x x x f x f f x x

所以)2(-'f 及)2(f '均不存在

所以??

??>-<-±=<<--='22,432

2,34)(22x x x x x x x f 或不存在，《高等数学》第三章综合练习题（一）参考答案

一、填空题

1．曲线()()

()

111-+=-x e x y x x 的垂直渐近线方程为1x =。提示：垂直渐近线是：若0

lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的垂直渐近线。

所以对本题有：当1x →时，y →∞

即1x =为其垂直渐近线。 2．曲线-=x

y xe

的渐近线方程为0y =。

提示：显然根据垂直渐近线的定义知道，该曲线没有垂直渐近线

斜渐近线是指：若lim[()()]0x f x ax b →∞

-+=，则直线y ax b =+为曲线()y f x =的斜渐近线。

其中y ax b =+中的参数a 和b 是由极限()

lim

x f x a x

→∞

=和lim[()]x b f x ax →∞=-确定。

所以对本题

()1

lim lim lim 0x x x x x f x xe a x x

e -→+∞→+∞→+∞====

lim[()]lim (0)lim

lim 0x

x x

x x x x x b f x ax xe

e e -→+∞

→+∞

→+∞→+∞=-=-===

所以有渐近线为直线0y =

又()lim

lim x

x x f x xe a x x

-→-∞→-∞===∞，所以x →-∞时无渐近线。所以该曲线仅有一条渐近线为0y =

3．曲线arctan =-2y x x 的斜渐近线方程为y x π=+与y x π=-。提示：()2tan lim

lim 1x x f x x arc x

a x x

→∞

→∞-=== lim[()]lim[2arctan ]2lim arctan x x x b f x ax x x x x π→+∞

→+∞

=-=--=-=-

lim[()]lim[2arctan ]2lim arctan x x x b f x ax x x x x π→-∞

→-∞

=-=--=-=

所以斜渐近线为y x π=+与y x π=- 4．曲线()=+12x

y x e 的斜渐近线方程为3y x =+。

提示：1

120()(2)2

lim

lim lim(1)lim(12)1t x

x t x

x x x t f x x e a e t e x x x

=→∞

→∞→∞→+===+=+= 1

(1)1lim[()]lim[(2)]lim 1

x x x x x e x b f x ax x e x x

→∞→∞→∞+-=-=+-=

100(12)12(12)lim

lim 31

t t t t

t t t e e t e t =→→+-++=== 所以斜渐近线为3y x =+

5．曲线()()

-=+3

11x y x 的斜渐近线方程为5y x =-。

提示：3

2(1)()(1)(1)lim lim lim 1(1)x x x x f x x x a x x

x x →∞→∞→∞--+====+

(1)lim[()]lim[

]5(1)x x x b f x ax x x →∞→∞-=-=-=-+ 所以斜渐近线为5y x =-

6．曲线arctan =?y x x 的斜渐近线方程为12

y x π

-与12

y x π

-。

提示：()arctan lim

lim 2

x x f x x x a x x π

→+∞

→+∞?=== 221

arctan 12lim[()]lim (arctan )lim

lim 11

x x x x x x b f x ax x x x x

→+∞

→+∞-

+=-=?-

===--

()arctan lim

lim 2

x x f x x x a x x π

→-∞

→-∞?===- 221

arctan 12lim[()]lim (arctan )lim

lim 11

x x x x x x b f x ax x x x x

→-∞

→-∞+

+=-=?+

===--

所以斜渐近线为12

y x π

=-与12

y x π

7．曲线sin ()

-1x

y x x 的垂直渐近线方程为1x = 。

提示： 0

lim ()1x f x →=-

lim ()x f x →=∞

所以垂直渐近线为1x =

8．函数3

()395f x x x x =--+在区间[2,4]-上的最小值为22- ，最大值为 10 。

提示：2

()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-

令()0f x '=，得11x =-，23x = 计算(2)3,

(1)10,(3)22,(4)15f f f f -=-==-=-

9．若点(1,2)-为曲线32

y ax bx =+的一个拐点，则=a 1 ，b =3-。

提示：因为点(1,2)-为曲线32

y ax bx =+的一个拐点，所以有：2a b -=+，且在该点处0y ''=

即：620a b +=，所以解之得：1,3a b ==-

10．设()f x 有连续导数，()0>f x ，且()()001'==f f ，则[]lim ()→=10

x f x e 。

提示：[]11000

()

(0)

ln[()]()1lim

lim lim ln[()]ln[()](0)

lim ()lim x

x x x f x f f x f x f

x f

x f x x

x x f x e

e e

e →→→''→→======

倒数第二个等号用到了条件()f x 有连续导数，所以0

lim ()(0)x f x f →''=且0

lim ()(0)x f x f →=。二、单项选择题

1．设()f x 在[],a b 上可导，且()()

.().().().()ξξξξ''''<>=000A f B f C f D f 不存在

提示：因为()f x 在[],a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：

在(),a b 内至少有一点ξ，，使得 ()()()()f b f a f b a ξ'-=- 又()()

2．设()()00=f g ，且当0≥x 时，有()()''>f x g x ，则当0>x 时，有（ B ） .()()

.()().()().<>≤A f x g x B f x g x C f x g x D 以上都不对

提示：令()()()F x f x g x =-，所以(0)0F =，且()()()0F x f x g x '''=-> 所以当0>x 时，()(0)0F x F >=，即()()f x g x >

3．若()f x 二次可微，且(),()00x f x 是它的一个拐点，则0=x x 处必有（ A ）成立。 .()'A f x 取得极值 .()B f x 切线不存在 .()C f x 取得极值 .D 以上都不对提示：因为()f x 二次可微，则()f x ''存在，

又(),()00x f x 是它的一个拐点，所以可知0()0f x ''=，所以()f x '在该点取得极值。

4．设函数()y f x =可微，则当0x ?→时，y dy ?-较之x ?为（ D ）无穷小 A ．同阶不等价 B ．等价 C ．低阶 D ．高阶提示：因函数()y f x =可微，所以由定义知：()y A x o x ?=?+?，且dy A x =?，

所以()y dy o x ?-=?。

5．若00()()20f x f x '''=-=，则点0x 一定是函数()f x 的（ B ）。

A ．极大值点

B ．极小值点

C ．最大值点

D ．最小值点提示：由00()()20f x f x '''=-=知，0()2f x ''=，

根据极值的第二判别定理知，函数在该点一定取得极小值。 6．下列各函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（ A ）

....=+=-

=+=-211

11A y x B y x C y x D y x x

提示：1

y x x

在0x =点没有定义 1y x =+在0x =点不可导

1y x =-时，(1)0f =，(1)2f -=-

7．设()f x 在[],13上连续，在(),13内可导，且()()131=+f f ，则在(),13内曲线()=y f x 上至少有一条切线平行于直线（ D ）。 ....==-=

=-1

2222

A y x

B y x

C y x

D y x

提示：设()f x 在[],13上连续，在(),13内可导，且()()131=+f f ，由拉格朗日中值定理知：

在(),13内至少存在一点ξ，使得(3)(1)1

()312

f f f ξ-'==--

即该点的斜率为1

。 8. 下列各函数在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理条件的是（ B ）

.ln(ln ).ln ..ln()ln ===

=-12A y x B y x C y D y x x

提示：ln(ln )y x =的定义域为(1,)+∞ 1

ln y x

的定义域为011+∞U （，）（，）

ln(2)y x =-的定义域为(,2)-∞

9．若()0''>f x ，()0≤≤x a ，且()00=f ，则[],0a 上（ D ）成立。 .().().()'>>0

0A f x B f x C f x 单调递增 .()'D f x 单调递增

10．曲线()12=+x

y x e （ C ）。

.A 仅有垂直渐近线2=-x .B 有斜渐近线2=+y x

.C 有斜渐近线3=+y x .D 没有渐近线

提示：见第一题第四小题。

11．设点(),01是曲线3

=++y ax bx c 的拐点，则（ A ）。

.A ,,001≠==a b c .B a 为任意实数，,01==b c

.C ,,110===a b c .,,121=-==D a b c

提示：点(),01是曲线3

=++y ax bx c 的拐点，说明：（1）1c =

（2）620y ax b ''=+=,即0b =

（3）若0a =，则曲线为直线1y =，无拐点。

12. ()f x 是偶函数，且在(,0)-∞内有()0f x '>，()0f x ''>，则在(0,)+∞内有（ C ）。 A ．()0f x '>，()0f x ''> B.()0f x '>，()0f x ''<

C.()0f x '<，()0f x ''>

D.()0f x '<，()0f x ''<

提示：利用偶函数图像关于y 轴对称可得

13. ()f x 是奇函数，且在(,0)-∞内有()0f x '<，()0f x ''>，则在(0,)+∞内有（ D ）。 A ．()0f x '>，()0f x ''> B.()0f x '>，()0f x ''<

C.()0f x '<，()0f x ''>

D.()0f x '<，()0f x ''<

提示：利用奇函数图像关于原点对称可得 14．[()()]

lim

cos →-=-0011若,则().x x f x f B x

.().().().()''''===1

01002

未必存在A f B f C f D f

提示：[()()]()()lim

lim ()cos cos →→--'=?==--2

000020111x x x f x f f x f x f x x x

《高等数学》第四章课外综合练习题参考答案

一、填空题 1．若不定积分

2(ln )

f x dx x C x

'=+?

，则()f x = 。解：记ln t x =

则

2(ln )

()()t f x dx f t dt f t C e C x

''==+=+?

? 所以2()x

f x e C =+

2．已知()f x 的一个原函数为

sin x

，则()x f x dx '=? 。

解：sin sin ()()()()(

)x x

xf x dx xdf x xf x f x dx x C x x

''==-

=?-+???

=2sin cos x

x C x -

+ 3．若不定积分ln ()x

f x dx C x

=+?，则()f x = 。

解：2

ln 1ln ()[]x x

f x C x x

-'=+= 4．若不定积分sin ()x

f x dx C x

=+?，则()f x = 。

解：2

sin cos sin ()[]x x x x

f x C x x

-'=+= 5．不定积分ln ln arcsin arccos x x

dx dx x x

+??= 。

解：sin sin arcsin arccos 22x x dx dx dx x C x x ππ

+==+???

6．不定积分2233

arctan arccot x x

e e dx dx x x --+??= 。解：223333

arctan arccot 22x x e e dx dx dx x dx x x x π

π---+==????

=24C x π-+ 7．不定积分22sin cos x x

dx dx x x +=?? 。解：22sin cos 1ln x x dx dx dx x C x x x

+==+??? 8．已知()f x 的一个原函数为ln x

，则()x f x dx '=? 。解：ln ln ()()()()()x x xf x dx xdf x xf x f x dx x C x x

''==-=?-+???=12ln x

C x x -

+ 9．若

()()f x dx F x C =+?，则不定积分(35)f x dx +=? 。

解：记35t x =+

则

1111

(35)()()()(35)3333

f x dx f t dt f t dt F t C F x C +=?==+=++?

10．不定积分

(2)dx x x +?= 。

解：

4441111111[](2)(2)4(2)82

dx x dx dt dt x x x x t t t t =?==-++++???? =4

411ln

ln 8282

t x C C t x +=+++ （4t x =）

二、单项选择题 1．设

?+=c x F dx x f )()(，且b at x +=，则?dt t f )(=（ B ）

。 A .c x F +)( B .c t F +)( C .c b at F a

++)(1

D .c b at F ++)(

注意：不定积分的定义 2．设

?+=c x

dx x f 2

)(，则2(1)x f x dx -?的结果是（ C ）

。 A ．22

2(1)x C --+ B ．22

2(1)x C -+ C ．221(1)2x C -

-+ D ．221

(1)2

x C -+ 注意：2222

111(1)()(1)222

xf x dx f t dt t C x C -=-=-+=--+?? （21t x =-）

3．若()()f x F x ''=，则下列等式中一定成立的是（ B ）。

A ．()()f x F x =

B ．()()f x F x

C =+（C 为某常数） C ．()()1f x F x -=

D ．()()d d

F x dx f x dx dx dx

=?? 注意：原函数的有关性质

4． sin(12)d x -?

等于（ A ）

A ．sin(12)x C -+

B ．2cos(12)x

C --+ C ． sin(12)x -

D ．2cos(12)x -- 注意：性质有()()df x f x C =+?

5．下列等式中不成立的是（ C ）。

A. [(1)]1x dx x '-=-?

B. [sec ]sec d xdx xdx =?

C. (tan )tan x dx x '=?

D. 22x x de e C =+?

注意：不定积分的性质

6．cos sin sin cos xdarc x arc xd x +=??

（ C ）。

A ．sin cos x arc x ?

B ．sin cos x arc x

C ?+ C ．cos sin x arc x C ?+

D ．cos sin x arc x ?

注意：分部积分公式

7．设1

x x

e I dx e ---=+?，则I =（ D ）。 A.ln(1)x

e C -+ B.ln(1)x

e C ++ C.2ln(1)x

e C ++ D. 2ln(1)x

x e C -++

注意：12(1)2ln(1)11x x

x x x

e e I dx dx x e C e e

-==-=-++++?? 三、计算题

1．求不定积分：

dx x

解：设2sin x t =，则

原式=

22cos 2sin cot (csc 1)cot 4sin t d t tdt t dt t t C t ==-=--+???

=cos arcsin sin 2

t x t C C t x --+=--+ 2．求不定积分：21

sin 3sin cos dx x x x -? 解：2

222111sec sin 3sin cos tan 3tan 3dx xdx dt x x x

x x t t ==---??? =111131tan 3[]ln ln 3333tan t x dt C C t t t x

---=+=+-? （tan t x =）

3．求不定积分：

解：令3sec x t = ，则

原式=23tan tdt ?=23(sec 1)t dt -?=3tan 3t t C -+

3arccos C x

4．求不定积分：

解：令sin x t = ，原式21sin sin cos d t t t

2cos sin cos t dt t t =?21

sin dt t =?

cot t C =-+C =+

5．求不定积分：?

+dx x

x x e x )

ln 1( 解：(1ln )ln ln ln x x

x x x e x x e dx dx e xdx e d x e xdx x x

+=+=+?

???? ln ln ln ln x

x x

e x e xdx e xdx e x C =-+=+?

6．求不定积分：?

xdx 4

sin

解：4

sin x dx ?

=21cos 2(

)2x dx -?=11cos 4(12cos 2)42

x dx +-+? =311

sin 2sin 48432

x x x C -+

7．求不定积分：?

解：令2

x t =，则cos 22sin t t dt t d t ==???g 2[sin sin ]t t tdt =-?

2[sin cos ]t t t C =++C =+

8．求不定积分：?

dx x )cos(ln 解：令ln t x =，则：t

x e =

原式=cos t tde ?

=cos t

e t +sin t e tdt ?

=cos t e t +sin t

e t -cos t e tdt ?

所以：原式=(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22

t e x

t t C x x C ++=++

9．求不定积分：

dx x

x ?

-2

解：设sin ,02

x t t π

=<<

原式=22sin sin sin cos t d t tdt t =??=1

(1cos 2)2

t dt -?

11sin 224t t C -+=11

arcsin 22

x C - 10．求不定积分：

dx x

x ln

解：令2

x t = ，则

2ln 2t

tdt

t =??4ln 4(ln )tdt t t t C ==-+?2)x C =-+

《高等数学》第五章课外综合练习题（一）参考答案

一、填空题

1．设()f x 为连续函数，且(0)2f =，记cos 2sin ()()x

F x f t dt =

，则(0)F '= 。

提示：因为()(cos )(sin )(2sin )2cos F x f x x f x x '=-- 所以(0)2(0)4F f '=-=- 2．设)(x f 为连续函数，则()()b b

f x dx f a b x dx -+-?

?= 0 。

提示：

()()()()t a b x

f a b x dx f t dt f t dt f x dx =+-+-=-==?

???

3．设()f x 为连续的偶函数，且

()1

2f x dx =?

，则()1

f x dx -=?___ _____ 。

提示：因为()f x 为连续的偶函数，所以

()()f x dx f x dx 11

24-==?

4．设()f x 为连续的奇函数，且

()1

2f x dx =?

，则()1

f x dx -=?_ _____ 。

提示：因为()f x 为连续的奇函数，所以

()11

f x dx -=?

5．设2

x x +是()f x 的一个原函数，则定积分

()x f x dx '=?

。

提示：因为x x +2

为)(x f 的原函数，所以2

()()21f x x x x =+=+

所以

111

100

()[()][()]()xf x dx xd f x xf x f x dx '==-?

??=121

00[(21)]()x x x x +-+=1

6．由曲线2

3y x =-与直线2y x =所围成的平面图形的面积为。提示：（草图略）以x 为积分变量，则[3,1]x ∈- 所围成的平面图形的面积1

2321

132[32][3]33

S x x dx x x x --=

--=--=? 7．由曲线2

2y x =与直线4x y -=所围成的平面图形的面积为。提示：（草图略）以y 为积分变量，则[2,4]y ∈- 所围成的平面图形的面积42234

111

[4][4]18226

S y y dy y y y --=

=+-=?

8．由曲线1xy =与直线y x =及直线2x =所围成的平面图形的面积为。提示：（草图略）以x 为积分变量，则[1,2]x ∈ 所围成的平面图形的面积2

11113[][ln ]ln 222

S x dx x x x =-=-=-?

9．由曲线y =

y x =所围成的平面图形的面积为。

提示：（草图略）以x 为积分变量，则[0,1]x ∈

所围成的平面图形的面积31

21200211

][]326

S x dx x x ==-=?

10．由曲线2

y x =与直线2y x =-所围成的平面图形的面积为。提示：（草图略）以y 为积分变量，则[1,2]y ∈- 所围成的平面图形的面积2

2232

119[2][2]23

S y y dy y y y --=+-=+-=

? 11．定积分

= 。

提示：令2

x t =，则2dx tdt =

高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数( )()2 0ln 10x f x x a x ≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（）. （A ）1f C x ??-+ ??? （B ）1f C x ??--+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8．x x dx e e -+? 的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 02f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()1 1102f f -????（C ）()()1202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 0x e x f x x a x -?-≠?=??=? 在0x =处连续，则a =.

高等数学试题及答案新编

《高等数学》一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值

C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。

四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则

高等数学练习题附答案

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3 lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 1 x →= . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0 ,0ax x x f x x a x ?+-≠?=? ?=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线2 1 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ” 是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件

2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+

高等数学试题及答案91398

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学练习题库及答案

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷) 命题教师：杨勇适用班级：理工科本科考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)YM

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下：解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有

d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ，其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>；

高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为（2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交（2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值得分阅卷人

高等数学下册试题及答案解析

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

(完整版)高等数学测试题一(极限、连续)答案

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=2 e - 2、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=3 3、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2 x f x -=，则函数值(0)f =0 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+L =1

5、若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→=1 二、解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- --L 解：原式=132411111 lim()()()lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?=L 2、（7分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2 x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 1 23lim()21 x x x x +→∞++ 解：原式= 11 122 11 22 21lim(1)lim(1)1212 11lim(1)lim(1)11 22 x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++ =+?+=++ 4、（7分）计算极限 1 x e →-解：原式=201 sin 12lim 2 x x x x →= 5、（7分）设3214 lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值解：因为1 lim(1)0x x →-+=，所以 3 2 1 lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式 321144(1)(1)(4) lim lim 1011 x x x x x x x x l x x →-→---++--===++

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

(完整版)高等数学测试题及答案.docx

高等数学测试试题一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （） h 0 f ( h) f (0) 2

大学高等数学下考试题库附答案

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《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. .4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b 3,π=b a .4,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --=y x y x y 的定义域是（）. (){}21,22 ≤+≤y x y x .(){} 21,22<+p 1≥p 幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为（）. []1,1-()1,1-[)1,1-(]1,1-幂级数n n x ∑∞ =??? ??02在收敛域内的和函数是（）. x -11x -22x -12x -21 微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. x ce y =x e y =x cxe y =cx e y =二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.

高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界. （）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .

5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .

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