课题
1.2.1函数的概念
课型 新授课
课时
1
学习目标
1、通过丰富实例,体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用
2、了解构成函数的要素.
3、熟记函数定义域要求,会求一些简单函数的定义域
教学过程与内容
课堂设计 随堂手记
【课前预习区】
思考:1.我们初中学习的函数的概念是什么?
2.阅读课本15-16页,分析课本上的三个实例,思考实例中变量之间的关系有什么样的共同点? 知识点一:
一般的,我们有:设A ,B 是 ,如果按照某种确定的 ,使对于集合A 中的 __ ,在集合B 中都有 ____ 和它对应,那么就称 _______ 为从集合A 到集
合B 的一个函数,记作____________其中 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做 ,与x 的值相对应的y 值叫做 ,函数值的集合 叫做函数的 。
知识点二:构成函数的三要素: , , 。
【课堂互动区】
【目标分解一】函数关系的判定
小组讨论:结合函数的定义,判断下列对应是不是从数集A 到数集B 的函数. (1) (2) (3) (4) 例1.下列图象不是函数图象的是________________(答案可能有多个)
【我会做】设集合M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M 到集合N
的函数关系的是________.
X y X
X X y
y y o o o o
【目标分解二】求函数值
例2、已知函数f(x)=3x 2
-5x, 求(1)f(2), f(-a) ,f(a+3)的值 (2)f(a)+f(3)的值。
【目标分解三】求函数定义域 例3、11.f(x)=4+7x
2.()1f x x =- 20
3.()(2x )f x =-
【规律总结】求函数定义域要求:
(1) _________________ (2)____________________(3)__________________ 【我会做】 (1) y= 1
4--x x
(2) y= 2362+-x x ; (3)y =x +0)1(-x
★【我能做对】(1)y =x +1x 2-4; (2)y =1
|x |-2; (3)
2
12x y x -=
- 【我检测我达标】
1.下列图像中,不能作为函数的图象的是( )
2.21
()32
f x x x =++
+ ,(3)________(1)__________(a 0)f f a -=+=> 3.函数y =x +1+1
2-x
的定义域是________.
★★4.函数y =1-x 2
+x 2
-1的定义域是 。
我的反思:
x y
o
x y
o
x
y
o x
y
o
A B C D
2
2
-2
2
2
-21
-1
-1
1
函数定义域练习题 1、在函数 中,自变量x 的取值范围是( ) A 、x≠0 B 、x≤﹣2 C 、x≥﹣3且x≠0 D 、x≤2且x≠0 2、函数的定义域是( ) A 、x≠2 B 、x≥﹣2 C 、x≠﹣2 D 、x≠0 3、函数 y= 的自变量x 的取值范围是( ) A 、x≥﹣2 B 、x≥﹣2且x≠﹣1 C 、x≠﹣1 D 、x >﹣1 4、在函数 y= 中,自变量x 取值范围是( ) A 、x >1 B 、x <﹣1 C 、x≠﹣1 D 、x≠1 5、函数 的自变量x 的取值范围为( ) A 、x≥﹣2 B 、x >﹣2且x≠2 C 、x≥0且≠2 D 、x≥﹣2且x≠2 6. 函数23()lg (31)x f x x = ++的定义域是( ) A .1 (,)3-∞- B .11(,)33 - C .1(,1)3- D .1(,)3-+∞ 8 函数=y =的定义域为R ,则k 的取值范围是( ) A.09k k ≥≤-或 B.1k ≥ C.91k -≤≤ D. 01k <≤ 9 .函数()f x = ) A .2 [0,]3 B .[0,3] C .[3,0]- D .(0,3) 10.已知函数()f x 的定义域为[0,4],求函数2(3)()y f x f x =++的定义域为( ) A .[2,1]-- B .[1,2] C .[2,1]- D .[1,2]- 11.若函数()f x 的定义域为[2,2]- ,则函数f 的定义域是( ) .[4,4]A - .[2,2]B - .[0,2]C .[0,4]D 12.已知函数1()lg 1x f x x +=-的定义域为A ,函数()l g (1)lg (1)g x x x =+--的
函数的概念与定义域
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:
一、函数的概念 一、映射 1.映射:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的任意元素,在集合B 中都有惟一元素和它对应,这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射,记作:B A f →:; 2.象与原象:如果B A f →:是一个A 到B 的映射,那么和A 中的元素a 对应的元素叫做象, a 叫做原象; 3.映射的性质: ①方向性:集合A 到集合B 的映射与集合B 到集合A 的映射是不同的; ②任意性:集合A 中的任意一个元素在集合B 中都要有象,但不要求B 中的每一个元素在A 中都要有原象; ③惟一性:集合A 中元素的象是惟一的,即“一对一”、“多对一”是允许的,但“一对多”是不允许的. 二、函数 1.定义:设A 、B 是两个非空数集..,B A f →:是从A 到B 的一个映射,则映射B A f →:就叫做A 到B 的函数,记作:()x f y =; 2.函数的三要素为:定义域、值域、对应法则,两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时,二者才能称为同一函数; 3.函数的表示法有:解析式、列表法、图像法. 例1、(1)给出下列四个对应,是映射的是( ) ① ② ③ ④ A.②④ B.①② C. ②③ D.①④ (2)设{}{}|02,|12,A x x B y y =≤≤=≤≤在下图中,能表示从集合A 到集合B 的映射是 a m b c n A B a m b c p A B n a m b p A B n a m b A B c . A y 1 2 x O 1 2 . B y 1 2 x O 2 1 . D y 1 2 1 2 x O . C y 1 2 1 2 O x
解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f
学生:科目:第阶段第次课教师:课题 函数的基本概念与定义域 教学目标1.了解函数的的基本概念,并能熟练的应用 2.理解函数的三种表示方法,了解分段函数,并能够简单的应用 3.会求函数的定义域 重点、难点函数的定义的理解;求简单函数的定义域 考点及考试要求 1.了解函数的概念; 2.理解函数的三种表示方法; 3.了解简单的分段 函数 教学容 知识框架 知识点一、区间的概念 设b a R b a< ∈且 , , 定义名称符号数轴表示 } | {b x a x≤ ≤闭区间] , [b a } | {b x a x< <开区间) , (b a } | {b x a x< ≤前闭后开区间) , [b a } | {b x a x≤ <前开后闭区间] , (b a 区间是集合的有一种形式.对于区间的理解应注意: (1)区间的左端点必修小于右端点,有时我们将b-a成为区间的长度,对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示,如{}a; (2)注意开区间) , (b a与点) , (b a在具体情景中的区别.若表示点) , (b a的集合应为{}),(b a;(3)用数轴来表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别; DOC格式.
例5.高为h ,底面半径为R 的圆柱形容器,以单位时间体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式,并求其定义域. 例6.已知函数32341++-= ax ax ax y 的定义域为R ,数a 的取值围. 例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ,下图中的四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )
函数定义域的类型及求法 一、已知解析式型(所有同学一定要会的) 二、含参问题(很重要) 三、抽象函数(复合函数)的定义域 1已知()f x 的定义域,求[]()f g x 的定义域 其解法是:若()f x 的定义域为a x b ≤≤,则在[]()f g x 中,()a g x b ≤≤,从中解得x 的取值范围即为[] ()f g x 的定义域.
例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域. 分析:该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数,其中x 是自变量,u 是中间变量,由于()f x 与()f u 是同一个函数,因此这里是已知15u -≤≤,即1355x --≤≤,求x 的取值范围. 解:()f x 的定义域为[]15-,,1355x ∴--≤≤,41033x ∴≤≤. 故函数(35)f x -的定义域为41033?????? ,. 2、已知[]()f g x 的定义域,求()f x 的定义域 其解法是:若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤,则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域. 例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[] 03,,求函数()f x 的定义域. 分析:令222u x x =-+,则2(22)()f x x f u -+=, 由于()f u 与()f x 是同一函数,因此u 的取值范围即为()f x 的定义域. 解:由03x ≤≤,得21225x x -+≤≤. 令222u x x =-+,则2(22)()f x x f u -+=,15u ≤≤. 故()f x 的定义域为[]15,. 3,已知[]()f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 其解法是:若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤,则由m x n ≤≤确定的()g x 的取值范围即为()h x 的取值范围,由()h x 的取值范围即可求出 [()]f h x 的定义域x 的取值范围。 例2 已知函数(1)f x +的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域. 分析:令1,35u x t x =+=-,则(1)(),(35)()f x f u f x f t +=-=, (),()f u f t 表示的是同一函数,故u 的取值范围与t 相同。 解:()f x 的定义域为[]15-,,即15x ∴-≤≤016x ∴+≤≤。 056x ∴-≤3≤
2 函数的概念、定义域、值域练习题 班级:高一(3)班 姓名: 得分: 一、选择题(4 分×9=36 分) 1. 集合 A ={x |0≤x ≤4},B ={y |0≤y ≤2},下列不表示从 A 到 B 的函数是( ) A .f (x )→y 1 x B .f (x )→y 1 2 x C .f (x )→y = D .f (x )→y = = = x 2 3 3 2. 函数 y = 1-x 2+ x 2-1的定义域是( ) A .[-1,1] B .(-∞,-1]∪[1,+∞) C .[0,1] D .{-1,1} 3. 已知 f (x )的定义域为[-2,2],则 f (x 2-1)的定义域为( ) A .[-1, 3] B .[0, 3] C .[- 3, 3] D .[-4,4] 4. 若函数 y =f (3x -1)的定义域是[1,3],则 y =f (x )的定义域是( ) A .[1,3] B .[2,4] C .[2,8] D .[3,9] 5. 函数 y =f (x )的图象与直线 x =a 的交点个数有( ) A .必有一个 B .一个或两个 C .至多一个 D .可能两个以上 1 6. 函数 f (x )= ax 2+4ax +3 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是( ) 3 3 3 A .{a |a ∈R } B .{a |0≤a ≤ } C .{a |a > } D .{a |0≤a < } 4 4 4 7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市 场分析,每辆客车营运的利润 y 与营运年数 x (x ∈N )为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过( )年. A .4 B .5 C .6 D .7 8.(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )=1-2x ,f [g (x )]= 1-x 2 x 2 (x ≠0),那么f (1 ) 等于( ) A .15 B .1 C .3 D .30 9.函数 f (x )= 2x -1,x ∈{1,2,3},则 f (x )的值域是( ) A .[0,+∞) B .[1,+∞) C .{1,3, 5} D .R 二、填空题 x
求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴2215 33 x x y x --=+- ⑵211()1x y x -=-+ ⑶021(21)41 11 y x x x = +-+-+- (4))11lg(x y -= (5) )34(log 2-=x y (6))32(log 2)12(++-=-x x y x (7))10(1log ≠>-=a a x y a 且 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定 义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、若函数()f x = 3 44 2++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 ( ) A 、(-∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3 ) 5、若函数2()1f x mx mx =++的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤(C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 6.已知函数f(2x )的定义域是[-1,1],求f(log 2x)的定义域. 7.若()f x 的定义域为[]35-,,求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域. 8.已知函数的定义域是,求的定义域。 9、设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求y=f()3 1()31 -++x f x 定义域。 5 、10.若函数a ax ax y 1 2+ -=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 11..函数)2(log 322 12+++-=x x x y 的定义域为_________. 12.函数)1(log 22 1-=x y 的定义域为_________.
函数定义域的类型及求法 、已知解析式型(所有同学一定要会的) 即给出函数的解析式的定义域求袪,苴解袪是由解析式有意义列出关于自变量的不等 式或不等式组■解此不等式(或组)即得原函数的定义域° Jx 1 - 2x - 1^ 例求函数p 二 _ 的定文域. I - 15 >0 f Y > 5或丫 < -3 解*要使函数有意5C 则必须满足] ' - 即J ”工+引―8工0 [工疋5且工工―11 解得r > §或斗< 且里工一11 即口数的定义域为{工r > 5或藍丈-3且工上-11 } o 二、含参问题(很重要) 例乳已知函数$ = J 沁亍一6沁一澈十8的定义境为E 求实数战的取值范围° 分析;函数的定文域为R ,表明他:-6林亠用十S 乙0 ,使一切工E R 都成立,由厂 项的系數是刖,所以应分刪=0或旳黑0进行讨论d 解.讨论. ① 当也二0时,函数的定义域为R ; ② 当用=0时,mx ■ - 6)KX + M ? -F X > 0杲二次不等式,其对一切实数X 都成立的充 综上可知;0 £ m 玉1 ° 三、抽象函数(复合函数)的定义域 1已知f(x)的定义域,求f g(x)的定义域 其解法是:若f (x)的定义域为a < x < b ,则在f g(x)中,a < g(x) < b ,从中解得x 的取值范 要条件是.
围即为f g(x)的定义域. 例1 已知函数f(x)的定义域为1,,求f(3x 5)的定义域. 分析:该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f (u)是同一个函数,因此这里是已知 1 < u < 5,即K 3x 5 < 5,求x的取值范围. 4 10 解:Q f(x)的定义域为1,, 1 < 3x 5 < 5,4< x < 10. 3 3 故函数f(3x 5)的定义域为-,10. 3 3 2、已知f g(x)的定义域,求f (x)的定义域 其解法是:若f g(x)的定义域为m < x< n,则由m< x < n确定的g(x)的范围即为f (x)的定义域. 2 例2已知函数f(x 2x 2)的定义域为0,3,求函数f(x)的定义域. 分析:令u x2 2x 2,则f(x2 2x 2) f(u), 由于f(u)与f(x)是同一函数,因此u的取值范围即为f(x)的定义域. 解:由0 < x < 3,得 1 < x2 2x 2 < 5 . 令u x2 2x 2,贝y f (x2 2x 2) f (u),1< u < 5 . 故f (x)的定义域为1,. 3,已知f g(x)的定义域,求f[h(x)]的定义域 其解法是:若f g(x)的定义域为m < x < n,则由m < x < n确定的g(x)的取值范围即为h(x) 的取值范围,由h(x)的取值范围即可求出f[h(x)]的定义域x的取值范围。 例2 已知函数f(x 1)的定义域为1,,求f(3x 5)的定义域. 分析:令u x 1,t 3x 5,则f(x 1) f(u), f(3x 5) f(t), f (u), f (t)表示的是同一函数,故u的取值范围与t相同。 解:Q f(x)的定义域为1,,即K x < 5 0 < x 1 < 6。
2.1 函数概念 1.对于函数y =f (x ),以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数; ②对于不同的x ,y 的值也不同; ③f (a )表示当x =a 时函数f (x )的值,是一个常量; ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.区间(0,1)等于( ) A .{0,1} B .{(0,1)} C .{x |0 2.下列各组函数中,表示同一个函数的是( ) A .y =x -1和y =x 2-1x +1 B .y =x 0和y =1 C .f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2 D .f (x )=(x )2x 和g (x )=x (x )2 3.函数y =21-1-x 的定义域为( ) A .(-∞,1) B .(-∞,0)∪(0,1] C .(-∞,0)∪(0,1) D .[1,+∞) 4.已知f (x )=π(x ∈R ),则f (π2)的值是( ) A .π2 B .Π C.π D .不确定 5.已知函数f (x )的定义域A ={x |0≤x ≤2},值域B ={y |1≤y ≤2},下列选项中,能表示f (x )的图像的只可能是( ) 6.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=??? c x ,x 函数的概念知识点总结 本节主要知识点 (1)函数的概念. (2)函数的三要素与函数相等. (3)区间的概念及其表示. 知识点一 函数的概念 初中学习的函数的传统定义 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义 设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈. 其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集. 对函数的近代定义的理解 (1)只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的. 如x x y --= 11就不是函数. (2)注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到. 存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y . 唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.人教A版高一数学函数的概念知识点总结与例题讲解