整式的乘法（二） 单项式乘以多项式（教案） 学习目标 1．在具体情景中，了解单项式乘以多项式的意义，理解单项式与多项式的乘法法则； 2．能熟练、正确地运用法则进行单项式与多项式的乘法运算. 3．经历探索乘法运算法则的过程，让学生体验从“特殊”到“一般”的分析问题的方法，感受“转化思想”、“数形结合思想”，发展观察、归纳、猜测、验证等能力. 4．初步学会从数学角度提出问题，运用所学知识解决问题，发展应用意识.通过反思,获得解决问题的经验.发展有条理的思考及语言表达能力. 学习重点：在经历法则的探究过程中，深刻理解法则从而熟练地运用法则. 学习难点：正确判断单项式与多项式相乘的积的符号. 学习过程： 一、复习回顾 1、单项式与单项式怎样相乘. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2、单项式与单项式怎样相乘运用了哪些乘法运算律？除此之外，还有什么乘法运算律? 单项式与单项式相乘运用了乘法交换律、结合律， 一、联系生活设境激趣 问题一：1.在一次绿色环保活动中购买奖品如下表, ⑴有几种算法计算共花了多少钱？⑵各种算法之间有什么联系？ 请列式：方法1: ; 方法2： . 联系……① 2．将等式15(5.20+3.40+0.70) =15×5.20+15×3.40+15×0.70 中的数字用字母代替也可得到等式：m（a+b+c） =ma+mb+mc；……② 问题二：三家连锁店以相同的价格m (单位:元/瓶) 销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:瓶) 分别是a,b,c。你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗? 方法一：先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即 总收入（单位：元）为：m(a+b+c) 方法二：先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，
多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤： 多项式除以多项式一般用竖式进行演算 （1 ）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项． （3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项 结合起来． （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式 的次数时为止．被除式= 除式×商式+余式 如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除 多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例 1 计算(x29 x20)( x4) 规范解法 ∴ ( x 29x20)(x4)x 5. 解法步骤说明： （1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面． （4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20 ，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用 5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项 5 与除式x4 相乘，得5x20 ，写在上述的差5x 20的下 面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，(x 29x20)( x4)x 5. 例 2 计算(6x59x47x220x3) (2x2x5) ． 规范解法 ∴ (6x59x 47x220x3) ( 2x2x 5) 3x33x26x1余9x 2 ． 注①遇到被除式或除式中缺项，用0 补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ (6x59x47x220x3) ( 2x2x5)
课题：13.1.2 单项式与多项式相乘 【教学目标】 知识目标：解单项式乘以多项式的意义，理解单项式与多项式的乘法法则，会进行单项式与多项式的乘法运算。 能力目标：（1）经历探索乘法运算法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力； （2）体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力。 情感目标：充分调动学生学习的积极性、主动性 【教学重点】单项式与多项式的乘法运算 【教学难点】推测整式乘法的运算法则。 【教学过程】 一、复习引入 通过对已学知识的复习引入课题（学生作答） 1. 请说出单项式与单项式相乘的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 （系数×系数）×（同字母幂相乘）×单独的幂 例如： ( 2a2b3c) (-3ab) 解:原式=[2· (-3) ] · (a2·a) · (b3 · b) · c = -6a3b4c 2.说出多项式 2x2-3x-1的项和各项的系数 项分别为:2x2、-3x、-1 系数分别为:2、-3、-1 问：如何计算单项式与多项式相乘？例如： 2a2· (3a2 - 5b)该怎样计算? 这便是我们今天要研究的问题. 二、新知探究 已知一长方形长为（a+b+c），宽为m，则面积为:m（a+b+c） 现将这个长方形分割为宽为m，长分别为a、b、c的三个小长方形，其面积之和为ma+mb+mc 因为分割前后长方形没变所以m(a+b+c)=ma+mb+mc 上一等式根据什么规律可以得到？从中可以得出单项式与多项式相乘的运算法则该如何表述？（学生分组讨论：前后座为一组；找个别同学作答，教师作评） 结论单项式与多项式相乘的运算法则： 用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 用字母表示为：m(a+b+c)=ma+mb+mc 运算思路:单×多 转化 分配律 单×单 三、例题讲解 例计算：（1） (-2a2)· (3ab2– 5ab3) （2）(- 4x) ·(2x2+3x-1) 解：（1）原式= (-2a2)· 3ab2+ (-2a2)·(– 5ab3) ①=-6a3b2+ 10a3b3 ② (2)原式=(- 4x) ·2x2+(- 4x) ·3x+(- 4x) ·(-1) ①
如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明： （1）先把被除式2092 ++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． （3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面． （4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分． （5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法
∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 8．什么是综合除法？ 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ． 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再
单项式乘以单项式教学设计 一、教学目标 1．知识与技能 使学生理解单项式乘法法则，会进行单项式的乘法运算。 2．过程与方法 通过单项式乘法法则的推导，发展学生的逻辑思维能力。 3. 情感态度价值观 让学生主动参与探究，形成独立思考、勇于探究的习惯。 二、教学重点、难点： 重点：掌握单项式乘法法则。 （这是因为要熟练地进行单项式的乘法运算，就得掌握和深刻理解运算法则，对运算法则理解得越深，运算才能掌握的越好） 难点：单项式乘法法则有关系数和指数在计算中的不同规定（这是因为单项式的乘法最终将转化为有理数的乘法、同底数的幂相乘、幂的乘方、积的乘方等运算，对于初学者来说，由于难于正确辨认和区别各种不同的运算及运算所使用的法则，易于将各种法则混淆，造成运算结果错误。） 三、教学过程 1、创设情境，导入新课 引入课本中的问题2： 光的速度约为3 X105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约
是5 X102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？分析：距离二速度X时间；即(3X105 )X(5 X102 ); (1)怎样计算(3 X105 ) X(5 X102 ) ? (3X105)X(5X102) =(3 X5) X(105 X102) =15 X10 7 =1.5 X108 (千米) (2)如果将上式中的数字改为字母，比如ac5?bc5，怎样计算这个式子。 ac5?bc5是单项式ac5与be5相乘，我们可以利用乘法交换律、乘法结合律及同底数幂的运算性质来计算。 让学生回忆上学期单项式有关问题以及有关幂的运算来引入课题，以培养学生学习前后知识的连续性、一致性，由浅到深，循序渐渐，提高学生的学习兴趣，明确本节课的学习内容。 2、思考探索 2 5 3 2 通过计算4a2x5? 3a 3bx2，总结单项式乘以单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
§6.1 单项式与多项式（教学设计） 教学目标： 1.了解整式的有关概念，会识别单项式、多项式和整式。 2. 能说出一个单项式的系数和次数，多项式的项的系数和次数，以及多项式的项数和次数 3. 在参与对单项式、多项式识别的过程中，培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。 教学重难点： 1、能说出单项式的系数、次数 2、能说出多项式每一项的系数、次数，及整个多项式是几次几项式。 教学过程： 第一环节：课前提问，检查预习效果 让学生举手口答以下定义，不对的让同组学生纠正，同组都不会的让其它组回答，答对的加 第二环节：小组合作，探究新知 下面让我们逐一进行探究。 问题一：什么整式 找一小组上黑板板书答案，不同意见的同组修改，有问题的别组订正。 填空：（1）卖报的李阿姨从报社以每份0.35元的价格购进a 份《晚报》，以每份0.5元的价格售出b 份（b 问题二：什么是单项式 认识了整式，让我们继续探究整式中的内容 1. 其中，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个字母或数也是单项式。 找出下列代数式中哪些是整式？哪些是单项式？（写题号） （1）（2）（3）（4）（5） （6）（7）（8）（9） （10）（11）（12） （1）（3）（5）（6）（7）（9）（10）（11）（12）是整式，（3）（7）（11）（12）是单项式。 继续研究单项式中的内容 2. 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 ⑴3x 2,c ab ah 2,3 1 -的系数分别为3，31-,1次数分别为2,2,4。 ⑵ 中的字母有x,y,z ，各字母的指数分别是2,3,1 ，则该单项式 的次数为6。 问题三：什么是多项式 几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每一个单项式叫做项，其中，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数。 如：多项式 有两项为2a 和b a 3-，项的次数分别为1和4， 所以，多项式 是四次两项式。 ab a 22-2 31 2+-m n 21b a +2 2 2b a +a 45-a a 23 7312 -x 3 2+ x x 3-a 05.1z y x 3 23 2b a a 3 2-b a a 32- 整式的乘法 单项式与单项式相乘 教学内容：冀教版七年级下册10.4 整式的乘法第一课时 教学目标： 知识与技能 理解并掌握单项式与单项式相乘的法则，能够熟练 地进行单项式的乘法计算。 过程与方法 经历单项式与单项式相乘的法则的探究过程，培养 学生的归纳、归纳、猜测、验证等能力． 情感态度与价值观 在单项式与单项式相乘的计算过程中培养学 生认真细心的作风． 教学重点：．对单项式运算法则的理解和应用。 教学难点：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律。 教学方法：尝试教学法 教学用具：多媒体课件、投影仪、导学案 课时安排：一课时 教学过程： 一、准备尝试：（查漏补缺，学生分组采用记分制，比一比哪一组得 分最高） 1、指出下列公式的名称 指名学生回答。 2、只要认真，你就能全部计算正确，看谁一遍全部正确。 （1） （2） （3） n m n m a a a +=?mn n m a a =)(n n n b a ab =)(35x x ?3b b ?2 a a a ?? （4） （5） （6） （7） （8） 3、单项式中的数字因数叫做这个单项式的__________ 4、你能说出下列单项式的系数吗？ －4x 2 y (－2x 2y)2 5、利用乘法交换律、结合律计算： 二、创设情境，导入新课： 1、现有长为x 米，宽为a 米的矩形，其面积为多少平方米？ 2、长为x 米，宽为2a 米的矩形，面积为多少平方米？ 3、长为2x 米，宽为3a 米的矩形，面积为多少平方米？ 启发思考：在这里，求矩形的面积，会遇到223a x x a x a ???， 这是什么运算呢？ 导入新课： 因式都是单项式，它们相乘，就是我们今天要学习的“单项式与单项式相乘”。 出示课题和教学目标。 三、出示尝试题： 1、尝试把上面的计算表示成更简单的结果。 (1)a x ax ?= (2)22x a ax ?= (3)236x a ax ?= 2)(a -32)(a -3 23)(y x 2 32a a a ??)(25n m 5351b a -= ???251346m m ?-4)( 姓 名 学生姓名 上 课 时 间 辅导科目 数学 年级 初一 课时 2 教 材 版 本 人教版 课题名称 复习-----整式 教学目标 掌握整式的相关概念及整式的加减运算 教学重点 锻炼解题综合运用的能力 教学难点 先化简再求值的代数运算 教学及辅导过程 一 相关概念 1 单项式 （1）数或字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其 中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313-。 其含义有：①不含有加、减运算符号．②字母不出现在分母里．③单独的一个数或者字母也 是单项式．④不含“符号”． （2）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如 c b a 235-是6次单项式。注意系数与指数的区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看。 2 多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项 叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 （2）单项式和多项式统称整式。 3 同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 4 代数式 由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方等代数运算所得的式子，或含字母的表达式称为代数式、 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2 +÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好． （2)将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． (3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘,得x x 42+，写在2092++x x 的下面。 (４）从2092++x x 减去x x 42+,得差205+x ,写在下面，就是被除式去掉x x 42 +后的一部分。 （5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面,写成代数和的形式. （6)以商式的第二项5与除式4+x 相乘,得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0,表示恰好能除尽． （８）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 。 规范解法 ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数。 另外,以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x 。 8.什么是综合除法? 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式,而且它的首项系数为１时，情况比较特殊. 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ． 因为除法只对系数进行,和x 无关，于是算式（１）就可以简化成算式（２）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复,可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复,也可以省略．如果再把代数和中的“+”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2)就简化成了算式（3０的形式: 将算式(3)改写成比较好看的形式得算式（4)，再将算式(4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5)．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数． 多项式相除的这种算法,叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1. 整式 ---单项式 教材分析 本节课的主要内容是通过用字母表示简单的数量关系引出单项式及有关的概念，为进一步学习多项式、整式的加减做充分的准备。学情分析： 在小学他们已经学习过用字母表示数，这对于他们进一步学习用 字母表示简单的数量关系是有帮助的，因此在教学过程中除了引导他们正确地用字母表示数量关系外，应把重点放在他们对单项式有关概念的理解和运用上，为整式的加减做准备。 教学目标： 知识与技能 1、了解代数式的概念，会列代数式表示简单的数量关系，掌握代数式的书写注意事项； 2、理解单项式的概念，掌握单项式的系数和次数的概念，能判断一个代数式是不是单项式，对于一个单项式能说出它的系数和次数。 过程与方法 1通过练习、合作探究用字母表示简单的数量关系， 2通过引导学生观察、发现、归纳及变式训练掌握单项式、单项式的系数和次数的概念。 情感态度与价值观 1通过观察、体验、运用，让学生经历探索数量关系和变化规律 的过程，感受到用字母表示数的优越性。 2、在进一步理解用字母表示数量关系的过程中建立符号意识， 激发学生学习数学的积极性。 教学重点难点及突破 1、本节课的直接目标是让学生了解用字母表示数的概念，理解 单项式有关的概念，能分清代数式中的那些是单项式，并知道它们的系数和次数。 2、重难点的突破在于用字母表示数量关系及理解单项式有关的 概念。 教学准备：多媒体课件 【教学设计】， 一、课前复习 前一段时间我们学习了有理数，但许多时候，我们不能用具体的 数字来表示，却可以用字母来表示，那么这种表示方法有哪些呢?同学们，你们把下面的空填上给老师看看好吗? n只青蛙____张嘴，____只眼睛，____条腿，____声扑通跳下水。（打开ppt） 二、创设情境，引入新课 （幻灯片） （创设情境）举世瞩目的青藏铁路于2006年7月1日建成通车, 《单项式的乘法》教案 教材分析 【地位和作用】本课是版七年级下册第十一单元第三节。单项式与单项式相乘，综合用到了上册学的有理数的乘法、乘法交换律和结合律，本章前两节学习的同底数幂的乘法（直接应用），幂的乘方，积的乘方。是学生在利用以上运算的知识的结合和具体运用，也是学生以后学习单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的基础。通过本课重点培养学生的数学自信，有助于以后知识的顺利学习。 【新课标要求】《数学课程标准》中提出：理解数与代数运算的知识，提高发现和提出问题的能力，能否使用恰当的语言有条理的表达数学思想的过程，观察、实验、归纳的方法，能从现实生活中发现并提出简单的数学问题的观念。 【教材编写特点】从实际生活中的面积计算素材，作为新知识的形成和应用的背景，使学生经历实际问题“数学化”的过程以及数学知识应用于实际的过程，体验数学的价值。 学生分析 【学生能力特点】学生已经具备抽象思维、逻辑思维、自我评价的能力，具有思维活跃，但缺乏数学自信，学习数学感觉有困难。 【学生知识背景】七年级的学生通过之前的学习和生活实践，已经掌握同底数幂的乘法等方法，能够通过探究推导出单项式的乘法法则，学会发现问题的规律。 【学生发展区域】通过学习本课，学生可以获得在合作交流中获取知识的方法、观察、发现、归纳、概括的能力、理解特殊到一般再到特殊的认知规律观念的提升，数学自信心的提升。 教学目标 知识与技能 1．学生会用单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算； 2．通过自主探究和学习例题，提升归纳、概括能力以及运算能力； 过程与方法 1.通过面积的两不同算法，探索单项式运算法则的过程； 2.通过尝试运用乘法交换律、结合律和同底数幂的乘法法则，概括出单项式乘法法则； 第3课时多项式与多项式相乘 1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重点) 2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点) 一、情境导入 某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积． 学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现： 这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米． 另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米． 由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式． 二、合作探究 探究点一：多项式与多项式相乘 【类型一】直接利用多项式乘多项式法则进行计算 计算： (1)(3x＋2)(x＋2)； (2)(4y－1)(5－y)． 解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果． 解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4； (2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5. 方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【类型二】多项式乘以多项式的混合运算 计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)． 解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可． 解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23. 方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号． 探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用 如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算(X2 9x 20)--(x 4) 规范解法 jr+5 JC+4丿疋十9卄20 ~5A+20弘 卡20 (x2 9x 20) -：- (x 4) = x 5. 解法步骤说明： (1)先把被除式x2 9x 20与除式x 4分别按字母的降幕排列好. (2 )将被除式x2 9x 20的第一项x2除以除式x 4的第一项x，得 X2 - X = X，这就是商的第一项. (3)以商的第一项x与除式x 4相乘，得x2 4x，写在x2 9x 20的下面. (4)从x2 9x 20减去x2 4x，得差5x 20，写在下面，就是被除式去掉 x2 4x后的一部分. (5)再用5x 20的第一项5x除以除式的第一项x,得5x“x=5，这是商的第二项，写在第一项x的后面，写成代数和的形式. (6)以商式的第二项5与除式x 4相乘，得5x 20，写在上述的差5x 20 的下面. (7)相减得差0，表示恰好能除尽. (8)写出运算结果,(x2 9x 20) “ (x 4) = x 5. 例2 计算(6x5 -9x4 7x2 -20x 3) “(2x2 -x-5). 规范解法 齐"-；3十 6—1 2X S -A -5 +7J ( -20A +3~ 石才―3尤=□丘 ___________ ~曲+曲+ "xG 3耳"十】5+ _______ 12x^ 8^-20x~ 12F- -2JC J + jc +5 (6x 5 -9x 4 7x 2 -20x 3)“(2x 2 -x-5) 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用 0补位或空出；②余式的次数应低于 除式的次数. 另外，以上两例还可用分离系数法求解.如例 2. 3 - 3 十 6 - 1 2-1-5- 9 + 0 ■?■亍】20 + 3 6 - 3 二厲 _______________ -6 + 15 + 7 “ 6 十 3 +15 __________ 12 - 8 - 20 12 _ 6 亠30 -2 + 1 + 5 9 ~2 (6x 5 -9x 4 7x 2 -20x 3)“(2x 2 -x-5) 8.什么是综合除法？ 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行， 但当除式为一次 式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊. 如：计算(2x 3 3x-4)“(x -3). (1) 2/十 6x+2l ⑵ 2 + 6+21 x-3)2x^ 0 + 3x- 4 lfQ + 3 - 4 R-詔 ■?： - 6 6J J + 3X 6 + 3 [ 8.x Si-IS 21A -斗 21-4 21A -63 59 59 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）. = 3x ‘ -3x 2 6x-1 ....................... 余 9x-2 . =3x 3 -3x 2 6x-1 ........................ 余 9x-2 . 14.1.4整式的乘法 第1课时单项式与单项式相乘 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 会进行单项式乘单项式的运算. 【过程与方法】 经历探索单项式乘以单项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力. 【情感、态度与价值观】 培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 单项式乘法运算法则的推导与应用. 【教学难点】 单项式乘法运算法则的推导与应用. ◇教学过程◇ 一、情境导入 前面我们学习了幂的运算,我们知道整式有两种单项式与多项式,那么整式的乘法应有几种,哪种最简单? 二、合作探究 探究点1单项式乘单项式法则 典例1计算4x2y·(-x)=. [解析]根据单项式与单项式相乘,把它们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式,计算即可.4x2y·=-x3y. [答案]-x3y (-2x3y2)3·4xy2=. [答案]-32x10y8 探究点2求代数式的值 典例2如果x n y4与2xy m相乘的结果是2x5y7,求mn的值. [解析]由题意可知x n y4×2xy m=2x n+1y4+m=2x5y7, ∴n+1=5,4+m=7, ∴m=3,n=4, ∴mn=12. 探究点3法则应用 典例3计算(9×105)×(2.5×103)=.(用科学记数法表示) [解析](9×105)×(2.5×103)=9×2.5×105×103=22.5×108=2.25×109. [答案]2.25×109 探究点4幂的运算综合练习 典例4计算:(-3x2y2)2·2xy+(xy)3=. [解析](-3x2y2)2·2xy+(xy)3=9x4y4·2xy+x3y3=18x5y5+x3y3. [答案]18x5y5+x3y3 三、板书设计 单项式与单项式相乘 单项式乘单项式 ◇教学反思◇ 单项式与多项式 教学目标： 1.了解整式的有关概念，会识别单项式、多项式和整式。 2. 能说出一个单项式的系数和次数，多项式的项的系数和次数，以及多项式的项数和次数 3. 在参与对单项式、多项式识别的过程中，培养学生观察、归纳、概括和语言表达的能力。教学重难点： 1.学生能说出单项式的系数、次数 2.学生能说出多项式每一项的系数、次数，及整个多项式是几次几项式。 教学过程： 预习案 让学生举手口答以下定义，不对的让同组学生纠正，同组都不会的让其它组回答，答对的加分。（检查课前预习效果） 探究案 下面让我们逐一进行探究。 探究一：整式 找一小组上黑板板书答案，不同意见的同组修改，有问题的别组订正。 填空：（1）卖报的李阿姨从报社以每份0.35元的价格购进a份《晚报》，以每份0.5元的价格售出b份（b 元。 （3）某建筑物的窗户，上半部为半圆形，下半部为矩形，已知矩形长、宽分别为a 、b,这 扇窗户的透光面积是（ab+2 81a ∏）。 教师补充第五章中学过的代数式 回答：观察下面所得到的代数式，以及在第5章中所学过的代数式 2 18ab a π+，0.500.35b a -，1.05a ，22a r π+，2ab c +，43n 它们分别含有哪些运算？加减乘除。 对于字母来说，只含有加减乘除运算的代数式叫做整式。 探究二：单项式 认识了整式，让我们继续探究整式中的内容 1. 其中，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个字母或数也是单项式。 找出下列代数式中哪些是整式？哪些是单项式？（写题号） （1）（2）（3）（4）（5） （6） （7） （8） （9） （10）（11） （12） （1）（3）（5）（6）（7）（9）（10）（11）（12）是整式，（3）（7）（11）（12）是单项式。 继续研究单项式中的内容 2. 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 ⑴3x 2 ,c ab ah 2 ,31-的系数分别为3，31-,1次数分别为2,2,4。 ⑵ 23 23x y z 中的字母有x,y,z ，各字母的指数分别是2,3,1 ，则该单项式的次数为6。 ab a 22 -2 31 2+-m n 21 b a +22 2b a +a 45-a a 2373 12 -x 3 2+x x 3-a 05.1 1．4 整式的乘法 第1课时 单项式与单项式相乘 1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；(重点) 2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题．(难点) 一、情境导入 根据乘法的运算律计算： (1)2x ·3y ；(2)5a 2b ·(－2ab 2)． 解：(1)2x ·3y ＝(2×3)·(x ·y )＝6xy ； (2)5a 2b ·(－2ab 2)＝5×(－2)·(a 2·a )·(b ·b 2)＝－10a 3b 3. 观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？ 二、合作探究 探究点：单项式与单项式相乘 【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算 计算： (1)(－23a 2b )·56 ac 2； (2)(－12 x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2； (3)－6m 2n ·(x －y )3·13 mn 2(y －x )2. 解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可． 解：(1)(－23a 2b )·56ac 2＝－23×56a 3bc 2＝－59 a 3bc 2； (2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3×3xy 2×4x 2y 4＝－32 x 9y 9； (3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13 m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5. 方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合 已知－2x 31y 2与7x 53y 54的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值． 解析：根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x 5m －3y 5n －4的积与x 4y 是同类项可得出关于m ，n 的方程组， 进而求出m ，n 的值，即可得出答案． §6.1单项式与多项式（总第 课时） 预习目标： 1、了解整式的相关概念，会识别单项式、多项式、整式，及其系数和次数 2、在参与对单项式、多项式的识别过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力 3、锻炼学生的语言表达能力。 预习重点： 1、 能说出单项式的系数、次数 2、 能说出多项式每一项的系数、次数，及整个多项式是几次几项式。 预习内容： 任务一：思考下列问题 （1）卖报的李阿姨从报社以每份0.35元的价格购进a 份《晚报》，以每份0.5元的价格售出b 份（b 整式得乘法(二) 单项式乘以多项式(教案) 学习目标 1.在具体情景中,了解单项式乘以多项式得意义,理解单项式与多项式得乘法法则; 2.能熟练、正确地运用法则进行单项式与多项式得乘法运算、 3.经历探索乘法运算法则得过程,让学生体验从“特殊”到“一般”得分析问题得方法,感受“转化思想”、“数形结合思想”,发展观察、归纳、猜测、验证等能力、 4.初步学会从数学角度提出问题,运用所学知识解决问题,发展应用意识、通过反思,获得解决问题得经验、发展有条理得思考及语言表达能力、 学习重点:在经历法则得探究过程中,深刻理解法则从而熟练地运用法则、 学习难点:正确判断单项式与多项式相乘得积得符号、 学习过程: 一、复习回顾 1、单项式与单项式怎样相乘、 单项式与单项式相乘,把它们得系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有得字母,则连同它得指数作为积得一个因式、2、单项式与单项式怎样相乘运用了哪些乘法运算律？除此之外,还有什么乘法运算律? 单项式与单项式相乘运用了乘法交换律、结合律, 一、联系生活设境激趣 问题一:1、在一次绿色环保活动中购买奖品如下表, ⑴有几种算法计算共花了多少钱？⑵各种算法之间有什么联系？ 请列式:方法1: ; 方法2:、联系……① 2．将等式15(5、20+3、40+0、70) =15×5、20+15×3、40+15×0、70 中得数字用字母代替也可得到等 式:m(a+b+c)=ma+mb+mc;……② 问题二:三家连锁店以相同得价格m (单位:元/瓶) 销售某种商品,它们在一个月内得销售量(单位:瓶) 分别就是a,b,c。您能用不同得方法计算它们在这个月内销售这种商品得总收入吗? 方法一:先求三家连锁店得总销量,再求总收入,即 总收入(单位:元)为:m(a+b+c) 方法二:先分别求三家连锁店得收入,再求它们得与, 即总收入(单位:元)为:ma+mb+mc 二、探究学习,获取新知、 《单项式乘以多项式》教学反思《单项式乘以多项式》教学反思 《单项式乘以多项式》教学反思1 这节课的重难点是掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用。 一复习引入 复习单项式乘以单项式的法则 二引入新课 举出三个例子，提问学生它们等于什么？你是怎么样计算的？ 如何进行单项式与多项式相乘的运算？ 分小组讨论，让学生自己探索出单项式乘以多项式的法则，在探索过程中运用的以前学生的乘法分配律，推出单项式乘以多项式转化成单项式乘以单项式。 单项式乘以多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘以多项式每一项，再把所得积相加。 注意在进行运算时的运算顺序以及符号的确定。 例题讲解 评讲例一中的（1）、（3）。第一道题主要讲述了做题过程的书写。第二道题，单项式带着负号，给学生强调连同负号把它看成整体，乘以多项式的每一项，首先要确定每 一项的符号，再进行单项式乘以多项式中的每一项，不能漏乘，最后合并同类项，化简到最简形式。 跟踪训练这种类型的题. 课堂练习 这节课以学生练习为主，学生对法则的巩固和运用。 1、在教学过程我始终围绕学习目标和学习重难点展开。我首先复习了单项式乘以单项式的知识，然后让学生自己得出本节课的研究内容。充分调动了学生的学习的积极性和主动性，以学生为主体地位。 2、单项式乘以多项式，这一部分的内容是依据乘法分配律。要注意运算时的运算顺序以及确定的符号，在这过程中强调不要漏乘。 《单项式乘以多项式》教学反思2 1.教学过程始终围绕教学目标展开。我首先复习了单项式乘以单项式的知识，然后让学生自己得出本节课的研究内容，并举出了一个单项式乘以多项式的实例。在进行单项式乘以多项式的法则的生成教学时。我先在具体情境中让学生用不同方法计算长方形面积从而抽象出一个单项式乘以多项式的等式，并引导学生用学过的知识来说明这个等式的正确性。在这点上，我认为自己处理的比较好。在接下来的知识应用中用适量例题来掌握法则的.运用。例题难度呈阶梯形，层层深入。用适 §6.1 单项式与多项式（教案） 教学目标： 1.了解整式的有关概念，会识别单项式、多项式和整式。 2. 能说出一个单项式的系数和次数，多项式的项的系数和次数，以及多项式的项数和次数 3. 在参与对单项式、多项式识别的过程中，培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。 教学重难点： 1、能说出单项式的系数、次数 2、能说出多项式每一项的系数、次数，及整个多项式是几次几项式。 教学过程： 预习案 让学生举手口答以下定义，不对的让同组学生纠正，同组都不会的让其它组回答，答对的加 探究案 下面让我们逐一进行探究。 探究一：整式 找一小组上黑板板书答案，不同意见的同组修改，有问题的别组订正。 填空：（1）卖报的李阿姨从报社以每份0.35元的价格购进a 份《晚报》，以每份0.5元的价格售出b 份（b 探究二：单项式 认识了整式，让我们继续探究整式中的内容 1. 其中，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个字母或数也是单项式。 找出下列代数式中哪些是整式？哪些是单项式？（写题号） （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9） （10）（11）（12） （1）（3）（5）（6）（7）（9）（10）（11）（12）是整式，（3）（7）（11）（12）是单项式。 继续研究单项式中的内容 2. 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 ⑴3x 2,c ab ah 2,3 1 -的系数分别为3，31-,1次数分别为2,2,4。 ⑵ 中的字母有x,y,z ，各字母的指数分别是2,3,1 ，则该单项式 的次数为6。 探究三：多项式 几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每一个单项式叫做项，其中，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数。 如：多项式 有两项为2a 和b a 3-，项的次数分别为1和4， 所以，多项式 是四次两项式。 ab a 22-2 31 2+-m n 21b a +2 2 2 b a +a 45-a a 23 7312 -x 3 2+ x x 3-a 05.1z y x 3 23 2b a a 32-b a a 32-单项式乘以单项式的教学设计
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