本文给出瑕积分收敛性的判断方法，并将其运用到瑕积分的解题之中．判断瑕积分收敛的方法主要有定义法、比较法和柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，被积函数的原函数已知或易求的用定义法；满足狄利克雷判别法条件的函数用狄利克雷判别法；满足阿贝尔判别法条件的函数用阿贝尔判别法；含有正弦、余弦等有界函数或绝对收敛的函数可考虑用比较法来判断.依据两类含参量反常积分可以互化的关系，从含参量无穷限积分的一致收敛的判定定理出发，给出了含参量瑕积分一致收敛性的判定定理及其证明．最后给出了瑕积分计算可简化的两种形式,以便能够更方便更准确的计算出瑕积分的值.
关键词：瑕积分；收敛；含参量瑕积分；含参量无穷限积分；一致收敛
In this paper, we give the flaw integral convergence judgment method, and apply to solving of flaw integral. Judging method of flaw integral convergence are mainly definition method, comparative method and cauchy-criterion principle. Definition method can be used when integrand is easly obtained. Dirichlet test and Abel's test are carried out when some conditions are satisfied. Comparative method can be used when sine or cosine function and so on, bounded function is included.
By means of the relation between the two abnormality integral containing parameters, the judgment theorem of consistent astringency of flaw integral containing parameters is deduced from the judgment theorem of consistent astringency infinite integral containing parameters. Some typical examples are given to illuminate the application of the obtained judgment and theorem. This paper presents some conditions under which defect integral can be computed as common intergral.We prove that defect integral canbe computed as common intergral if the original function of the integrand is continuous of bounded on the integeral interval.
Key words:Flaw integral; Convergence; Flaw integral containing parameters; Infinite integral containing parameters; Consistent astringency
目录
摘要 ............................................................................................................................ I Abstract ......................................................................................................................... II
1 引言 (1)
2 瑕积分敛散性的判别方法和应用 (2)
2.1 瑕积分的定义 (2)
2.2 瑕积分的性质 (3)
2.3 瑕积分的收敛判别法 (4)
2.4 瑕积分收敛判别法的应用举例 (5)
2.5 柯西判别法的延伸及应用 (6)
3 含参量瑕积分一致收敛的判定和应用 (9)
3.1 含参量瑕积分的定义 (9)
3.2 含参量瑕积分一致收敛的判别法 (9)
3.3 含参量瑕积分判定收敛法的应用 (13)
4 瑕积分计算的简化 (16)
4.1 瑕积分计算可简化的第一种情形 (16)
4.2 瑕积分计算可简化的第二种情形 (18)
5 总结和展望 (21)
参考文献 (22)
致谢 ......................................................................................... 错误！未定义书签。
1 引言
现在国内外关于瑕积分敛散性的判别方法的研究非常丰富,取得了很好的成果,其中不乏有所突破的地方,例如：李灼庭发表的《关于瑕积分敛散性教学上的一些问题》在瑕积分的教学中收到了很好的效果.又如：石秀文和张广慧发表的《瑕积分敛散性的判断技巧》和《瑕积分敛散性的判别方法与应用》更加丰富了瑕积分的敛散性判别方法与应用.
瑕积分收敛性的判断是学生学习的难点之一，判断瑕积分收敛的方法有多种,《数学分析》教材上给出的常用的方法主要有定义法、比较法、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.本文将通过对瑕积分收敛性的几个特性及判断瑕积分收敛的一些技巧和规律的研究,使学习者能够更快、更好的掌握瑕积分收敛性的判断方法.
含参量瑕积分又是瑕积分的一个重要分支，对含参量瑕积分的探讨，又能更好的来研究瑕积分的收敛性.瑕积分收敛的判别方法在含参量瑕积分收敛中也有重要的应用，从而推出含参量瑕积分一致收敛的判别方法.
由于瑕积分的复杂性，导致其运算过程往往是很复杂的，利用怎样的方法，才能使瑕积分的运算更简便,本课题也将给予研究.
本文分为四大部分：即摘要，引言，正文和总结.而正文又分为三大章.
第一章：瑕积分敛散性的判别方法和应用，着重介绍瑕积分敛散性的判别方法以及这些方法在实际问题中的应用.第一节叙述瑕积分的定义；第二节给出瑕积分的一些基础性质；第三节列出瑕积分敛散性的判别方法，如：比较法；柯西判别法等等；第四节主要是瑕积分判别法的应用举例；第五节是关于柯西判别法的延伸．第二章：含参量瑕积分一致收敛的判定和应用，着重介绍瑕积分中的含参量瑕积分敛散性的判别方法以及其在实际问题中的应用.第一节叙述含参量瑕积分的定义；第二节列出了含参量瑕积分敛散性的判别方法，如：柯西判别法；M判别法；狄利克雷判别法等等；第三节主要是一些应用举例.
第三章：瑕积分计算的简化，着重解决瑕积分与定积分之间的关系，讨论何种情形下瑕积分才可以转化为定积分的运算，并给出一些瑕积分能够转化为定积分计算的例子．
正文通过这三章，解决了在实际生活中遇到的瑕积分的一些问题,达到了本文的研究目的，收到了预期良好的效果.
2 瑕积分敛散性的判别方法和应用
2.1 瑕积分的定义
定义 2.1 f 定义在区间(],a b 上,在点a 的任一右邻域内无界,但在任何闭区间
),(],[b a b u ?上有界且可积.如果存在极限J dx x f b
u a
u =?+→)(lim ,则称此极限为无界函数f
在(],a b 上的反常积分,记作 ?=b a dx x f J ,)( 并称反常积分dx x f b
a ?)(收敛.如果极限
J dx x f b
u
a u =?
+→)(lim
不存在,这时也说反常积分?b
a dx x f )(发散.
在定义中,被积函数f 在点a 近旁是无界的,这时点a 称为f 的瑕点,而无界函数反常积分?b
a dx x f )(又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为
b 时的瑕积分：
.)(lim )(??
-→=u
a
b
u b
a
dx x f dx x f
其中f 在),[b a 有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[][),,a u a b ?上可积.
若f 的瑕点(,)c a b ∈,则定义瑕积分
?????
+-→→+=+=b
v
c
v u a
c
u b a
c a
b
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f .)(lim )(lim )()()(
其中f 在[,)(,]a c c b ?上有定义,在点c 的任一邻域内无界,但在任何[][),,a u a c ?和
[)[,],v b c b ?上都可积.当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.
又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[,](,)u v a b ?上可积,这时定义瑕积分
?????
-+→→+=+=v
c
b
v c u
a
u c a
b c
b
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ,)(lim )(lim )()()(
其中c 为(,)a b 内任一实数.当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是
收敛的.
例1 瑕积分
?
1
的值.
解 被积函数()f x
=在)1,0[上连续,从而在任何)1,0[],0[?u 上可积,1
x =为其瑕点.依定义求得
.2
arcsin lim 1lim 11
2
1
1
2
π
=
=-=---→→?
?
u x
dx x
dx u u
u
例2 讨论瑕积分1
0(0)q
dx
q x >?
的收敛性. 解 被积函数在()0,1上连续,0=x 为其瑕点.由于
(),ln ,(),{q u q q q u q u dx u x --≠-
-==<
1
111101 故当01q <<时,且lim q q u u dx dx x x q
+→==-??1
1001
1，则瑕积分收敛；
而当1q ≥时,瑕积分发散于+∞. 注 当01q <<时,瑕积分1()()1q b
q a
dx b a x a q --=--?收敛,而当1q ≥时,瑕积分?-b a q a x dx
)
(发散于+∞. 2.2 瑕积分的性质
类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质,瑕积分同样可由函数极限
dx x f dx x f b
a
b
u
a u ??
=+→)()(lim
的原意写出相应的命题.
定理2.1[1]
瑕积分?b
a
dx x f )((瑕点为a )收敛的充要条件是：任给0>ε存在0>δ,
只要1u 、),(2δ+∈a a u ,总有
2
1
2
1
()()().b
b
u u u u f x dx f x dx f x dx ε-=
??
性质 1 设函数1f 与2f 的瑕点同为x a =,12k k 、为常数,则当瑕积分dx x f b
a
)(1?与
?
b
a
dx x f )(2都收敛时,瑕积分dx x f k x f k b
a
?+)]()([2211必定收敛,并有
???
+=+b
a
b a
b
a
dx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211
性质2 设函数f 的瑕点为a x =,f 在],(b a 的任一内闭区间],[b u 上可积.则当
?
b
a
dx x f )(收敛时?b
a
dx x f )(也必定收敛,并有
??
≤b
a
b
a
dx x f dx x f )()(.
性质 3 设函数f 的瑕点为),(,b a c a x ∈=为任一常数.则瑕积分?b
a
dx x f )(与
?
c
a
dx x f )(同敛态,并有
???
+=b
c
c a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(,
其中?b
c
dx x f )(为定积分.
2.3 瑕积分的收敛判别法
定义 2.2 当?b
a
dx x f )(收敛时,称?b
a
dx x f )(为绝对收敛.称收敛而不绝对收敛的
瑕积分是条件收敛, 判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下：
定理2.2 (比较法则) 设定义在],(b a 上的两个函数f 与g ,瑕点同为x a =,在任何],(],[b a b u ?上都可积,且满足],(),()(b a x x g x f ∈≤,则当?
b
a
dx x g )(收敛
时,dx x f b
a
?)(必定收敛(或当dx x f b
a
?)(发散时,dx x g b
a
?)(亦必发散).
当选用?
-b
a
p a x dx
)
(作为比较对象?b a dx x g )(时,由比较法则得到以下三个重要推论， 推论1 设f 定义于],(b a ,a 为其瑕点,且在任何],(],[b a b u ?上可积,则有： (i)当p a x x f )
(1
)(-≤
,且10<
(1)(p a x x f -≥
且1≥p 时,?b a dx x f )(发散. 推论2 设f 定义于],(b a ,a 为其瑕点,且在任何],(],[b a b u ?上可积.如果
λ=-+→)()(lim x f a x p a
x ,则有：
(i)当10<
?)(收敛； (ii)当1≥p ,+∞≤<λ0时dx x f b
a ?)(发散.
推论3 设定义在],(b a 上的两个函数f 与g ,瑕点同为x a =,又若0)(>x g ,且
c x g x f a x =+
→)
()(lim
,则有：
(i)当+∞<≤c 0时,由?b
a
dx x g )(收敛可推知?b
a
dx x f )(也收敛；
(ii)当+∞≤ dx x g )(发散可推知?b a dx x f )(也发散. 2.4 瑕积分收敛判别法的应用举例 例1 判别下列瑕积分的收敛性：(1)[2] ?1 ； (2) ? 1 解 本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号 在]1,0( 上恒为负, ]2,1(上恒为正,所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事. (1)此瑕积分的瑕点为0=x .由上述推论3,当取p = <3 14 时,有 ln lim lim lim(),x x x x x x x λ+++ →→→-==-==31 4 4 10004 40 所以瑕积分(1)收敛. (2)此瑕积分的瑕点为1=x .当取1=p 时,由 lim()lim ,ln ln x x x x x x λ+ + →→-=-? ==11111 故该瑕积分发散. 例2[3] 讨论反常积分dx x x a a ? ∞ +-+=Φ0 1 1)(的收敛性 . 解 这是一个既是无穷积分又是瑕积分的例子. 把反常积分)(a Φ写成：()()()a x x a dx dx I a J a x x α-+∞Φ=+=+++??1 1 0011． (i)先讨论)(a I .当01≥-a ,即1≥a 时它是定积分；当a <1时它是瑕积分,瑕点为 0=x .由于 lim a a x x x x + --→?=+1 1011, 根据定理 2.2推论2,当,110<-=a 且1=λ时,瑕积分)(a I 收敛；当 p α=-≥11,即0≤α且λ=1时,)(αI 发散. (ii)再讨论)(αJ ,它是无穷积分.由于 lim lim ,x x x x x x αα --→+∞ →+∞?==++121111 根据定理2.2推论2,当12>-=αp ,即a <1且1=λ时,)(αJ 收敛；而当21p α=-≤,即1α≥且=λ1时,)(αJ 发散. 由此可见,反常积分)(αΦ只有当10<<α时才是收敛的. 例3 讨论反常积分dx x e x ?+∞ -0ln 的收敛性 . 解 dx x e x ? +∞ -0 ln dx x e x ?-=10 ln dx x e x ?+∞ -+1 ln ,由0ln lim 2 10 =-→+x e x x x ,知瑕积分 dx x e x ? -1 ln 收敛,又由于,0ln lim 2 =-+∞ →x e x x x 知无穷积分dx x e x ?+∞ -1 ln 收敛,从而可知反常 积分dx x e x ?+∞ -0 ln 是收敛的. 2.5 柯西判别法的延伸及应用 以下设函数()f x 以a 为瑕点,在闭区间[],a u 上可积[5]. 一、若两个函数f 与g ,瑕点同为x a =,且0)(>x g ,c x g x f a x =+ →) ()(lim ， 由柯西判别法则()f x dx ?与()g x dx ?同敛散. 则 (1)() b a dx x ?? 1与()b k a dx x a -?1 同敛散,即1k <时收敛,k ≥1时发散． (2)() () b k a x dx x a ?-? 与() b k a dx x a -?1 同敛散． 注 若直接用柯西判别法,由上可知(1)取p k =,即1k <时收敛,1k ≥时发散, 同理(2)p a k =-,这样参数k 就容易确定了. 例1 讨论瑕积分收敛性： (1) (ln )a dx x ? 2 1 1 (2)π?01 (3)cos a x dx x -?101 解 (1)[]ln ln ()~(),()a a a x x x x =+--→1111,故a <1时收敛, 1a ≥时发散. 即k <1时收敛,k 1≥时发散. 若用柯西判别法,由上可知取p a =,lim()lim ln ln a a a x x x x x →→-==1111 11即a <1时收敛,a ≥1时发散.即k <1时收敛,k ≥1时发散, lim()lim ln ln a a a x x x x x →→-==1111 11即a <1时 收敛,a ≥1时发散. (2)0为瑕点,易知其收敛． (3)当a ≤0,cos a x dx x -?101为定积分,当a >0时,0为瑕点,取p a k =-,易知其收敛情况,那么熟知其等价性参数就容易确定了. 二、 (i)若f 定义于[),a +∞，在任何有限区间[],a u 上可积,且lim ()p x x f x λ→∞ = 由柯西判别法，则瑕积分与()b a f x dx ?同敛散. 因为 lim()()()lim()()p p x a x x a f x x A x a f x A ?λλ→→-=-==11 ． 同为正数或同为+∞,所以由柯西判别法()b a f x dx ?与()()b a f x x dx ??的参数p 的值相 等. 例2 讨论瑕积分收敛性 (1) ? (2) arctan x dx x -?1301 (3)[9] ?21 解 (1)被积函数的瑕点为1，故 ? 与?101 同收敛；若用柯西判别 法,由上可知，取12p =，则1λ=， 故收敛. (2)被积函数的瑕点为 1 arctan x dx x -?1 301与dx x -?1011敛散性相同,应用柯西判别法可知p =1,π λ= 12 ， 故收敛. (3)被积函数的瑕点1和2.,所以 J J =+=+? ??3 2 23121 1 2 J ==? ?3 3 11 1 1 与 ? 3 1 1 同收敛.用柯西判别法,由上可知(1)取则12p =，1=λ,同理J 2与 ? 2 32 1 用柯西判别法,由上可知(1)取12p =,则1λ=故收敛,若熟悉了性质2,可先用性质2将形式上复杂的被积函数的瑕积分转化为简单函数的瑕积分,这将有助于简化问题,从而更容易确定参数p . (ii)若被积函数含有因ln x 且0为瑕点,我们要熟悉极限 + lim ln ,m x x x m N αα+→=>∈0 00（）,0λ=取1p <且使上式中0a >即可知收敛． 例3 判断瑕积分的收敛性 (1)2 1 0(ln )dx x ? (2)? 1 (3)? 1 解 (1)被积函数的瑕点为0， lim ln ,m x x x m N αα+ +→=>∈0 00（）,12p =,则0=λ柯西判别法可知收敛. (2)被积函数的瑕点为0和1 故 J J =+=+? ? 1 1 1 2120 由性质2及性质3知收敛 . lim lim x x - - →→==1 1 0, 即p =12,则0=λ所有(2)收敛. (3)被积函数的瑕点为0， -lim lim ln p p x x x x x λ++→→==1200 由性质3知, 102p - >,则0=λ，柯西判别法可知须使1p <,故取3 4 p =,积分收敛. 通过实例使我们看到,以上三点是瑕积分收敛的基本的特性，在瑕积分的敛散性讨论中起到了很重要的作用. 3 含参量瑕积分一致收敛的判定和应用 3.1 含参量瑕积分的定义 定义 3.1 设(,)f x y 在区域[][),,R a b c d =?1上有定义.若对x 的某值, y d =为函数(,)f x y 的瑕点(一下的含参量瑕积分未加说明都同此),则称 (,)d c f x y dy ? (1) 为含参量x 的瑕积分. 定义 3.2 对任给的正数ε,总存在某正数c d -<δ,使得当ηδ<<0时,对一切 x []b a ,∈,都有 (,)d d f x y dy η ε- ,则称含参量瑕积分(1)在上[],a b 一致收敛. 3.2 含参量瑕积分一致收敛的判别法 定理 3.1(柯西收敛准则) 含参量瑕积分(,)d c f x y dy ?在[],a b 上一致收敛的充要 条件是：对任给的正数ε,存在不依赖于x 的0>δ,使得当ηηδ'<<<0时,对一切 x []b a ,∈,都有 (,)d d f x y d y ηη ε' -- (2) 证明 ［必要性］由(1)在x []b a ,∈上一致收敛,故对任给的0ε>,存在 δ(0)d c δ<<-,使得ηηδ'<<<0时,有(,)2 d d f x y dy η ε -< ? 与 (,)2 d d f x y dy ηε ' -< ? 同时 成立.则有 (,)(,)(,)(,)(,)d d d d d d d d d d f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy ηη η ηη ηε' -' ' -----= -≤ + ? ? ? ? [充分性］由所给条件知：对任给正数ε,存在不依赖于x 的δ(0)d c δ<<-使得当 ηηδ'<<<0时,对一切x []b a ,∈,都有 (,)d d f x y dy ηη ε' -- 成立.令0→'η,则有 (,)d d f x y dy ηε' - 成立.由定义2知：含参量瑕积分(1)在[],a b 上一致收敛. 注 根据含参量瑕积分(,)d c f x y dy ?一致收敛的柯西准则,我们可以给出其非一致收敛 充要条件：00ε?>,对0δ?>(c d -<δ),120ηηδ?<<<,[]0,x a b ?∈有 1 2 00(,)d d f x y dy ηηε--≤? 定理3.2(魏尔斯特拉斯M 判别法) 设有函数()g y ,使得 ()(,)(),,f x y g y a x b c y d ≤≤≤≤≤ (3) 若()d c g y dy ?收敛,所以由瑕积分的柯西收敛原则知：对于任给的ε>0,存在 δ>0(<0c d -<δ),对于任意的η,η',且ηηδ'<<<0,有d-d-()g y dy ηη ε' 又由(3)可 得 d-d-(,)(,)()d d d d f x y dy f x y dy g y dy ηηηη η η ε' ' ' ----≤≤ ? ? . 故由定理3.1知：含参量瑕积分(,)d c f x y dy ?在[],a b 上一致收敛. 定理 3.3(Heine 归结原则) 含参量瑕积分(,)d c f x y dy ?在[],a b 上一致收敛的充 要条件是：对任意递增数列{}n A (1A c =),()n A d n →→∞时,相应的函数项级数 (,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞ ∞ ===∑∑? 1 11 (4) 在[],a b 上一致收敛. 证明 ［必要性］因为(1)在[],a b 上一致收敛,由定理1 知对任给的0>ε,必存在 0δ>(0)d c δ<<-,当ηηδ'<<<0时,对一切[],x a b ∈,总有 d-d- (,)f x y dy ηη ε' 成立. 令n n d A η=-,由n A d →()n →∞且n A 递增.则0n η→()n →∞且递减.由数列极限定义,对上述δ>0,存在正整数N,只要m n N >>时,就有0m n ηηδ<<<,于是 ()()()n n m u x u x u x ++++ 1 =(,)(,)n m n m A A A A f x y dy f x y dy ++++? ? 1 1 =1 (,)m n A A f x y dy +? = 1 (,)m n d d f x y dy ηηε+-- ． 根据函数项级数柯西一致收敛准则函数项级数(4)在[],a b 上一致收敛. ［充分性］用反证法.假设(1)在[],a b 上非一致收敛,则存在某一正数00ε>,使得对于0δ?>(<0c d -<δ),存在相应的ηηδ'<<<0和[],x a b '∈,有 0(,)d-d- f x y dy ηη ε' '≥?. 现取{}min ,d c δ=-11,则存在ηηδ<<<2110及[],x a b ∈1,使得 2 1 10(,)d d f x y dy ηηε--≤? 一般的取11min ,n n n n δηη-?? =-????(2n ≤),则有<01n n n ηηδ+<<及[],n x a b ∈使得 1 0(,)n n d n d f x y dy ηηε+--≥? (6) 令n n A d η=-,则{}n A 是是递增数列, 且有lim n x A d →∞ =.考察级数 ()n n u x ∞=∑1 =(,)n n A A n f x y dy +∞ =∑? 1 1 由(6)式知存在正数ε>00,对任意正整数N,只要n N >就有 某个[],n x a b ∈,使 ()(,)n A n n n n u x f x y dy ε+= ≥? 1 这与函数项级数(4)在[],a b 上一致收敛的条件矛盾,故(1)在[],a b 上一致收敛. 定理3.4(狄利克雷判别法) 若含参量瑕积分(,)(,)d c f x y g x y dy ?满足： (1)对一切c d d '<<,含参量正常积分(,)d c f x y dy ' ?对参量x 在[],a b 上一致有界， 即存在正数M ,对任何c d d '<<,及一切[],x a b ∈, (,)d c f x y dy M ' ≤? . (7) (2)对每一个[],x a b ∈,函数(,)g x y 关于y 单调且当y d →时,对参量x , (,)g x y 一致收敛于0.则含参量瑕积分(,)(,)d c f x y g x y dy ?在[],a b 上一致收敛. 证明 由(1)可知：对一切c d d η<-<及一切[],x a b ∈,存在正数M >0,有 (,)d c f x y dy M η-≤? (8) 由条件(2)可知：对任意的0ε>,存在与x 无关的0δ>()d c δ<-,使得当0ηδ'<<,且 d y d η'>>-时,对于任意的[],x a b ∈,有(,)g x y M ε ≤ (9) 从而当0ηδ'<<时,有积分中值定理和(8)、(9)可以得到 (,)(,)d d f x y g x y dy η η-' -? =(,) (,)d g x d f x y dy ξ ηη' -'-? +(,) (,)d g x d f x y dy η ξ η--? M M M M ε ε ≤+ =ε2． 其中ξ在d η-和d η'-之间.故由定理1知含参量瑕积分(,)(,)d c f x y g x y dy ?在[],a b 上一 致收敛. 定理3.5(阿贝尔判别法) 若含参量瑕积分(,)(,)d c f x y g x y dy ?满足： (i)含参量瑕积分(,)d c f x y dy ?在[],a b 上一致收敛； (ii)对每一个[],x a b ∈,函数(,)g x y 为y 的单调函数,且对参量x ,(,)g x y 在[],a b 上一致有界,则含参量瑕积分(,)(,)d c f x y g x y dy ?在[],a b 上一致收敛. 证明 由(ii)知存在M >0,对参量[],x a b ∈,有(,)g x y M ≤ (10) 因为(i)含参量瑕积分(,)d c f x y dy ?在[],a b 上一致收敛,所以由定理1知：对任给的0ε>, 存在与x 无关的0δ>()d c δ<-,使得ηηδ'<<<0时,有 (,)d d f x y dy M ηη ε ' --< ? (11) 故对任意[],x a b ∈,由积分中值定理和(10)、(11)可得： (,)(,)d d f x y g x y dy ηη ' --? =(,)(,)(,)(,)d d g x d f x y dy g x d f x y dy ξ ηηξ ηη' --'-+-?? (,) (,)(,) (,)d d g x d f x y dy g x d f x y dy ξ ηη ξ ηη' --'≤-+-? ? M M M M ε ε ≤ + ε=2． 其中ξ在d η-和d η'-之间. 故由定理3.1 知，含参量瑕积分(,)(,)d c f x y g x y dy ?在[],a b 上一致收敛. 定理3.6 设法(,)f x y 在[][),,a b c d ?上连续,对任何[),x a b ∈,(,)d c f x y dy ?收敛, 且(,)d c f b y dy ?发散,则(,)d c f x y dy ?在上[),x a b ∈不一致收敛. 证明 用反证法,若(,)d c f x y dy ?在[),x a b ∈上一致收敛,由柯西收敛准则：对任给 的0ε>,存在0δ>()d c δ<-,当ηηδ'<<<0时,对一切[),x a b ∈有 (,)d d f x y dy ηη ε' -- , 根据假设(,)f x y 在[][],,a b d d ηη'?--上连续,对含参量正常积分应用连续性定理,令 x b -→,有 (,)d d f b y dy ηη ε' --≤? . 这与所设含参量瑕积分(,)d c f b y dy ?发散相矛盾.故(,)d c f x y dy ?在[),x a b ∈不一致收敛. 3.3 含参量瑕积分判定收敛法的应用 例1 [12] 证明含参量瑕积分()(,) x ∈? 1 01在(,)01上一致收敛. 证明 因为 1 1 0=+x x ? ??, 所以对于含参量瑕积分 x ? ,由于 x x η -? x x η -≤? x x η-≤=?, 故对于任给的0ε>,取214δε=,当10ηδ<<时,即有x x ε- .因此,对于x <<01它是一致收敛的. 对于积分1 x ? ,由于 x x η +? x x η +≤=? 故对任给的0ε>,取214δε=,当10ηδ<<时,即有 x x η +? ε<， 因此,对于x <<01它是一致收敛的, 于是积分1 ?,对于()0,1x ?∈上一致收 敛. 例2 证明含参量瑕积分2 0x ? []0,2x ?∈一致收敛. 证明 易见,y y ==12是瑕点,将积分分成在(,)01及(,)12上的两个积分. 当y <<01且[]0,0.5x ∈时, ≤ (12) 当y <<12且[]0,0.5x ∈时, ≤ (13) 易证(12)、(13)右端的函数在区间(,)01和(,)12上的积分收敛,所以由定理2知 2 0x ? 在[]0,2上一致收敛. 例3 证明含参量瑕积分10 ln()xy dy ?在,b b ?? ???? 1()1b >上一致收敛. 证明 由条件可知 ln()ln ln ln ln ln ln xy x y x y b y =+≤+≤-， 而()10 ln ln b y dy -?收敛.所以由定理3.2知10ln()xy dy ?在,b b ?? ???? 1(b >1)上一致收敛. 例4 判断含参量瑕积分1 11sin x dy y y ?在开区间(),02是否一致收敛. 解 因为1 11sin x dy y y ?发散,所以由定理3.6知1011 sin x dy y y ?在开区间(),02非一致收敛. 例5 证明含参量积分1 xy e -?在[]0,d 上一致收敛. 证明 由于1 ? 收敛(当然,对于含参量x ,它在[]0,d 上收敛).函数(,)g x y =xy e -,对每个[]0,x d ∈单调,且对任何的0,01x d y ≤≤≤≤,都有 (,)1xy g x y e -=≤, 故由定理3.5知1 11sin x dy y y ?在[]0,d 上一致收敛. 4 瑕积分计算的简化 4.1 瑕积分计算可简化的第一种情形 瑕积分与定积分的本质差别,在于被积函数在有限积分区间上是否有界.求定积分的计算最终归于牛顿—莱布尼兹公式的应用,由于瑕积分不满足公式的条件(被积函数连续或仅有有限个第一类间断点),通常瑕积分不能像定积分一样按牛顿—莱布尼兹公式计算.但根据实践,我们发现一些瑕积分不只形似定积分,且完全可以用牛顿—莱布尼兹公式计算,既快捷又准确. 例1 求10 ? ． 解 属于瑕点1x =在上限的瑕积分,按定义有 1 ? =100lim εε+-→? =10 -lim ε ε+-→? =100 -lim ε ε+-→ = -lim ε+→ =2． 利用牛顿——莱布尼兹公式,同样有 1 ? =10 ? =10=2． 显然,上面两种解法,后一解法较前一解法每步骤都省略了极限符号,若可行的话,则起 到了简化计算的作用. 例2 求8 ? 解 属于瑕点0x =在中间的瑕积分,按定义有 8 080=+??? 1 2128-1 0lim lim εεεε- +→→=+? ?=1 123103lim |2x εε--→+2228303lim |2 x εε+→ =1 12 3103lim |2 x εε--→+22 3 203lim 42εε+ →??- ??? =3 62-+ =92 ． 利用牛顿——莱布尼兹公式. 则8 080--=+???22 83310 33||2 2x x -=+=3394222-+?=． 上述两例表明,牛顿——莱布尼兹公式用于解此类瑕积分,既快又准,这不是偶然的巧合. 对上述例子归纳,我们有 定理4.1 对于瑕积分()b a f x dx ?,若被积函数()f x 的原函数()F x 在积分区间[] ,a b 上连续,则该瑕积分一定收敛,且可以用牛顿——莱布尼兹公式.()b a f x dx ?= ()|b a F x 证明 设()b a f x dx ?为瑕积分,()F x 为()f x 的一个原函数且在[],a b 上连续.若b 为 瑕点,则 ()b a f x dx ? =0 lim ()b a f x dx ε ε+-→? =0 lim ()()()()F b F a F b F a εε+→--=-． 同理,若a 为瑕点,则 ()b a f x dx ?()()F b F a =-． 若(),c a b ∈为瑕点,则 ()b a f x dx ? =()c a f x dx ?+()b c f x dx ? =()()F c F a -+()()F b F c - ()()F b F a =-． 例3 [13] 求1 e ? ． 解 属于瑕点1x =在下限的积分.可先试着找原函数,然后观察原函数的连续性,最后决定能否用牛顿——莱布尼兹公式 . 11 1 arcsin ln |2 e e e x π === ? ? ． 注 这里arcsinln x 在[]1,e 上连续. 结论[9]：上述求瑕积分的方法,有一定的局限性,当原函数在积分区间上连续时,可采用 目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14) 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日 摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 无穷限反常积分敛散性及审敛法则 一、教学目标分析 在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。 二、学情/学习者特征分析 学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。 三、学习内容分析 1.本节的作用和地位 通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。 2．本节主要内容 1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则 4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析 教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。 4.课时要求：2课时 四、教学理念 学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。 五、教学策略 在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。 六.教学环境 网络环境下的多媒体教室与课堂互动。 七、教学过程 一、无穷限反常积分的定义 定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 J dx x f u a u =? +∞→)(lim 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 dx x f J a ?+∞ =)(，并称 dx x f a ?+∞ )(收敛．如果极限J dx x f u a u =? +∞→)(lim 不存在，亦称 dx x f a ?+∞ )(发散． 类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f b u u b ? ?-∞→∞-= 对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义： ,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ???+∞ ∞ -∞-+∞ +=其中a 为任一实数， 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 注： dx x f a ? +∞ )(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线 )(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ． 例1 讨论无穷积分.1) 10 2? +∞ +x dx ，.1)22 ?∞+∞-+x dx ，.)302 ?+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：? +∞ 1 ) 1p x dx ， ;)(ln )22?+∞p x x dx 二、无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ?+∞ a dx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数= )(u F ? u a dx x f )(在 +∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分 ? +∞a dx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要 G u u >21,，便有 ε<= -? ? ?2 1 2 1 )()()(u u u a u a dx x f dx x f dx x f ． 目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14) 判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science 数项级数敛散性的判别法毕业论文 关于数项级数敛散性的判别法 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言 设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]: 数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法 设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增,由数列的单调有界公理,有 定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得 定理2.2 [2] ：设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ，当n ＞N 时有 n u ≤c n v ,则 （i ）若级数1 n n u ∞=∑收敛，则级数1 n n v ∞ =∑也收敛； （ii ）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’（比较判别法的极限形式） [2] ：设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散； （ii ）若 λ＝0，级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数1 n n u ∞ =∑也收敛； （iii ）若 λ＝＋∞，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得: 无穷积分的敛散判别法 摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结． 关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散 The convergence and divergence method of infinite integral Abstract ：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method ，and the method for some regularity analysis ,summary. Key Words ：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence 前言 我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是 被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法． 1 无穷积分的定义 定义：设函数f 定义在无穷积分区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积．如果存在极限 l i m ()u u a f x d x J →∞=? 则称此极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 ()a f x dx J +∞ =? 并称()a f x dx +∞? 收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称()a f x dx +∞? 发散． 类似地，可定义f 在(,]b -∞上的无穷积分： ()()lim b u b u f x dx f x dx →∞-∞=?? 对于在(,)-∞+∞上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义： ()()()b a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞-∞ =+??? ， 其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23 数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary 常数项级数敛散性判别法总结 摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。 关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念 给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。 注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。 借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。 当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。 例2：判别级数的敛散性。 解：因为 由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法 无穷积分敛散性的判别法 郑汉彬 摘 要：无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的—个先决条件。由于判别方法比较多,学生不易掌握,从而是数学分析的一个难点,也一直是一个重要的研究课题。本文就一些常见和不常见的判定方法做一个归纳,这样将有助于我们灵活地运用各种判别法判定无穷积分的敛散性。 关键词：无穷积分；瑕积分；收敛性；判别法 无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的一个先决条件。由于判断方法比较多,不易掌握,从而是数学分析和高等数学的一个难点。最原始的判别方法是对积分区间无穷型的反常积分先将积分限视为有限的积分区间,按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,再用极限去判定原积分是否收敛。 本文以文献中相关定理为基础,并对相关的文献资料中给出的无穷积分敛散性判定方法的相关理论进行总结及一定的改进和补充,使之能够更广泛地应用于无穷积分敛散性判定中,对比了各种类型的无穷积分敛散性判定方法的应用以及在应用过程中应注意的一些巧妙方法,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误。 1 无穷积分的敛散性 定义1 设函数)(x f 在 ),[+∞a 上有定义,且对)(,x f a b >?在上],[b a 可积,当 ()lim b a b f x dx J →+∞=? 存在,称此极限J 为函数)(x f 在区间),[+∞a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为 ()a J f x dx +∞ =? 这时称积分 ? +∞ a dx x f )(是收敛的.如果上述极限不存在,为方便起见,并称无穷积分? +∞a dx x f )(发散. 2 无穷积分敛散性的判别法 如何判断一个无穷积分的敛散性,这是无穷积分理论的重要内容之一。对此,我们首先建立一个收敛准则,然后再介绍几种常有的敛散性判别法。 柯西收敛准则 因为无穷积分 ? +∞ a dx x f )(的收敛问题即是极限? +∞→A a A dx x f )(lim 的存在问题,所以由极限的柯西收敛 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。 一、通过部分和来判断级数的敛散性 通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的. 无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。 一、交错级数的敛散性判别法 对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。 从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断; 如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。 正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。 一、正项级数的比较判别法 正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下： 从上面的典型题型分析看到，有些级数虽然不是正项级数，但却可以借助正项级数的敛散性判别法来分析或证明其是否收敛，如上面例2的情况;在具体正项级数中，p级数是一个十分有用的比较工具，我们常用它与需要判断敛散性的级数进行比较;对于需要判断是否绝对收敛的级数，也需要利用正项级数的判别法，如比较判别法。以上分析希望对大家有所帮助，最后预祝各位考研取得成功，金榜题名! 关于正项级数敛散性的判别法 作者: 学号： 单位： 指导老师 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化. 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1引言 设数项级数 121...++... n n n a a a a ∞ +==+∑的n 项部分和为： 121 ......n n n i i S a a a a ==++++= ∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数 S ，使lim n x S S →∞ =.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情 况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞ 是否存在， 从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛? 0,, , N N n N p N ε+ + ?>?∈ ?>?∈对，有 +1+2+ +...+ 设数项级数 1 n n a ∞ =∑为正项级数( ) 0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增，由数列的单调有界定理，有 定理2.1：正项级数n 1u n ∞ =∑收敛?它部分和数列{}n S 有上界. 证明：由于,...), 2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条 件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）： 设两个正项级数n 1 u n ∞ =∑和n 1 n v ∞ =∑，且 , n ,N N N ≥?∈?+ 有n n cv u ≤，c 是正常数， 则 1）若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，则级数n 1 u n ∞ =∑也收敛; 2）若级数n 1 u n ∞ =∑发散，则级数n 1 n v ∞ =∑也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1 u n ∞ =∑的有限项，，则不改变级数n 1 u n ∞ =∑的敛散性.因此，不妨设 , + ∈?N n 有 n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1 n v ∞=∑与n 1 u n ∞ =∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有， n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n . 1)若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届， 再根据定理1，级数n 1 u n ∞ =∑收敛; 2)若级数n 1 u n ∞ =∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，积分敛散性的判断
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