运动图像、追及与相遇
【考纲要求】
1.理解匀速直线运动的速度图像和位移图象；
2. 理解匀变速直线运动的速度图像和位移图象；
3.会利用速度图像求速度和加速度；
4.会求解追及与相遇问题。 【考点梳理】
考点一：直线运动的x-t 图象
要点诠释： 1．x-t 图象的意义
x-t 图象表示运动的位移随时间的变化规律。
匀速直线运动的x-t 图象，是一条倾斜直线。速度的大小在数值上等于图象的斜率的绝对值，即
x
v t
?=
?，如图所示： 2．x-t 图象的理解
（1）x-t 图象不是物体实际运动的轨迹。 （2）从x-t 图象上判断物体的运动性质。 ①图线平行于时间轴，表示物体静止；
②图线是倾斜直线，表示物体做匀速直线运动； ③图线是曲线，表示物体做变速直些运动。
（3）x-t 图象的斜率表示物体的速度，匀速直线运动斜率不变。
（4）x-t 图象的交点：如果两物体在同一直线上运动，其x-t 图象的交点表示两物体相遇。
考点二：直线运动的v-t 图象 要点诠释： 1．常见的v-t 图像
a .匀速直线运动的v-t 图象
（1）匀速直线运动的v-t 图象是与横轴平行的直线。
（2）由图象不仅可以求出速度的大小，而且可以求出位移大小（即图中画有斜线部分的面积）。b．匀变速直线运动的v-t图象
（1）匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜直线，如图所示。
（2）直线斜率的大小等于加速度的大小，即
v
a
t
?
=
?
。斜率越大，则加速度也越大，反之，则越小。
（3）当v0＞0时，若直线的斜率大于零，则加速度大于零，表示加速运动；若直线的斜率小于零，则加速度小于零，表示减速运动。
2.对匀变速直线运动v-t图象的理解
(1)v-t图象能准确、全面地反映速度v随时间t的变化及其规律，图象符合客观要求。
(2)v-t图线是直线，表示物体做匀变速直线运动（一条倾斜的直线）或匀速直线运动（一条平行于t 轴的直线）；v-t图线是曲线，则表示物体做非匀变速直线运动。
(3)v-t图线过坐标原点表示物体做初速度为零的匀变速直线运动，图线不过坐标原点，有两种情况：
v-t图线在纵轴（v轴）上的截距，表示运动物体的初速度v0；v-t图线在横轴（t轴）上的截距表示物体在开始计时后过一段时间才开始运动。
(4)两v-t图线相交（如图所示），说明两物体在交点时刻的瞬时速度相等，其交点的横坐标表示两物体达到速度相等的时刻；纵坐标表示两物体达到速度相等时的速度。
(5)v-t 图线与横轴（t 轴）交叉，表示物体运动的速度反向。
(6)v-t 图线与坐标轴所围梯形面积的大小等于物体在该段时间内的位移大小 20000()1
222
v v v v at x t t v t at +++=
==+ 另外，在用v-t 图象分析问题时还应当注意不论v-t 图象的形状如何（直线或曲线），反映的都是直线
运动。这是由于坐标轴只能有正负两个方向的原因。 考点三：x-t 图象与v-t 图象的比较 要点诠释：
考点四:运用图象时的注意问题
要点诠释：
1．首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系。特别是那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。
2．要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。
（1）点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应一个特殊状态。
（2）线：表示研究对象的变化过程和规律，如v-t图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动。
（3）斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。如x-t图象的斜率表示速度大小，v-t图象的斜率表示加速度大小。
（4）面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如v-t图象与横轴包围的“面积”大小表示位移大小。
（5）截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。由此往往能得到一个很有意义的物理量。
要点五、追及与相遇问题
要点诠释：
两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞问题。
1．追及问题
追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。
第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：
（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。
（2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。
（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个最大值。
第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：
（1）当两者速度相等时有最大距离。
（2）若两者位移相等时，则追上。
2．相遇问题
（1）同向运动的两物体追上即相遇。
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
3．解答此类问题的关键条件
两物体能否同时到达空间某位置，因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系来处理。其中速度关系特点是关键，它是两物体间距最大或最小，相遇或不相遇的临界条件。
要点六、分析追及、相遇问题时要注意的事项
要点诠释：
1．分析问题时，一定要注意抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。两个关系是时间关系和位移关系，时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画
草图分析问题的良好习惯，这对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益。
2．若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。
3．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多””、“至少”等，根据它们对应的临界状态分析相应的临界条件。
要点七、用v-t图象解决追及、相遇问题
要点诠释：
说明：
（1）表中的s ?是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移； （2）s 0是开始追及以前两物体之间的距离，在一、二、三中把t 0看作追及的时刻； （3）2001t t t t -=-；
（4）v 1是前面物体的速度，v 2是后面物体的速度。
由上表可看出，追及问题可分类，一类（如表一、二、三）是s ?可以随时间无限增加；另一类（如表四、五、六）是s ?到速度相等时受到限制。 【典型例题】
类型一、对x-t 图象的应用
例1、（2014 天津卷） 质点做直线运动的速度—时间图像如图所示，该质点( )
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在前2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
【答案】D
【解析】本题考查了学生的读图能力．应用图像判断物体的运动情况，速度的正负代表了运动的方向，A错误；图线的斜率代表了加速度的大小及方向，B错误；图线与时间轴围成的图形的面积代表了物体的位移，C错误，D正确．
【总结升华】理解x-t图象的物理意义是关键。对x-t图象要时刻牢记：
1．无论x-t图象是直线还是曲线，质点的运动都是直线运动。
2．x-t图象的斜率是判断质点运动状态的关键因素。斜率为零说明质点静止；斜率恒定为匀速运动；斜率变化说明速度在变化；斜率的正负表示质点运动方向的不同。
举一反三
【高清课程：运动图像追及与相遇例1】
【变式】一物体做加速直线运动，依次经过A、B、C三个位置，B为AC中点，物体在AB段的加速度为a1，在BC段加速度为a2。设A、C的速度分别为v A和v C，B的速度为(v A+v C)/2，则a1和a2的大小的关系为（）
A. a1> a2
B. a1= a2
C. a1< a2
D.条件不足，无法判定
【答案】C
类型二、通过对v-t图象分析获取信息
例2、（2014·广东卷）如图，是物体做直线运动的v-t图像，由图可知，该物体( )
A ．第1s 内和第3s 内的运动方向相反
B ．第3s 内和第4s 内的加速度相同
C ．第1s 内和第4s 内的位移大小不相等
D ．0～2s 和0～4s 内的平均速度大小相等
【答案】 B
【解析】 0～3s 内物体一直沿正方向运动，故选项A 错误；v -t 图像的斜率表示加速度，第3s 内和第4s 内图像斜率相同，故加速度相同，选项B 正确；v -t 图像图线与时间轴包围的面积表示位移的大小，第1s 内和第4s 内对应的两个三角形面积相等，故位移大小相等，选项C 错误；第3s 内和第4s 内对应的两个三角形面积相等，故位移大小相等，方向相反，所以0～2s 和0～4s 内位移相同，但时间不同，故平均速度不相等，选项D 错误．
【总结升华】从v-t 图象可获取物体运动的信息有： 1．物体运动的快慢（速度大小）——对应纵轴数值；
2．物体运动的方向——t 轴上方为正方向，t 轴下方为负方向；
3．运动速度的变化——图象对应的v 的数值变化可以看出运动快慢的变化； 4．加速度大小及变化——图象斜率大小即加速度大小（tan a θ=）。斜率变大，则a 变大；反之，则a 变小；斜率不变，则是加速度不变的匀变速直线运动；
5．物体运动的位移——图象和坐标轴围成的图形的面积大小。
举一反三
【变式】某人在静止的湖面上竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底的淤泥中一段深度。不计空气阻力，取向上为正方向，在下边v-t 图象中，最能反映小铁球运动过程的速度——时间图线是（ ）
【答案】C
【解析】小球竖直上抛后，在上升过程，速度减小，到最高点时速度等于零，下降时速度增大，进入水中后，因受到水的阻力，加速度减小，但速度仍增大，进入淤泥后，淤泥对球的阻力大于小球的重力，故向下减速运动，直到速度为零，由以上分析知，选项C正确。
类型三、图象问题的实际应用
例3、如图所示是某物体做匀变速直线运动的速度图线，某同学根据图线得出以下分析结论:
①物体始终沿正方向运动;
②物体先向负方向运动,在t＝2 s后开始向正方向运动;
③在t＝2 s前物体位于出发点负方向上，在t＝2 s后位于出发点正方向上；
④前4 s内，在t＝2 s时，物体距出发点最远．
以上分析结论正确的是()
A．只有①③B．只有②③C．只有②④D．只有①
【答案】C
【解析】物体的运动方向即为速度方向，从图上可知物体在2 s前速度为负值，即物体向负方向运动；2 s 后速度为正值，即物体向正方向运动．故①是错误的，②是正确的．物体的位置要通过分析位移来确定，物体在某段时间内的位移等于速度—时间图线中对应图线所包围的面积的代数和．由图可知前4 s内物体在2 s时有最大的负位移；虽然2 s后运动方向改为正方向，但它的位置仍在位置坐标值负值处(4 s末物
体回到出发点)，故③是错误的，④是正确的．所以选项C对．
【总结升华】分析运动图象应注意：
(1)区别x－t图象和v－t图象的物理意义．
(2)两种运动图象均表示直线运动．
(3)能从图线分析出物体的运动性质，从而正确应用运动学公式．
举一反三
【高清课程：运动图像追及与相遇例3】
【变式】物体分别沿如图所示两条路线运动，已知直线AB=AC+CD，斜面都是光滑的，求沿哪条路径先到达水平面。
【答案】t AB>t ACD
类型四、追及与相遇问题
例4、在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
【答案】v0≤6ax
【解析】解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如右图甲)
利用位移公式、速度公式求解．
对A车有x A＝v0t＋1
2
×(－2a)×t2
v A＝v0＋(－2a)×t
对B车有x B＝1
2
at2，v B＝at，两车有x＝x A－x B
追上时，两车不相撞的临界条件是v A＝v B
联立以上各式解得v0＝6ax
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.
解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知x A＝x＋x B，即v0t＋1
2
×(－2a)
×t2＝x＋1
2
at2，整理得3at2－2v0t＋2x＝0，这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)2
－4×3a×2x<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.
解法三：(图象法)利用速度－时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图乙所示，
设经过t时间两车刚好不相撞，则
对A车有v A＝v＝v0－2at
对B车有v B＝v＝at
以上两式联立解得t＝v0
3a
经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝1
2
v0·t＝
1
2
v0·
v0
3a＝
v20
6a，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0
6ax
【总结升华】1．在解决追及、相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析．
2．分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
举一反三
【变式1】甲、乙两车从同一地点同向行驶，但是甲车做匀速直线运动，其速度为v=20米/秒，乙车在甲车行驶至距离出发地200米处时开始以初速度为零、加速度为a=2米/秒2追甲。求乙车追上甲车前两车间的最大距离。
【答案】300m
【解析】该题中两汽车运动，乙车追甲车，开始乙车初速度为零，做加速运动，甲车在前以恒定速度做匀速运动，在开始一段时间里，甲车速度较乙车速度大，不难想到，只要乙车速度小于甲车速度，两车间距离必随时间延长而增大。反之，如乙车速度在某时刻开始较甲车速度大，则两车间距离随时间延长而变小。显然当两车速度相同时距离最大。
下图中梯形ABDE面积即为最大距离。t m为最大距离的时间。
解法一：两车相遇前距离最大时两车速度必然相等，则运动时间为：
20102
v t s a =
== 2
013002
s s v t at m ∴?=+?-=
解法二：两车间距离s ?与时间有关，其关系式为
2
02
1
2
20020s s v t at t t ?=+?-=+- 可见，s ?有最大值： 300s m ?= 【高清课程：运动图像 追及与相遇 例3】
【变式2】火车以速率v 1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道距该车为x 处有另一辆火车正沿相同方向以较小的速率v 2做匀速运动。于是司机立即使车做匀减速运动，求加速度大小至少为何值才能使两车不致相撞？
【答案】2
12()2v v a x
-=