第三章问题解决及其教学
一、单项选择题
1、下面哪一项不属于构成问题的基本成分（）
A．问题的起始状态
B．解决问题的策略
C. 问题要求的答案或目标状态
D. 给定与目标之间的隔阂
2、常常用盒子装东西，却没想过用它来当置放蜡烛的平台，这种情况属于（）。A．功能固着
B．思维定势
C．原型启发
D．酝酿效应
3、桑代克用猫做的迷箱实验中，猫踩到踏板打开迷箱的方法是（）。
A. 试误法
B. 爬山法
C. 手段-目标分析法
D. 逆推法
4、当限于条件，对初始状态和目标状态之间差距缺乏足够清晰的认识，只能走一步说一步，不断缩小与最终目标之间的距离的时候，一般采用哪种问题解决策略方法（）。
A. 试误法
B. 爬山法
C. 手段-目标分析法
D. 逆推法
5、能有效解决河内塔问题的问题解决策略为（）。
A. 爬山法
B. 试误法
C. 手段-目标分析法
D. 逆推法
6、逆推法在哪种问题情境下适用（）。
A. 逐个尝试每一种可能性时常用
B. 对如何解决一无所知的情况下常用
C. 限于条件，只能走一步算一步
D. 从初始状态出发有多种可能；但对目标而言，只有一种可能方法的问题
7、我们进行创造性想象时，往往会从其他事物中得到启示，从而找到解决问题的方法和途径是( )
A．爬山法
B．手段-目标分析法
C．类比法
D．逆推法
8、人们通过对鸟翅膀构造的研究，设计飞机机翼；通过对蝙蝠超声波定位的仿效，制造出雷达。这些创造性问题解决的心理机制是（）。
A．酝酿效应
B．负向迁移
C．思维定势
D．原型启发
9、把握问题的关键信息，形成问题表征的思维过程是（）。
A、发现问题
B、理解问题
C、提出假设
D、检验假设
10、儿童在初次用积木搭建房屋游戏时所用的解决问题的方法是（）。
A.计划法
B.逆推法
C.尝试错误法
D.手段—目的分析法
11、专家相对于新手在解决问题过程中的优势在于（）。
A.记忆能力强
B.归类和存储信息的组块大
C.注意集中
D.动机强烈
12、提问者要求列举砖头的各种用途。可能的答案是：作建筑材料，当打人的武器，代替直尺划线，可以垫高等。这种寻求答案的思维方式是（）。
A.直觉思维
B.聚合思维
C.抽象思维
D.发散思维
13、要求学生在规定的时间内写一篇论说文，要解决这一问题，第一步要找出所要支持的观点，第二步是设计引言、比较论据及得出结论，第三步调整整篇文章，完成文章的写作。对这一问题的解决采用的方法是（）。
A.逆推法
B.联想法
C.计划法
D.手段—目的分析法
14、通过集体讨论，使思维相互碰撞，进发火花，达到集思广益的效果，这一方法称为（）。
A.发散思维训练
B.推测训练与假设训练
C.自我设计训练
D.头脑风暴训练
15、关于动机强度与问题解决效率的关系，表述正确的是（）
A．动机水平越高，问题解决效率也越好
B．动机水平越高，问题解决效率越差
C．动机水平适中，问题解决效率最好
D．动机水平与问题解决效率无必然关系
16、关于问题情境与问题解决关系表述正确的一项是（）
A．问题情境中所包含的事物太多或太少都不利于问题的解决
B．问题情境中的刺激模式与个人知识结构是否接近对问题解决没有影响
C．问题情境中事物的空间安排与问题解决没有关系
D．“心理眩惑”有助于问题解决
17．常常用电吹风来吹头发，却没想过用它烘干潮湿的衣服，这种情况属于（）A．思维定势B．原型启发C．功能固着 D．酝酿效应
18、下面哪一个是“问题解决”?（）
A．回忆一个人的名字 B．幻想自己是“灰姑娘”
C．用一个词来造句D．荡秋千
19、如果问题的解决只有一种固定的程序，看你能不能找到，这种解决问题的途径属于（）
A．爬山法B．类比法 C．启发式 D．算法式
20、认知心理学家认为，儿童学会用绳子打结不属于解决问题，其理由是（）。
A.它所要求的心理活动太简单；
B.它不必克服认知障碍；
C.它不是在人的头脑内完成的；
D.它不需要复杂的认知活动。
21、现代认知心理学家认为，学生对数学问题深层理解的决定因素是（）。
A.思维的深刻性；
B.认知结构中题型图式的贮存与激活；
C.深刻的洞察力；
D.思维的灵活性。
22、在给学生教新的问题解决任务时，最适宜的方法是从学生熟悉的例子引入新课题。从知识分类学习论来看，最适当的解释是（）。
A.熟悉的例子可以减轻初学者的工作记忆负担；
B.熟悉的例子可以使学生感到亲切；
C.可以避免学生认知发展阶段的限制；
D.这样可以促进新任务的学习与记忆。
23、教师在给小学六年级学生教授圆柱和圆锥的计算方法时，所设计的例题的计算只要求精确到“e”为止。从知识分类学习论来看，教师的教学行为的最适当解释是（）。
A.防止学生产生厌倦情绪；
B.可以突出认知策略教学；
C.防止学生课业负担过重；
D.突出数学概念与规则的学习。
24、现代认知心理学对学生解决问题能力的分析与传统心理学的分析的主要差异是（）。
A.强调解题过程分析；
B.强调解题策略分析；
C.强调知识与人格特征相互作用分析；
D.强调不同类型的知识在解决问题过程中的不同作用分析。
25、初入学儿童在学习8+5=？这样的问题时，应用凑10策略，即先把5分成2和3。2+8=10， 10+3=13。这种解决问题的策略是（）。
A.专门领域解题策略；
B.非专门领域解题策略；
C.可以达到相对自动化的策略；
D.难以达到自动化的策略。
26、数学教师在教应用题时，一再强调要学习看清题目，必要时可以画一些示意图，这样做的目的是为了（）
A.牢记住题目内容
B.很好地完成对心理问题地表征
C.有效地监控解题过程
D.熟练地使用计算技能
二、多项选择题
1、问题解决的基本过程包括（）。
A．问题理解
B．设计方案
C．选择方案
D．评价方案
2、问题解决的三阶段模型包括（）。
A. 审题
B. 选择方案
C. 解决问题
D. 反思
3、问题解决包括（）。
A. 一般性问题解决
B. 常规性问题解决
C. 创造性问题解决
D. 特殊性问题解决
4、酝酿效应的作用包括（）。
A. 降低紧张程度
B. 摆脱思维定势和既有知识束缚的过程
C. 使动机水平下降
D. 促进大脑的内隐加工
5、关于问题解决，下列说法中正确的是( )。
A.有关公共汽车司机名字问题的研究,说明了记忆在理解问题中的重要性
B.同差生相比, 好同学会花更多的时间考虑如何解决一个问题,然后,他们花更少的时间实际解决一个问题
C.如果问题解决者没有意识到某些解决方法, 那么, 这些解决方法将不被包括在问题空间里
D.当要人们比较两个具有不同表层结构的问题时,人们更可能有效地使用手段一目的分析策略来解决问题
6、有结构问题的特征（）。
A.问题的明确性
B.解法的确定性
C.问题不明确性 C.解法的开放性
7、问题解决的基本特点有（）。
A.变通性
B.认知性
C.目的性
D.序列性。
三、填空题(15分，1分×15个）
1、问题即____与____之间有某些障碍需要被克服的刺激情境。
2、问题解决是指个人应用一系列____，从问题的____到达____的过程。
3、任何问题都有三个基本成分，即____、____和____。
4、问题解决的过程包括____、____、____和____等四个阶段。
5、问题解决的策略大致可以分为算法式策略和启发式策略两大类，其中逆推法、类比法等属于____策略。
6、小学生在学习了乘法口诀之后，习惯于“四八三十二”这一记忆顺序，如果问他们“几乘以四等于三十二？”很多人都反应不出来。这种现象是一种____现象的消极作用的表现。
7、砖一般用于建筑中，但人们有时想不到它在黑夜中可以作为防身的武器，这说明____也会影响问题的解决。
四、辨析题
问题解决的能力是可以培养的。
五、举例说明题
举例说明监控能力在解决数学问题和写作中的重要性。
六、论述题
1.试述影响问题解决的主要因素。
2. 如果你是一名中学教师，目前需要指导你的学生进行以下题目的研究性学习。请从下列题目中选出一项，结合研究性学习的五个特点，设计出在研究实施阶段的指导方案。
1）关于高中生与人交往状况的研究
2）城市变迁
3）碘盐与人体健康
4）高一学生主观幸福感调查研究
5）化妆品对人体危害的调查与研究
6）赢在“血拼”——对商场促销活动的调查与思考
7）废旧电池充分利用的实验探究
8）一次性筷子使用和影响的研究
第三章人类社会及其发展规律 一、单项选择题（在每小题的4个备选答案中，选出一个正确的答案，将其代码填在题后的括号内） 1．生产关系包括多项内容，其中起决定作用的是(D ) A.人们在生产中的地位和作用 B.生产资料所有制形式 C.产品的分配形式 D.产品的交换形式 2．“任何英雄人物的历史作用都不能超出他们所处历史条件许可的范围”。这种看法是(A ) A.历史唯物主义观点 B.机械决定观点 C.历史宿命论观点 D.历史循环论观点 3．社会意识是（A ） A．对社会存在的反映 B．对政治状况的反映 C．统治阶级意志的表现 D．人民群众愿望的表现 4．社会意识是(A ) A.社会的精神生活过程 B.社会的政治生活过程 C.人类改造社会的过程 D.人类自我改造的过程 5．在生产力和生产关系这对矛盾中(C ) A.生产关系是生产力的物质基础 B.生产力落后于生产关系的变化 C.生产力决定生产关系 D.生产关系可以超越生产力的发展水平 6．历史人物分为杰出人物和反动人物，杰出人物是指( D ) A．无产阶级的伟大政治家和思想家 B.历史上反抗剥削阶级的革命领袖 C．上升时期的剥削阶级的先进代表 D.对历史发展起促进作用的伟大人物 7．生产关系是人们在生产过程中结成的( B ) A.人与自然的关系 B.人与人的物质利益关系 C.管理与被管理的关系 D.分工协作关系 8．人类社会发展的根本规律是(C ) A.对立统一规律 B.上层建筑适合经济基础的规律 C.生产关系一定要适合生产力状况的规律 D.阶级斗争规律 9.一定社会上层建筑所包括的内容(C ) A.是一切阶级的意识形态 B.只是社会的政治法律制度 C.是在一定经济基础之上产生的意识形态及与此相应的各种制度、设施的总和 D.只是国家政权及其设施、组织的总和 10.社会意识形态是指( D ) A.个人意识和群体意识 B.包括社会心理在内的不同层次的社会意识的总和 C.社会科学、自然科学、思维科学 D.政治法律思想、道德、宗教、艺术、哲学和大部分社会科学 11．社会形态的确切含义是指( B ) A.生产力和生产关系的统一 B.经济基础和上层建筑的统一
主要内容 本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题 一、判断题
1、对任意n E R ?，* m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则** m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则** m A m B <。（× ） 6、* *1 1( )n n n n m S m S ∞ ∞===∑。（× ） 7、* *1 1 ( )n n n n m S m S ∞ ∞==≤∑。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则* 0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则* 0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则* m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则* m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则 1 n n S ∞=， 1 n n S ∞=都是可测集。 （√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则* 0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ） 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ）
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
第三章 一、单项选择题 1．生产关系包括多项内容，其中起决定作用的是 A.人们在生产中的地位和作用 B.生产资料所有制形式 C.产品的分配形式 D.产品的交换形式 2．“任何英雄人物的历史作用都不能超出他们所处历史条件许可的范围”。这种看法是A.历史唯物主义观点B.机械决定观点 C.历史宿命论观点 D.历史循环论观点 3 4 A. 5 A C 6 7 8. D.只是国家政权及其设施、组织的总和 9.社会意识形态是指 A.个人意识和群体意识 B.包括社会心理在内的不同层次的社会意识的总和 C.社会科学、自然科学、思维科学 D.政治法律思想、道德、宗教、艺术、哲学和大部分社会科学 10.社会进步的内在根据是 A.社会基本矛盾运动 B.物质文明的发展水平 C.精神文明的发展水平 D.生态环境的不断改改善 11.改革和社会革命都根源于 A.生产力和生产关系之间的矛盾 B.统治阶级和被统治阶级之间的矛盾
C.剥削阶级和被剥削阶级之间的矛盾 D.统治阶级内部各政治派别之间的矛盾 12.下列各项属于技术社会形态序列的是 A．奴隶社会、封建社会、资本主义社会 B．古代社会、近代社会、现代社会 C．农业社会、工业社会、信息社会 D．自然经济社会、商品经济社会、产品经济社会 13社会主义社会的改革是 A.改变社会主义的基本政治制度 B.改变社会主义的基本经济制度 C.改变社会主义的基本文化制度 D.社会主义制度的自我完善 14.科学技术是生产力，是因为 15. 1. 2. A C 3. 4. 5.下列选项中，属于社会物质生活条件的有 A．人口因素B．民族构成 C．生产方式D．地理环境 6.社会基本矛盾 A.制约着其他各种社会矛盾的发展 B.决定着社会的进程、性质和面貌 C.推动着人类社会不断向前发展 D.是社会发展有其客观规律的内在根据 7.社会意识的相对独立性表现为 A.它同社会存在的发展变化是完全同步的 B.它同社会经济的发展水平是不平衡的 C.它有自己独特的发展规律 D.它对于社会存在具有反作用 8.人民群众是社会变革的决定力量，是因为 A.人民代表生产力发展的要求，为社会变革开辟道路 B.在阶级社会中，人民群众是阶级斗争的主力军
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
第三章人类社会及其发展规律（课后练习题） 一、单项选择题 1 ．人类社会历史发展的决定力量是（) A ．生产方式 B ．地理条件 C ．社会意识 D ．人口因素 2 ．社会意识相对独立性的最突出表现是它（) A ．同社会存在发展的不同步性 B ．具有历史的继承性 C ．对社会存在具有能动的反作用 D ．同社会经济的发展具有不平衡性 3 ．在生产关系中起决定作用的是（) A ．生产资料所有制 B ．产品的分配和交换 C ．在生产中人与人的关系 D ．管理者和生产者的不同地位 4 . “手推磨产生的是封建主的社会，蒸汽磨产生的是工业资本家的社会” , 这句话揭示了（) A ．生产工具是衡量生产力水平的重要尺度 B ．科学技术是第一生产力 C ．社会形态的更替有其一定的顺序性 D ．物质生产的发展需要建立相应的生产关系 5 ．十一届三中全会以来，我党制定的一系列正确的路线、方针、政策促进了我国经济的迅猛发展，这说明（) A ．经济基础发展的道路是由上层建筑决定的 B ．上层建筑的发展决定经济基础的发展方向 C ．上层建筑对经济基础具有积极的能动作用 D ．社会主义社会的发展不受经济基础决定上层建筑规律的制约 6 ．一定社会形态的经济基础是（ ) A ．生产力 B ．该社会的各种生产关系 C ．政治制度和法律制度 D ．与一定生产力发展阶段相适应的生产关系的总和 7 ．上层建筑是指（) A ．社会的经济制度 B ．科学技术 C ．社会生产关系 D .建立在一定社会经济基础之上的意识形态及相应的制度和设施 8 ．社会形态是（) A ．生产力和生产关系的统一 B ．同生产力发展一定阶段相适应的经济基础和上层建筑的统一体 C ．社会存在和社会意识的统一 D ．物质世界和精神世界的统一 9 ．人类社会发展的一般规律是（) A ．生产方式内部的矛盾规律 B ．生产力和生产关系、经济基础和上层建筑之间的矛盾运动规律 C ．社会存在和社会意识的矛盾规律 D ．物质生产和精神生产的矛盾规律 10 ．阶级斗争对阶级社会发展的推动作用突出表现在（) A ．生产力的发展 B ．生产关系的变革 C ．社会形态的更替 D ．科技的进步 11 ．社会革命根源于（) A ．人口太多 B ．少数英雄人物组织暴动 C ．先进思想和革命理论的传播 D ．社会基本矛盾的尖锐化 12 ．社会主义改革的根本目的在于（) A ．改变社会主义制度 B ．完善社会主义制度 C ．解放和发展生产力 D ．实现社会公平 13 . “蒸汽、电力和自动纺织机甚至是比巴尔贝斯、拉斯拜尔和布朗基诸位公民更危险万
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数论课后答案第三章4 第三章第四节习题 1． 举例说明对p q R +中的可测集E 确实有可能存在p x R ∈使x E 不是q R 中的可测集 解：令{} 20E S R =??，这里 S 为(0,1)上的任一不可测集（ S 存在！见 P66） 则从(0,1)S ∧ ?知 {}{}00(0,1)S ∧???，P72Th1则{}{}{}0(0,1)0(0,1)0m m m ?=?=,区间 可测，故显然，0n ?>，{}11 0(0,1)(,)(0,1)n n ??-? 则{}**1111(0(0,1))((,)(0,1))((,)(0,1))m m m n n n n ?≤-?=-? 1122(,)(0,1)(0,1)0m m m n n n n =-?=?=→（P72Th1） 即{}*(0(0,1))0m ?=从而有{}**()(0(0,1))0m E m ≤?= 故从P60Th1, 2E R ?为可测的， 然而 {}{}{}{}0|(0,)|(0,)0|E y y E y y S y y S S ∧∧∧=∈=∈?=∈=不可测. 2． 试在二维平面2R 中作一开集G ，使G 的边界点所构成的测度大于零（提示：参考§3习题1） 解：在§3习题1中已知存在(0,1)中的开集G 使[0,1]G =，且mG mG >，故 G G G ?=-，,()0G G G m G mG mG ?=-?=-> 令(0,1)E G =?，则从G 为1R 中开集，(0,1)为1R 中开集，易知E 为2R 着开集 我们来证明
①0(0,1)G E E E ????=- ②((0,1))0m G ??>，从而*()0m E ?> ①之证，00(,)(0,1)x y G ?∈??，则0x G ∈?，0(0,1)y ∈， 故000,(,)x x ηηη'''?>-+中既有G 中的点x η'，已有c G 中的点x η''，且0η''?>使00(,)(0,1)y y ηη''''-+?，取0δ?>，当0η>充分小时 000000((,),)(,)(,)B x y x x y y δηηηη?-+?-+ 则0000(,)(0,1)((,)((,),))x y G E x y B x y ηηδ''∈?=∈， 0(,)(0,1)c x y G η''?? 故0(,)x y E η''?，00(,)x y E ∈?，即(0,1)G E ???? 因\G G G ?=可测于1R ，(0,1)G ??也可测于2R （P72Th ） ②((0,1))()(0,1)m G m G m ??=??()0m G =?> 即()(0,1)0m E m E m ?≥??>,证毕.
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
第三章试题清单(含答案) 一.单选题 1.马克思主义认为，人类社会赖以存在和发展的基础是：() A.吃喝穿住 ( ) B.人的自觉意识活动 ( ) C.物质生产活动(√） D.社会关系的形成 ( ) 世纪50年代，北大荒人烟稀少、一片荒凉。由于人口剧增，生产力水平低下，吃饭问题成 为中国面临的首要问题，于是人们不得不靠扩大耕地面积增加粮食产量，经过半个世纪的开垦，北大荒成了全国闻名的“北大仓”。然而由于过度开垦已经造成了许多生态问题。现在，黑龙江垦区全面停止开荒，退耕还“荒”。这说明：() A.人与自然的和谐最终以恢复原始生态为归宿 ( ) B.人们改造自然的一切行为都会遭到“自然界的报复” ( ) C.人在自然界面前总是处于被支配的地位 ( ) D.人们应合理地调节人与自然之间的物质变换(√） 3.“许多事情我们可以讲一千个理由、一万个理由，但老百姓吃不上饭，就没有理由。‘民以食为天’”。这说明：() A.人的生理需求是社会历史的基础 ( ) B.人的本质决定于人的自然属性 ( ) C.社会发展的根本动力是人的物质欲望 ( ) D.人们首先必须吃、喝、住、穿、行，然后才能从事政治、科技、艺术、宗教等活动(√） 4.制约人们行为及其动机的根本条件是：() A.生产方式(√） B.传统意识 ( ) C.政治制度 ( ) D.阶级关系 ( ) 5.下列哪一原理可以解释“大众心理影响经济走势”这一社会现象：() A.社会意识对社会存在具有决定作用 ( ) B.社会意识反作用于社会存在(√） C.社会心理可以左右社会发展方向 ( ) D.只有正确的社会意识才能影响社会发展 ( ) 6.社会意识主要是对：() A.物质资料生产方式的反映(√） B.阶级斗争的反映 ( ) C.统治阶级意志的反映 ( ) D.社会发展规律的反映 ( )
《实变函数》考试说明 近世代数是广播电视大学数学专业（本科）的一门重要的专业基础课，本期近世代数期末考试内容是教材《实变函数》的内容。试题有填空题、证明题，试题的难易程度和教材《实变函数》的习题相当。希望同学们在期末复习时，做好教材《实变函数》中的每章的习题。 第一章集合 一提要 第一节集合及其运算。 第二节映射及其基数。 第三节可列集 第四节不可列集 二教学要求 1）理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2）掌握集之间的交、差、余运算。 3）掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 4）理解集列的收敛、单调集列的概念。 5）掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 6）理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。 7）理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质， 理解不存在最大基数的定理的意义。
第二章点集 一．提要 第一节聚点、内点、界点等概念 第二节开集、闭集、完备集。 第三节直线上的开集、闭集及完备集的构造。 第四节点集间的距离 第五节康托集及其性质 二．基本要求 1）明了n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。 2）理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。 3）理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。 4）理解直线上开集、闭集、完备集的构造。 5）理解康托集的构造、特性。 第三章勒贝格测度论 一．提要 第一节勒贝格外测度及其内测度。 第二节勒贝格可测集及其性质。 第三节勒贝格可测集的构造。
二．基本要求 1）理解测度的意义。 2）理解外测度的意义，掌握其有关性质。 3）理解可测集的定义，掌握可测集的性质。 4）了解并掌握不可测集的存在性这一结论。 第四章勒贝格可测函数 一．提要 第一节点集上和函数。 第二节勒贝格右测函数。 3）可测函数列的收敛性。 4）可测函数的构造。 二．基本要求 1）掌握可测函数的定义及等价定义。 2）掌握可测函数的有关性质。 3）理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。 4）掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。 5）掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。 6）理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
第三章 复习题 一、判断题 1、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ） 2、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，如果对某个实数a ，有[()]E x f x a >不是可测集，则()f x 不是E 上的可测函数。（√ ） 3、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。（× ） 4、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a =为可测集。（× ） 5、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a ≤为可测集。（√ ） 6、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b （a b <）， [()]E x a f x b ≤<为可测集。（× ） 7、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ） 8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ，则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。（× ） 9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则()f x 在E 上“基本上”连续。（√ ） 10、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x ?（x E ∈），则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。（× ） 11、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ，则()()n f x f x ?（x E ∈）。（× ）
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题
第 1 页 共 6 页 陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A) 一．填空.（每空2分，共20分） 1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3?? ?????????????=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2 R 内求= E ,='E ， 4.设, ,(),[0,1]\. x x x P f x e x P ∈?=? ∈?其中P 是Cantor 集,则[] =?1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ?,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x + = ; ()f x -= . 7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵ {}()n f x 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶ lim ()()n n f x f x →∞ =..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ?>,E E δ??,使得 mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x . 二.选择（每题2分，共10分） 1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）. A .A B 是可数； B .A B 是不可数； C .A B c =； D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( )． A .E 是开集; B .0ε?>,存在开集G E ?,使得(\)m G E ε<; C .E 是闭集; D . E 是 F σ型集或 G δ型集. 3.下列关系式中成立的是（ ） ①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''=' ， ④() B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合. A .①② B .③④⑤ C .③⑤ D .①②③④⑤ 4. 设n E R ?,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ; B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{} ()i n f x 在E 上一致收敛于()f x . C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ; D . {}()n f x 在 E 上依测度收敛于()f x ; 5.设q R E ?为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ） A ??∞→∞ →≤E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B ??∞→∞ →≥E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim C ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim 三．判断题(每题2分，共10分) 1. 0mE =E ?是有限集或可数集. （ ） 2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数 （ ） 5.可测函数)(x f 在E 上L 可积?)(x f 在E 上L 可积 （ ） 四．证明题(每题8分，共40分) 1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ?∈,{} ()E x f x a =>是 试 卷 密 封 装 订 线 院 系 班 级 姓 名 学 号
实变函数测试题 一,填空题 1. 设1,2n A n ??=????, 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = 、 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 、 3. 设E 就是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合,则E '= , E ?= 、 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集、 5. 若(),αβ就是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , 、 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = 、 7. 若()n mE f x →()0f x ??=?? , 则说{}()n f x 在E 上 、 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 就 是E 的聚点、 9. 设{}()n f x 就是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 就是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 、
10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 、 二, 判断题、 正确的证明, 错误的举反例、 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <、 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 就是E 的外点、 3. 点集11,2,,E n ??=???? L L 的闭集、 4. 任意多个闭集的并集就是闭集、 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合、 三, 计算证明题 1、 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2、 设M 就是3R 空间中以有理点(即坐标都就是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集、 3、 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L 、根据题意, 若有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 就是可测集、 4. 设P 就是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? 、 求1 0(L)()f x dx ?、 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余
第一章 复习题（一） 一、判断题 1、大人全体构成集合。（× ） 2、小个子全体构成集合。（× ） 3、所有集合都可用列举法表示。（× ） 4、所有集合都可用描述法表示。（√ ） 5、对任意集合A ，总有A ??。（√ ） 6、()A B B A -?=。（× ） 7、()()A B B A B B A A -?=?=-?。（√ ） 8、若B A ?，则()A B B A -?=。（√ ） 9、c A A ?≠?，c A A X ?=，其中X 表示全集。（× ） 10、A B B A ?=?。（× ） 11、()c c c A B A B ?=?，()c c c A B A B ?=?。（× ） 12、()()()A B C A C B C ??=???，()()()A B C A C B C ??=???。（√ ） 13、若A B ，B C ，则A C 。（√ ） 14、若A B ，则A B =，反之亦然。（√ ） 15、若12A A A =?，12B B B =?，且11A B ，22A B ，则A B 。（× ） 16、若A B ?，则A B ≤。（√ ） 17、若A B ?，且A B ≠，则A B <。（× ） 18、可数集的交集必为可数集。（× ） 19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ） 20、因整数集Z ?有理数集Q ，所以Q 为不可数集。（× ） 21、()c c A A =。（√ ） 第二章 复习题 一、判断题 1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=?P Q =。（× ） 2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。（× ） 3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。（× ） 4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。（√ ）
第三章 一、单项选择题 5、在生产关系中起决定作用的是（ A ） A、生产资料所有制 B、产品的分配和交换 C、在生产中人与人的关系 D、管理者和生产者的不同地位 15、社会主义改革的根本目的在于（ C ） A、改变社会主义制度 B、完善社会主义制度 C、解放和发展生产力 D、实现社会公平 21、人民群众是历史的创造者，其根本原因在于人民群众（B ） A、占人口的大多数 B、是社会生产力的体现者 C、具有先进思想 D、掌握历史发展规律 22、社会精神财富的源泉是（D） A、客观的物质世界 B、脑力劳动者的集体智慧 C、思想家们的创造性思维 D、人民群众的社会实践 26、社会存在是指社会的物质生活条件，它有多方面的内容，其中最能集中体现人类社会物质性的是（D） A. 社会形态 B. 地理环境 C. 人口因素 D. 生产方式 37、判定某种上层建筑是先进还是落后的，主要是看它（D） A、是否与自己的经济基础相适应 B、是否能帮助自己的经济基础形成、巩固和发展 C、是否能限制与自己不同性质的经济基础的发展 D、是否能帮助适合生产力状况的生产关系发展和巩固 主要是看它：1、是否能推动生产力的发展；2、是否能帮助适合生产力状况的生产关系的发展和巩固。 38、近年来马克思的《资本论》在西方一些国家销量大增。列宁曾说，马克思的《资本论》的成就之所以如此之大，是由于这本书使读者看到整个资本主义社会形态是个活生生的形态，既有“骨骼”，又有“血肉”。人类社会作为一种活的有机体，其“骨骼”系统是指（ B） A、地理环境、人口因素和生产方式等社会物质生活条件 B、与一定的生产力相适应的生产关系 C、建立在一定经济基础之上的政治法律制度及设施 D、由政治法律思想、道德、宗教、哲学等构成的社会意识形态 40、在下列选项中，属于非意识形态的是（D） A、宗教 B、艺术 C、哲学 D、逻辑学 非意识形态是指不反映一定社会集团的利益和要求的意识形式，在阶级社会中不具有阶级性，如自然科学、语言学、形式逻辑等。 43、国体和政体的关系属于( B ) A、本质和现象的关系 B、内容和形式的关系 C、必然和偶然的关系 D、普遍和特殊的关系 47、马克思主义回答人的本质问题的立足点是：（ A ） A.人的社会关系又错了 B.人的自然属性 C.人类的共同利益 D.人的自身需要 1、社会存在包括（ ABC ） A、社会生活的各种物质条件 B、社会生活的物质生产活动 C、经济关系 D、全部社会关系 社会存在是客观的,不随人的意识而改变的.社会关系虽然存在,但不客观 11、马克思对阶级斗争学说的新贡献是（ CD ） A、发现阶级和阶级斗争的存在 B、指出阶级斗争的存在 C、论证了阶级的存在与生产发展的一定历史阶段相联系 D、说明阶级斗争必然导致无产阶级专政 马克思之前的英国古典经济学家发现的，包括威廉·配第、亚当·斯密和大卫·李嘉图三人