排列与组合分类
1.特殊优先
特殊元素，特殊处理，特殊位置优先考虑
列：六人排成一排
(1)甲乙既不在排头又不在排尾的排法数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，甲乙不相邻的排法数
2.捆绑与插空
列：8人排成一队
(1)甲乙必须相邻
(2)甲乙不相邻
(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻
(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻
3.间接计数法
列：三行三列共9点，以这些点为顶点可组成多少个三角形
4.挡板的使用
10个名额分配到8个班，每个班至少一个名额。问有多少种不同的方法
5.分组问题
5名同学分配到4个不同的科技班组，每个科技班组至少有1名
同学参加，则分配的方法有多少种
6.几何问题
(1)图中有多少个矩形
(2)从A点到B点最近的走法有多少种
(3)
排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得1 1 3434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5 2 2 522480A A A =种不同的排法 C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3
排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
排列组合知识点与方法归纳 一、知识要点 （1）分类计数原理与分步计算原理 （1）分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m 1 种不同的方法，在第二类办法 中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这 件事共有N= m 1+ m 2 +…+ m n 种不同的方法。 （2）分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2 种不同的方法，……，做第n步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N= m 1 × m 2×…× m n 种不同的方法。 （2）排列 a)定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数，记为 . b)排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=
特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！=1 b)排列数的性质： （Ⅰ） =（Ⅱ）（Ⅲ） （3）组合 a)定义 a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 b)组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示） （阶乘表示） 特例： b)组合数的主要性质： （Ⅰ）（Ⅱ）
（4）排列组合的区别与联系 （1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 （2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 二、经典例题 例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种种 C. 7种 D. 8种 解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。 例2、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2 类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法
排列组合方法总结 1、【特殊元素、特殊位置】优先法 在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。 例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（ ） 解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的 元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排首位共计有1 4C ；最后排其他位置共计有 34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C 2、【相邻问题】捆绑法 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排 法种数有（ ） 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种， 3、【相离问题】插空法 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（ ） 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种 数是52563600A A =种 4、【选排问题】先选后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法. 例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有2 4C 种，再排： 在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种. 5、【相同元素分配问题】隔板法 将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插 入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:1 1--m n C 。 例：（1）10个三好生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至 少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案 故共有不同的分配方案为为6984C =种 （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） 如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵
排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法
二.相邻元素捆绑策略 2、7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独 唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 四.定序问题倍缩空位插入策略 4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少
不同的排法 练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 6、8人围桌而坐,共有多少种坐法 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与 其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480 A A A =种不同的排法
排列组合 一、知识网络 二、高考考点 1、两个计数原理的掌握与应用； 2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题） 三、知识要点 一．分类计数原理与分步计算原理 1 分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。 2 分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 3、认知： 上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。
二．排列 1 定义 （1）从n个不同元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。 （2）从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 . 2 排列数的公式与性质 （1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=特例：当m=n 时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1 规定：0！=1 （2）排列数的性质： （Ⅰ） =（排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系） （Ⅱ）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系） （Ⅲ）（分解或合并的依据） 三．组合 1 定义（1）从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 （2）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 2 组合数的公式与性质 （1）组合数公式：（乘积表示） （阶乘表示）特例： （2）组合数的主要性质： （Ⅰ）（上标变换公式）
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不 1同的方法，在第2类办法中有 m种不同的方法，…， 2 在第n类办法中有 m种不同的方法，那么完成这件事 n 共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不 1同的方法，做第2步有 m种不同的方法，…，做第n 2 步有 m n 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求, 不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有13 C 然后排首位共有14 C 最后排其它位置共有34 A 由分步计数原理得113434 288C C A 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种 葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 443
排列组合方法归纳大全
排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 2
有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 3
四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 4
排列组合解题技巧归纳总结 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学内容 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m i种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m i种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位 先排末位共有C3 然后排首位共有c4 最后排其它位置共 有 由分步计数原理得C：C3A： 288 c4 A4c1 4 4 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需
排列组合全部20种方法
排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习、 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多 少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 2
练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈 节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 四.定序问题倍缩空位插入策略 4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？ 练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 五.重排问题求幂策略 5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 3
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练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能 坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的 种数是 八.排列组合混合问题先选后排策略 8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的 练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务, 且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种 九.小集团问题先整体后局部策略 9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两 个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多 5
排列组合的常见题型及其解法 一. 特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端 之间的任一位置上，有A 41 种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上， 有A 55种站法，故站法共有：A A 41 55?＝480（种） 解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480?=（种） 二. 相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320?=（种） 三. 相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？ 解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440?=（种） 四. 定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n 个 元素进行全排列有A n n 种，m m n ()≤个元素的全排列有A m m 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即 若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，则有A A n n m m 种排列方法。 例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？ 解：不考虑限制条件，组成的六位数有A A 51 55?种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：（个） 五. 分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要 求，可采取统一成一排的方法求解。 例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？ 解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来 3002 25515=?A A A
排列组合方法归纳大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少 不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少