平面的基本性质
教学目标
1、知识与能力：
（1）巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论．
（2）能使用公理和推论进行解题．
2、过程与方法：
（1）体验在空间确定一个平面的过程与方法；
（2）掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感态度与价值观：
培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。
教学重点
平面的三条基本性质即三条推论．
教学难点
准确运用三条公理和推论解题．
教学过程
一、问题情境
问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面？空间互相平行的三条直线呢？
问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内？
二、温故知新
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面．
．
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理 4（平行公理） 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 把以上各公理及推论进行对比：
l β=
b
a
α
三、数学运用
基础训练：（1）已知：, , , A l B l C l D l ∈∈∈?；求证：直线AD 、BD 、CD 共面．
α
D
A
B
C
l
证明：l D ?
.α确定一个平面，记为和直线点l D ∴——公理3推论1
αα?∈∴l D ,
,,αα∈∈D A
α平面直线?∴AD ——公理1
同理可证，α平面直线?∴BD ,α平面直线?∴CD
∴直线AD 、BD 、CD 共面
【解题反思1】1。逻辑要严谨
2．书写要规范
3．证明共面的步骤：
（1）确定平面——公理3及其3个推论
（2）证线“归”面（线在面内如：α
a）——公
?
理1
（3）作出结论。
变式1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面？（口答）变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？
变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？（口答）
（2）已知直线c
a、
、满足：B
b
a=
=
,
//；求证：直线
?,
?
b
b
c
A
c
a
、
a、
c
b
证明：b
a//
直线a
.
和直线
∴——公理3推论3
bα
确定一个平面，记为
α?
α
a,
?
∴b
B b c A a c =?=?, c B b B c A a A ∈∈∴∈∈∴,,, ,,αα∈∈∴B A
α?∴c ——公理1
∴直线c b a 、、共面
提高训练：已知, , a b c l a M l
b N l
c P ===∥∥，，求证：, , , a b c l 四
条直线在同一平面内．
α
a
b P
c M N
思路分析：考虑由直线a,b 确定一个平面，再证明直线c,l 在此平面上，但十分困难。因而可以开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。 证明：b a //
.b α确定一个平面，记为和直线直线a ∴——公理3推论3 b c //
.b β确定一个平面，记为和直线直线c ∴——公理3推论3
ββαα????∴c b b a ,,,
P c l N b l M a l =?=?=?,, l P c P l B b N l M a M ∈∈∈∈∴∈∈∴,,,,,
ββαα∈∈∈∈∴P N N M ,,, βα??∴l l ,——公理1
因此，平面βα,同时经过两条相交直线b a ,
∴所以平面βα,重合。——公理3推论2
∴直线c b a 、、共面
上面方法称为同一法
拓展训练：如图，三棱锥A-BCD 中，E 、G 分别是BC 、AB 的中点，F
在CD 上，H 在AD 上，且有DF:FC=DH:HA=2:3；求证：EF 、GH 、BD 交于一点．[渗透空间问题平面化思想]
A
B
C
D
E
G
F H
思路分析：思路1：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线在一个面内，并且相交，然后证明交点在两个平面上，据公理2知它在两面唯一的交线——第三条直线上，因此证得三线共点。
证法1：连接HF GE 、，
因 E 、G 分别是BC 、AB 的中点，故AC GE //∴ 因DF:FC=DH:HA=2:3,故CA HF //∴
GE HF //∴——公理4
GE HF ,∴共面，由上知，GE HF ≠EF GH ,相交，设交点为O,则0∈
平面ABD ,0∈平面ACD ,
所以0∈直线BD
所以EF 、GH 、BD 交于一点。
思路2：首先证明直线 GH 、BD 交于一点P,直线EF 、BD 交于一点Q ，然后证明两点P 、Q 重合，进而得出EF 、GH 、BD 交于一点。
证法法2：提示：过点H 作HO,使得//HO AB ,交点为O ，连接OF ，证明//FO CB ,
延长GH,EF,使它们与直线BD 分别交于点P 、
Q ，由三角形相似可以得出OP=OQ.所以点P 、Q 重合。
链接生活：在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P 、Q 、R 的平面截得木头的截面形状．
【解题反思2】1。逻辑要严谨
2．书写要规范 3．方法要掌握
（1）证明共面的步骤：
1）确定平面——公理3及其3个推论——公理3
及3个推论
2）证线“归” 面（线在面内如：α?a ）——公
理1
3）作出结论。
（2）证明共线的步骤：
①证所有点在第一个面内（如平面α）——公理1
②证所有点在第二个面内（如平面β）——公理1
③结论1：所有点在两个平面的交线上
④结论2：所有点共线——公理2
（3）证明共点的步骤：
1）证交于一个点——公理3及3个推论
2）证此点在二个面内（如平面β
α,）——公理1
3）结论1：此点在两个平面的交线上——————公理2
4）结论2：三条线共点
四、回顾小结
本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题．
五、课外作业(见所发的前置作业)
反馈练习
[ 1.2.1 平面的基本性质（2）]
1、经过同一直线上的3个点的平面（）
A、有且只有1个
B、有且只有3个
C、有无数个
D、有0个
2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）
A、1或2
B、2或3
C、1或3
D、1或2或3
3、与空间四点距离相等的平面共有（）
A、3个或7个
B、4个或10个
C、4个或无数个
D、7个或无数个
4、四条平行直线最多可以确定（）
A、三个平面
B、四个平面
C、五个平面
D、六个平面
5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有个．
6、给出以下四个命题：
①若空间四点不共面，则其中无三点共线；
②若直线l上有一点在平面α外，则l在α外；
③若直线a、b、c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；
④两两相交的三条直线共面．
其中所有正确的命题的序号是 ．
7．点P 在直线l 上，而直线l 在平面α内，用符号表示为（ ） A ．P l α?? B ．P l α∈∈ C ．P l α?∈ D ．P l α∈? 8．下列推理，错误的是（ ） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈??
B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?=
C ．,l A l A αα?∈??
D ．,,,,,,,,A B C A B C A B C αβαβ∈∈?且不共线与重合
9．下面是四个命题的叙述语（其中A 、B 表示点，a 表示直线，α表示平面）
①,A B AB ααα??∴? ②,A B AB ααα∈∈∴∈ ③,A a a A αα??∴? ④,A a A a αα??∴?
其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是
_______________．
10、已知A 、B 、C 不在同一条直线上，求证：直线AB 、BC 、CA 共面．
11、求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内．
已知：直线a 、b 、l 且a b ∥，l a A =，l
b B =；
求证：直线a 、b 、l 共面．
α
a b
A B
l
12、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，
①AA 1与CC 1能否确定一个平面？为什么？ ②点B 、C 1、D 能否确定一个平面？为什么？
③画出平面ACC 1A 1与平面BC 1D 的交线，平面ACD 1与平面BDC 1的交线．
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
13、两两相交且不共点的四条直线共面．（注：有两种情形，见图，试分别证之）
α
a
b α
a
b
O
c
d
c d
(1)
(2)
实用文档 2019-2020年高二数学直线与平面所成的角和二面角一 教学目的： 1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念 2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角 3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等 4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣 教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角 教学难点：直线和平面所成角的概念及的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质 要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算 在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 教学过程： 一、复习引入： 1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质： 2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内） 二、讲解新课： 1 斜线,垂线,射影 ⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
第1页 共2页 直线与平面平行(2) 教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定 理和性质定理 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学过程： 一、复习 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 二、例题 例1求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内． 已知：//,,,//a P P b b a αα∈∈. 求证：b α?． 例2已知直线a ∥直线b ，直线a ∥平面α,b ?α， 求证：b ∥平面α 例3．已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α平面β=b ，求证//a b ． 分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a ，b 均平行，从而达到a ∥b 的目的．可借用已知条件中的a ∥α及a ∥β来实现． d c b a δ γ β αa b b' β α P c a b βα
第2页 共2页 三、课堂练习 1.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2，l 1∥α，则ｌ2与α的位置关系是 ( ) A.l 2∥α B.l 2?α C.l 2∥α或l 2?α D.l 2与α相交 2.已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与α的位置关系 ( ) A.ｂ∥α B.ｂ与α相交 C.ｂ?α D.ｂ∥α或ｂ与α相交 3.下列命题中正确的是 ( ) ∥过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面 ∥垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行 ∥若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A.∥ B.∥ C.∥∥ D.∥∥∥ 4.几何体ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为ａ的正方体，M 、N 分别是下底面的棱 A 1 B 1，B 1 C 1的中点，P 是上底面的棱A D 上的一点，AP ＝a 3 1 ，过P 、M 、N 的 平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝ . 5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是 . 四、作业 同步练习 09032
高二数学平面向量知识点梳理平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中叫也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。小编准备了高二数学平面向量知识点，具体请看以下内容。 平面向量 1.基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2. 加法与减法的代数运算： (1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ). 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。向量加法有如下规律：+ = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); 3.实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。 (1)| |=| | (2) 当a0时，与a的方向相同;当a0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0. 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= . (2) 若=( ),b=( )则‖b .
平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得= e1+ e2. 4.P分有向线段所成的比： 设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使= ，叫做点P分有向线段所成的比。 当点P在线段上时，当点P在线段或的延长线上时，分点坐标公式：若= ; 的坐标分别为( ),( ),( );则( -1)，中点坐标公式：. 5. 向量的数量积： (1).向量的夹角： 已知两个非零向量与b，作= , =b,则AOB= ( )叫做向量与b的夹角。 (2).两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则b=| ||b|cos . 其中|b|cos 称为向量b在方向上的投影. (3).向量的数量积的性质： 若=( ),b=( )则e = e=| |cos (e为单位向量); b b=0 ( ，b为非零向量);| |= ; cos = = . (4) .向量的数量积的运算律：
3.2.3直线与平面的夹角 3.2.4二面角及其度量 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤． 知识点一直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 2．最小角定理 知识点二二面角及理解 1．二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.
(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l . (3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关． (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角． (2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补． 1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × ) 2．二面角的大小范围是??? ?0，π 2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × ) 题型一 求直线与平面的夹角 例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． 解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
高二数学空间直线和平面单元练习 一、选择题 1.下列各条件可以确定平面的是( ) A.六边形 B.两两相交的三条直线 C.两两平行的三条直线 D.梯形 2.正方形的一条对角线与正方体的棱所组成的异面直线有( ) A.12对 B.10对 C.8对 D.6对 3.给出下列四个命题： (1)如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这个平面平行； (2)如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (4)垂直于同一平面的两平面平行. 其中正确的是( ) A.(1)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(3) D.(4) 4.经过空间一点作直线，使它与异面直线都成60°角，则这样的直线有( ) A.2条 B.2条或3条 C.4条 D.2条或3条或4条 5.异面直线在同一平面的射影不可能是( ) A.两条平行直线 B.两相交线 C.一点与一直线 D.同一直线 6.空间四边形ABCD四条边的中点为E、F、G、H，且EFGH为菱形，则空间四边形ABCD 的对角线 AC与BD的关系是( ) A.AC⊥BD B.AC与BD共面 C.AC=BD D.不能确定 7.已知ABCD为正方形，过A作SA⊥平面ABCD，若AB=SA，则面SAB与面SCD所构成二面角的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 8.异面直线所成角取值集合为A，直线与平面所成角取值集合为B，平面斜线与平面所成角取值集合为C，则它们角的集合关系为( ) A.A B C B.B A C C.C A B D.C B A 9.一直线与直二面角的两个面所成角分别为θ1与θ2，则θ1+θ2的值是( ) A.90° B.不超过90° C.不小于90° D.以上三种情况都可能 10.如图，PC⊥平面α于C，ABα，PB⊥AB，则线段PB、PA、PC的关系式是( ) A.PA＞PC＞PB B.PC＞PB＞PA C.PA＞PB＞PC D.PB＞PA＞PC 11.矩形ABCD中，AB=2,BC=6,沿对角线AC折起成直二面角，则AC与BD的距离为( ) A.22 B.2 C.1 D.23 12.等边△ABC的边长为1，BC上的高是AD，若沿AD折成直二面角，则A到BC的距离
教学资料范本 【2019-2020】高中数学第一章立体几何初步1-2-1平面的基本性质学案苏教版必修2 编辑：__________________ 时间：__________________ 1.2.1 平面的基本性质
1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点) 2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点) [基础·初探] 教材整理1平面的概念及表示 阅读教材P 21～P 22 公理2以上部分内容，完成下列问题． 1．概念 平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的． 图1－2－1 2．表示 (1)图形表示 平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)． (2)字母表示 平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等． 3．点、线、面位置关系的符号表示 位置关系符号表示 点P在直线AB上P∈AB
点C 不在直线AB 上 C ?AB 点M 在平面AC 内 M ∈平面AC 点A 1不在平面AC 内 A 1?平面AC 直线AB 与直线BC 交于点B AB ∩BC ＝B 直线AB 在平面AC 内 AB ?平面AC 直线AA 1不在平面AC 内 AA 1?平面AC 如果直线a ?平面α，直线b ?平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号) ①l ?α；②l ?α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ?α，b ?α， ∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ?α.故填①. 【答案】 ① 教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 用符号表示为： ? ?? A∈αB∈α?AB ?α. (2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 用符号表示为： ? ?? P∈αP∈β?α∩β＝l 且P ∈l . (3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论 (1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平
面平行。
符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB , a ；坐标表示法a =xi ? yj (x, y).向量 的大小即向量的模(长度)，记作| A B |即向量的大小，记作I 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = 0 = I a I = 0"由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别) ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1 ④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 亠％ =x2 小相等，方向相同(x「yj = (x2, y2)=」 y2 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4 设AB 二a, BC =b，贝y a + b =AB BC = AC (1)0 a a，0二a ；( 2)向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ ? QR二AR，但这时必须“首尾相连” ? 3向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ； (iii) 若a、b是互为相反向量， 则a=-b,b = -a,a + b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：a - b二a ? (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 4实数与向量的积： ①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下： (I) a a ；
一、多选题 1．下列说法中错误的为（ ） A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．若a →，b →，c → 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→ =，则a b →→ = B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→ = C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→ D ．若a b a b → → → → +=-，则a b →→ ⊥ 3．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ） A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+ B ．若0?=?=a b a c ，则//b c C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++ D ．若0a b ?=，则a b a b +=- 4．下列说法中正确的是（ ） A ．对于向量,,a b c ，有()() a b c a b c ??=?? B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底 C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件 D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则 0λμ+= 5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b C ．2m +n =4
第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、开场白：课本P93（略） 实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大 小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学 体系，用以研究空间性质。 2． 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的 4． 两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ A B A(起点) B （终点） a
答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 = = = 例：（P95）略 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,） 四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1 第二教时 教材：向量的加法 目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作 几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向 量计算。 过程： 六、复习：向量的定义以及有关概念 强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何 向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 七、 提出课题：向量是否能进行运算？ 5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ a b c A B C
第三节 空间点、直线、平面间的位置关系 [知识能否忆起] 一、平面的基本性质 名称 图示 文字表示 符号表示 公理1 如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α， B ∈α?l ?α 公理2 过不在一条直线上的 三点，有且只有一个平 面 公理3 如果两个不重合的平 面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P ∈α，且P ∈β?α∩β ＝l ，且P ∈l 二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角) (1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角． (2)范围：??? ?0，π 2.
三、直线与平面的位置关系 位置关系图示符号表示公共点个数 直线l在平面α内l?α无数个 直线l与平面α相交l∩α＝A 一个 直线l与平面α平行l∥α0个 四、平面与平面的位置关系 位置关系图示符号表示公共点个数 两个平面平行α∥β0个 两个平面相交α∩β＝l 无数个(这些公共点均在交线l上) 1.三个公理的作用 (1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内． (2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线． 2．异面直线的有关问题 (1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平 面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图． (2)所成的角的求法：平移法． 平面的基本性质及应用 典题导入
第2讲：直线与平面，平面与平面的位置关系 【知识整合】 一、直线与平面的位置关系： 1. 直线与平面平行： （1）直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（即线线平行，则线面平行） （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（即线面平行，则线线平行） 2. 直线与平面垂直： （1）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（即线线垂直，则线面垂直） （2）直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线垂直于一个平面，那么这两条直线平行；②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线（即线面垂直，则线线垂直） 3. 平面的斜线及直线与平面所成的角： （1）过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。 （2）平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，范围是]90,0[ 。 4. 三垂线定理：如果平面内的一条直线和一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。 二、平面与平面的位置关系： 1. 两平面平行： （1）两平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（即线面平行，则面面平行） （2）两平面平行的性质：①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面（即面面平行，则线面平行）；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。（即面面平行，则线线平行） 2. 二面角的大小： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是]180,0[ 。 3. 两平面垂直： （1）两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（即线面垂直，则面面垂直） （2）两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（即面面垂直，则线面垂直） 【典例精析】 1. 空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为 。
平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．
1．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________． 解析：∵a∩b＝A，∴A∈a，又a?α. ∴A∈α，同理A∈β.∴A∈m. 答案：A∈m 2．已知点A，直线a，平面α. ①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A ?α. 以上命题表达正确的个数为________． 解析：①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不正确；③中A可在α内，也可在α外；④符号“A?α”不正确． 答案：0 3．一条直线和直线外两点可确定平面的个数是________个． 答案：1或2 4．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体) 解析：如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1，与AB，CC1都共面的棱 为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条． 答案：5 5．直线AB，AD?平面α，直线CB，CD?平面β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG＝M，则点M在________上． 解析：由已知得B，D∈平面α，B，D∈平面β，∴α∩β＝BD，而E，H分别在AB，DA上， ∴直线EH?α，同理FG?β.又∵直线EH∩直线FG＝M，∴M∈EH，M∈FG，∴M∈α，M∈β，∴M∈BD. 答案：BD 6．如图所示，在正方体中，请画出过A1、B、D三点的截面．
解：如图所示，阴影部分即为过三点A1、B、D的截面． 7．已知：如图所示，平面α、β、γ满足α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∩b＝A. 求证：a，b，c三线交于一点． 证明：∵a∩b＝A，∴A∈a，A∈b， 又α∩β＝a，β∩γ＝b， ∴a?α，b?γ，∴A∈α，A∈γ. 而α∩γ＝c，∴A∈c. ∴a，b，c相交于点A. 8．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 证明：直线a，b，c和l共面． 证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∴A∈α，B∈α， 而A，B∈l，∴l?α，b?α，a?α. 又a∥c，则a，c确定一个平面β， ∴A∈β，C∈β，∴A，C∈l， ∴l?β.又a?β，∴l，a既在平面α内，又在平面β内，而相交直线l，a只能确定一个平面．由推论2得α与β重合． ∴l，a，b，c共面．
人教版高二数学必修二第二章知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行 四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如 图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四 个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α ☆公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只 有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 ☆公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L ☆公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c
P · α L β D C B A α 第二章直线与平面的位置关系 1.平面含义：平面是无限延展的 2. 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻 边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 . 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4. 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 5.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 6.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 7.注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈ (0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 8. 直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 L A · α C · B · A · α 共面直线 =>a ∥c 2