概念教学应凸显意义本质的理解
数学概念的高度抽象性与小学生思维的具体形象性之间的矛盾，造成了小学生学习掌握概念存在复杂、特殊的心理过程。有些一线教师没有意识到这一点，因此在概念教学中普遍存在“因忽视学生概念形成的心理过程，而导致学生概念理解不够深刻”的现象。我在磨课思考的过程中，深刻体会到遵循学生概念形成的心理规律，凸显意义本质的理解，才能让学生深刻理解和牢固掌握概念。
一、基于现实起点，激活原有概念
学习者对一个概念的理解程度与他们内在的认知结构息息相关。那么，在教学“小数的意义”之前，学生已经具备怎样的认知结构？我们又如何进行合理设计，从而达到有效衔接呢？
1. 学生起点探析
学生数学学习的起点可以分为两类：学习的逻辑起点和学习的现实起点。对于“小数的意义”这节课，学生的逻辑起点有两个方面：（1）分数的初步认识。在三年级上半学期，学生已经初步认识了分母小于10的分数。（2）小数的初步认识。教材中把“让学生知道米可以写成小数0.1米，米可以写成小数0.01米”作为三年级数学教学目标。
从上述两个方面的逻辑起点可以看出，“分数的初步认识”“小数的初步认识”已经给小数意义的理解铺平了道路。于
是，在新课导入环节我尝试如下设计。
[片段一]直入主题
教师板书0.1后问：看到0.1，你想到了什么？
学生有些迷茫，片刻停顿后有学生举手。
生1：就是很小很小。
生2：对，就是这么一点点。（比划手势）
生3：就是0.1元……
教师开始引导：它表示哪个分数？
片刻思考之后，有三五个学生举手表示：0.1=。
在引入环节遇到这样的尴尬，让我开始对之前的学生逻辑起点分析产生怀疑，开始侧重对学生的现实起点进行分析。通过分析发现，学生的现实起点为：（1）学生确实已经经历了“分数的初步认识”和“小数的初步认识”，可是学生对两者的认识仅仅只是“初步”，必须借助直观的图示或生活经验来解释“0.1元就是元”，否则即便有学生说出“0.1就是”，也不能让大部分学生产生共鸣。（2）时间跨度较长。从“分数”“小数”的初步认识到“小数意义”这节课的时间有一年之久。我一开始对这点很不以为然，通过实际的谈话了解才意识到，时间跨度较长、内容本身抽象使得很多学生已经遗忘了小数与分数的关系，因此“看到0.1，你想到了什么”这个问题就缺少了必要的认知支撑。
2.激活学生原有经验
通过之前的尝试和之后的再次分析，我开始调整引入环节。
[片段二]激活原有经验
（1）出示题目
：同学们，在三年级的时候我们对小数已经有了初步的认识。这里的小数具体表示什么意思呢？（如右图）
生：0.4元就是4角，78.78元就是78元7角8分，0.6米就是6分米。
师：6分米为什么就是0.6米？
生1：因为米和分米的进率是十，10分米等于1米，所以6分米就是0.6米。
生2：因为6分米就是把1米平均分成10份，这样的6份就是米，所以就是0.6米。
师：简单地说，6分米就是米，所以就是0.6米。
（2）在电脑屏幕上出示一个超级大的0.1
师：刚才的0.4、78.78、0.6这些都是小数，这里还有小数0.1，它具体可以表示什么？
生：可以表示0.1元、0.1米、0.1公里……
通过前面的分析，我们明白学生对“小数的认识”还需要具体的量作为支撑，这是三年级的终点，也是本堂课的起点之一。所以我认为元、角、分和长度单位依然是本堂课的首选素材，引入的素材非常简洁，重点提问“6分米为什么就是0.6米”，自然地激活了小数与十进分数之间的直观关系，以“0.1可以用来
表示什么”来打开学生思路，真实展现学生起点，从而体现出“学生的实际认知基础是教学的基本出发点”这一教学理念。
二、层层深化建模，突出概念本质
在小数意义的建构过程中，教师应该引导学生亲自操作和体验，进行再创造，并在这种富有生命活力的再创造过程中，主动沟通小数与十进分数的联系。这样，学生才能深刻理解小数的意义。对此，我精心设计了下面的教学环节。[片段三]主动建构0.1的意义
（1）概念具体化
（紧接片断二）师：看样子0.1能表示很多东西，你们说的这些量，能通过分一分、涂一涂在图上表示出来吗？
学生自主操作，表示出心中具体的0.1。
（2）由具体到一般
师：我们刚才表示的物体并不一样，所用的图形的形状也不一样，为什么都可以用0.1表示呢？
学生进行激烈的讨论与交流，最后统一得出：因为它们都平均分成了10份，都涂出了其中的1份（因为它们都表示出了）。
（3）概念一般化
教师总结：也就是说就是0.1，0.1就是。
在这一教学环节中，对于0.1意义的理解可分三步走：先让学生自主“在图中表示心中的0.1”，再交流与沟通“为什么都可以用0.1表示”。通过这样的交流，学生对“0.1”的理解，
经历了从特殊到一般，从具体到抽象的过程，最后再抽象概括。正是因为有了这个模型的建立，学生对0.1的理解十分到位。
三、材料有效反馈，完善概念理解
概念的形成要遵循由易到难、层层深入的规律。在概念学习中，材料的选择与反馈非常重要。好的材料、好的反馈方式可以促进学生对概念的深入理解。
1.精挑细选学习材料，促进学生主动迁移
[片段四]两位小数意义的建构
出示图形：
师：如果一个正方形表示1米，那么左图表示什么？右图表示什么？
师：这是两个人的身高，一个1.7米，一个1.8米。老师的身高比1.7米高一点，比1.8米又矮一些。请你猜一猜，老师的身高有多少米？
（学生猜测：1.71米，1.75米，1.77米……）
师：你们猜的都符合这个范围。同学们能不能在图上通过分一分、涂一涂，把你猜的身高准确地表示出来？
（学生在纸上自主表示自己猜测的老师身高。）
在上述教学之前，学生刚刚抽象概括出一位小数的意义，即一位小数表示十分之几。通过看图表示身高这个材料，一方面很好地突破了之前一位小数形式上的定式（整数部分都是0的一位小数）；另一方面通过“猜一猜，老师的身高是多少米”这样一
个贴近学生生活的问题，激发学生的学习兴趣，使学生体会到引入两位小数的必要性。在接下来的教学过程中，教师放手让学生在纸上自主表示自己猜测的身高。这一刻，学生研究“一位小数意义”的方法被激活，在解决问题的过程中，学生必将主动迁移方法。多样化的方法、富有个性的学习将在此过程中体现得淋漓尽致。这样的学习活动比单纯的模仿、记忆更有利于调动学生的学习积极性，更有利于学生理解小数的意义。
2.充分利用生成材料，合理安排反馈顺序
[片段五]两位小数意义的教学
（紧接片段四）反馈（教师选择性展示学生作业）。
生1（估计）：表示1.76米，先涂满7条，在第八条中涂一部分。
师：同学们，你们觉得这方法怎么样？
生：不大好，看不出到底表示1.7几米。
师：刚才的同学用估计的方法表示出了大于1.7米，小于1.8米的身高，这个想法非常好。但到底是1.7几米呢？有什么办法可以准确地表示出来吗？
生2：我猜老师的身高是1.76米，只要在第2个正方形上先涂出7条，再把第8条平均分成10份，涂出其中的6份，就表示0.76，合在一起就是1.76。
生3：但是他表示的是1.86米了，1.76米应该这样表示――（出示③号作业）
生4：我也猜老师的身高是1.76米，但我是把整个正方形平均分成100份，涂了76份。
师：仔细观察这两幅图，为什么都表示0.76？
生：其实它们是一样的，因为把1条平均分成10份，共有10条，就是被平均分成100份。
总结：第一位同学将第8条平均分成10份，事实上就是把这个正方形平均分成了100份，涂了其中的76份，所以0.76就是表示。（课件跟进，沟通过程）
从片段五中我们看到，学生生成材料有对错之分，也有优劣之别，还有同一水平的不同表达方式。材料①不能准确地表示出1.7几米，材料②思路正确但结果错误，材料③、④能正确表示，但方法不同。笔者将四位学生的自主研究成果按序呈现，有利于让学生感受引入两位小数的必要性以及深刻理解“两位小数的
意义”。
四、淡化形式表达，深化概念理解
所谓的“淡化形式表达”并不是不要形式表达，而是不要把形式看得过分“神圣”。在概念教学中，教师既要引导学生由具体到抽象理解概念，又要让学生由抽象到具体应用概念。通过应用概念可以让学生加深理解，增强记忆，帮助学生更好地建立概念体系，完善知识，形成结构。
1.回避术语表达，突出实质理解
概念教学中往往会出现一些比较抽象的术语，这些术语对于
学生掌握概念的本质意义，有时会起到干扰的作用。例如，“小数意义”一课中计数单位的教学，笔者发现若问学生：“0.9里有多少个0.1？”学生非常容易回答；但若将题目改成“0.9的计数单位是什么？它是由多少个这样的计数单位组成的”时，部分学困生就会愣住。分析原因是学生对于“计数单位”这个术语比较难理解，如果一定去强化这个术语，那自然也就成了一种形式。
[片段六] 计数单位的教学
（紧接片段五）师：现在老师告诉大家，我的身高是1.77米，那么在这个基础上如何表示出1.77米呢？
生：再涂1格。
师：这里的1小格表示多少呢？
生：0.01。
师：那你现在想一想，0.01表示什么意思？
生：把这个正方形平均分成100份，这样的1份就是，也就是0.01。……
师：右图表示0.09，如果在多涂一格，它表示多少？
生1：0.10。
生2：0.1。（课堂内有争议）
生1：这里把正方形平均分成了100份，涂了10份就是，也就是0.10。
生2：因为涂色部分也可以看作把这个正方形平均分成10
份，涂了1份，所以可以用0.1表示。
师：0.1和0.10的大小是一样的，但是它们表示的意义不一样，0.1表示，0.10表示，1里面有多少个0.1？0.1里面有多少个0.01？（课件跟进，沟通过程）
每相邻两个计数单位的进率是10，如果以告知的方式让学生记住，显然，知识是得不到内化的。笔者采用分散教学，将进率的教学融于意义教学中，既是对意义的巩固与理解，又水到渠成地得出“10个0.1就是1”的结论。片段六中始终没有专门给出“计数单位”这样一个名称，而是借直观图帮助学生理解，通过直观图学生对“10个0.1是1，10个0.01就是0.1，1里面有100个0.01”等进率关系有了非常直观的表象支撑，理解也十分到位。尤其是计数单位0.01的教学，运用学生所猜身高（1.76米）与老师真实身高（1.77米）之间的1厘米，即一小格就是0.01，引出计数单位，学生对此意义的理解尤为深刻。
2.突破形式总结，注重意义理解
概念课的总结环节往往容易产生形式化，例如笔者在试教“小数意义”时曾形式化地问学生：“同学们，这节课你有哪些收获？”“我知道了小数的意义。”“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几……”为避免如此形式化的回答，笔者改变了总结的形式。
通过形式上的小小改变，发现学生更有话说了，学习形式更新了，课堂气氛更活跃了。更为重要的是，这样的总结目标完全
指向对意义的理解，非常有助于学生对知识的内化。
3.变化练习形式，深化意义理解
[片段八]课堂练习
抢答：用小数表示涂色部分
……
师：为什么第三幅图表示0.5。（课件出示）
生3：因为一半就是0.5。
生4：不是0.5，是表示0.1，因为只涂了1份。
生5：0.1是表示，这里是平均分成了2份。
生6：我们可以把这幅图想象成平均分成10份，那么涂色部分就是5份，所以是0.5。
师：真棒，那第四幅表示多少呢？
生：表示0.2，可以把每一条再平均分成两份，这样就平均分成10份，涂色部分有2份，所以就是0.2。
师总结：后面的两幅图并没有平均分成10份，同学们能够通过分解想象出平均分成10份，非常好。
概念教学要凸显意义的本质理解，笔者以为练习的设计尤为重要。上述片段中的四个题目，分了3个层次。特别是后面两个图，如果直接说“如何用小数表示”，学生可以凭借自己的感知经验“一半就是0.5”来解释的话，那么“如何用小数来表示”则再一次把目标指向小数意义的理解，学生对小数意义的理解是主动的、深刻的。
（?编黄春香）