第1章 函 数
§1.1 函数的概念与性质
1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >）
（1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2
）
2112
a b
a b
+≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值）
一般地，
1212111n
n
x x x n n
x x x +++≤≤
+++
（3）{}max ,22a b a b a b -+=
+；{}min ,22
a b
a b a b -+=- 2. 函数概念与性质
对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。
注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈<
1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤?
??
≥?
?单调递增单调递减
；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x
>?
?严格单增严格单减
（3）奇偶性 ()()
()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???
-=-?
?为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点
注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。
（4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。
（5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；
arcsin 2
x π
≤
，arccos x π≤，[]1,1-；arctan 2
x π
<
，arccot x π<，(,)-∞+∞
3. 复合函数
设)(u f y =的定义域为f D ，)(x u ?=的值域为?Z ，且Φ≠?Z D f （空集），则称
[])(x f y ?=为x 的复合函数。
4. 反函数 设1
()
()f f f f
y f x D Z y f x Z D -=???
=??
定义域为值域为定义域为值域为
注意：正反函数的图形对称于直线x y =；严格单调函数必有反函数；
1()f f x x -??=?? ()f x f x Z ∈的；[]1
()f f x x -= ()f x f x D ∈的
5. 初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
基本初等函数：幂函数μx y =（μ为实数）；指数函数x a y =（0>a ，1≠a ）；对数函数x y a log =（0>a ，1≠a ）；三角函数x y sin =，x cos ，x tan ，x cot ，x sec ，x csc ；反三角函数x y arcsin =，x arccos ，x arctan ，x arc cot .
６. 分段函数与幂指函数
分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示； 幂指函数x
y x =一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定
0x >，则ln x x x y x e ==，是初等函数。
§1.2 典型例题解析
例3 已知不等式211x x +>-，用区间表示不等式的解集 分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于1
2
x =-，1x =分别为21x +，1x -的零值点，于是将区间划分为1(,)2-∞-，1
[,1]2
-，(1,)+∞，再考虑各小区间x 的取值范围及端点，最后综合得出结论。
解法1 1211(,)21211211(,1)2211(1,)x x x x x x
x x ?-->--∞-???+>-=+>--??+>-+∞???12(,)210(,1)22(1,)x x x ?
<--∞-??
?
=>-??
>-+∞???
? (,2)(0,x ∈-∞
-+∞ 解法2 22(21)(1)x x +>- ? (2)0x x +> ? (,2)
(0,x ∈-∞-+∞
1. 函数定义域的求法
解题思路
（1）分式的分母0≠，对数的真数0>，偶次方根下的表达式0≥，反正弦、反余弦号内的表达式绝对值1≤；
（2）复合函数的定义域=简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。 例4 求下列函数的定义域
（1
）1arcsin
4x
y -= 解 21141lg(2)020340
x
x x x x ?-≤???
--≥??->?--≠?? ?
35
1221;4
x x x x x -≤≤??≤?
?
>??≠-≠? ? (](2,4)4,5
（2）已知()f x 的定义域是[]0,1，试求()()f x a f x a ++- (0)a >的定义域
解 ()f x a +的定义域：01x a ≤+≤ ? 1a x a -≤≤-
()f x a -的定义域：01x a ≤-≤ ? 1a x a ≤≤+； ()()f x a f x a ++-的定义域：[][],1,1x a a a a ∈--+
当1a a -<，12a >
时，定义域为空集；当1a a -≥，1
2
a ≤时，定义域为[],1a a -；故取交集定义域为[],1a a -
2. 函数解析式的求法
解题思路
（1）将已知变量凑成与()f 内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解； （2）对()f 内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。
（3）由[]()f x ?的表达式求)(x f 的一般方法是令()u x ?=，从中解出1()x u ?-=，
将其代入[]()f
x ?中可得()f u
例5 求下列函数解析式
（2）已知x x
bf x af sin )1()(=-+，()a b ≠, 求)(x f ； 解 令x t 1
-
=代入原式得 11()()sin()bf t af t t
+-=-，则 1()()sin 11()()sin()
af x bf x x
bf x af x x ?+-=????+-=-??
? )1sin sin (1)(2
2x b x a b a x f +-= （3）已知41
1
()ln ln(1)2
f x x x x +=-+,求)(x f ； 解法1
24
42221111111()ln ln(1)ln ln ln 1122122()2
x f x x x x x x x x x
+=-+===+++-
令1x t x +
=，则 211()ln 22f t t =- ? 211
()ln 22
f x x =- 解法2 将x 换成1x ，得4111
()ln ln(1)2f x x x x
+=--+，和原式相加得
441111
2()ln(1)ln(1)22f x x x x
+=-+-+
222211111()ln()ln ()242f x x x x x x ??
+=-+=-+-????
令1x t x +
=，则 211()ln 22f t t =- ? 211
()ln 22
f x x =- 例6 求下列函数解析式
（1）已知221(ln )1x f x x -=+，()x ?的定义域为0x <，且[]()x f x e ?=，求()x ?
解 令ln u x =，2
2u
x e =，221()1
u u e f u e -=+，且[]()x
f x e ?=，则
2()2()11x x x e e e ??-=+ ? 2()
11x x x e e e ?+=- ? 11()ln 21x x
e x e
?+=-（0x <） （2）已知1
1(ln )ln 01
x x f x x x ->?=?
<≤?，求)(x f
解 令ln u x =， u
x e =，则
110
()010u u u
e e u
f u u
e u ?->?>=?
<≤?≤? ? 10
()0x e x f x x
x ?->=?≤? 3. 利用定义确定函数的有关特性
解题思路
（1）若()()0f x f x +-=，则()f x 为奇函数；
（2）若T 是()f x 的周期，则()b ax f +的周期为/T a ；若()f x ，()g x 分别是以1T ，
2T 12()T T ≠为周期的函数，则()()f x g x ±的周期为1T ，2T 的最小公倍数。
（3）将函数取绝对值，由不等式的缩放法或求函数的最值确定函数的有界性； （4）若12x x <，且21()()0f x f x -≥，21()/()1f x f x ≥，则可确定()f x 单增性。 例7 设)()()(y F x F y x F +=+，求)1121)(
(x a
x F y +-=，(0,1)a a >≠的奇偶性 解 设)1(21
1121)(x x x a a a x g +-=+-=，11()()2(1)2(1)
x x x x a a g x g x a a -----==-=-++
由于)()()(y F x F y x F +=+，分别令0=y ，x y -=，得0)0(=F
()()(0)0F x F x F +-== ? )()(x F x F -=-
即)(x F 为奇函数，故)11
21)(
(x
a x F y +-=为偶函数。 例8 设()f x 在[],a a -(0)a >上有定义，证明：()f x 可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，且表示法唯一
分析 若()()x x ??-=，()()x x ψψ-=-，则有()()()f x x x ?ψ=+，
()()()f x x x ?ψ-=-，由此引入辅助函数
证 设[]1()()()2x f x f x ?=
+-，[]1
()()()2
x f x f x ψ=-- [][]11
()()()()()()22x f x f x f x f x x ??-=-+=+-=
[][]11
()()()()()()22
x f x f x f x f x x ψψ-=--=---=-
故()x ?为偶函数，()x ψ为奇函数，且
[][]11
()()()()()()()22
x x f x f x f x f x f x ?ψ+=
+-+--=
唯一性：设另有偶函数1()x ?及奇函数1()x ψ使得11()()()f x x x ?ψ=+，则
1111()()()()()()()()x x x x x x x x ?ψ?ψ??ψψ+=+??---=---? ? 1111()()()()
()()()()
x x x x x x x x ??ψψ??ψψ-=-??
-=-+? 解得1()()x x ??=，1()()x x ψψ=，即表示法唯一。
例9 证明下列函数为周期函数，并求其最小正周期 （1）()sin(23)f x x =+
解法1 由于sin x 的周期为2π，故所求周期为22
T π
π=
= 解法2 []()sin(23)sin(232)sin 2()3()f x x x x f x πππ=+=++=++=+，T π= （2）sin cos y x x =+
解 ()sin()cos()cos sin ()222
f x x x x x f x π
ππ
+
=+++=+= ? 2T π=
例11 设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，证明：
（1）若()y f x =的图形关于直线x a =(0)a >对称，则()()f x a f a x +=-； （2）若()y f x =的图形关于直线1x =，2x =对称，则()f x 是周期的偶函数。 分析（1）若()y f x =的图形关于直线x a =对称点为(,)x y 与(,)x y ''，则
2x a x '=-，y y '= ? ()(2)f x f a x =-
反之，若(2)()f a x f x -=，则()y f x =关于直线x a =对称
证（1）必要性：x R ?∈，有()(2)f x f a x =-，则
[]()2()()f x a f a x a f a x +=-+=-
充分性：若x R ?∈，有()()f x a f a x +=-，则
[][]()()()(2)f x f a x a f a x a f a x =+-=--=-
（2）由题设知(1)(1)f x f x +=-，(2)(2)f x f x +=-，则
[][]()1(1)1(1)(2)(2)f x f x f x f x f x =+-=--=-=+ [][]()1(1)1(1)(2)()f x f x f x f x f x -=-+=++=+=
故()f x 是以2为周期的偶函数
例12 判断下列函数的有界性 （1）2
221
222
x y x x +=
-++ 解 由2
2
2a b ab +≥，有2222(1)12(1)x x x x ++=++≥+，则
22
22222(1)
122(1)12(1)
x x x x x x x +++=≤=+++++ 23221122222x x x +-≤-≤++ ? 222132222
x x x +-≤++ 例13 设1λμ+=（0,0λμ>>），证明：
（1）若()f x 是[)0,+∞的单减函数，则()()()f x f x f x λλμμ≤+； （2）若
()
f x x
是(0,)+∞的单减函数，则()()()f x f x f x λμ≤+； （3）()()()f a b f a f b +≤+（0,0a b >>） 证（1）由题设知，
01λ<<，01μ<< ? x x λ≤，x x μ≤，[)0,x ∈+∞
由于()f x 单减，有()()f x f x λ≥，()()f x f x μ≥，则
()()()()()f x f x f x f x f x λλμμλμ+≥+=
（2）由于
()f x x 单减，有()()f x f x x x λλ≥，()()
f x f x x x
μμ≥，则
()()f x f x λλ≥，()()f x f x μμ≥ ? ()()()f x f x f x λμ+≥
（3）令x a b =+，a a b λ=
+，b
a b
μ=+，则 ()()()f a f b f a b +≥+
例14 求下列函数的反函数
分析：求分段函数的反函数，要注意x 的不同取值范围对应原来函数的值域
（2）?????≤≤+<≤+=21)2(3
1
1
0)1(212
x x x x y