1、用一个文件产生矩阵A、B，做矩阵运算，至少12种。
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A = 1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> B=[2 3 4;5 6 7;3 4 5]
B = 2 3 4
5 6 7
3 4 5
运算：(1)>>ans=A+B
ans =
3 5 7
9 11 13
10 12 14
(2)>> ans=A-B
ans =
-1 -1 -1
-1 -1 -1
4 4 4
(3)>> ans=A*B
ans =
21 27 33
51 66 81
81 105 129
(4)>> ans=cross(A,B)
ans =
-23 -28 -33
11 16 21
-3 -3 -3
(5)>> ans=dot(A,B)
ans =
43 68 99
(6)>> ans=A^2
ans =
30 36 42
66 81 96
102 126 150
(7)>> ans=A(3,2)
ans =
8
(8)>> ans=A'
ans =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
(9)>> ans=diag(A)
ans =
1
5
9
(10)>> ans=inv(A)
ans =
1.0e+016 *
-0.4504 0.9007 -0.4504
0.9007 -1.8014 0.9007
-0.4504 0.9007 -0.4504
(11)>> ans=trace(A)
ans =
15
(12)>> ans=rank(A)
ans =
2
(13)>> ans=sort(A)
ans =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
(14)>> ans=det(A)
ans =
2、已知矩阵A随机产生，排序并求出最大值、最小值以及奇数和偶数的个数。
要求：学号为单号的同学按从大到小顺序排列，学号为双号的同学按从小到大顺序排列。
程序：
>> A=magic(4)
B=reshape(A,1,16)
sort(B)
max(max(A))
min(min(A))
i=1;
sum1=0;
sum2=0;
while i<=16
if mod(A(i),2)==1
sum1=sum1+1;
i=i+1;
else
sum2=sum2+1;
i=i+1;
end
end
sum1
sum2
结果：
A =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 1
5 1
B =
16 5 9 4 2 11 7 14 3 10 6 15 13 8 12 1
ans =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
ans =
16
ans =
1
sum1 =
8
sum2 =
8
3、已知：
画出该函数在[-20 20]区间上的函数图形。
程序：
>> x=-20:0.01:20; 10
10
x x y x x x x +>
??==??-
for i=1:4001
if x(i)>0
y(i)=x(i)+1;
else if x(i)==0
y(i)=x(i);
else
y(i)=x(i)-1;
end
end
end
figure
plot(x,y);
结果：
4、建立一个求阶乘函数，并验证。
程序：
>> m=input('请输入m的值')
sum=1;
i=1;
if m==0
sum=1
return
else
while i<=m
sum=sum.*i;
i=i+1;
end
end
sum
结果：
请输入m 的值0
m =
sum =
1
请输入m 的值1
m =
1
sum =
1
请输入m 的值5
m =
5
sum =
120
5、已知213056y x x =++，21000sin()500y t x π=+，lg1033x x y e x =+，其中
x=-2pi ：2pi ，t=学号最后两位。
要求：
A 、同一个Figure 中同时画出三条曲线，添加图形标注，体现线型、顶点标记、颜色、分格线和线条粗细。
B 、图形窗口区域分成4个小窗口，y1，y2，y3分别占据第4、3、1位置。
A 、程序：
>> x=-2*pi:0.1:2*pi;
y1=30*x.^2+5*x+6;
y2=1000*sin(8*pi*x)+500;
y3=3*exp(x)+x.^log(10*x);
plot(x,y1,'^y','linewidth',6)
hold on
grid on
plot(x,y2,'.b','linewidth',2)
hold on
grid on
plot(x,y3,'-k','linewidth',3)
hold on
grid on
grid on;hold on;
legend('y1=30*x.^2+5*x+6','y2=1000*sin(t*pi*x)+500','y3=3*exp(x)+x.^l og(10*x)')
xlabel('x')
ylabel('y')
结果:
B、程序：
>> x=-2*pi:0.1:2*pi;
y1=30*(x.*x)+5*x+6;
y2=1000*sin(8*pi*x)+500;
y3=3*exp(x)+x.^log(10*x);
subplot(2,2,4)
plot(x,y1)
ylabel('y1=30*x.^2+5*x+6')
subplot(2,2,3)
plot(x,y2)
ylabel('y2=1000*sin(02*pi*x)+500')
subplot(2,2,1)
plot(x,y3)
ylabel('y3=3*exp(x)+x.^(log(10*x))')
结果：
。
三角模糊数互补判断矩阵案例 （模糊层次矩阵） 民航是一个高风险的服务行业，安全状况的好坏直接影响着其声誉、经济效益乃至生存。作为旅客登机出行的必经之地——机场则尤为重要。我国于2008年2月1日起，正式实施“民用机场运行安全管理规定”[2]，通过建立一套完善有效的安全管理体系，对保证航空安全有着重要的作用和意义，而其中的安全风险管理则是重要组成部分。目前美国、加拿大等国家在实施安全管理系统时，采用了风险评估矩阵来进行风险管理。该矩阵将风险的可能性和严重性联系在一起，可以根据用途进行细化，但是对于处理大量数据时，具有一定的局限性。 我国学者曾采用层次分析法(AHP)，对民用机场影响飞行安全的各因素进行了评估。但是，对于层次分析法，当判断矩阵不具有一致性时，需要调整判断矩阵的元素，使其具有一致性，这不排除要经过若干次调整、检验、再调整、再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性；另外，判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异[2-6]。 在进行安全风险管理时，存在着很多不确定因素困扰着风险评估，其主要原因是专家的意见存在着偏差，人为因素难以进行清晰明确的分析，然而这些不确定因素却是正常的和不可避免的。因此，引入了模糊数学，克服了层次分析法的局限性以及人类思维的主观性，从而形成了模糊层次分析法(Fuzzy Analytical Hierarchy Process，FAHP)。 笔者拟采取模糊层次分析法对某一民用机场影响飞行安全的各因素进行评估，这将不仅能够客观地评估民用机场的安全现状、发现隐患和薄弱环节，而且对于改善其安全有着积极的 作用。 1 预备知识
其中，λ值的选择取决于决策者的风险态度。 当λ＞0.5时，称决策者是追求风险的； 当λ=0.5时，称决策者是风险中立的；
第二学期第八次课 设A 是n 维酉空间V 内的线性变换,如果V 内的线性变换A * 满足? α,β∈V,有 (A α,β)=(α,A * β) 则称A * 是A 的共轭变换. A * 为A 的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置. 共轭变换的五条性质: 1)E *=E 2)(A * )*= A 3)(k A )* =k A * 4)(A +B )* =A * +B * 5)(AB )* =B * A * 如果A *= A,则称A 是一个厄米特变换. 设A 是n 阶复矩阵,如果A '=A,则称A 是一个厄米特矩阵. n 个复变量n 21x x x ，， ，?的二次齐次函数 ∑∑===n i n j j i ij x x a f 11 (ji ij a a =) 称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。 （酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.） 如果A *A = A A * ,则称A 为一个正规变换. （将酉变换的性质推广，有一般的结果：） 命题 酉空间V 上的线性变换A 的不变子空间M 的正交补⊥ M 是共轭变换A * 的不变子空间. 证明 ? α∈M, β∈⊥M ,有 (α,A * β)=(A α,β)=0 这表明A * β∈⊥ M .
命题酉空间上的正规变换A的属于特征值λ的特征向量ξ的是共轭变换A*的属于特征值λ的特征向量. 证明按假设,有Aξ=λξ则 (A*ξ-λξ,A*ξ-λξ)=((A-λE)*ξ, A*ξ-λξ) =(ξ,(A-λE)(A-λE)*ξ) =(ξ,(A-λE)*(A-λE)ξ) =(ξ,0)=0 从而A*ξ=λξ. 命题酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交. 证明设Aξ=λξ,Aη=μη则 λ(ξ,η)=(Aξ,η)=(ξ,A*η)=(ξ,μη)=μ(ξ,η) 必有(ξ,η)=0. 定理n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 证明对维数n做数学归纳法. 推论n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 命题厄米特变换的特征值都是实数. 证明若Aξ=λξ,则λξ=A*ξ=Aξ=λξ?λ=λ?λ是实数.
矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12m P Q Q Q = 。 此时711T T T m n P Q Q Q -= 边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=- ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ ，因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得 112[]Q AQ λλ-= 11[]n P BP λλ-= 从而有11Q AQ P BP --=
城市核心竞争力的多层次评价指标 作者：未知来源：网络添加日期：10年02月06日 一、城市核心竞争力评价指标体系的建立 （一）层次体系建立 1.城市竞争力的评价指标 城市竞争力是一个混沌的系统，这些系统以其表现方式的不同可概括成两类:硬分力和软分力，其中硬分力=人才力+资本力+科技力+环境力+区位力+设施力+结构力，软分力=文化力+制度力+管理力+开放力，这样城市竞争力的框架便表示为:城市竞争力=硬分力+软分力。 2.城市核心竞争力的定义 城市核心竞争力是一座城市所具有的关键性能力，这种能力能使一座城市在某一个行业(或产业)、某一个领域取得领先地位，获得竞争优势。所以，在这些关键性领域的投入与产出比例一般要高于其他领域。 3.城市核心竞争力的评价方法 确定权重的方法很多，由于城市核心竞争力判别系统是一个多级递阶结构，采用层次分析法较为适宜。 4.建立的指标层次体系 城市核心竞争力包含软实力与硬实力两方面。前者包含有：文化力、制度力、管理力、开放力。后者包含有：人才力、资本力、科技力、环境力、区位力、设施力、结构力。 （二）层次分析方法的基本过程 1.建立层次结构模型 在这一步中，我们首先要确定目标，随后找出影响目标的几个主因，而然后在每个主因下再找出分别影响这些主因的分因。 2.构造判断矩阵
确定各层次因素之间的相对重要性并赋以相应的分值，构造出各层次中的所有判断矩阵。分值标准如上表： 3.层次单排序 对判断矩阵B，计算满足BW=λmaxW的特征根与特征向量，式中λmax 为B 的最大特征根，W 为对应于λmax 的正规化特征向量，W的分量Wi 是相应因素单排序的权值。为了检验矩阵的一致性,需要计算它的一致性指标CI，定义CI=(λmax- n) /(n- 1)。随机一致性指标RI，可查表确定。 4.层次总排序 层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序。随后对这个总的排序矩阵计算特征值与特征向量。 5.一致性检验 对总排序矩阵的计算结果仍然要进行一致性检验，方法可参考步骤（3） 二、城市核心竞争力层次评价步骤 1.建立城市核心竞争力层次结构模型 根据以上层次结构模型建立城市核心竞争力的层次结构模型，即城市核心竞争力包含软实力与硬实力两方面。前者包含有：文化力、制度力、管理力、开放力。后者包含有：人才力、资本力、科技力、环境力、区位力、设施力、结构力。 2.构造判断矩阵 首先，建立城市核心竞争力层次矩阵，设为A，其表达如下： 其次，细化硬实力矩阵，设为B1，表达如下：
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B : 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得 T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对 称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即1 2 m P Q Q Q =L 。 此时7 11 T T T m n P Q Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系 列初等变换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵
从而11 1 ()PQ QP ---= 又由于1 111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ = 1 QQ -= E = 1 QP -∴为正交矩阵 所以A B :且A B ? 定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质 证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A = ()T T T B P AP = T T P A P = T P AP = B = 所以B 边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？ 引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.
四元数正规矩阵的几个定理1 邹黎敏，陈香萍，伍俊良，李声杰 重庆大学数理学院，重庆（400044） E-mail ：zlmlohr@https://www.doczj.com/doc/5f1268792.html, 摘 要：利用四元数正规矩阵可对角划的性质，得到了四元数正规矩阵的一些性质及判定准则。同时获得了四元数正规矩阵弱直积，矩阵方程，特征值的几个定理。 关键词: 四元数体，正规矩阵，弱直积，特征值 中图分类号: O241.6 文献标识码: A 1．引言与符号约定 近年来，人们对于四元数体上代数问题的研究非常深入，不仅仅是由于四元数乘积的非交换特性这一现象引起了人们对四元数代数问题的广泛兴趣(参考[1-3])，同时还因为四元数本身在众多的应用问题中也存在广泛的联系，如四元数在量子力学，刚体力学方面的应用，四元数在计算机图形图像处理和识别方面的应用，四元数在空间定位方面的应用等，也促使人们对四元数代数问题加以研究（参见[4-8]）。 四元数矩阵的研究是四元数代数理论中的一个重要方面，特别在自共轭四元数矩阵的特征值、奇异值、合同、正定性以及自共轭四元数矩阵的子式等方面有着广泛的研究[文9-14]。但很少有文献对四元数正规矩阵进行研究。本文借助于四元数体上正规矩阵的概念以及相似分解，给出了四元数正规矩阵的一些性质和判定准则，得到了四元数正规矩阵弱直积，合同化简以及特征值不等式的几个定理。 文中用R 表示实数域，C 表示复数域，H 表示R 上的四元数体，R 和H 上n 阶矩阵的全体分别记为n n R ×和n n H ×，*'A A =表示A 的共轭转置，k a j a i a a a 3210+++=表示实四元数（3210,,,a a a a 为实数） ，用α和n I 分别表示H 上任意n 维四元数列向量和n 阶单位矩阵，)Re(a 表示a 和实部，* a 表示a 的共轭四元数，* α表示α的共轭转置向量, a a a N *)(=和N (α)=αα*分别表示a 和α的范数。 2．一些定义和引理 定义 1. 设n n H A ×∈，如果**AA A A =，则称A 是正规矩阵，则易知自共轭四元数矩阵，斜自共轭矩阵和下面定义的酉矩阵均为正规矩阵。 定义2. 设n n H A ×∈，如果n I AA A A ==* * ，则称A 是H 上的一个n 阶酉矩阵，其全体记为()u n H ,。 定义3[10] . 设() ij m n A a ×=与() ij p q B b ×=是H 上的矩阵，称H 上mp nq ×阵 1 本课题得到国家自然科学基金(60574073和10471142)和重庆市科委科学研究基金(CSTC,2005CF9057)的资 助。
矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=-
矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,
（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2）
8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵
§8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=
矩阵理论 通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。 本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。 一 线性方程组 对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。 由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。 对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。 判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。 对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系： 23(1)(log )()(log )()() (2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<< LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。 但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。 如果存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U ，使得方阵A 满足P A L U =，称作带置换的LU 分解。
I. QUESTION I Summarize the known constructions of orthogonal matrices and unitary matrices. Give some numerical examples for each construction. 1》正交矩阵：是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这 里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵可以看做是一种特殊的酉矩阵，但存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。 正交矩阵有以下几种等价定义及其判定 (满足的结构性质) 定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若E AA =',则称A 为正交矩阵. 定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若E A A =',则称A 为正交矩阵. 定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1-=A A ,则称A 为正交矩阵. 定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵. 实例： ??? ???-θθθθ c o s s i n s i n c o s ?? ????1001 2》酉矩阵：n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基， 则U 是酉矩阵。酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。 酉矩阵的相关性质： 设有矩阵 ，则 （1）若是酉矩阵，则的逆矩阵也是酉矩阵； （2）若是酉矩阵，则也是酉矩阵； （3）是酉矩阵的充分必要条件是，它的个列向量是两两正交的单位向量。
一个简单的充分必要判别准则是： 酉矩阵的共轭转置和它的逆矩阵相等 酉矩阵基本性质:(A 是酉矩阵) 1.A 的行列式的模等于1 2.H A A =-1,11)()(--=H H A A 3.1-A 也是酉矩阵，两个n 阶酉矩阵的乘积也是酉矩阵 4.A 的每个(列)行向量(看作酉空间n C 的向量)是单位向量；不同的两个(列)行向量是酉矩阵正交的。 实例： ?? ? ? ??++ββαα s i n c o s 00s i n c o s i i （βα,为任意角度） II. QUESTION II A Hadamard matrix of order n is an n n ?matrix with elements in {}1,1+- such that T n n HH nE ?=where T H is the transpose of H and n E is the identity matrix of order n .This class of matrices are useful in many practical applications. Q1 Does Hadamard matrix exist for any order? Please list a Hadarmard matrix of order n with 20n ≤ if such a matrix exists. Q2 Design two Hadamard matrices []12 ;;; n H h h h =and 12; ; [; ]n G g g g = of order 2m n = (where m is odd) such that: 12/2; ;{}; n h h h is orthogonal to 12/2 ; ;{}; n g g g ;and
矩阵方程的解法 本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩 阵的最佳逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程 有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。矩阵方程问 题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。不 同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程 问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析， 勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。 约束矩阵方程问题的内容非常广泛、约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题、有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富、其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题、求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是 当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。对于本文所研究的AX= B、这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些 约束解和最小二乘解的问题。自从针对工程应用领域提出了行对
称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR分解。本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。设表示全体n*m阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A的秩,表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即=,显然有成立。表示n阶正交矩阵全体。本文要讨论以下问题：问题1 给定矩阵A,B,求实行对称方阵X，使得AX=B。问题2 给定，求，使得。其中为问题1的解集。问题3 给定矩阵,求实行对称方阵X，使得=B。 定义设A = ()，若A满足，则称A为n *m行对称矩阵、所有n *m行对称矩阵的全体记为。考查满足的矩阵A，不难发现A 是关于行具有某种对称性的矩阵，即当阶数n为奇数时，以将行为对称线，矩阵A的行关于该线对称；当阶数n为偶数时，在行与行间做一条直线，则A的行关于该直线对称。或简单的说，将A 进行上下翻转后矩阵不变，我们就称这种矩阵为行对称矩阵。为了更好的了解行对称矩阵，我们介绍一下行对称矩阵的性质：（1）当n=2k时，=、（2）当n=2k+1时，=定义设A=，r(A)=r,的大于零的特征值为。则称为A的奇异值。定义设矩阵A ，若矩阵X满足如下四个Penrose方程：
第一章 1 线性空间概念（封闭性） 2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换 5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间 6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程 7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3） 8 不变子空间，正交变换，酉交变化 例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α， T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与 12W W ?的维数，并求出12W W ? 解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+ ()????? ????????→??? ????????---==71 1022-203-5-30 121 -17110 30111112 121 1,,,2121行变换 ββααA B =???? ?????????????????000 310040101-0 0100 00 31007110121 -1
得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--?X ββαα.即0711******* 121211=???? ? ?????------X 解得 ()(){}. 4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321T T k W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即 例2 设3R 上线性变换T 为 ,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++= 求T 在基 T T T ) 111(,)110(,)101(321-===ααα 下的矩阵B. 解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为： , 10111012123213132321???? ??????????? ?-=????????+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵 , 101110121??? ? ????-
两类二次矩阵方程的数值求解方法 二次矩阵方程在物理学、材料学、工程学、控制理论和科学计算等诸多领域有着广泛而深刻的应用.对其解的存在性研究和相应的数值求解方法不但在理论上具有重要意义而且在实际应用中也非常有价值.尤其近十几年随着计算机的飞速发展,非线性矩阵方程的数值解在工程控制领域和计算数学领域都逐渐发展成为了一个非常热门的课题.本文主要研究来自于物理中质量一弹簧系统的一类单边二次矩阵方程的数值求解问题和来自粒子转移理论中的非对称代数Riccati 矩阵方程数值求解问题.在第2章,我们研究来自于质量-弹簧系统的一类单边二次矩阵方程的数值求解问题.我们首先提出这一方程解存在的一个充分条件；其次根据方程系数矩阵的特点,我们提出一种保M-矩阵结构的加倍算法来计算方程的极端解；在适当的条件下,我们还证明该算法的单调收敛性和局部二次收敛性.我们的数值试验说明我们提出的算法要优于带精确线性搜索的牛顿法和伯努利迭代法.在第3章,我们研究用循环约化算法来求解过阻尼系统产生的单边二次矩阵方程.与现有的二次收敛循环约化算法不同,我们提出一种三次收敛的循环约化算法.在过阻尼条件下我们证明所提出算法的适定性和收敛性.数值试验表明该算法在方程接近于过阻尼系统的临界状态时将比原来的循环约化算法具有更快的收敛性.在第4章,我们继续研究循环约化算法的在临界状态过阻尼系统中的收敛性.Guo, Higham和Tisseur在假设临界过阻尼系统中按绝对值大小顺序排列的第n个特征值的部分重数(partial multiplicity)为2的条件下证明了循环约化算法的线性收敛性,而且算法产生的某些矩阵序列收敛于零矩阵.我们首先给出一个例子说明当上述假设条件不满足时,循环约化算法的收敛性与Guo等的收敛结论并不完全相同,即算法产生的相应的矩阵序列可以不收敛到零
两类矩阵方程的行对称矩阵解 及AX=B的最佳逼近 摘要本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义 逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳 逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程T 有行 AXA B 对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。 矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的 解的问题。不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。 约束矩阵方程问题的内容非常广泛. 约束矩阵方程问题又分为 线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题. 有关线性约束 矩阵方程问题的研究成果相当丰富. 其中最简单的矩阵方程AX = B 是研究最透彻的一类问题. 求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小
二乘解。对于本文所研究的AX=B 、T AXA B =这两类简单矩阵方程，国 内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。 自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR 分解。 本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B 有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程 T AXA B =有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解 得出了有解时的充要条件及解的表达式。 设*m n R 表示全体n*m 阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A 的秩,n J 表示 次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即n J =*0 101n n ?? ? ? ?? ? ,显然有1 ,T n n n n J J J J -==成立。*n n OR 表示n 阶正交矩阵全体。 本文要讨论以下问题： 问题1 给定矩阵A,B ∈*m n ,求实行对称方阵X ，使得AX=B 。
关于实正交矩阵的某些性质 华东师范大学数学系04级基地班高等代数与解析几何04学年第二学期大作业 10041510134裘鹏翔 正交矩阵是实数域上一类十分特殊的矩阵，具有很多特殊的性质，经过一个学期来学习，也积累收集了不少正交矩阵的性质，罗列如下： 定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。 n阶正交矩阵的集合记为。 本文摘要： 1正交矩阵与运算的关系 1.1和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵； 1.2差：正交矩阵的差也不一定是正交矩阵； 1.3乘积：正交矩阵的乘积是正交矩阵； 1.4数乘：正交矩阵数乘后一般不是正交矩阵； 1.5直积：正交矩阵的直积还是正交矩阵； 1.6圈积：正交矩阵的圈积还是正交矩阵； 1.7转置：正交矩阵的转置还是正交矩阵； 1.8逆：正交矩阵的逆还是正交矩阵； 1.9伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是这个矩阵是正交矩阵；2正交矩阵的特征 2.1迹：迹小于阶数； 2.2特征值：实数域上,复数域上模为1； 2.3不定性：正交矩阵是不定矩阵； 2.4对角化：正交矩阵在对角化中的作用； 3正交矩阵与特殊矩阵的关系 3.1与数量矩阵：只有的数量矩阵和正交矩阵的乘积还是正交矩阵； 3.2与整系数矩阵：如果n阶正交矩阵是整系数矩阵（即），则它共有！ 种； 3.3与实可逆矩阵：分解为正交矩阵和三角矩阵； 与上（下）三角矩阵：每个实可逆矩阵的分解等等； 3.4与对角矩阵：特征值全是实数的对角化等等； 3.5与对称矩阵：特征值全是实数的正交矩阵是对称的等等； 3.6与反对称矩阵：可对角化情况下的典范型； 4正交矩阵的特殊构造 4.1整系数与非整系数实（反）对称正交矩阵； 5附录 :正规矩阵正交准对角化概述（纯矩阵的证明方法） 5.1定理１；上三角标准定理；
第一节 正规矩阵 【Schur 三角化定理】设n n A ?∈ ，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一 个上三角矩阵. 【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基. 1H H H n U U UU E U U -==?= 性质：设有矩阵A ，B ，则 （1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵； （2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵； （3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =； （4）A 是酉矩阵?A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理】矩阵A 可以酉对角化?**AA A A =. *U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =?= A 可以酉对角化，则?酉矩阵U 使*U AU D = ***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD U U D DU U DU U DU A A ====== 【定义】设n n A ?∈ ，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵. 【引理】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵. 【定理】设n n A ?∈ ，则A 为正规矩阵?A 有n 个两两正交的单位特征向量. 【推论】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的. 【定理】设()i j n n A a ?=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式） 221 ,1||||n n i i j i i j a λ==≤∑∑ （2）A 为正规矩阵?2 21 ,1 |||| n n i i j i i j a λ===∑∑ （3）* 2,,1 tr()||n i j i j AA a == ∑ 【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =. 【定义】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵 a b b a ?? ?-??
第1章线性空间与线性变换 线性空间 定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。定义两种运算，加法：任意α，β∈V，α+β∈V；数量乘法：任意k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足8运算，则称V为数域F上的线性空间，V中元素成为向量 定理1.1 线性空间V的性质：V中的零元素唯一；V中任一元素的负元素唯一 定义1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量组α1…αn，使空间中任一向量可由它们线性表示，则称向量组为V的一组基。基所含的向量个数为V 的维数，记为dimV=n 定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基 定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基，对于任意β∈V,有β=（α1…）（x1…），则称数x是β在基α1…下的坐标 定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关 定义1.4 α，β为两组基，若满足β=αC，则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵 定理1.4 已知β=αC，V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y，则有X=CY 定义1.5 V为线性空间，W是V的非空子集合。若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间 定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合，则W是V的子空间的充分必要条件是α，β∈W，α+β∈W；k∈F，α∈W，kα∈W 零空间：N(A)={X|AX=0}列空间：R(A)=L{A1,A2…} 定理1.6 交空间：W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2} 和空间：W1+W2={α|α=α1+α2，α∈W1，α∈W2} 定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间，则有如下维数公式： DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2) 定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间，W = W1 + W2，如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。记为W = W1⊕W2 定理1.8 设W1和W2是V的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1⊕W2；W中零向量表达式是唯一的；维数公式：dimW = dimW1 + dimW2
什么是合同矩阵 在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B. 一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。 相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。 定义 合同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 则称方阵A与B合同，记作A?B。 在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。 性质 合同关系是一个等价关系，也就是说满足： 1、反身性：任意矩阵都与其自身合同； 2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A； 3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C； 4、合同矩阵的秩相同。 矩阵合同的主要判别法： 设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.
设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。 正定二次型 主条目：正定二次型 半正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。 一个二次型是半正定二次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。 正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。 一个n元二次型是正定二次型，当且仅当它的正惯性指数是n。正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵，且行列式大于0。 同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。 合同矩阵发展史 1855 年，埃米特(C.Hermite,1822-1901) 证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并得出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892 年，梅茨勒(H.Metzler) 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。