易错点05 三角函数与解三角形
—备战2021年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）
A. πsin(3x +）
B. π
sin(
2)3x - C. π
cos(26
x +）
D.
5π
cos(2)6
x -
【答案】BC 【解析】 【分析】
首先利用周期确定ω的值，然后确定?的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：
22362T ππ
π=-=，则222T ππωπ
===，所以不选A, 当2536212
x π
ππ+
==时，1y =-∴()5322122
k k Z ππ?π?+=+∈， 解得：()2
23
k k ?ππ=+
∈Z ，
即函数的解析式为：
2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ????????
=++=++=+=- ? ? ? ?????????
.
而5cos 2cos(2)66x x ππ?
?+=-- ?
?
? 故选：BC.
【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝
2T
π
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 例2 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学） 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =
3
5
，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．
【答案】542
π+
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【解析】 【分析】
利用3
tan 5
ODC ∠=
求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =,所以45AGP ?∠=，
因为//BH DG ，所以45AHO ?∠=，
因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；
在直角OQD △中，52OQ =-
，72
DQ r =-，
因为3
tan 5OQ ODC DQ ∠=
=，所以212522
-=-，
解得r =
等腰直角OAH △的面积为11
42
S =
?=；
扇形AOB 的面积(2
213324
S π
π=??=，
所以阴影部分的面积为1215422
S S ππ+-
=+.
故答案为：542
π+
.
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.
例3 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，
6
C π
=，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】
解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.
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【详解】解法一：
由sin 3sin A B 可得：
a
b
=
不妨设(),0a b m m =>，
则：2222222cos 322
c a b ab C m m m m =+-=+-??
=，即c m =. 选择条件①的解析：
据此可得：2ac m =?==，1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：
据此可得：222222231
cos 222
b c a m m m A bc m +-+-===-
，
则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==
选择条件③的解析：
可得
1c m
b m
==，c b =，
与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵(),,6
sinA C B A C π
π==
=-+,
∴()6sinA A C A π??
=+=+
??
?
,
()1
?2
sinA A C =+= ，
∴sinA =
,∴tanA =23A π=
,∴6
B C π==,
若选①，ac =
,∵a ==
2=
若选②，3csinA =,
3=
,c =;
若选③,与条件=c 矛盾.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
【易错警示】
易错点1 角的概念不清
例1 若α、β为第三象限角，且βα>，则（ ）
A ．βαcos cos >
B ．βαcos cos <
C ．βαcos cos =
D ．以上都不对 【错解】A
【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似)2
3,
(π
π区间角． 【正解】如取3
4,672π
βππα=
+
=，可知A 不对．用排除法，可知应选D ． 易错点2 忽视对角终边位置的讨论致误 例2 若α的终边所在直线经过点33(cos
,sin )44
P ππ
，则sin α= ．
【错解】∵33(cos
,sin )(44P ππ=
，所以sin 2
α==
．
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【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论
【正解】∵直线经过二、四象限，又点P 在单位圆上，若α的终边在第二象限，则
3sin sin
42πα==
，若α的终边在第四象限，∴sin 2
α=-，综上可知sin 2α=±． 易错点3 忽视函数的定义域对角范围的制约致错 例3 求函数x
x
y 2
tan 1tan 2-=
的最小正周期． 【错解】x x x y 2tan tan 1tan 22=-=
，2π=
∴T ，即函数的最小正周期为2
π
． 【错因】忽视其定义域导致错误，
2
π
不是x x y 2tan 1tan 2-=的周期，因为当0=x 时，
x x y 2tan 1tan 2-=
有意义，所以由周期函数定义知应有)0()20(f f =+π成立，然而)
2
0(π
+f 根本无意义，故
2
π
不是其周期． 【正解】由于函数x x y 2tan 1tan 2-=
的定义域为)(4
,2Z k k x k x ∈+≠+≠π
πππ，故作出函数
x y 2tan =的图象，可以看出，所求函数周期应为π．
易错点4 对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误
例4 若316sin =???
??-απ，则??
? ??+απ232cos =（ ） A ．97-
B ．31-
C ．31
D ．9
7 【错解一】??
?
??+απ232cos cos[(2)]3ππα=--sin(2)2sin()cos()366πππααα=-=--
12(339
=??±=±，无答案．
【错解二】227cos 2cos[(2)]cos(2)12sin ()33369ππππαπααα??
+=--=-=--=
???
，
故选D ．
【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是π
2的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：
在该题中把整个角(2)3π
α-看作锐角时，(2)3
π
πα--所在象限的相应余弦三角函数值的符号．
【正解】227cos 2cos[(2)]cos(2)12sin ()33369ππππαπααα??
+=--=--=-+-=- ???
，
故选A ．
易错点5 忽略隐含条件
例5 若01cos sin >-+x x ，求的取值范围．
【错解】 移项得1cos sin >+x x ，两边平方得)(222,02sin Z k k x k x ∈+<<>πππ那么
即)(2
Z k k x k ∈+
<<π
ππ
【错因】忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了1cos sin -<+x x ．
【正解】1cos sin >+x x 即1)4
sin(2>+
π
x ，由2
2
)4
sin(>
+
π
x 得 )(4
324
4
2Z k k x k ∈+
<+
<+
π
ππ
π
π ∴)(2
22Z k k x k ∈+
<<π
ππ
易错点6 因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错
例6 )23
sin(
2x y -=π
单调增区间为（ ）
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A ．5[,]12
12
k k π
πππ-
+
,()k Z ∈ B ．]1211
,125[ππππ++k k ,()k Z ∈
C ．]6
,3
[π
ππ
π+
-k k ,()k Z ∈
D ．2
[,]63
k k π
πππ+
+,()k Z ∈ 【错解】由题意，2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤
-≤
+()k Z ∈，
解得5212
12
k x k π
π
ππ--≤≤
-，所以)23
sin(
2x y -=π
单调增区间为5
[,]12
12
k k π
πππ-
+
,()k Z ∈，故选A ． 【错因】内层函数为减函数，因此不能直接套用sin y x =的单调性来求．
【正解】∵sin(
2)sin(2)33y x x ππ=-=--，即求函数sin(2)3y x π
=-的减区间． 故函数)23sin(2x y -=π的增区间为]12
11
,125[ππππ++k k ,()k Z ∈，故选B ．
易错点7 图象变换知识混乱
例7 要得到函数sin 23y x π?
?
=-
??
?
的图象，只需将函数1
sin
2
y x =的图象（ ） A ．先将每个值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向右平移
3
π
个单位． B ．先将每个值缩小到原来的
14倍，y 值不变，再向左平移3
π
个单位． C ．先把每个值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向左平移个
6
π
单位． D ．先把每个值缩小到原来的
14倍，y 值不变，再向右平移6
π
个单位． 【错解】A 、C 、B
【错因】1
sin
2
y x =变换成sin 2y x =误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A 或C ；把sin 2y x =平移到sin 23y x π?
?=- ??
?平移方向错了，平移的单位误认为是3π，误选B ．
【正解】由1sin
2y x =变形为sin 23y x π?
?=- ??
?常见有两种变换方式，一种先进行周期变
换，即将1sin
2y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
4
倍得到函数sin 2y x =的图象，再将函数sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6
π
单位．即得
函数sin 23y x π??
=-
??
?
，故选D ． 易错点8 已知条件弱用
例8 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222
<+，求A 的取值范围．
【错解】∵a b c b c a 2
2
2
2
2
2
0<++->，∴，则cos A b c a bc
=
+->222
20， 由于cosA 在（0°，180°）上为减函数且cos900=°，90A <∴°，又∵A 为△ABC 的内角， ∴0°＜A ＜90°．
【错因】审题不细，已知条件弱用，题设是为最大边，而错解中只把看做是三角形的普通一条边，造成解题错误．
【正解】由上面的解法，可得A ＜90°，又∵a 为最大边，∴A ＞60°， 因此得A 的取值范围是（60°，90°）． 易错点9 三角变换不熟练
例9 在△ABC 中，若a b
A B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状．
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【错解】由正弦定理，得sin sin tan tan 22A B A
B
=，
即sin sin sin cos cos sin sin sin 22
00A B A A
B
B A B =>>·，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22．
∴2A ＝2B ，即A ＝B ．故△ABC 是等腰三角形．
【错因】由sin sin 22A B =，得2A ＝2B ．这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏．
【正解】同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+，或222A k B k Z =+-∈ππ()．
∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =
-π
2
．
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 易错点10 解三角形时漏解
例10 已知在△ABC 中，a ＝3，b ＝0
45,2=B ,求A ∠、C ∠和边c ．
【错解】由正弦定理
B
b
A a sin sin =
,得sinA ＝.23所以，?=60A ，
?=???=7560-45-180C ，所以，c ＝
sin sin b C B =．
【错因】上述解法中，用正弦定理求C 时，丢了一个解，实际上，由sinA ＝.2
3
可得?=60A 或?=120A ，故?=75A 或?=15A ．
【正解】由正弦定理
B
b
A a sin sin =
,得sinA ＝.23因为，b a >，所以?=60A 或?=120A ，
当?=60A 时，?=???=7560-45-180C ，c
＝
sin sin b C B =．
当?=120A 时，?=???=15120-45-180C ，c
＝
sin sin b C B = 易错点11 不会应用正弦定理的变形公式
例11 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求
a b c
A B C
++++sin sin sin 的值．
【错解】∵A ＝60°，b ＝1，S ABC △=
3，又S ABC △=
12bc A sin ，∴31
2
=c sin 60°，
解得c ＝4．由余弦定理，得a b c bc A =
+-=+-222116860cos cos °=13
又由正弦定理，得sin sin C B =
=6393
239
，． ∴
a b c
A B C
++++=
++++sin sin sin 1314
323239639
．
【错因】公式不熟、方法不当，没有正确应用正弦定理．
【正解】由已知可得c a ==
413，．由正弦定理，得21360239
3
R a A =
==
sin sin °． ∴
a b c A B C R ++++==sin sin sin 2239
3
．
【变式练习】
1.已知α为第三象限角，则
2
α
是第 象限角，α2是第 象限角．
【解析】α 是第三象限角，即Z k k k ∈+
<<+,2
3
22ππαππ
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Z k k k ∈+<<
+
∴,4
3
22
ππα
π
π，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ 当为偶数时，
2α为第二象限角；当为奇数时，2
α
为第四象限角； 而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. 2.函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x
|tan x |
的值域是( )
A ．{－1，1}
B ．{1，3}
C ．{1，－3}
D ．{－1，3}
【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、二、三、四象限时，上述函数的值域为{－1，3}．故选D. 3.记cos(80)k -?=，那么tan100?=( )
A
B ．
C
D ．
【解析】∵sin80°=，
∴tan100°=－tan80°=－sin 80cos80
?
?
=－ sin 80cos(80)??-=B ． 4.已知()0,απ∈，7
sin cos 13
αα+=
，求tan α的值． 【解析】据已知7sin cos 13αα+=
（1），有1202sin cos 0169
αα=-<，又由于()0,απ∈，
故有sin 0,cos 0αα><，从而sin cos 0αα->即17
sin cos 13
αα-==
（2），联立（1）、（2）可得125sin ,cos 1313αα==，可得12
tan 5
α=．
5.若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ????
=++ ? ?????
的单调递增区间为 .
【解析】x x x x x y sin sin 3cos cos 3sin 2cos 3sin ??
?
??+-=??? ??+???
??+=ππππ
2162sin 21-??? ??--=πx ，所以由ππ
πππk x k 2236222+≤-≤+，可得函数的的单调增区间z k k k ∈??
????++,65,3ππππ，又因为π≤≤x 0，所以函数sin cos 32y x x ππ????=++ ? ?????的单调递增区间为???
?
?
?65,3ππ. 6.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数π
cos(2)3
y x =-的图象（ ）
A ．向右平移
π6个单位长度 B ．向左平移π
6个单位长度 C ．向右平移
π12个单位长度 D ．向左平移π
12
个单位长度 【解析】试题分析：函数??
?
?
?
-
==22cos 2sin πx x y ，将函数π
cos(2)3y x =-的图象向右平
移
π12个单位长度得到??
????-??? ??-=3122cos ππx y x x 2sin 22cos =??? ??
-=π，故答案为C ．
7.在ABC ?中，30,2B AB ?
===．求ABC ?的面积．
【解析】根据正弦定理知：
sin sin AB AC
C B
=，即2sin sin 30C ?
=，得sin 2C =，由于sin30AB AC AB ?<<即满足条件的三角形有两个故60C ?=或120?.则30A ?=或90?故
相应的三角形面积为12sin 302s ?=
??=1
22
?=． 8.在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则角C = ．
【解析】由正弦定理可得::7:8:13a b c =，所以可设7,8,9a k b k c k ===，由余弦定理
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()()()222
2227891cos 22782k k k a b c C ab k k +-+-===-??，所以23
C π
=．
9．（2020·北京高考真题）在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积．
条件①：c =7,cosA =?1
7； 条件②：cosA =1
8,cosB =9
16．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（①）8（①）sinC =
√3
2
, S =6√3；
选择条件①（①）6（①）sinC =√74
, S =
15√7
4
. 【解析】选择条件①（①）∵c =7,cosA =?1
7， a +b =11
∵a 2=b 2+c 2?2bccosA ∴a 2=(11?a)2+72?2(11?a)?7?(?1
7
)
∴a =8
（①）∵cosA =?1
7，A ∈(0,π)∴sinA =√1?cos 2A =4√3
7
由正弦定理得：a
sinA =c
sinC ∴
4√37
=7
sinC ∴sinC =
√3
2
S =12basinC =12(11?8)×8×√3
2
=6√3
选择条件①（①）∵cosA =1
8,cosB =9
16，A,B ∈(0,π)
∴sinA =√1?cos 2A =
3√78,sinB =√1?cos 2B =5√7
16
由正弦定理得：
a
sinA
=
b sinB
∴
3√7
8
=
5√716
∴a =6
（①）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =
3√78
×
916
+
5√716×1
8
=
√7
4
S =12basinC =12(11?6)×6×√74=15√74
10.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km,10km BC =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界）
，且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ．
（I ）按下列要求写出函数关系式：
①设(rad)BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设(km)OP x =，将y 表示成x 的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度
最短．
【答案】（I ）①2010sin 10(0)cos 4
y θπ
θθ-=
+<<
①10)y x x =+<<
（①）选择函数模型①，P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 处．
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【解析】（I ）①由条件可知PQ 垂直平分AB ，(rad)BAO θ∠=，
则10
cos cos AQ OA BAO θ
=
=∠
故10
cos OB θ
=
，又1010tan OP θ=-，所以 1010
1010tan cos cos y OA OB OP θθθ
=++=
++- 2010sin 10(0)cos 4
θπ
θθ-=
+<<．
①(km)OP x =，则10OQ x =-，所以OA OB ===
所以所求的函数关系式为10)y x x =+<<． （①）选择函数模型①．
222
10cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)
cos cos y θθθθθθ
-----=='． 令0y '=得1sin 2θ=
，又04πθ<<，所以6
πθ=． 当06
π
θ<<
时，0y '<，y 是θ的减函数；
6
4
π
π
θ<<
时，0y '>，y 是θ的增函数．
所以当6
π
θ=
时min 10y =．
当P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边
km 3
处． 【典例分析】
1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数π
()cos()6
f x x ω=+在[?π，π]的图像大致如下图，则f
（x ）的最小正周期为
A ．
10π
9 B ．
7π6 C ．4π3
D ．
3π2
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点4,09π??
-
???
， 将它代入函数()f x 可得：4cos 09
6ωπ
π??-
?+= ???，
又4,09π??
-
???
是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962
ωπππ-
?+=-，解得32ω=.
所以函数()
f x 最小正周期为
224332
T ω
πππ
=
== 故选C ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知 π()0,α∈
，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=
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A B ．
23
C ．13
D 【答案】A
【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2
cos 3
α=-
或cos 2α=（舍去），
又
(0,),sin αα∈π∴==
. 故选：A ．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0 B ．cos2α<0 C ．sin2α>0
D ．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得
3222,2
k k k απ
+π<<π+π∈Z ， 所以34244,k k k απ+π<<π+π∈Z
此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<， 故选：D ．
方法二：当6απ=-
时，cos 2cos 03απ??
=-> ???
，选项B 错误； 当3απ=-
时，2cos 2cos 03απ??=-< ???
，选项A 错误；
由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，
选项D 正确； 故选：D ．
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =
2
3
，AC =4，BC =3，则cos B = A ．
19
B ．13
C ．12
D ．
23
【答案】A
【解析】
在ABC 中，2
cos 3
C =
，4AC =，3BC =， 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-??，
2224322
433
AB =+-???，
可得29AB = ，即3AB =，
由
22299161
cos
22339
AB BC AC B AB BC +-+-===???，