A
D B
C
AE O 1 A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④
D
F
C
4
中考：四边形精华试题附参考答案
一、选择题
1.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）下列命题，真命题是 ( ) A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 答案：B
2.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）如图 2，M 是 ABCD 的 AB 边中点，CM 交 BD 于点 E ， 则图中阴影部分的 面积 ABCD 的面积的比是 ( ） A. 1:3 B.1:4 C. 1:6 D.5:12 答案：A
3.（嘉兴市秀洲区模拟）把矩形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若 ∠AEF = 115? ，
则∠1= （ ） A.50° B.55° C.60° D.65°
答案 A
4.（2010 学年度武汉市九年级复习备考数学测试试卷 16）如图，
直角梯形 ABCD 中，AB ⊥CD ， ∥CD 交 BC 于 E ， 是 AC 的中点，AB = E
1
F
（第 3 题图）
3 ，AD = 2 ，BC = 3 ，
下列结论：①∠CAE=30°；②四边形 ADCE 是菱形；③ S
?ADC
= 2S ?ABE
；④OB ⊥CD.其中正
确的结论是（
）
A ．①②④
B. ②③④
C ．①③④
D ．①②③④
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｏ
Ｅ
第 4 题图
Ｃ
答：D
5.（2010 年武汉市中考模拟数学试题（26））已知如图，在 ABCD 中，E 、F 分别为边 AB 、 CD 的中点 BD 是对角线，AG ∥DB ，交 CB 的延长线于 G ，连接 GF ，若 AD ⊥BD.下列结论：①DE ∥BF ；②四边形 BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ；④△S BFG= 其中正确的是（ ）
S
ABCD
A
E
B
G
答：D
6.（2010 年武汉市中考模拟数学试题（27））如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在 CD 上，直
线BE、DG交于H，且HE·HB＝4-22，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=2AM；
④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4.其中正确的结论个数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A D
M
H
F
E
B C G
答：D
7．（2010年宁波二模）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
答案：A
8.（2010年宁波二模）．把长为8cm，宽为2cm的矩形按虚线对折，按图中的斜线剪出一个直角梯形，展开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（）
A．(10+213)cm B．(10+13)cm C．22cm D．18cm
答案：A
9.（2010年武汉中考模拟试卷）一幅美丽的图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成,其中有两个正八边形,那么另一个是()
A正三角形B正四边形C正五边形D正六边形
答案：B
10.（2010年武汉中考模拟试卷6）如图将矩形ABCD沿DE折叠，使A
点落在BC上的F处，若∠EFB＝600，则∠CFD＝（）
A、200
B、300
C、400
D、500
答案：B
11．(2010年青浦区)下列命题中真命题是（）A.有一组邻边相等的四边形是菱形； B.四条边都相等的四边形是菱形；
C.对角线互相垂直的四边形是菱形；
D.对角线互相平分且相等的四边形是菱形．答案：B
12.(2010年青浦区)边长为2的正六边形的边心距为（）
A.1；
B.2；
C.3；
D.23．
答案：C
13.（2010年娄底市中考模拟）如图，把矩形A BCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50?，则∠AEF=()
A．110?B．115°C．120°D．130°
答案：B
14.（2010年普陀区中考模拟）两条对角线互相垂直平分的四边形是（）.
A.等腰梯形；
B.菱形；
C.矩形；
D.平行四边形.
答案：B
15.（2010浦东新区中考模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，AB=a，AD=b，
11
那么a+b等于（）
22
A.AO；
B.AC；
C.BO；
D.CA．
答案：A
16.（2010静安区模拟）下列命题中，真命题是
（）
D C
O
A B
（第15题图）
A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
答案：A
17．（2010武汉模拟）如图，已知正方形ADBF，点E在AD上，且∠AEB=1050，EC//DF交BD的延长线于C，N为BE延长线上一点，BN交AC于M，且CE=2MN，连结AN、CN，下列结论：①AC⊥BN；②△N CE为等边三角形；③BF=2AM；④B E+2DE=DF，其中正确的有：（）
A、①②③
B、①②④
C、①③④
D、②③④
答案：B
18．（2010武汉模拟）如图，正方形ABCD，以D为圆心，DC为半径
画弧与以BC为直径的⊙O交于点P，⊙O交AC于E，CP交AB于M，
延长AP交⊙O于N，下列结论：①AE=EC；②PC=PN；
③EP⊥PN；④ON//AB。其中正确的是（）
A、①②③④
B、①②③
C、①②④
D、①③④
答案：D
19.（2010模拟题四）如图，已知菱形ABCD的边长为2㎝，∠A=60?，点M从点A出发，
.
以1㎝／s的速度向点B运动，点N从点A同时出发，以2㎝／s的速度经过点D向点C运
动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动则△AMN的面积y(㎝2)与
点M运动的时间t(s)的函数的图像大致是()
D
N·
C y
33
y
3
y
3
y
A·
M
B
O12x O2x O12x O12x
A B C D
答案：A
20.（2010模拟题三）如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得截下
的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则截下矩形的面积是（）
A.2cm2
B.4cm2
C.8cm2
D.16cm2
答案：C
21.（2010模拟题三）如图，矩形A BCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐
标轴，点C在反比例函数y=-
为（）
Ａ．4
Ｂ．－4
k
2x的图象上，若点A的坐标为(－2，－2)，则k的值
y
B C
Ｃ．8Ｄ．—8A
O
D
x
答案：D
22.（2010模拟题二）如图，直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=45°,底边AB=5,高AD=3,点E
由B沿折线BCD向点D移动,EM⊥AB于M,EN⊥AD于N.设BM=x,矩形AMEN的面积为y,那么y
与x之间的函数关系的图象大致是()
交于 H ，的延长线相交于 G ，下面结论：
D
答案：B E C （
答案：A
22．（2010 年·武汉市·中考模拟试卷）如图,四边形 ABCD 为矩形纸片,将纸片 ABCD 折叠, 使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处,折痕为 AF,若 CD=6,则 AF=( ) A:4 3 B:3 3
C:4 2 D:8
答案：A
23.（2010 年·武汉市·中考模拟试卷）如图，正方形 ABCD 的三边中点 E 、F 、G 。连 ED 交 AF 于 M,GC 交 DE 于 N, 下列结论 ①GM ⊥CM ②CD=CM ③四边形 MFCG 为等腰
梯形。 ④∠CMD=∠AGM
其中正确的有（
）
A ①②③
B ①②④
C ①③④
D ①②③④
答案：A
A E
M
G
N
B
F
D
C
24.（2010 上海奉贤二模）下列命题中假命题的是（ ）
A ．平行四边形对角线互相平分；
B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形；
C ．矩形的对角线相等；
D ．对角线相等的四边形是矩形；
答案：D
25.（2010 武汉中考模拟）如图，已知平行四边形 ABCD 中，∠DBC = 45 ， DE ⊥ BC BF ，AD 于 E ， BF ⊥ CD 于 F ， DE ，BF 相
A
G
① DB = 2BE ②∠A = ∠BHE ③ AB = BH
④△ BHD ∽△BDG .其中正确的结论是（ ）
H F
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．②③④ B 26.（武汉中考命题）如图，直线 BD 是四边形 ABCD 的对称轴，已知∠BAD ＝120°，∠CDB ＝25°，则∠ABC 的度数为（ ） A 、70° B 、60° C 、50° D 、80°
答案：A
27． 武汉市 2010 年初中学业考试）如图，△R t ABC 和 △R t CDE 中，∠A =30°,∠E =45°,
AB =CE ,∠BCD =30°,FG ⊥AB ,下列结论：①CH =FH ；②BC =GC ；
E
A
A 120?
B D
25?
C
BC = a ， BA = b ，试用 a 、b 的线性组合（形如 x a + y b , x 、y 为实数）表示 O A =
③四边形 BDEF 为平行四边形；④FH =GF +BH .其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④ 答案：B
28.(2010 星子二中月考)将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，
这个新的图形可以是下列图形中的（ ）。
A. 三角形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 正方形
第（6）题
答案：B
二、填空题 1．（2010 年上海徐汇区二模）如图，在□ABCD 中，已知两条对角线 AC 、BD 相交于点 O ，设
→ → → → → → → → →
__．
A
D
答案： 1 → →
(b - a ) ；
2
O
B C
第 1 题
2.（2010 年三亚二模） 如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC 且 AC ⊥ BD 于
E ，
AD = 2 ， BC = 8 ，则该梯形的面积为 .
答案：25
A
E
D
B
C
3．（2010 年松江区）在梯形 ABCD 中，AD // BC ，E 、F 分别是两腰 AB 、CD 的中点，如果 AD = 4，EF = 6，那么 BC =____． 答案：8
4.（2010 年普陀区中考模拟）梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，如果∠A=5∠B ，那么∠B=
度.
答案：30；
5.（2010 年普陀区中考模拟 ）在四边形 ABCD 中，如果 AB ∥CD ，AB=BC ，要使四边形 ABCD 是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 . 答案：．AB =CD 等；
6.（2010 浦东新区中考模拟）已知梯形的上底长为a ，中位线长为 m ，那么这个梯形的下底 长为 ． 答案： 2m - a ； 7．（陕西新希望教育 2010 年 一模）如图，□ABCD 中，∠B＝60°，AB=4,BC=5，P 是对角线 AC 上任一点（点 P 不与点 A 、C 重合），且 PE ∥BC 交 AB 于 E ，PF ∥CD 交 AD 于 F ，则阴影部
B
E
D 图（a ） Q （图 c ）
分的面积是 答案： 5
3
8．（2010 静安区模拟）在梯形 ABCD 中，AD //BC ，BC =3 AD ， AB = a , AD = b ，那么 CD =
．
答案： - a - 2b ；
9.（2010 模拟题四）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ， ∠ CAB 的平 分线交 BD 于 点 E ，交 BC 于点 F. 若 OE=1 ， 则 CF=__________. 答案：2
10．(2010 娄底市一模)如图模 1-6，E 为平行四边形 ABCD 的边 BC 延 长线上一点，连结 AE ，交边 CD 于点 F .在不添加辅助线的情况下，请 写出一对相似三角形： .
A
D
答案：△AFD ∽△EFC (或△EFC ∽△EAB ，或△EAB ∽△AFD )
C
F
11.(2010 星子二中月考)一个正方形的面积是 9a 2–6a +1（a >1），则该 正方形的边长是 . 答案：3a –1； 三、解答题
1. （深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）如图所示，在菱形 ABCD 中，E 、F 分别是 BC 、CD 上的点，且 CE=CF 。
（1）、AE 和 AF 有何数量关系？证明你的结论. （2）、过点 C 作 CG ∥EA 交 AF 于点 H ，交 AD 于点 G ，若∠BAE=25°，∠
A
BCD=130°，求∠AHC 的度数.
答案 （1）AE=AF
(2) 100°
B
G
H D
E F
C
2.（嘉兴市秀洲区模拟）一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你 解决： （1）把正方形 ABCD 与等腰 △R t PAQ 如图（a ）所示重叠在一起，其中∠PAQ =90°，点 Q 在 边 BC 上，连接 △P D ，求证： ADP ≌△ABQ ． （2）如图（b ），O 为正方形 ABCD 对角线的交点，将一直角三角板 FPQ 的直角顶点 F 与点
O 重合，转动三角板使两直角边始终与 BC 、AB 相交于点 M 、N ，求证：OM=ON ．
（3）如图（c ），将（2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果 AB=4，AD =6，
FM=x ，FN=y ，试求 y 与 x 之间的关系式．
P P A D P
A D
A N
O (F )
N F
B
M
C
B
M
C
B
Q
C
Q （图 b ）
答案 （1）由 SAS 证△ADP ≌△ABQ ．
（第 2 题图）
（2）由同角的余角相等得∠AON =∠BOM ，证△OAN ≌△OBM （ASA ），
得 y = x ．
（2）当 n=3 时，求证 S
正方形ABCD
18
（2）
， S AFCD ( A F + CD) ? BC 11
得 OM=ON ．
（3）过 F 作 FE ⊥AB ，FH ⊥△B C ，证 FEN ∽△FHM ，
3
2
3．（2010 年武汉市中考模拟数学试题（15））如图正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上一 动点，BC=nBE,DO ⊥AE 于点 O,CO 的延长线交 AB 于点 F 。 （1）当 n=2 时，DO= AO;OE= AO 。 11
四边形AFCD
=
。
S
（3）当 n=
时，F 是 AB 的 5 等分点。
A
D
F
A
F
D
答：（1）2 ，
3
2
O
B
（1）E
O
C B E
C
AO 1
（2）证明：AB=3a ，BE=a ，易证 = ，
OG 9
AFO ∽ GCO
A D F O
AF 1
=
CG 9 ABE ∽ GCE ， B E
C AB BE 3a a
= =
CG EC CG 3a - a
， 2
∴CG = 6a ，∴ AF = a
3
2
( a + 3a) ? 3a
∴ = : AB 2 = 3 :3 a 2 =
S ABCD 2 2 18
（3）
5 ± 5 2
G
4.（2010 年三亚二模）如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是线段 AD 上的任意一点（ E 与 A ，D 不重合）， G ，F ，H 分别是 BE ，BC ，CE 的中点．
（1）证明四边形 EGFH 是平行四边形；
1
（2）在（1）的条件下，若EF ⊥ BC ，且 EF = BC ，证明平行四边形 E GFH 是正方
2
形．
∴ G H ∥ BC 且 GH = BC
A
E
D
G
H
B
F C
答案：证明：（1）在 △BEC 中， G ，F 分别是 BE ，BC 的中点
∴GF ∥ EC 且 GF = 1 2
EC
又
H 是 EC 的中点， EH = 1 2
EC ，
∴ G F ∥ EH 且 GF = EH
∴ 四边形 EGFH 是平行四边形
（2）证明： G ，H 分别是 BE ，EC 的中点
1
2
1
又 EF ⊥ BC ，且 EF = BC ，∴ EF ⊥ GH ，且 EF = GH
2
∴ 平行四边形 EGFH 是正方形
5.（2010 年上海徐汇区二模）在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 是边 BC 上的两点，且 BE ＝FC ，DE 与 AF 相交于梯形 ABCD 内一点 O ． (1) 求证：OE ＝OF ；
(2) 当 EF ＝AD 时，联结 AE 、DF ，先判断四边形 AEFD 是怎样的 A 四边形，再证明你的结论．
D
答案：（1）∵四边形 ABCD 是等腰梯形，
O
B E F C
∠B = ∠C , AB = CD
∵BE=FC ，
∴BF=EC
∴△ABF ≌ △D C E ∴ ∠DEF = ∠AFB ∴OE=OF
(2)四边形 AEFD 是矩形 ∵EF ＝AD 且 EF ∥AD ，
∴四边形 AEFD 是平行四边形 由（△1）有 ABF ≌ △D C E ∴AF=DE
∴四边形 AEFD 是矩形。
6.（2010 年武汉中考模拟试卷 6□）在 ABCD 中，BC ＝2AB ，M 为 AD 的中点，设∠ABC ＝α ，
过点 C 作直线 AB 的垂线，垂足为点 E ，连 ME 。 （1）如图①，当α ＝900，ME 与 MC 的数量关系是 ；∠AEM 与∠DME 的关系
是 。
（2）如图②，当 600＜α ＜900 时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证
明；若不成立，请说明理由。
（3）如图③，当 00＜α ＜600 时，请在图中画出图形，ME 与 MC 的数量关系是 ；
∠AEM 与∠DME 的关系是 。（直接写出结论即可，不必证明）
?∠AEF = ∠DEC ，
?
图①
图② 图③
答案：、（1）ME=MC ； ∠AEM ＋∠DME ＝180°或∠DME －∠AEM ＝180°－α
（2）成立。连 CM ，过 M 作 PQ ⊥EA 于 P ，PQ ⊥CD 于 Q ∴四边形 PQCE 为矩形
∴CQ ＝EP ∵M 为中点，易证△PAM ≌△QDM ∴PM ＝QM ∴△EPM ≌CQM ∴EM ＝CM
取 BC 中点 N ，连 NM 并延长到 G ， ∴∠ABC ＝∠GMD ＝2 MN ∥AB ∴∠AEM ＝∠NME ∴∠DME －∠AEM ＝∠DME －∠EMN ＝∠DMN ＝180°－α ∴∠DME －∠AEM ＝180°－α （3）EM ＝MC ∠DME －∠AEM ＝α
7.（2010 年松江区）已知：如图，在四边形 ABCD 中，点 G 在边 BC 的延长线上，CE 平分∠ BCD 、CF 平分∠GCD ， EF ∥BC 交 CD 于点 O ． （1）求证：OE=OF ； （2）若点 O 为 CD 的中点，
求证：四边形 DECF 是矩形．
D
A
（1）证明：∵CE 平分∠BCD 、CF 平分∠GCD
E
∴ ∠BCE = ∠DCE, ∠DCF = ∠GCF
∵EF ∥BC ，∴ ∠BCE = ∠FEC , ∠EFC = ∠GCF
O
F
∴ ∠DCE = ∠FEC, ∠EFC = ∠DCF
∴OE=OC ，OF=OC ，∴OE=OF
（2）∵点 O 为 CD 的中点，∴OD=OC ，又 OE=OF
B C
（第 7 题图）
G
∴四边形 DECF 是平行四边形 ∵CE 平分∠BCD 、CF 平分∠GCD
∴ ∠DCE = 1 1
∠BCD, ∠DCF = ∠DCG
2 2
1 1
∴ ∠DCE + ∠DCF = (∠BCD + ∠DCG) = 90?
2 2
即 ∠ECF = 90? ，∴四边形 DECF 是矩形
8.（2010 年娄底市中考模拟）如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过
A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ，且 AF =BD ，连结 BF .
⑴求证：BD =CD ； ⑵如果 AB =AC ，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论.
F
A
E
B
D C
答案：证明：⑴∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE .
∵E 是 AD 的中点，∴AE =DE .
?∠AFE = ∠DCE ， ∵ ? A D = DE ，
?
∴△AEF ≌△DEC .
∴AF=DC，∵AF=BD，∴BD=CD.
⑵四边形AFBD是矩形
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90?.
∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形.
又∠ADB=90?，∴四边形AFBD是矩形.
9.（2010浦东新区中考模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AM=DM．
求证：（1）AE=AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．
E
A M D 答案：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB
＝CD，AB∥CD．
∴∠E=∠ECD．
又∵AM=DM，∠AME=∠DMC，∴△AEM≌△DCM．B C
（第9题图）
∴CD=AE．∴AE=AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∴∠AMB=∠MBC．
∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠MBC．
∴∠ABM=∠AMB．∴AB=AM．
∵AB=AE，∴AM=AE．
∴∠E=∠AME．
∵∠E＋∠EBM＋∠BMA＋∠AME＝180°，
∴∠BME＝90°，即BM⊥CE．
10.（2010年普陀区中考模拟如图，在平行四边形ABCD中，点G是BC延长线上
一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，
如果AB=m，CG=1
2BC，
求：（1）DF的长度；
（2）三角形ABE与三角形FDE的面积之比.
答案：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=m，AB∥CD．
∵CG=1
2BC，1
∴CG=BG，
3
∵AB∥CD，
∴CF CG
=．AB BG
1
∴CF=m，
3
2
∴DF=m．
3 (2)∵AB∥CD，
∴
S
?ABE
= ( B F ∴△ABE ∽△FDE ， 3 9 )2 = .
S
2 4
?FDE
∴ 三角形 ABE 与三角形 FDE 的面积之比为 9∶4.
11.(昆山 2010 第二学期调研△)如图， ABC 中，AB=AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 的外角 平分线，BE⊥AE．
(1)求证：DA⊥AE．
(2)试判断 AB 与 DE 是否相等?并证明你的结论． 解：
12.（2010 武汉模拟）如图，已知正方形
ABCD ，F 为 DC 边上一动点，DC=nDF ， AE ⊥AF 交 CB 的延长线于 E ，连结 EF 交 AB 于 G 。
AG S
（1）若 n=2,则
=
,
?AGF
=
BG
S
?EGB
（2）若 n=3，求证 AG=5GB （3）当 n= 时，AG 为 GB 的 6 倍（直接写结果，不要求证明）
答案：
(1)5, 10 (2)略 (3) 3 + 2 或 3 - 2 13.（2010 静安区模拟）已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在 BC 的
延长线上，EF =EB ，EF 与 CD 相交于点 G ．
（1） 求证： EG ? GF = CG ? G D ； （2） 联结 DF ，如果 EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠
ADC 之间有怎样的数量关系？证明你所得 到的结论．
答案：
证明：（1）联结 BD ，
∵点 E 在菱形 ABCD 的对角线 AC 上，∴
∠ECB =∠ECD ． ∵BC =CD ，CE =△C E ，∴ BCE ≌△DCD ．
A D
E
G
C
证明如下：∵ = , ∠DGF =∠EGC ，∴△DGF ∽△EGC ．
(
)
∴∠EDC =∠EBC ．
∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ． ∴∠EDC =∠EFC ．
∵∠DGE =∠FGC ，∴∠DGE ∽△FGC ．
∴
EG GD
= , ∴ EG ? G F = CG ? G D ． CG CG
（2）∠ADC=2∠FDC ．
EG GD
CG CG
∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC=∠DCA =∠DFG =90o–∠FDC ． ∴∠ADC =180o–2∠DAC =180o–2（90o–∠FDC ）=2∠FDC ．
13.（河南邓北七校联考模拟试题）已知：如图，梯形 ABCD 中，AB//DC ，E 是 BC 的中点， AE 、DC 的延长线相交于点 F ，连接 AC 、BF ．
(1)求证：AB=CF ； (2)若将梯形沿对角线 AC 折叠恰好 D 点与 E 点重合,梯形 ABCD 应满足什么条件,能使四
边形 ABFC 为菱形?并加以证明.
(3)在(2)的条件下求 Sin ∠CAF 的值.
答案：(1)作图 略 1 分
(2)
B - 100 3,0
C
(100, 0)
D C
E
A B
F
（3）计算略
18m/s ﹥ 50 3
m/s (超速行驶)
14. （2010 模拟题四）如图，直角梯形 ABCD 中，∠DAB=90°，AB ∥CD ，AB=AD,∠ABC=60°.
以 AD 为边在直角梯形 ABCD 外作等边三角形 ADF ，点 E 是直角梯形 ABCD 内一点，且∠EAD=
∠EDA=15°，连接 EB 、EF.
（1）求证：EB=EF ；
（2）延长 FE 交 BC 于点 G ，点 G 恰好是 BC 的中点，若 AB=6，求 BC 的长.
D
C
F
E
G
A
B
（1）证明： ∵△ADF 为等边三角形，
∴AF=AD ，∠FAD=60°
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB
∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF
D C
∵AE 为公共边 ∴△FAE ≌△BAE
∴EF=EB
F
E
G
，
A G D （H ） 图③ E
- - =
．
（2）如图，连结 EC
∵在等边三角形△ADF 中，∴FD=FA
∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA ，
∴EF 是 AD 的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°
由（△1） FAE ≌△BAE 知∠EBA=∠EFA=30°
∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°
∴BE=BA=6
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°
∵∠ABC=60°，∴ ∠GBE=30°
∴GE=GB
∵点 G 是 BC 的中点
∴EG=CG
∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°
∴△CEG 为等边三角形, ∴∠CEG=60°
∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°
∴在 △R t CEB 中，BC=2CE ，BC 2 =CE 2 +BE 2
A
D H G
∴CE= 2 3 ，∴BC= 4 3
15.(2010 年·上街实验初级中学·模拟考试卷)两个长为 2cm ，
宽为 1cm 的长方形，摆放在直线l 上（如图①） CE =2cm ，将
B C
图①
E F l
长方形 ABCD 绕着点 C 顺时针旋转 α 角，将长方形 EFGH
绕着点 E 逆时针旋转相同的角度．
A G
D （H ）
（1）当旋转到顶点 D 、 H 重合时，连接 AG （如图②），求
B
F
点 D 到 AG 的距离；
C
图②
E
l
（2）当α = 45°时（如图③），求证：四边形 M HND 为正方
形．
答案：解：（1） CD = CE = DE = 2 cm ，
≥? CDE 是等边三角形．
∴∠CDE = 60°.
∴∠ADG = 360° 2 ? 90° 60° 120°
C
B
A K G H M D N
C E
C 图②
F F
l l
又 AD = DG = 1 c m ，
A G
∴∠D AG=∠DGA=30°
．
如图②作DK⊥AG于点K．
11
∴DK=DG=cm．
22
1
∴点D到AG的距离为cm．
2
（2）α=45°
∴∠N CE=∠NEC=45°,
∴∠C NE=90°.
∴∠D NH=90°
∠D=∠H=90°,
∴四边形MHND是矩形．又C N=NE,
∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．
16．（2010年·武汉市·中考模拟试卷）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，求证四边形ABCD是平行四边形。
答案：先证明△AOD≌△COB得到CB∥AD且CB=AD即四边形ABCD为平行四边形. 17．（2010年·武汉市·中考模拟试卷）如图：正方形ABCD,M是线段BC上一点，且不与B、C重合，AE⊥DM于E,CF⊥DM于F.求证:AE2+CF2=AD2
A B
F M
E
D C
答案：证明:在正方形ABCD中
AD=DC,∠ADE+∠CDF=90°
AE⊥DM,FC⊥DM
∠AED=∠ADE=90°
∠EAD+∠ADE=90°
∠EAD=∠FDC
⊿AED≌⊿DFC
CF=DE
在⊿RtADE中,
AE2+DE2=AD2
AE2+CF2=AD2
18．(2010娄底市一模)已知：如图模1-13□
，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.
⑴求证：BE=DG；
⑵若∠B=60?，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.
A G D
答案：证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.
∴CG⊥AD.∴∠AEB=∠CGD=90?.
∵AE=CG，∴△R t ABE≌△R t CDG.
∴BE=DG.
⑵当BC=3AB时，四边形ABFC是菱形.
2
∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形.
∵△R t ABE中，∠B=60?，∴∠BAE=30?，∴BE=1AB.
2
∵BE=CF，BC=3AB，∴EF=1AB.
22
∴AB=BF.∴四边形ABFG是菱形
19．（2010广州大沥一模）如图，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC 的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由.
答案：D
E C
解:AF=CE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠ABC A F B
11
2∠ADC,∠CBE=2∠ABC
又∵∠ADF=
∴∠ADF=∠CBE
∴?ADF≌?CBE
∴AF=CE