毕业论文(设计)
题目名称：微分中值定理的推广及应用
题目类型：理论研究型
学生姓名：邓奇峰
院 (系)：信息与数学学院
专业班级：数学10903班
指导教师：熊骏
辅导教师：熊骏
时间：2012年12月至2013年6月
目录
毕业设计任务书 .......................................................................................................................... I 开题报告 ....................................................................................................................................... I I 指导老师审查意见................................................................................................................... III 评阅老师评语 ............................................................................................................................ IV 答辩会议记录 .............................................................................................................................. V 中文摘要 ..................................................................................................................................... VI 外文摘要 .................................................................................................................................... V II
1 引言 (1)
2 题目来源 (1)
3 研究目的和意义 (1)
4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1)
5 微分中值定理的发展过程 (2)
6 微分中值定理的基本内容 (3)
6.1 罗尔(Rolle)中值定理 (3)
6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4)
6.3 柯西（Cauchy）中值定理 (4)
6.4 泰勒（Taylor）定理 (4)
7 微分中值定理之间的联系 (5)
8 微分中值定理的应用 (5)
8.1 根的存在性证明 (6)
8.2 利用微分中值定理求极限 (8)
8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性 (10)
8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10)
8.5 利用微分中值定理求近似值 (10)
8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10)
8.7 利用微分中值定理证明不等式 (11)
9 微分中值定理的推广 (14)
9.1 微分中值定理的推广定理 (15)
9.2 微分中值定理的推广定理的应用 (17)
参考文献 (18)
致谢 (19)
微分中值定理的推广及应用
学生：邓奇峰，信息与数学学院
指导老师：熊骏，信息与数学学院
【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的内容和微分中值定理之间的内在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“求极限”和“证明不等式”等方面的应用。
由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明微分中值定理的重要性。
拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用范围。同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。
【关键词】微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理联系推广应用
The Extension and Application of the Differential Mean
Value Theorem
Student: Deng Qifeng, School of Information and Mathematics
Tutor: Xiong Jun, School of Information and Mathematics
【Abstract】The differential mean value theorem, is the fundamental theorem of calculus, is the communication bridge between function and its derivative, is an important mathematical tool integrated local research application function derivative, plays a very important role in Calculus. This paper describes the develop progress，the contents and the intrinsic link between the differential mean value theorem; Then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, limit and proof of in equality.
Because often proof of differential mean value theorem and related propositions in the form is not the three theorems of a direct conclusion, this requires the help of a suitable auxiliary function, equivalent to mathematical problems, but, how to construct the auxiliary function appropriate is often more difficult. The key is how to solve the problem of mean value theorem by constructing an auxiliary function, expounds the importance of the differential mean value theorem from the combination of theory and practice.
The Lagrange mean value theorem and the Cauchy mean value theorem are extensions of the Rolle mean value theorem. In this article, the Rolle mean value theorem has been concluded and deduced in few more forms that helped to expand the use of the Rolle mean value theorem. Also, the article has demonstrated of the application of differential mean value theorem in derivative limit, derivative estimate value, existence of root of an equation, proof of inequality and calculation of functional limit upon many examples.
【Key words】Differential mean value theorem; Rolle mean value theorem; The Lagrange mean value theorem; the Cauchy mean value theorem; Contact; Promotion; Application
微分中值定理的推广及应用
1 引言
通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。
2 题目来源
源于对微分中指定理的学习与兴趣，以及其在生活中各领域的重要应用。
3 研究目的和意义
目的：本课题的主要目的是帮助学生多角度地了解微分中值定理的证明及其相关应用。
意义：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因而在微分学中占有很重要的地位。通过微分学基本定理的介绍，揭示函数与其导数之间的关系，在知识结构和思想体系中，建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。
在各类大型考试中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考点，常以该定理的证明及应用出现，涉及一些理论分析和证明，还有在极值问题中的实际应用，因而对其进行较深层次的挖掘与探讨就显得很有必要。
4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多
项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇。
5 微分中值定理的发展过程
微分中值定理是微分学的核心定理之一[1]。微分中值定理是研究函数性态和函数性质的重要工具，它有着明显的物理意义和几何意义。以拉格朗日中值定理为例，它表明“一个表示事物运动函数的曲线段，必定有一点的切线要平行于曲线段两个端点连接的弦”。[2]所以人们十分重视微分中值定理及其应用的研究。
古希腊时代，人们就对微分中值定理的相关内容有了朦胧的认识。公元前古希腊人就知道如下结论：对于抛物线形成的弓形，过弓形顶点的切线一定平行于抛物线形成的弓形的底。古希腊的著名数学家阿基米德(Archimedes，公元前287——前221)也据此研究出：对于任意抛物线形成的弓形的面积都可以求出来。意大利著名数学家卡瓦列里(Cavalieri，公元1598——公元1674，)在《不可分量几何学》(1635年出版)中给出的引理3有如下几何观点：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦[3]。
1637年，法国大数学家费马(Fermat，公元1601一公元1665)在《求最大值和最小值的方法》中推导出一个定理，在大多数高等数学教材中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理——费马定理，常被用来证明罗尔定理，也被用来作为判断极值存在的必要条件。
作为微积分创立者之一的数学家费马在研究极小问题和极大问题的解法时，研究出“虚拟等式法”[4]——费马定理原形。虚拟等式法的含义可以用以下例子来加以说明：有一个线段，设其长度，问如何把这样一个线段截成两个线段，使这两个线段长度乘积最大。
1691年，法国数学家罗尔(公元1652——公元1719)在其发表的《方程的
解法》一文中给出多项式形式的费马定理的推广[5]引申式——罗尔定理： “设1011100n n n a x a x a x a --++++=为多项式，在多项式
1011100n n n a x a x a x a --++
++= 2
的两个相邻根中，方程 ()1201110n n n na x n a x a ---+-+
+=
至少有一个实根。” 这被称为原始的罗尔定理。当然也是现代罗尔定理“若函数f ，在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'= ”在多项式中的具体应用。
从罗尔定理推导过程和具体内容来看，它和现在高等数学教材中的罗尔定理 是有所不同的，用纯代数方法证明的罗尔定理和微积分概念几乎没有什么联系。 我们现在看到的对一般函数的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新表述和证明 的。1834年，德国数学家德罗比什首先提出“罗尔定理(Rolle 定理)”这一名称， 并于1846年，由意大利数学家贝拉维蒂斯(Bellavifis)在发表的论文中正式使用。
由上可知，人们对微分中值定理的研究[6]大约经历了将近三百年时间， 从一 开始的直观到现在的抽象表达，从一开始的特殊形式到现在的一般形式，从一开 始，要求的强条件到现在的弱条件，人们逐渐认识到微中值定理的重要性。循序渐进是人们认识探索事物规律的一般过程，微分中值定理的发展形成也不例外，晦涩难懂的证明推理被一些新的更简单的方法所替代，应用范围逐步扩大，这是数学发展的必由之路。
6 微分中值定理的基本内容
中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是微分学应用以及自身发展的理论基础，因此说中值定理是微分学的基本定理[7]。它在数学中占了很重要的位置，本文主要介绍它在解题中的一些应用。
中值定理有四个：罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy ）中值定理，泰勒（Taylor ）定理。
6.1 罗尔(Rolle)中值定理
若函数f ，在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =,则在(),a b 内至
少存在一点ξ，使得()0f ξ'=
罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注：定理中三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。
6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数f ，在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则在(),a b 内至少存在一点ξ，
使得()()()f b f a f b a
ξ-'=- 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两点的连线。
拉格朗日公式有下面几种等价表示形式[8]：
()()()(),f b f a f b a a b
ξξ'-=-<< ()()()()(),01
f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<
()()(),01f a h f a f a h h θθ'+-=+<< 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于a b <，还是a b >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数。另外，若取,a x b x x ==+?，则拉格朗日公式可变成
()()()y f x x f x f x ξ'?=+?-=?
最后要注意的是，拉格朗日定理和柯西定理中的条件只是充分条件，而不是必要条件[9]。
6.3 柯西（Cauchy ）中值定理
假设函数()f x 和()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点(),a b ξ∈，使
()()()()
f b f a f b a
g ξξ'-='- 柯西中值定理的几何意义是：满足定理条件的由()(),u g x v f x ==所确定的曲线上至少有一点，曲线的切线平行两端点连线。
6.4 泰勒（Taylor ）定理
若()f x 在包含()f x 的某开区间(),a b 内具有直到1n +阶的导数，则当(),x a b ∈时，有
()()()()()()()()()()
200000001!2!
!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中()n R x 是n 阶泰勒公式的拉格朗日余项： ()()()()1011!n n n x x R x f n λ++-=+，()0,x x λ∈
7 微分中值定理之间的联系
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例。因为，在柯西中值定理中令()g x x =，得到拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中增加条件()()f a f b =，即得到罗尔定理。
罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西中值定理，三个中值定理的几何意义有一个共同点：定理条件的函数曲线上至少有一点的切线平行曲线在区间上两端点的连线。
总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。
8 微分中值定理的应用
微分中值定理是微分学的理论基础，微分学的很多重要应用都建立在这个基础上。微分中值定理常用来解决下列问题：判断可导函数在给定区间内根的存在以及根的个数，求出与给定函数相应的中值公式，并证明可导函数的某些等式与不等式，证明可导函在区间上（内）的某些整体性质，如单调性、有界性、一致连续性、零点以及其他一些性质。
对于这些证明题，除了运用微分中值定理这些方法外，还有三种证明技巧：一是直接证明，这种情况不多见，一般在验证符合某定理条件后，即可定理得出结论；二是引入辅助函数，这种情况比较常见，一个般是将待为形（如拼凑重组、移项等），构成一个或两个新的辅助函数，验证它们符合某个中值定理，然后利用定理导出待证结论，这种方法需要一定的技巧，而技巧往往又要根据具体问题确定； 三是反证法，假设待证命题的逆例题成立，然后从推导过程中找出与已
知结论（包括极限、连续、可微等级概念与法则、性质）的矛盾，从而证明原命题成立[10]。
8.1 根的存在性证明
【例1】 证明方程32432ax bx cx a b c ++=++在()0,1内至少有一个实根，其中,,a b c 均为常数。
证 设()()32432F x ax bx cx a b c x =++-++，上面的问题等价于()F x 的导数()F x '在内至少有一个零点。
因为()F x 在()F x 上连续，在()0,1内可导，且()()010F F ==。
于是由罗尔定理知，至少存在一点()0,1ξ∈，使
()()324320F x a b c a b c ξξξ'=++-++=，
即()0,1ξ∈是方程32432ax bx cx a b c ++=++的根。
【例2】 函数()()211,0,1,22!n
n n n n d P x x n n dx =-=
称为n 次勒让德多项式，证明：()
n P x 在()1
,1-内恰有n 个不同的实根[11]。 证 由高阶导数的莱布尼茨公式知，函数
()()221,0,1,2,,1m n m m d Q x x m n dx
-=-=- 中都含有21x -因式，故当m n <时，都有实根-1和1。 考虑()()221n n Q x x =-，它仅有相异的两个实根-1和1，由罗尔定理知，
()()212
n n Q x Q x -'=在()1,1-内至少有一个根11x 。所以，()21n Q x -在[]1,1-上有三个相异的根-1，11x ，1，再由罗尔定理知，()()222
1n n Q x Q x --'=在()111,x -和()11,1x 内至少各有一个根，所以，()22n Q x -在[]1,1-上有四个相异的根-1，21x ，22x ，1 反复应用罗尔定理，由数学归纳法可证：()2n m Q x -在[]1,1-上至少有2m +个相异的根121,,,,m m mm x x x -和1（0,1,2,,1m n =-）
令1m n =-，则知()1n Q x +在[]1,1-上至少有1n +个相异的根，再应用一次罗尔定理，知()n Q x 在()1,1-内至少有n 个根（不含1，-1）
由于()n Q x 是n 次多项式，至多有n 个根，所以()n Q x 在()1,1-内恰有n 个相异的根。
因为()n P x 与()n Q x 只相差一个系数，所以可以得出：()n P x 在()1
,1-内恰有n 个不同的实根。
【例3】 ()f x 在[]0,1可导，且对于任何()0,1x ∈，都有()1f x '≠，又()01f x <<，
试证在()0,1内，方程()0f x x -=有唯一实根。
证 (存在性)令，()()F x f x x =-，在[]0,1上利用零点定理易证。
(唯一性)反证法，假设有两个实根1x ，2x ，使得()11f x x =，()22f x x =，不妨设12x x <，在[]()12,0,1x x ?上对()f x 利用拉格朗日中值定理，有
()()()()2121122121
1,,f x f x x x f x x x x x x ξξ--'===∈-- 这与()1f x '≠矛盾。故结论得证。
【例4】 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明在(),a b 内方程
()()()()222x f b f a b a f x '-=-????
至少存在一根。 分析：由于题目是要求方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-????是否有根存在，
所以可以先对方程进行变形，把方程变为()()()()2220x f b f a b a f x '---=????
。那么方程
()()()()222x f b f a b a f x '-=-????
有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有()f x '存在，所以可以利用不定分把方程
()()()()2220x f b f a b a f x '---=????
转变为
()()()()2220f b f a x b a f x ---=????
现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道()f x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导()0a >，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数
()()()()222f b f a x b a f x ---????
在[],a b 上连续,在(),a b 内可导()0a >，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。
证 令
()()()()()222F x f b f a x b a f x =---????
显然，()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导，
而 ()()()()22F a f b a b f a F b =-=
根据Rolle 定理, 至少存在一点ξ，使
()()()()222f b f a b a f x ξ'-=-????.
【例5】 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导()0a b <<，证明：在[],a b 内存在一点ξ，使()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+????成立。
分析：对于等式
()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+????
则可以两边同除以b a -，即等式左端为，这个商式可看为函数()xf x 在[],a b 上的改变量与自变量的改变量之商，则会考虑利用Lagrange 定理，那么可构造辅助函数()()F x xf x =。
证 设()()F x xf x =，则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，
由Lagrange 定理，存在一点(),a b ξ∈，使
()()()F b F a F b a
ξ-'=-， 即 ()()()()bf b af a f f x b a ξξ-'+=
-， 即 ()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+????
8.2 利用微分中值定理求极限
在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程[12]。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。
【例1】 求112
1lim n n n n a a +→∞??- ???，其中0a >。 分析：由于题目中有1
n a 和11n a +，则可以试着构造辅助函数()x f x a =，那么就
可以得到()f x 在11,1n n ????+??连续，在11,1n n ?? ?+?
?可导，即可以利用Lagrange 定理解题了。
解 根据题意，由Lagrange 定理，有
112
1lim n n n n a a +→∞??- ??? ()211lim 1n x n n a n n ξ=→∞??'
=?- ?+??
()
2ln lim 1n n a a n n ξ→∞=+ ln a = 其中，11,1n n ξ??∈ ?+?
? 【例2】 已知
(n a n n =
++，试求lim n x n
a →。 解 令 ()
f x =则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++????上满足Lagrange 定理可得：
= ，()()()(),1n n k n n k ξ∈+++
< 当0,1,,1k n =-时，把得到的上述n 个不等式相加得：
(2n n ++<<+
(2n n +
即 12
n n a a n <<+-
故 1021
n a n ?<-< ?
所以 lim 2n n a →∞
=
8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性
【例1】 若函数f 在区间I 上可导，且'f 有界，则f 在I 上一致连续。
证明 对任意12,x x I ∈，则由拉格朗日中值定理可知：
()()()()'121212,f x f x f x x x x ξξ-=?-<<
又'f 在I 上有界，所以存在0L >，对任意x I ∈，有()f x L '≤。由此可得
()()12f x f x ε-<
因此，对任意0ε>，取0L ε
δ=>，对任意12,x x I ∈，且12x x δ-<，都有
()()1212f x f x L x x L L ε
ε-≤-
这就证明了f 在I 上一致连续的。
8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 一般原理是：若有01...n x x x <<<，使得01()()...()n F x F x F x ===，则相继 n 次用罗尔中值定理得出()0,n x x ξ∈ ，使得()0F ξ''=[13]。
【例4】 设(1)0f =，则存在()0,ξπ∈，使得
()()'''()2cot .f f f ξξξξ+=
证 首先变换待证中值公式为
()()2''
2sin d F f d ξξξξ=????＝ ()()()'''sin 2sin f f f ξξξξξ+-＝0 其中()()()()()sin .F 0=1F F x f x x F π==显然，故用两次罗尔中值定理得所要证。
8.5 利用微分中值定理求近似值
【例1】 求0.97的近似值
解 0.97是()f x x =在0.97x =处的值,
令001,0.97x x x x ==+?= 则0.03x ?=-,
由拉格朗日中值定理中值定理,存在一点(0.97,1)ξ∈，使得
()(1)(0.97)0.03f f f ξ'=-
可取1ξ≈近似计算,得0.971112(0.03)0.985x x '≈+=+-=
8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题
【例1】 设()f x 在[]0,1上具有二阶连续的导数，且满足条件
()(),f x M f x N ''≤≤，
其中,M N 都是非负常数，c 是()0,1内任意一点，证明：
()22
N f c M '≤+。 证：将()f x 在x c =处展为一阶泰勒公式
()()()()()()2
2!f x c f x f c f c x c ξ''-'=+-+ (1) (),01c x c ξθθ=+-<<
在(1)式中令0x =，则有
()()()()()()2
1000,012!
f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<< 在(1)式中令1x =，则有 ()()()()()()2
2111,012!
f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<< 上述两式相减，就有 ()()()()()()2
2111,012!
f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<< 于是 ()()()()()()()()()()()222122
2111012!1110122f c f f f c f c f f f c f c ξξξξ??'''''=----?
?''''≤++
-+ ()2212N M M c c ??≤++
-+?
? 又因为()0,1c ∈，()2211c c -+≤，故
()22N f c M '≤+ 8.7 利用微分中值定理证明不等式
对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。故不等式的证明对数学是很重要的。当我们学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。
“我们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出一个等式后，对这个等式根据自变量的取值范围的不同进行讨论，得到不等式”。下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用[14]。
【例1】 证明：()11ln 1,01x x x x ??-<<-<< ???
证 设()ln f y y =
显然函数()ln f y y =在[],1x 上连续，在(),1x 内可导，满足拉格朗日中值定理，即存在一点(),1x ξ∈，使得()()()()11f f x f x ξ'-=-
即
()
1ln 1x x ξ-=- 因为1x ξ<<，所以111x ξ<<
。从而有 ()11ln 1,01x x x x ??-<<-<< ???
【例2】 设0x >，对01α<<的情况，求证1x x ααα-≤-。
分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当1x =时，等式两边就相等了，所以接下来排除1x =，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢[15]？不妨设()f x x α=，()F x x α=。利用Cauchy 定理即可证明。
证 当1x =时结论显然成立，当1x ≠时，取[],1x 或[]1,x ，在该区间设 ()f x x α=，()F x x α=，由Cauchy 定理得：
()()()()()()
11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即 1
11x x ααααξξααα
---==- 当1x >时，(),1x ξ∈，11αξ->
即 11x x ααα
->- 又
()10x x ααα-=-<
故 1x x ααα->-，
即 11x αα-<-
当1x >时，()1,x ξ∈，11αξ-<
则 ()10x x ααα-=->
故1x x ααα->-，
即 11x αα-<-
由此，不等式得证
【例3】 已知()f x 在[]0,a 满足()f x M ''≤，且在()0,a 内取最大值，试证：()()0f f a aM ''+≤。
分析：若能找到点()00,x a ∈，使()00f x '=，则要证的结论便转化为变量的形式：
()()()()000f x f f a f x aM ''''-+-≤，
则根据 Lagrange 定理证之即可。然而对于0x 的寻找，应该从题目中条件的()f x 在开区间()0,a 内取到最大值入手。
【例4】 证明当0b a >>时，成立不等式
ln .b a b b a b a a
--<< 分析：一般步骤是：①规范不等式，构造()f x
②建立辅助函数及定义的区间[,]a b
③验证f 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理
④中值等式（不等式）
证 ()ln f x x =, [,]x a b ∈（0b a >>）
因为f(x)在[,]a b 上可导，则由拉格朗日中值定理有
()1ln ln ln ,.b b a b a a b a ξξ
=-=?-<<， 由于111b a
ξ<<，且0b a ->,所以
b a b a b a b a
ξ---<< 从而
ln .b a b b a b a a
--<< 【例5】 设函数()f x 在[]0,a 上连续，在()0,a 内二阶可导，
且()f x M ''≤ (M 为常数)，存在()0,c a ∈，使得()()()0f a f b f c ===。证明：
()()()02f f c f a Ma '''++≤
证 因为()()()0f f c f a ==，所以至少存在一点()10,c ξ∈，使得()10f ξ'=；至少存在一点()2,c a ξ∈，使得()20f ξ'=。从而对()f x 分别在[]0,c 和[],c a 使用拉格朗日中值定理得：
()()()()()()()()()()
()()()()()()
()()()()()()11111
11211121322222422200f f f f M f c f c f f c c M c f c f c f f c c M c f a f a f f a a M a ξθξξξξξθξξξξξθξξξξξθξξξ'''''=-=≤'''''=-=+--≤-????'''''=-=+--≤-????'''''=-=+--≤-????
其中123401,01,01,01θθθθ<<<<<<<<，
所以
()()()()()()112202f f c f a M M c M c M a ξξξξ'''++≤+-+-+-
即
()()()02f f c f a Ma '''++≤。
9 微分中值定理的推广
罗尔(Rolle )中值定理，拉格朗日(Lagrange )中值定理，柯西（Cauchy ）中值定理，这三个定理都要求函数()f x 在[],a b 上是连续，在(),a b 内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间[],a b ，把它推广到无限区间[),a +∞或(),-∞+∞，再把开区间(),a b 推广到无限区间(),a +∞或(),-∞+∞的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？
通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明[16]。
9.1 微分中值定理的推广定理
定理1 若()f x 在[),a +∞上连续，在(),a +∞内可导，且()()lim x f x f a →+∞
=，则至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立。
证 令11t x a =-+，则11x a t
=+-， 即可得到关于t 参数函数
()11t a t
?=+- 当[),x a ∈+∞时，则(]0,1t ∈
即()1a ?=，()0
lim t t ?→=+∞，再令()()()f x f t g t ?==???? 所以
()()()()()()00lim lim lim 11t t x g t f t f x f a f g ??→→→+∞
=====???????? 因为
()()0
0lim t g g t →= 所以
()()01g g =
所以()g t 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()01g g =，由Rolle 定理可得到至少存在一点()0,1ε∈，使()0g ε'=成立
令()ξ?ε=，有()()0f ξ?ε''?=，而
()21
0?εε'=-≠.
所以，至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立。
定理2 若()f x 在(),-∞+∞上连续，在(),-∞+∞内可导，并且
()()lim lim x x f x f x →-∞→+∞
= 至少存在一点(),ξ∈-∞+∞，使()0f ξ'=成立。
定理2的证明可以参照定理1。
定理 3 若()f x 在[),a +∞上连续，在[),a +∞内可导，并且()lim x f x M →+∞
=，则至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()()()
21M f a f a ξξ-???
?'=+-成立。