数学模型-MATLAB工具箱-马尔可夫决策过程-MDPs
前言：
MDPs提供了一个数学框架来进行建模，适用于结果部分随机部分由决策者控制的决策情景。由于其在数学建模或学术发表中经常被用到，这里我们从实用的角度对其做一些归纳整理，案例涉及到大数据应用方面的最新研究成果，包括基本概念、模型、能解决的问题、基本算法（基于MATLAB或R工具箱）和应用场景。最后简单介绍了部分可观察马尔可夫决策过程(POMDP)。
由于相关的理论和应用研究非常多，这里我们只介绍最基本的东西（但是提供了必要而丰富的展开），并提供相应的参考文献和工具箱链接，以期帮助读者更快上手，至于更加深入的研究和更加细致的应用，则需要参照相关研究领域的学术文献。
一、基本概念
（1）序贯决策（Sequential Decision）[1]：
用于随机性或不确定性动态系统的最优化决策方法。
（2）序贯决策的过程是：
从初始状态开始，每个时刻作出最优决策后，接着观察下一时刻实际出现的状态，即收集新的信息，然后再作出新的最优决策，反复进行直至最后。
（3）无后效性
无后效性是一个问题可以用动态规划求解的标志之一。
某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各种状态及决策的影响，简单的说，就是“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。
（4）马尔可夫决策过程
系统在每次作出决策后下一时刻可能出现的状态是不能确切预知的，存在两种情况：
①系统下一步可能出现的状态的概率分布是已知的，可用客观概率的条件分布来描述。对于这类系统的序贯决策研究得较完满的是状态转移律具有无后效性的系统，相应的序贯决策称为马尔可夫决策过程，它是将马尔可夫过程理论与决定性动态规划相结合的产物。
②系统下一步可能出现的状态的概率分布不知道，只能用主观概率的条件分布来描述。用于这类系统的序贯决策属于决策分析的内容。
注：在现实中，既无纯客观概率，又无纯主观概率。
客观概率是根据事件发展的客观性统计出来的一种概率。主观概率与客观概率的主要区别是，主观概率无法用试验或统计的方法来检验其正确性。
客观概率可以根据历史统计数据或是大量的试验来推定。
客观概率只能用于完全可重复事件，因而并不适用于大部分现实事件。
为什么引入主观概率：有的自然状态无法重复试验。如：明天是否下雨，新产品销路如何。
主观概率以概率估计人的个人信念为基础。主观概率可以定义为根据确凿有效的证据对个别事件设计的概率。这里所说的证据，可以是事件过去的相对频率的形式，也可以是根据丰富的经验进行的推测。比如有人说:“阴云密布,可能要下一场大雨!”这就是关于下雨的可能性的主观概率。主观概率具有最大的灵活性，决策者可以根据任何有效的证据并结合自己对情况的感觉对概率进行调整。
二、和马尔可夫链的联系
马尔科夫决策过程是一个离散时间随机控制过程。在每个时间步，决策过程处于某个状态S，决策者可能选择在S状态下任何可能的动作a。然后决策过程在下一个时间步随机地进入一个新的状态S`，同时给决策者相应的reward，记为Ra(s,s`)。
进入新状态S`的概率会受到决策者选择的动作a的影响，可以用状态转换函数Pa(s,s`)来表示。因此，下一个状态S`依赖于当前状态S和决策者的动作a。在给定S和a时，S`和之前所有的状态或动作无关，换句话说具有无后效性。
马尔可夫决策过程是马尔可夫链的一个扩展，区别在于马尔可夫决策过程引入了动作和回馈，即允许决策者进行选择并给予决策者激励。极端情况下，当每个状态都只允许一种动作而且所有的reward都相同时，马尔可夫决策过程就变成了马尔可夫链。
三、具体模型
上图是[2]中给出的一个只有三个状态、两种动作的简单MDP。
马尔可夫决策过程可以用一个四元组来描述：(S,A,P(·,·),R(·,·))。
其中：
S是有限个状态的集合；
A是有限个动作的集合；As是S状态下允许的所有动作的集合；
Pa(S,S`)=Pr(S t+1=S`|S t=S,a t=a)，表示t时刻在状态S中选择动作a导致进入状态S`的概率。
Ra(S,S`)是从状态S进入状态S`得到的实时反馈(reward)。
注意，马尔可夫决策过程的理论并不要求S和A是有限集合，但是在一些基本算法中有这样的要求。
四、要解决的问题
MDP的核心问题是找到每个状态S下决策者选择的动作去D(s)。目标是找到一个函数D，使得某些累积量最大化。一个例子如下：
衰减和
其中at=D(s)；
是衰减系数，在0到1之间；
R是reward。
由于无后效性，最佳决策方法仅为s的函数，即D(s)。
五、基本算法
假设我们知道状态转移概率P和反馈函数R，目标是求出决策规则D(s)使得上述的衰减和最大。
算法的具体实现对计算机基础要求较高，故这里我们推荐采用MATLAB工具箱进行求解。
NEWS: Version 4.0.1 (Jan. 2014) is available for MATLAB, GNU Octave, Scilab and R.
上述工具箱中包含应用示例，有小规模的toy model也有复现文献结果的较大规模的问题。
六、应用场景
马尔可夫过程：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变(过去)。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
1960年以来，马尔可夫决策过程理论得到迅速发展，应用领域不断扩大。凡是以马尔可夫过程作为数学模型的问题，只要能引入决策和效用结构，均可应用这种理论。
下面举一个比较新的例子，与大数据有关。
文献[5]使用马尔科夫决策过程对灾民的撤离行为进行分析建模，通过训练模型参数、概率推理完成对最优撤离路线的推荐。
将地理位置看为state，将选择连接某两个位置的路线看为灾民的action。
目标是训练出一个MDPs模型来最好的刻画灾民的疏散行为，这是一个逆向强化学习(Inverse Reinforcement Learning)问题。
强化学习：所谓强化学习就是智能系统从环境到行为映射的学习，以使奖励信号(强化信号)函数值最大。而对于上述的逆向强化学习，我们通过下面这个例子[6]来说明：针对计算机辅助指挥调度舰载机甲板作业的决策过程无法脱离人参与这一特点,引入基于逆向学习的强化学习方法,将指挥员或专家的演示作为学习对象,通过分析舰载机的甲板活动,建立舰载机甲板调度的马尔可夫决策模型(MDP)框架;经线性近似,采用逆向学习方法计算得到回报函数,从而能够通过强化学习方法得到智能优化策略,生成舰载机甲板调度方案，实现对专家行为的模仿。
回到刚才疏散的情景，可以看出就是用逆向强化学习来训练MDP的参数和回报函数，以此来模仿灾民的疏散行为，从而在大灾难发生时进行撤离路线的推荐。
七、扩展学习
部分可观察马尔可夫决策过程（POMDP）是一种通用的马尔可夫决策过程。POMDP模拟代理人决策程序是假设系统动态由MDP决定，但是代理人无法直接观察目前的状态。相反的，它必须要根据模型的全域与部分区域观察结果来推断状态的分布。
因为POMDP架构的通用程度足以模拟不同的真实世界的连续过程，应用于机器人导航问题、机械维护和不定性规划。
八、参考文献
[1]百度百科
[2]维基百科
[3]一份比较好的MDP参考材料
[4]强化学习
[5]Song X, Zhang Q, Sekimoto Y, et al. Modeling and probabilistic reasoning of population evacuation during large-scale disaster[C]//Proceedings of the 19th ACM SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. ACM, 2013: 1231-1239.
[6]李耀宇, 朱一凡, 杨峰, 等. 基于逆向强化学习的舰载机甲板调度优化方案生成方法[J]. 国防科技大学学报, 2013, 35(4): 171-175.
马氏链模型 教学目的: 通过教学，使学生掌握马尔可夫链的基本知识，掌握建立马氏链模型的基本方法，能用马氏链模型解决一些简单的实际问题。 教学重点和难点: 建立马氏链模型的基本思想和基本步骤。 教学内容： 马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术．这种技术已在市场预测分析和市场管理决策中得到广泛应用，近年来逐步被应用于卫生事业管理和卫生经济研究中．下面扼要介绍马尔可夫链的基本原理以及运用原理去进行市场预测的基本方法． （1）马尔可夫链的基本原理 我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量 X1，X2，…，X n，…．称{ X t，t∈T ，T是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n}的参数为非负整数， X n 为离散随机变量，且{ X n}具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n}的参数n看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关． 对具有N个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n时刻处于状态i下一时刻转移到状态j的一步转移概率： 若假定上式与n无关，即，则可记为（此时，称过程是平稳的），并记 （1）称为转移概率矩阵． 例1 设某抗病毒药销售情况分为“畅销”和“滞销”两种，
在人工智能中，大家可能知道两种技术，第一是机器算法，第二是深度学习。而在深度学习 中有强化学习和突破学习这两种技术。这两种技术给深度学习带来了很大的帮助。而强化学 习中有一个技术，那就是马尔科夫决策过程，那么什么是马尔科夫决策过程呢？下面我们就 给大家介绍一下这个内容。 初听马尔科夫决策过程，相信大家也是一头雾水的，很多人不知道什么是马尔科夫决策过程，其实马尔科夫决策过程就是基于马尔科夫论的随机动态系统的最优决策过程。它是马尔科夫 过程与确定性的动态规划相结合的产物，故又称马尔科夫型随机动态规划，属于运筹学中数 学规划的一个分支。马尔科夫决策过程具有马尔可夫性，这个马尔科夫性就是无后效性，及 系统的下个状态只与当前状态信息有关，与更早的状态无关，但不同的是马尔科夫决策过程 考虑了动作，即系统下个状态不仅和当前的状态有关，也和当前采取的动作有关。 那么马尔科夫决策要求是什么呢？马尔科夫决策的要求具体体现在三点，第一点就是能够检 测到理想的状态。第二点就是可以进行多次尝试。第三点就是系统的下个状态只与当前状态 信息有关，而与更早之前的状态无关。在决策过程中还和当前采取的动作有关。 那么马尔科夫决策过程的定义是什么呢？其实马尔科夫决策过程可以用一个五元组(S, A, P(:,:), R(:,:), γ)来描述，其中:S是一组有限的状态集（state）;A是一组有限的动作集(action)；Pa(s,s')=Pr(St+1=s'|St=s,at=a)表示在时间t状态s采取动作a可以在时间t+1转换到状态s'的概
率；Ra(s,s')表示通过动作a,状态s转换到s'所带来的及时收益或回报(reword)；γ是折扣因子，表示未来收益和当前收益之前的差别，意味着当下的 reward比未来反馈的reward更重要。需要提醒大家的是，马尔可夫决策过程并不要求S或者A是有限的，但基础的算法中假设它们 是有限的。 在这篇文章中我们给大家介绍了马尔科夫决策过程的特点、要求以及定义，这些内容都是能 够帮助大家初步了解马尔科夫决策过程的，我们在后面的文章中继续为大家介绍更多有关马 尔科夫决策的知识。
一、用法,用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果,算法得步骤,公式?三、程序 四、举例 五、前面国赛用到此算法得备注一下 马氏链模型 用来干什么 马尔可夫预测法就是应用概率论中马尔可夫链（Marｋov ｃhain)得理论与方法来研究分析时间序列得变化规律,并由此预测其未来变化趋势得一种预测技术. 什么时候用 应用马尔可夫链得计算方法进行马尔可夫分析，主要目得就是根据某些变量现在得情?况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生得变动，作为提供某种决策得依 据. 马尔可夫链得基本原理 我们知道，要描述某种特定时期得随机现象如某种药品在未来某时期得销售情况，比如说第n季度就是畅销还就是滞销，用一个随机变量Ｘｎ便可以了，但要描述未来所有时期得情况，则需要一系列得随机变量Ｘ１，X2，…,X n,…。称｛ Xｔ，t∈Ｔ,Ｔ就是参数集}为随机过程，{ Xｔ｝得取值集合称为状态空间。若随机过程｛X n｝得参数为非负整数, X Xｎ }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔ｎ为离散随机变量，且{ 可夫链（简称马氏链)。所谓无后效性,直观地说，就就是如果把{ X n｝得参数n瞧作时间得话,那么它在将来取什么值只与它现在得取值有关,而与过去取什么值无关。 对具有N个状态得马氏链,描述它得概率性质，最重要得就是它在ｎ时刻处于状态i下一时刻转移到状态j得一步转移概率： 若假定上式与ｎ无关，即,则可记为（此时,称过程就是平稳得），并记 （1) 称为转移概率矩阵． 转移概率矩阵具有下述性质： （1）．即每个元素非负。 （2）。即矩阵每行得元素与等于1。 如果我们考虑状态多次转移得情况,则有过程在n时刻处于状态i，ｎ＋ｋ时刻转移到状态j得ｋ步转移概率： 同样由平稳性，上式概率与ｎ无关，可写成。记
第6章 马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集(,)T ?-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称 {,}t X t T ∈为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称 {,}t X t T ∈为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =L ，称其为状态空间。系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链 如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121Λ恒有 {}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----=======L (6.1.1) 则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,...,N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻n t ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态()N i i ,,2,1Λ=有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3，则可用向量()0.3,0.4,0.3P =来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
经济预测与决策 考试形式：闭卷考试时量：150分钟总分：100分 一．单选题1*15=15分 1.经济预测的第一步是（）A A.确定预测目的，制定计划 B.搜集审核资料 C.建立预测模型 D.评价预测成果 2.对一年以上五年以下的经济发展前景的预测称为（）B A.长期经济预测 B.中期经济预测 C.短期经济预测 D.近期经济预测 3.（）回归模型中，因变量与自变量的关系是呈直线型的。C A.多元 B.非线性 C.线性 D.虚拟变量
4.以下哪种检验方法的零假设为：B1=B2=…=Bm=0？B A.r检验 B.F检验 C.t检验 D.DW检验 5.以数年为周期，涨落相间的波浪式起伏变动称为（）D A.长期趋势 B.季节变动 C.不规则变动 D.循环变动 6. 一组数据中出现次数最多的变量值，称为（）A A.众数 B.中位数 C.算术平均数 D.调和平均数 7. 通过一组专家共同开会讨论，进行信息交流和相互启发，从而诱发专家们发挥其创造性思维，促进他们产生“思维共振”，达到相互补充并产生“组合效应”的预测方法为（）A A.头脑风暴法 B.德尔菲法
C.PERT预测法 D.趋势判断预测法 8.（）起源于英国生物学家高尔登对人类身高的研究。B A.定性预测法 B.回归分析法 C.马尔科夫预测法 D.判别分析预测法 9.抽样调查的特点不包括（）D A.经济性 B.时效性 C.适应性 D.全面性 10.下图是哪种多项式增长曲线（）B A.常数多项式 B.一次多项式 C.二次多项式
D.三次多项式 11.根据历年各月的历史资料，逐期计算环比加以平均，求出季节指数进行预测的方法称为（）C A.平均数趋势整理法 B.趋势比率法 C.环比法 D.温特斯法 12.经济决策按照目标的性质和行动时间的不同，分为（）D A.宏观经济决策和微观经济决策 B.高层、中层和基层决策 C.定性决策和定量决策 D.战术决策和战略决策 13.（）是从最好情况出发，带有一定冒险性质，反映了决策者冒进乐观的态度。B A.最大最小决策准则 B.最大最大决策准则 C.最小最小后悔值决策准则 D.等概率决策准则 14.如果某企业规模小，技术装备不良，担负不起较大的经济风险，则该企业应采用（）A
数学模型-MATLAB工具箱-马尔可夫决策过程-MDPs 前言： MDPs提供了一个数学框架来进行建模，适用于结果部分随机部分由决策者控制的决策情景。由于其在数学建模或学术发表中经常被用到，这里我们从实用的角度对其做一些归纳整理，案例涉及到大数据应用方面的最新研究成果，包括基本概念、模型、能解决的问题、基本算法（基于MATLAB或R工具箱）和应用场景。最后简单介绍了部分可观察马尔可夫决策过程(POMDP)。 由于相关的理论和应用研究非常多，这里我们只介绍最基本的东西（但是提供了必要而丰富的展开），并提供相应的参考文献和工具箱链接，以期帮助读者更快上手，至于更加深入的研究和更加细致的应用，则需要参照相关研究领域的学术文献。 一、基本概念 （1）序贯决策（Sequential Decision）[1]： 用于随机性或不确定性动态系统的最优化决策方法。 （2）序贯决策的过程是： 从初始状态开始，每个时刻作出最优决策后，接着观察下一时刻实际出现的状态，即收集新的信息，然后再作出新的最优决策，反复进行直至最后。 （3）无后效性 无后效性是一个问题可以用动态规划求解的标志之一。 某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各种状态及决策的影响，简单的说，就是“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。 （4）马尔可夫决策过程 系统在每次作出决策后下一时刻可能出现的状态是不能确切预知的，存在两种情况： ①系统下一步可能出现的状态的概率分布是已知的，可用客观概率的条件分布来描述。对于这类系统的序贯决策研究得较完满的是状态转移律具有无后效性的系统，相应的序贯决策称为马尔可夫决策过程，它是将马尔可夫过程理论与决定性动态规划相结合的产物。 ②系统下一步可能出现的状态的概率分布不知道，只能用主观概率的条件分布来描述。用于这类系统的序贯决策属于决策分析的内容。 注：在现实中，既无纯客观概率，又无纯主观概率。 客观概率是根据事件发展的客观性统计出来的一种概率。主观概率与客观概率的主要区别是，主观概率无法用试验或统计的方法来检验其正确性。 客观概率可以根据历史统计数据或是大量的试验来推定。 客观概率只能用于完全可重复事件，因而并不适用于大部分现实事件。 为什么引入主观概率：有的自然状态无法重复试验。如：明天是否下雨，新产品销路如何。 主观概率以概率估计人的个人信念为基础。主观概率可以定义为根据确凿有效的证据对个别事件设计的概率。这里所说的证据，可以是事件过去的相对频率的形式，也可以是根据丰富的经验进行的推测。比如有人说:“阴云密布,可能要下一场大雨!”这就是关于下雨的可能性的主观概率。主观概率具有最大的灵活性，决策者可以根据任何有效的证据并结合自己对情况的感觉对概率进行调整。 二、和马尔可夫链的联系
马尔可夫决策基础理论 内容提要 本章介绍与研究背景相关的几类决策模型及算法。模型部分，首先是最基本的马尔可夫决策模型，然后是在此基础上加入观察不确定性的部分可观察马尔可夫决策模型，以及进一步加入多智能体的分布式部分可观察马尔可夫决策模型和部分可观察的随机博弈模型。算法部分，针对上述几类模型，我们均按照后向迭代和前向搜索两大类进行对比分析。最后，我们介绍了半马尔可夫决策模型及Option理论，这一理论为我们后面设计分等级的大规模多智能体系统的决策模型及规划框架提供了重要基础。 2.1 MDP基本模型及概念 马尔可夫决策过程适用的系统有三大特点：一是状态转移的无后效性；二是状态转移可以有不确定性；三是智能体所处的每步状态完全可以观察。下面我们将介绍MDP基本数学模型，并对模型本身的一些概念，及在MDP模型下进行问题求解所引入的相关概念做进一步解释。 2.1.1 基本模型 马尔科夫决策过程最基本的模型是一个四元组S,A,T,R(Puterman M, 1994)： ?状态集合S：问题所有可能世界状态的集合； ?行动集合A：问题所有可能行动的集合； ?状态转移函数T: S×A×S’→[0,1]: 用T(s, a, s’)来表示在状态s，执行动作 P s s a； a，而转移到状态s’的概率('|,) ?报酬函数R: S×A→R:我们一般用R(s,a)来表示在状态s执行动作a所能得到的立即报酬。 虽然有针对连续参数情况的MDP模型及算法，然而本文在没有特殊说明的情况都只讨论离散参数的情况，如时间，状态及行动的参数。 图2.1描述的是在MDP模型下，智能体(Agent)与问题对应的环境交互的过程。智能体执行行动，获知环境所处的新的当前状态，同时获得此次行动的立即
马氏链模型及m a t l a b 程序 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
一、用法，用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式 三、程序 四、举例 五、前面国赛用到此算法的备注一下 马氏链模型 用来干什么 马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。 什么时候用 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依 据。 马尔可夫链的基本原理 我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量X1，X2，…，X n，…．称{ X t，t∈T ，T是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n }的参数为非负整数， X n 为离散随机变量，且{ X n }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n }的参数n看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关．
对具有N 个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n 时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j 的一步转移概率： 若假定上式与n 无关，即 ====)()1()0(n p p p j i j i j i ，则可记为j i p （此时，称过程是平稳的），并记 ?? ? ? ?? ? ? ?=N N N N N N p p p p p p p p p P 2 12222111211 （1） 称为转移概率矩阵． 转移概率矩阵具有下述性质： （1）N j i p j i ,,2,1,,0 =≥．即每个元素非负． （2）N i p N j j i ,,2,1,11 ==∑=．即矩阵每行的元素和等于1． 如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n 时刻处于状态i ，n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率： 同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成) (k j i p ．记 ???? ??? ??=)()(2 )(1 )(2)(22)(21)(1)(12) (11) (k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P （2） 称为k 步转移概率矩阵．其中) (k j i p 具有性质： N j i p k j i ,,2,1,,0) ( =≥； N i p N j k j i ,,2,1,11 ) ( ==∑=． 一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵 ???? ?? ? ??=)()(2 )(1 )(2)(22)(21)(1)(12) (11) (k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P （3）
姓名：徐茂森 学号：200841004047 班级：统计2班 日期：2011年1月9日
基于灰色——马尔科夫模型的粮食产量预测 ——以山东省潍坊市粮食产量为例 【摘要】：本文基于灰色预测GM （1,1) 模型基础上，结合马尔科夫链，针对传统预测方法精确度不高的问题，研究山东省粮食产量变化来预测未来粮食产量。理论分析和实证计算表明，此种方法精确度更高，更加准确的预测未来的发展。 【关键词】：灰色预测模型，马尔可夫链，粮食产量 一、引言 我国是一个粮食大国，粮食关系到民生。对于我们这个具有13亿人口的大国来 说，粮食的作用更加重要。如今存在很多预测方法能够预测粮食的产量，都有一定的优点和缺点。灰度---马尔科夫模型是同时运用灰度预测模型和马尔科夫模型对问题进行分析预测。灰度预测模型通常是研究宏观规律，马尔科夫模型而是研究围观波动。恰当的运用这两种模型综合分析问题，会是预测精度明显提高。 二、理论分析及模型建立 2.1、 灰色模型GM （1，1）的基本思想 2.1.1、灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间的发展趋势的相私或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列具有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。 灰色预测使用灰色模型GM （1，1）来进行定量的分析。 2.1.2、GM （1，1）模型的建立 令(0)X 为GM （1，1）建模序列 (0) X =（(0)x （1），( 0)x （2），…，(0)x （n ）） (1) X 为(0)X 的1-AGO 序列
马尔科夫转移矩阵法 1.工具名称 马尔科夫转移矩阵法是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。 2.工具使用场合/范围 单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。 市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法 3.工具运用说明： 在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。 马尔科夫分析法的一般步骤为： ①调查目前的市场占有率情况； ②调查消费者购买产品时的变动情况； ③建立数学模型； ④预测未来市场的占有率。 二、马尔科夫分析模型 实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。 马尔科夫分析法的基本模型为： X(k+1)=X(k)×P 式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移概率矩阵，X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。 必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一
一、用法，用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式 三、程序 四、举例 五、前面国赛用到此算法的备注一下 马氏链模型 用来干什么 马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。 什么时候用 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依 据。 马尔可夫链的基本原理 我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量X1，X2，…，X n，…．称{ X t，t∈T ，T是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n }的参数为非负整数， X n为离散随机变量，且{X n}具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{X n}的参数n看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关． 对具有N个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n时刻处于状态i下一时刻转移到状态j的一步转移概率：
若假定上式与n 无关，即 ====)()1()0(n p p p j i j i j i ，则可记为j i p （此时，称过程是平稳的），并记 ?? ? ? ??? ? ?=N N N N N N p p p p p p p p p P 2 12222111211 （1） 称为转移概率矩阵． 转移概率矩阵具有下述性质： （1）N j i p j i ,,2,1,,0 =≥．即每个元素非负． （2）N i p N j j i ,,2,1,11 ==∑=．即矩阵每行的元素和等于1． 如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n 时刻处于状态i ，n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率： 同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成) (k j i p ．记 ???? ?? ? ??=)()(2 )(1 )(2)(22)(21)(1)(12) (11) (k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P （2） 称为k 步转移概率矩阵．其中) (k j i p 具有性质： N j i p k j i ,,2,1,,0) ( =≥； N i p N j k j i ,,2,1,11 ) ( ==∑=． 一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵 ???? ?? ? ??=)()(2 )(1 )(2)(22)(21)(1)(12) (11) (k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P （3） （2）状态转移概率的估算 在马尔可夫预测方法中，系统状态的转移概率的估算非常重要．估算的方法通常有两种：一是主观概率法，它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解，对事件发生的可能性大小的一种主观估计，这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下
第 6 章马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集T （ , ），如果对任意的t T ，总有一随机变量X t 与之对应，则称{X t ,t T} 为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设T {t0,t1,t2,...,t n,...} ），同时X t的取值也是离散的，则称{X t ,t T} 为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为S {1,2,L ,N} ，称其为状态空间。系统只能在时刻 t0,t1,t2,...改变它的状态。为简便计，以下将X t n等简记为X n。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链如果对任一n 1，任意的i1,i2, ,i n 1, j S恒有 P X n j X1 i1,X2 i2,L ,X n 1 i n 1 P X n j X n 1 i n 1 （6.1.1）则称离散型随机过程{X t ,t T} 为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,..., N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻t n ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态i i 1,2, ,N 有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月 A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、 0.3，则可用向量P 0.3,0.4,0.3 来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
名词解释 预测：是指对研究对象的未来状况进行估计和推测，即有过去和现在推测未来，由已知推测未知。 连贯性原则：是指事物过去和现在的发展变化规律在未发生质变的情况下，可以延续到未来。 类推性原则：是指事物的结构或规律具有相似性，有些事件可能是另一事件发生的先兆，因而可由已知事件的发展规律类推未知事件的未来。 预测精度：是指预测结果与实际情况的符合程度，是衡量预测方法是否适用于预测对象的一个重要指标。 定性预测：是指预测者根据一定的理论知识和经验，在对研究对象的发展进行调查和分析的基础上，对其发展趋势做出判断的方法。 专家预测法：是利用专家的知识经验，并结合有关背景统计资料进行预测的一类定性预测方法 主观概率：是指在一定条件下，个人对某一事件在未来发生或不发生的可能性所作的估计。 时间序列：是指各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间顺序排列起来的统计数据 马尔科夫链：是指具有无后效性的时间序列。所谓无后效性是指序列将来处于什么状态只与它现在所处的状态有关，而与它过去处于什么状态无关。
决策：是指管理部门和企业为了达到某种特定的目标，在调查、预测和对经济发展、管理活动等规律认识的基础上，运用科学的方法，对若干个可行方案进行分析、比较、判断，从中选出一个令人满意的方案并予以实施的过程 确定型决策：是指在决策系统及所处环境条件下，决策者根据已掌握的科学知识和技术手段，对不可控制因素能够完全作出科学、正确的判断。 风险型决策：是指决策者根据各种不同自然状态可能发生的概率及各方案的条件收益值所进行的决策 1、线性趋势预测 2、一次指数平滑法 3、时间序列具有线性发展趋势，要求采用二次移动平均法 4、趋势比率法进行季度预测 5、马尔科夫预测 6、转导法（第二章补充） 7、点面联想法 8、损益表分析 9、决策树（二阶段决策）
0引言 部分可观察马尔可夫决策过程 (partially observable Markov decision processes , POMDP 描述的是当前世界模型部分可知的情况下,智能体 Agent Agent 的例如, 足球运动员在球场上踢足球, 每个球员并不完全清楚他周围的所有状态, 当他向前带球的过程中, 他可能知道在他前面人的位置和状态, 但是可能不知道在他后面的其他队友的位置和状态, 此时他观察到的信息是不完整的, 但是一个优秀的足球运动员往往靠着一种感觉传给他身后的最有利的队员, 使其进行最有利的进攻, 过程就是部分可观察马尔可夫决策过程。在部分可感知模型中, 不仅要考虑到状态的不确定性, 同时还要考虑到动作的不确定性,这种世界模型更加能够客观的描述真实世界, 因此应用十分广泛。 本文综述了目前在 POMDP 领域的研究情况, 介绍了 MDP 的数学理论基础和决策模型, 以及一种典型的 POMDP 决策算法-值迭代算法, 介绍了目前现有的几种经典的决策算法, 并分析它们之间的优点和不足, 列举了一些 POMDP 常见的应用领域, 并进行了总结和展望。 1马尔可夫决策过程 Agent 每一个时刻都要做一些决策, 做决策时不仅要考虑甚至是其它 Agents (Markov decision process , MDP 的最优解, MDP 可以用一个四元组 < , >来描述 [1] :
:Agent 的行为集; , : ×:当 Agent 在状态 , 可能转移到状态的概率, 使用 | :→ 情况下 采用动作 -2116- -2117 - , Agent 使 Agent 选择的动作能够获得
马尔科夫决策解决方案 篇一：马尔可夫决策过程模型 3。马尔可夫决策过程模型 本节介绍了MDP模型来确定相互制约的服务商到客户系统调度策略,分配区分服务器优先级的客户。医药科学的MDP模型作为一个线性规划模型,以至于考虑与约束不可以添加扩展马尔可夫状态空间,从而允许有效的线性规划算法标识最佳相互制约政策。消费者要求达到的服务,都有一个关联的位置和分为高优先级或低优先级。服务器救护车所分化他们的答复和服务时间。我们可以捕捉时间从一个服务器是派去当它到达现场,捕捉的总时间和服务时间为客户服务,包括响应客户时间,对待客户现场,运输一个客户去医院,并返回到服务。目标是确定哪些服务器调度到达客户最大化平均水平.总奖励每阶段给予最低标准股本。回复一个电话的奖励是解释作为高优先级客户的可能性是对一个固定的时间内一个RTT目标函数已经成为最好的效率的性能的措施，在EMS系统。在模型中,客户根据到达泊松过程的速度。当一个客户到达时,其位置和优先级评估,和一家派往它可用的服务器。的模型使得几个假设: 1.如果客户和服务器可用,到达服务器必须派遣。 2。只有服务器-服务器位于他们家庭基站可以被派往客
户。 3。一个服务器分配给每个客户。 4。然后服务器返回服务客户。 5。服务时间不依赖于客户优先权和指数分布。 6。有一个零长度队列为客户。 我们将讨论如何修改模型 电梯的假设和假设一个强大的影响产生的政策。需要服务器被派往客户如果服务器是可用非理想的政策合理,因为这里的模型是出于EMS体系中,为所有客户提供服务是一个主要的公共服务系统的目标。此外,由于担忧的责任,而不是保留是一种能力,嵌入在EMS调度和政策实践,约束的服务提供者。为了简单起见,所有服务器维修后返回本国驻地客户,当他们说为其他客户服务可用,服务器不能动态改航。在实践中,服务器可以从以外的地点派遣他们家电台,当服务器完整的服务。以允许救护车被派遣本国驻地以外的位置,可以扩大到包括状态空间辅助服务器的位置相对应服务器完成服务。同样地,可以将状态空间扩大到包括辅助客户地点,对应一个服务器是谁前往客户允许服务器动态改航,直到它到达服务客户和位置,相对应的服务器正在接近尾声与另一个客户的服务。关于第五假设,尽管它将琐碎包含服务时间依赖于客户优先级,指数提升,因为我们假设是更难了必须扩大状态方程考虑non-Markov模型。我们承认这是一个强
中天会计事务所马尔可夫模型例题一、问题分析 中天会计事务所由于公司业务日益繁忙，常造成公司事务工作应接不暇，解决该公司出现的这种问题的有效办法是要实施人力资源的供给预测技术。根据对该公司材料的深入分析，可采用马尔可夫模型这一供给预测方法对该事务所的人力资源状况进行预测。 马尔可夫分析法是一种统计方法，其方法的基本思想是：找出过去人力资源变动的规律，用以来推测未来人力变动的趋势。马尔可夫分析法适用于外在环境变化不大的情况下，如果外在环境变化较大的时候这种方法则难以用过去的经验情况预测未来。马尔可夫分析法的分析过程通常是分几个时期来收集数据，然后在得出平均值，利用这些数据代表每一种职位的人员变动频率，就可以推测出人员的变动情况。 二、项目策划 （一）第一步是编制人员变动概率矩阵表。 根据公司提供的内部资料：公司的各职位人员如下表1所示。 表1：各职位人员表 职位代号人数 合伙人P 40 经理M 80 高级会计师S 120 会计员 A 160 制作一个人员变动概率矩阵表，表中的每一个元素表示从一个时期到另一个时期（如从某一年到下一年）在两个工作之间调动的雇员数量的历年平均百分比（以小数表示）。（注：一般以3—5年为周期来估计年平均百分比。周期越长，根据过去人员变动所推测的未来人员变动就越准确。） 表2：历年平均百分比人员变动概率矩阵表 职位合伙人 P 经理M 高级会计师S 会计员A 职位年度离职升为 合伙 人 离职升为经 理 降为 会计 员 离职升为高级 会计师 离职 2005 0.20 0.08 0.13 0.07 0.05 0.11 0.12 0.11 2006 0.23 0.07 0.27 0.05 0.08 0.12 0.15 0.29 2007 0.17 0.13 0.20 0.08 0.03 0.10 0.17 0.20 2008 0.21 0.12 0.21 0.03 0.07 0.09 0.13 0.19 2009 0.19 0.10 0.19 0.02 0.02 0.08 0.18 0.21 平均0.20 0.10 0.20 0.05 0.05 0.10 0.15 0.20
马尔可夫链模型（Markov Chain Model） 目录 [隐藏] 1 马尔可夫链模型概述 2 马尔可夫链模型的性质 3 离散状态空间中的马尔可夫链模 型 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建立 o 5.2 马尔可夫模型的应用 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为 。 马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态 的个数。对于任意i∈s，有。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处 于状态i的概率，满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质 马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X | X n) n+ 1 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：
马尔科夫转移矩阵法(一) 专业培训解决方案与企业管理咨询服务商地址:廣州市花城大道5號南天廣場龍庭閣2006室电话：862022223190；2222319122223192；22223193传真：862022223196網址：xxxxxx邮件:xxxxxx一、马尔科夫转移矩阵法的涵义单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。马尔科夫是俄国数学家，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。，在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。马尔科夫分析法的一般步骤为：①调查目前的市场占有率情况；②调查消费者购买产品时的变动情况； ③建立数学模型；④预测未来市场的占有率。二、马尔科夫分析模型实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科
夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。
1 马氏链模型 正则链 从任意的状态出发经过有限次的转移都能达到另外的任意状态， 定义如下： 一个有K 个状态的马氏链如果存在正整数N ，使从任意状态i 经过N 次转移都以大于零的概率到达状态j （i ，j=1,2，...k ）则称为正则链。 定理1 若马氏链的转移矩阵为P ，则它是正则链的充要条件是：存在正整数N 使p N >0(指p N 的每个元素大于零) 定理2 正则链存在唯一的极限状态概率w=()12k ωωω ，，，使得当n →∞时状态概率()a n w →，w 与初始状态概率无关，w 又称稳定概率，满足 11 k i i wP w w ===∑ 从状态i 出发经过n 次转移，第一次到状态j 的概率称为i 到j 的首次概率，记作()ij f n 于是 ()1ij ij n nf n μ∞ ==∑ 为状态i 第一次到达状态j 的平均转移次数，特别地，ij μ是状态i 首次返回的平均转移次数。ij μ与稳定概率ω有密切地关系，即 定理3 对于正则链 ij =1/μω 吸收链 1ii p =，于是系统一旦进入状态i 就不再离开它，可以把它看作“吸收”其它状态的一个状态，并且从其它的状态可以经过有限次的转移到达状态i 定义如下： 定义2 转移概率1ii p =的状态i 称为吸收状态。如果马氏链至少包含一个吸收状态，并且从每个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次的转移到达某个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。 吸收链的转移矩阵可以写成简单的标准形式，若有r 个 吸收状态，k-r 个非吸收状态，则转移矩阵P 可表示为 r r I O P R Q ???=???? 其中k-r 阶子方阵Q 的特征值λ满足1λ＜这要求子阵()k r r R -?中必含有非零元素，已满足从任意一非吸收状态出发经有限次转移可到达某个吸收状态的条件。这样Q 就不是随机矩