高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
考点自测
1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2
9
＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是
椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________． 答案
x 24
－y 2
3
＝1 解析 由题意得，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的焦点坐标为(7，0)，(－7，0)，c ＝7；
且双曲线的离心率为23
74＝72＝c a
?a ＝2，b 2＝c 2－a 2
＝3， 双曲线的方程为x 24－y 2
3
＝1.
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与抛物线y 2
＝2px (p >0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物
线的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的离心率为____________．
答案
2－1
解析 因为抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 为? ??
??p
2，0，设椭圆另一焦点
为E .
当x ＝p
2
时代入抛物线方程得y ＝±p ，
又因为PQ 经过焦点F ，所以P ? ??
??p 2，p 且PF ⊥OF . 所以|PE |＝
p 2＋p
2
2＋p 2
＝2p ， |PF |＝p ，|EF |＝p .
故2a ＝ 2p ＋p,2c ＝p ，e ＝2c
2a
＝2－1.
3．若双曲线x 2a 2－y 23
＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2
＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实
轴长为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6 答案 B
解析 双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3a
x ，即3x ±ay ＝0，圆(x －2)2＋y 2
＝4的圆
心为C (2,0)，半径为r ＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD |＝22－12
＝3，另一方面，
圆心C (2,0)到双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线3x －ay ＝0的距离为d ＝|332－a 30|3＋a 2＝23
3＋a
2
，所以
233＋a
2
＝3，解得a 2
＝1，即a ＝1，该双曲线的实轴长为2a ＝2.
4．若双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1 (a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2
＋2有公共点，则此双曲线的离心
率的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(1,3] D ．(1,3)
答案 A
解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b
a
x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2
±b a
x ＋2＝0. ∵渐近线与抛物线有交点，
∴Δ＝b 2a
2－8≥0，求得b 2≥8a 2
，
∴c ＝ a 2
＋b 2
≥3a ，∴e ＝c a
≥3.
5．设坐标原点为O ，抛物线y 2
＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →2OB →等于( ) A.34 B ．－3
4 C ．3 D ．－3 答案 B
解析 方法一 (特殊值法)
抛物线的焦点为F ? ????12，0，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)，
∴OA →2OB →＝? ????12，12? ????12，－1＝1
4－1＝－34.
方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →2OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2.
由抛物线的过焦点的弦的性质知：
x 1x 2＝p 24
＝1
4
，y 1y 2＝－p 2＝－1.
∴OA →2OB →＝1
4－1＝－34
.
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
例1 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2
＝
2px (p >0)的准线的距离为5
4.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两
动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上． (1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝
|AB |1＋4m
2
，求d 的最大值．
思维点拨 (2)用点差法求k AB ，用m 表示出|AB |，利用基本不等式求最值． 解 (1)y 2
＝2px (p >0)的准线为x ＝－p
2
，
∴1－(－p 2)＝54，p ＝1
2
，
∴抛物线C 的方程为y 2
＝x . 又点M (t,1)在曲线C 上，∴t ＝1.
(2)由(1)知，点M (1,1)，从而n ＝m ，即点Q (m ，m )， 依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线AB 的斜率为k (k ≠0)． 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由????
?
y 2
1＝x 1，y 2
2＝x 2，
得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，
故k 22m ＝1，
∴直线AB 的方程为y －m ＝1
2m
(x －m )， 即x －2my ＋2m 2
－m ＝0.
由?
????
x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2
＝x 消去x ，
整理得y 2
－2my ＋2m 2
－m ＝0，
∴Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2
－m . 从而|AB |＝
1＋1
k
22|y 1－y 2|
＝1＋4m 2
24m －4m 2
＝2 1＋4m 2
m －m 2
. ∴d ＝
|AB |1＋4m
2＝2m 1－m ≤m ＋(1－m )＝1，
当且仅当m ＝1－m ，即m ＝1
2时，上式等号成立，
又m ＝12
满足Δ＝4m －4m 2
>0.∴d 的最大值为1.
思维升华 圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM →|2|BM
→
|cos 2
θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点． (1)求|AM →|＋|BM →
|的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 面积的最大值． 解 (1)设M (x ，y )，在△MAB 中， |AB |＝2，∠AMB ＝2θ， 根据余弦定理得
|AM →|2＋|BM →|2－2|AM →|2|BM →
|cos 2θ＝4.
即(|AM →|＋|BM →|)2－2|AM →|2|BM →
|(1＋cos 2θ)＝4. (|AM →|＋|BM →|)2－4|AM →|2|BM →|cos 2
θ＝4. 而|AM →|2|BM →|cos 2
θ＝3， 所以(|AM →|＋|BM →|)2
－433＝4. 所以|AM →|＋|BM →
|＝4. 又|AM →|＋|BM →
|＝4>2＝|AB |，
因此点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)，a ＝2，c ＝1. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.
由?????
x ＝my ＋1，x 24＋y
23
＝1，
消去x 并整理得(3m 2
＋4)y 2
＋6my －9＝0.① 显然方程①的Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则S △APQ ＝1
2323|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.
由根与系数的关系得
y 1＋y 2＝－
6m 3m 2
＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4
. 所以(y 1－y 2)2
＝(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2＝4833m 2
＋3
3m 2＋4 2.
令t ＝3m 2
＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2
＝
48
t ＋1t
＋2
. 由于函数φ(t )＝t ＋1
t
在[3，＋∞)上是增函数，
所以t ＋1t ≥103，当t ＝3m 2
＋3＝3，即m ＝0时取等号．
所以(y 1－y 2)2
≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3.
所以△APQ 面积的最大值为3， 此时直线PQ 的方程为x ＝1.
题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 2
5
＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为
F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.
(1)设动点P 满足：|PF |2
－|PB |2
＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝1
3
，求点T 的坐标；
(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． (1)解 设P (x ，y )，由题意知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)， 则|PF |2
＝(x －2)2
＋y 2
，|PB |2
＝(x －3)2
＋y 2
，
由|PF |2
－|PB |2
＝4，得(x －2)2
＋y 2
－[(x －3)2
＋y 2
]＝4，
化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝9
2.
(2)解 将x 1＝2，x 2＝1
3分别代入椭圆方程，
并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ? ????2，53，N ? ????1
3
，－209.
则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋3
2＋3，即x －3y ＋3＝0.
直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －3
13
－3，即5x －6y －15＝0.
联立方程???
??
x －3y ＋3＝0，
5x －6y －15＝0，
解得x ＝7，y ＝10
3
，
所以点T 的坐标为?
????7，103.
(3)证明 如图所示，
点T 的坐标为(9，m )． 直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3， 直线TB 的方程为
y －0m －0＝x －3
9－3
， 分别与椭圆x 29＋y 2
5＝1联立方程，
解得M ? ????3 80－m 2
80＋m 2，40m 80＋m 2，
N ? ????3 m 2
－20 20＋m 2，－20m 20＋m 2. 直线MN 的方程为
y ＋20m 20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3 m 2
－20
20＋m
2
3 80－m 2 80＋m 2－3 m 2
－20
20＋m 2
. 令y ＝0，解得x ＝1，
所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0)． 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(20132江西)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ 3
2
，a ＋b ＝3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图所示，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －
k 为定值．
(1)解 因为e ＝32＝c
a ， 所以a ＝
23
c ，b ＝13
c .
代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)证明 方法一 因为B (2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0，
k ≠±1
2
)，①
①代入x 2
4＋y 2
＝1，解得P ? ????8k 2
－2
4k 2＋1
，－4k 4k 2＋1.
直线AD 的方程为y ＝1
2x ＋1.②
①与②联立解得M ?
??
?
?4k ＋22k －1，4k 2k －1.
由D (0,1)，P ? ????8k 2
－2
4k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知
－
4k
4k 2
＋1－18k 2
－24k 2
＋1
－0＝0－1x －0，解得N ? ??
??4k －22k ＋1，0.
所以MN 的斜率为m ＝4k
2k －1
－04k ＋22k －1－
4k －2
2k ＋1
＝
4k 2k ＋1 2 2k ＋1 2－2 2k －1 2＝
2k ＋1
4
.
则2m －k ＝2k ＋12－k ＝1
2
(定值)．
方法二 设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0
x 0－2
，
直线AD 的方程为y ＝1
2(x ＋2)，
直线BP 的方程为y ＝
y 0
x 0－2
(x －2)，
直线DP 的方程为y －1＝y 0－1
x 0
x ，令y ＝0， 由于y 0≠1可得N ?
??
?
?－x 0y 0－1，0，
联立?????
y ＝1
2 x ＋2 ，y ＝y
0x 0
－2 x －2 ，
解得M ?
??
?
?4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，
因此MN 的斜率为
m ＝4y 0
2y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋
x 0y 0－1＝4y 0 y 0－1
4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 2
0＋4
＝4y 0 y 0－1
4y 20
－8y 0＋4x 0y 0－ 4－4y 2
0 ＋4
＝
y 0－1
2y 0＋x 0－2
.
所以2m －k ＝2 y 0－1 2y 0＋x 0－2－y 0
x 0－2
＝
2 y 0－1 x 0－2 －y 0 2y 0＋x 0－2
2y 0＋x 0－2 x 0－2
＝2 y 0－1 x 0－2 －2y 2
0－y 0 x 0－2 2y 0＋x 0－2 x 0－2
＝2 y 0－1 x 0－2 －12
4－x 2
0 －y 0 x 0－2
2y 0＋x 0－2 x 0－2
＝1
2
(定值)． 题型三 圆锥曲线中的探索性问题
例3 (20142福建)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；
(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．
思维点拨 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S 满足抛物线的定义，即可求曲线Γ的方程；
(2)通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A 、M 的坐标，N 的坐标，以MN 为直径作圆C ，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度不变．
解 方法一 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，
依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2
＝4y . (2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：
由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2
，
设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14
x 2
0，
由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1
2x 0，
所以切线l 的方程为y －y 0＝1
2x 0(x －x 0)，
即y ＝12x 0x －14x 2
0.
由?????
y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0得A (1
2
x 0,0)．
由?????
y ＝12
x 0x －14x 20，
y ＝3
得M (12x 0＋6
x 0
，3)．
又N (0,3)，所以圆心C (14x 0＋3
x 0，3)，
半径r ＝12|MN |＝|14x 0＋3
x 0|，
|AB |＝|AC |2
－r 2
＝
[12x 0－ 14x 0＋3x 0 ]2＋32
－ 14x 0＋3x 0
2＝ 6. 所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 则|y －(－3)|－ x －0 2
＋ y －1 2
＝2，
依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y >－3，所以 x －0 2
＋ y －1 2
＝
y ＋1，
化简，得曲线Γ的方程为x 2
＝4y . (2)同方法一．
思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，
从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 3 －2 4 2 y
－23
－4
2
2
(1)求C 1，C 2的标准方程；
(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设抛物线C 2：y 2
＝2px (p ≠0)，则有y 2
x
＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，
(4，－4)在C 2上，
易求得C 2的标准方程为y 2
＝4x .
设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
把点(－2,0)，(
2，2
2)代入得?????
4
a 2＝1，2a 2
＋1
2b 2
＝1，
解得?
????
a 2
＝4b 2
＝1，所以C 1的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由?????
x 2
4＋y 2＝1，y ＝k x －1 ，
消去y 并整理得(1＋4k 2
)x 2－8k 2x ＋4(k 2
－1)＝0， 于是x 1＋x 2＝8k 2
1＋4k 2，①
x 1x 2＝4 k 2
－1 1＋4k
2
.② 所以y 1y 2＝k 2
(x 1－1)(x 2－1)＝k 2
[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝k 2
[4 k 2
－1 1＋4k 2－8k 2
1＋4k 2＋1]＝－3k 2
1＋4k
2.③
由OM →⊥ON →，即OM →2ON →
＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*) 将②③代入(*)式，得4 k 2
－1 1＋4k 2－3k 2
1＋4k 2＝k 2
－4
1＋4k 2＝0，
解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件， 且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0. 题型四 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
例4 (20132浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2
＋y 2
＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．
思维点拨 (1)根据椭圆的几何性质易求出a ，b 的值，从而写出椭圆的方程；
(2)要求△ABD 的面积，需要求出AB ，PD 的长，AB 是圆的弦，考虑用圆的知识来求，PD 应当考虑用椭圆的相关知识来求．求出AB ，PD 的长后，表示出△ABD 的面积，再根据式子的形式选择适当的方法求最值．
解 (1)由题意得?
??
??
b ＝1，
a ＝2.
所以椭圆C 1的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2
＋y 2
＝4， 故点O 到直线l 1的距离d ＝
1
k 2＋1
，
所以|AB |＝24－d 2
＝2
4k 2
＋3
k 2＋1
. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.
由?
????
x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2
＝4.
消去y ，整理得(4＋k 2
)x 2
＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.
所以|PD |＝8k 2
＋1
4＋k 2.
设△ABD 的面积为S ，
则S ＝122|AB |2|PD |＝84k 2
＋34＋k 2
， 所以S ＝
324k 2
＋3＋
134k 2
＋3
≤322
4k 2
＋32
13
4k 2
＋3
＝1613
13
，
当且仅当k ＝±
10
2
时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±
10
2
x －1. 思维升华 对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．
如图，已知圆M ：(x －2)2
＋y 2
＝73，椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b
2＝1
(a >b >0)的右顶点为圆M 的圆心，左焦点与双曲线x 2－y 2
＝1的左顶点重合．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C 分别交于两点A ，B ，与圆M 分别交于两点G ，H (其中点G 在线段AB 上)，且|AG |＝|BH |，求k 的值．
解 (1)由题意，得圆心M (2，0)，双曲线的左顶点(－1,0)，所以a ＝2，c ＝1，b ＝1，椭圆C 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 与椭圆相交于两点A ，B ，则?
????
y ＝kx ，
x 2＋2y 2
－2＝0，
所以(1＋2k 2)x 2
－2＝0，则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－21＋2k 2，
所以|AB |＝
1＋k 2
8
1＋2k
2＝
8 1＋k 2
1＋2k 2
. 点M (2，0)到直线l 的距离d ＝
|2k |1＋k
2
，
则|GH |＝2r 2－d 2
＝2
73－2k 2
1＋k
2. 显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性知，直线y ＝kx 就是y 轴，矛盾． 因为|AG |＝|BH |，所以|AB |＝|GH |，
即8 1＋k 2
1＋2k 2
＝4? ??
??73－2k 2
1＋k 2， 整理得4k 4－3k 2
－1＝0. 解得k 2
＝1，即k ＝±1.
(时间：80分钟)
1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于不同的A ，B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →2OB →
的值；
(2)如果OA →2OB →
＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点． 解 (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2
＝4x ， 消去x 得y 2
－4ty －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，
∴OA →2OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2
＝t 2
y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2
＋4t 2
＋1－4＝－3.
(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2
＝4x ，
消去x 得y 2
－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .
∴OA →2OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2
y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2
＋y 1y 2 ＝－4bt 2
＋4bt 2
＋b 2
－4b ＝b 2
－4b .
令b 2
－4b ＝－4，∴b 2
－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．
∴若OA →2OB →
＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．
2．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2，0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－
2,0)．
从而有?
??
??
c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得?
??
??
c ＝2，
a ＝4.
又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2
＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝3
2x ＋t .
由?????
y ＝3
2x ＋t ，x 2
16＋y 2
12＝1，
得3x 2＋3tx ＋t 2
－12＝0.
因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t )2
－4333(t 2
－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.
另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得
|t |
94
＋1＝4，解得t ＝±213.
由于±213?[－43，43]， 所以符合题意的直线l 不存在．
方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
且有?????
4a 2＋9b
2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2
＝－3(舍去)．
从而a 2
＝16.
所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12＝1.
(2)同方法一．
3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与双曲线x 24－v ＋y 2
1－v
＝1 (1 的右顶点B 任意作直线l ，设直线l 交抛物线y 2 ＝2x 于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ . (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点R (m ，n )使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝1相交于不同的两点M 、N ，且△OMN 的面积最大？若存在，求出点R 的坐标及对应的△OMN 的面积；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵1 ＝4－v ＋v －1＝3， 由椭圆C 与双曲线共焦点，知a 2 －b 2 ＝3， 设直线l 的方程为x ＝ty ＋a ， 代入y 2 ＝2x ，可得y 2 －2ty －2a ＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2a ， ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝a 2 －2a ＝0， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. (2)在△MON 中，S △OMN ＝12|OM ||ON |sin∠MON ＝1 2sin∠MON . 当∠MON ＝90°时，12sin∠MON 有最大值1 2， 此时点O 到直线l 的距离为d ＝1 m 2＋n 2 ＝2 2 ， ∴m 2 ＋n 2 ＝2.又∵m 2 ＋4n 2 ＝4， 联立? ???? m 2 ＋n 2 ＝2， m 2＋4n 2 ＝4，解得m 2＝43，n 2 ＝23 ， 此时点R 的坐标为? ????23 3 ，±63或? ????－233，±63，△MON 的面积为12. 4.如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →2FB →＝1，|OF → |＝1. (1)求椭圆的标准方程； (2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1， 又∵AF →2FB →＝(a ＋c )2(a －c )＝a 2－c 2 ＝1. ∴a 2 ＝2，b 2 ＝1， 故椭圆的标准方程为x 2 2 ＋y 2 ＝1. (2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且F 恰为△PQM 的垂心， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∵M (0,1)，F (1,0)，∴直线l 的斜率k ＝1. 于是设直线l 为y ＝x ＋m ， 由????? y ＝x ＋m ，x 22 ＋y 2 ＝1 得3x 2 ＋4mx ＋2m 2 －2＝0， x 1＋x 2＝－43 m ，① x 1x 2＝2m 2 －23 .② ∵MP →2FQ → ＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)， ∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2 －m ＝0.(*) 将①②代入(*)式得222m 2 －23－4m 3(m －1)＋m 2 －m ＝0， 解得m ＝－43或m ＝1，经检验m ＝－4 3符合条件． 故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心， 直线l 的方程为y ＝x －4 3 . 5．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ， B ，且AP →＝2PB → . (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围． 解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)， 由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 2 2 ＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立， 即????? y 2 ＋2x 2 ＝4，y ＝kx ＋m ， 消去y ，得 (2＋k 2 )x 2 ＋2mkx ＋m 2 －4＝0， Δ＝(2mk )2 －4(2＋k 2 )(m 2 －4)>0， 由根与系数的关系，知????? x 1 ＋x 2 ＝－2mk 2＋k 2 ，x 1 2x 2 ＝m 2 －4 2＋k 2 ， 又AP →＝2PB → ，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2. 则? ???? x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 2 2，所以m 2－42＋k 2＝－2? ?? ??2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2 －4)k 2 ＝8－2m 2 ， 又9m 2 －4＝0时等式不成立， 所以k 2 ＝8－2m 2 9m 2－4>0，得49 <4，此时Δ>0. 所以m 的取值范围为? ????－2，－23∪? ????23，2. 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2 －y 2 ＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角 形的面积． (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2 ＋y 2 ＝1相切，求证：OP ⊥OQ . (3)设椭圆C 2：4x 2 ＋y 2 ＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． (1)解 双曲线C 1：x 2 12－y 2 ＝1，左顶点A ? ????－22，0，渐近线方程：y ＝±2x . 不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2? ?? ?? x ＋ 22，即y ＝2x ＋1. 解方程组?? ? y ＝－2x ， y ＝2x ＋1 得??? ?? x ＝－2 4，y ＝12. 所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝2 8. (2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2 ＝1，即b 2 ＝2. 由? ???? y ＝x ＋b ，2x 2－y 2 ＝1得x 2－2bx －b 2 －1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则? ???? x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2 . 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )， 所以OP →2OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2 )＋2b 2 ＋b 2 ＝b 2 －2＝0. 故OP ⊥OQ . (3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝ 22，则O 到直线MN 的距离为33 . 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ? ?? ??显然|k |>22， 则直线OM 的方程为y ＝－1 k x . 由????? y ＝kx ，4x 2＋y 2 ＝1 得????? x 2 ＝1 4＋k 2，y 2 ＝k 2 4＋k 2 ， 所以|ON |2 ＝1＋k 2 4＋k 2. 同理|OM |2 ＝1＋k 2 2k 2－1 . 设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2 ＋|ON |2 )d 2 ＝|OM |2 |ON |2 ， 所以1 d 2＝1 |OM |2＋1 |ON |2＝3k 2 ＋3k 2 ＋1＝3，即d ＝3 3 . 综上，O 到直线MN 的距离是定值．
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