专题03 函数与导数
1.（2020?北京卷）已知函数()21x
f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．
A . (1,1)-
B . (,1)(1,)-∞-+∞
C . (0,1)
D . (,0)(1,)-∞?+∞
【答案】D
【解析】作出函数2x
y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为()21x
f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，
在同一直角坐标系中作出2x
y =和1y x =+的图象如图：
两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >. 所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞?+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 2.（2020?北京卷）函数1
()ln 1
f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞
【解析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得0
10
x x >??
+≠?，0x ∴>故答案为：(0,)+∞
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.（2020?北京卷）已知函数2
()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；
（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.
【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，
设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.
（Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点(
)2
,12t t
-处的切线方程为：()()2
122y t t x t --=--，
令0x =，得2
12y t =+，令0y =，得2122t x t
+=，所以()S t =()221121222||t t t +?+?，
不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144
(24)44t t S t t t t t
++==++，
所以()S t '=422
2211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222
22
3(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==
， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，
所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()1616
2328
S ?=
=. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.
4.（2020?全国1卷）函数43()2f x x x =-的图像在点(1
(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+
【答案】B
【解析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】
()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，
因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
5.（2020?全国1卷）若242log 42log a b
a b +=+，则（ ）
A . 2a b >
B . 2a b <
C . 2a b >
D . 2a b <
【答案】B
【解析】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.
【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b b
a b b +=+=+ 所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b
b b +-+2
1
log 102
==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.
2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=2
2222log b b b --，
当1b =时，2
()()20f a f b -=>，此时2
()()f a f b >，有2a b >
当2b =时，2
()()10f a f b -=-<，此时2
()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
6.（2020?全国1卷）已知函数2
()e x
f x ax x =+-. （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥
12
x 3
＋1，求a 的取值范围. 【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.
（2）27,4e ??
-+∞????
【解析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论x ＝0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.
【详解】(1)当1a =时，()2
x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-，
由于()20x
f x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：
当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2)由()3
112f x x ≥
+得，23112
x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x ＝0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；
②.当0x >时，分离参数a 得，32
1
1
2x e x x a x ----
， 记()321
1
2x e x x g x x ---=-，()()23
1212x x e x x g x x ??---- ???'=-， 令()()2
1102
x
e x x h x x -
--≥=，则()1x h x e x '=--，()10x h x e ''=-≥， 故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=， 由()0h x ≥可得：2
1102
x
e x x -
--恒成立，故当()0,2x ∈时，0g x ，()g x 单调递增；
当()2,x ∈+∞时，0g x
，()g x 单调递减；因此，()()2
max
724
e g x g -??==??
, 综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ??
-+∞????
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
7.（2020?全国2卷）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1
(,)2
+∞单调递增
B. 是奇函数，且在11(,)22
-单调递减
C. 是偶函数，且在1
(,)2
-∞-单调递增
D. 是奇函数，且在1
(,)2
-∞-单调递减
【答案】D 【解析】
根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ??
∈-
???
时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ??
∈-∞- ???
时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果. 【详解】由
()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ??≠±????
，关于坐标原点对称，
又
()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，
()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22
x ??∈- ???
时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22??
- ???上单调递增，()ln 12y x =-在11,22
??
- ???
上单调递减，
()f x ∴在11,22
??
- ???
上单调递增，排除B ；
当1,2x ??∈-∞- ??
?时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +?
?=----==+ ?--??， 2121x μ=+
-在1,2?
?-∞- ??
?上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2?
?
-∞- ??
?
上单调递减，D 正确. 故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
8.（2020?全国2卷）若2233x y x y ---<-，则（ ） A. ln(1)0y x -+> B. ln(1)0y x -+<
C. ln ||0x y ->
D. ln ||0x y -<
【答案】A
【解析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据
()23t t f t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项
中真数与1的大小关系，进而得到结果.
【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令
()23t t f t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，
x y ∴<，
0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；
x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
9.（2020?全国2卷）已知函数f (x )＝sin 2
x sin 2x .
（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：()f x ≤
（3）设n ∈N *，证明：sin 2
x sin 2
2x sin 2
4x …sin 2
2n
x ≤34
n
n .
【答案】（1）当0,3x π??∈ ?
??时，()()'0,f x f x >单调递增，当2,33x ππ??
∈ ???时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ??
∈ ???
时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；
(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；
(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得
()()()
()2
2
2
2
1
2
3
sin sin sin 2sin 2sin 4sin
2
sin 2sin 2n n
n
f x x x x x x x x x -??=??
，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得：()3
2sin cos f x x x =，则：
()()224'23sin cos sin f x x x x =-()2222sin 3cos sin x x x =- ()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，
()'0f x =在()0,x π∈上的根为：122,3
3x x π
π=
=
，当0,3x π??
∈ ???
时，()()'0,f x f x >单调递增， 当2,33x ππ??
∈
??
?时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ??∈
???
时，()()'0,f x f x >单调递增 (2)注意到()()()()2
2
sin
sin 2sin sin 2f x x x x x f x πππ+=++==????，
故函数()f x 是周期为π的函数，结合(1)的结论，计算可得：()()00f f π==，
2
3f π??== ?????
2
23
f π?
??=?= ? ??????
， 据此可得：(
)max f x =????，(
)min
f x =????(
)8
f x ≤. (3)结合(2)的结论有：
222
2sin sin 2sin 4sin 2n
x x x
x 2
3
3
3
33sin sin 2sin 4sin 2n
x x x
x ?
?=??
()()
()22
2
2
1
2
3
sin sin sin 2sin 2sin 4sin
2
sin 2sin 2n n
n
x x x x x x x x -??=??
2
3
233sin sin 2
888n x x ??≤??????
?2
3
8n
?????≤ ??????
34n
??= ???. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
10.（2020?全国3卷）Log i st i c 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Log i st i c 模型：0.23(53)
()=
1e t I K t --+，其中K 为最大
确诊病例数．当I (*t )＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln 19≈3） A. 60 B. 63
C. 66
D. 69
【答案】C
【解析】将t t *=代入函数()()
0.23531t K I t e
--=
+结合()0.95I t
K *
=求得t
*
即可得解.
.
【详解】
()()0.23531t K
I t e
--=
+，所以
()(
)
0.2353
0.951t K I t
K e
*
*
--=
=+，则
(
)0.2353
19t e
*-=，
所以，(
)
0.2353ln193t *
-=≈，解得3
53660.23
t *
≈
+≈.故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 11.（2020?全国3
卷）若直线l 与曲线y 和x 2
＋y 2
＝1
5
都相切，则l 的方程为（ ） A. y ＝2x ＋1 B. y ＝2x ＋
12
C. y ＝
1
2
x ＋1 D. y ＝
12x ＋12
【答案】D
【解析】根据导数的几何意义设出直线
l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l
在曲线y =(0x ，则
00x >，
函数y =y
'=
，则直线l 的斜率k
=
， 设直线l
的方程为)0y
x x =
-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2
2
15
x y +=
= 两边平方并整理得2
005410x x --=，解得01x =，01
5
x =-
（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即11
22
y x =
+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 12.（2020?全国3卷）已知55＜84，134＜85．设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ） A. a ＜b ＜c B. b ＜a ＜c
C. b ＜c ＜a
D. c ＜a ＜b
【答案】A
【解析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出4
5
c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.
【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，
()22
2
528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ????++??==?
，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得4
5
b <； 由13log 8
c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得4
5
c >.综上所述，a b c <<.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
13.（2020?全国3卷）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (1
2
))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．
（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）3
4
b =-
；（2）证明见解析 【解析】（1）利用导数的几何意义得到'
1()02
f =，解方程即可； （2）由（1）可得'2
311()32()()422f x x x x =-=+-，易知()f x 在11(,)22
-上单调递减，在1(,)2-∞-，
1(,)2
+∞上单调递增，且111111
(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，采用反证法，推出
矛盾即可.
【详解】（1）因为'
2
()3f x x b =+，由题意，'
1()02f =，即2
1302b ???+= ???
则3
4
b =-
； （2）由（1）可得3
3
()4f x x x c =-
+，'2311()33()()422
f x x x x =-=+-， 令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'
()0f x <，得1122x -<<，
所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1
(,)2-∞-，1(,)2
+∞上单调递增，
且111111
(1),(),(),(1)424244
f c f c f c f c -=--=+=-=+，
若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <， 即14c >
或14
c <-.
当14
c >
时，111111
(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>，
又3
2
(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，
由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ， 即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14
c <-
时，111111
(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<，
又3
2
(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，
由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '， 即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
14.（2020?江苏卷）已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23
f x x = ，则f (－8)的值是____. 【答案】4-
【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -
【详解】2
3(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-,故答案为：4- 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
15.（2020?江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式2
1140
h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3
216800
h b b =-
+.已知点B 到OO '的距离为40米.
（1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3
2
k (万元)(k ＞0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?
【答案】（1）120米（2）20O E '=米
【解析】（1）根据A ,B 高度一致列方程求得结果；
（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）由题意得
2311||40640||8040800
O A O A ''=-?+?∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米
（2）设总造价为()f x 万元，21
||8016040
O O '=
?=，设||O E x '=， 32131
()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<
3221336
()(160),()()0208008080080
f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)
当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，
答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
16.（2020?江苏卷）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有
()()()f x h x g x ≥≥．
（1）若()()22
2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，
，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，
，求k 的取值范围；
（3）若()
422242
() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，[] , D m n =???，求
证：n m -≤
【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析
【解析】（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式. （2）先由()()0h x g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.
（3）先由()()f x h x ≥，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立.
【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.
令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()2
20x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，
所以()2
20k ?=-≤，因此2k =.故()2h x x =.
（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =.又()1
x F x k x
-'=?. 若k 0<，则()F x 在0,1上递增，在1,
上递减，则()()10F x F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符
合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意. 当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在1,
上递增，则()()10F x F ≥=，
即()()0h x g x -≥，符合题意.综上所述，0k ≥.
由()()()2
1f x h x x x kx k -=-+--()()2
110x k x k =-+++≥
当1
02
k x +=
<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在0,为增函数，
因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.
当1
02k x +=
=，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意. 当102
k x +=>，即1k >-时，则需()()2
1410k k ?=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.
（3）因为(
)
4
2
3
422
243248x x t t x t t x -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈?恒成立，
()
42342
2432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈?恒成立，
等价于()
2
2
2()
2320x t x
tx t -++-≥
对任意[,][x m n ∈?恒成立.
故222320x tx t ++-≥
对任意[,][x m n ∈?恒成立
令2
2
()232M x x tx t =++-，当201t <<，2
880,11t t ?=-+>-<-<，
此时1n m t -≤<<，当212t ≤≤，2880t ?=-+≤，
但(
)
2
3
42
48432x t t x t t -≥--+
对任意的[,][x m n ∈?恒成立.
等价于(
)(
)(
)
2
3
2
2
443420x t t x t t --++-≤
对任意的[,][x m n ∈?恒成立.
(
)()(
)
2
3
2
2
443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则423
1212328
,4
t t x x t t x x --+=-?=，
所以
12=n m x x --
=
=.
令[]2
,1,2t λλ=∈
，则n m -=
构造函数()[]()
3
2
5381,2P λλλλλ=-++∈，()()()2
3103331P λλλλλ'=-+=--，
所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==. 所以
()max n m -
=n m -≤
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
17.（2020?新全国1山东）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt
I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 ＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天
【答案】B
【解析】根据题意可得()0.38rt
t I t e
e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时
间为1t 天，根据10.38()0.382t t t e e +=，解得1t 即可得结果. 【详解】因
0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.281
0.386
r -=
=，所以()0.38rt t I t e e ==， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.69
1.80.380.38
t =
≈≈天.故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
18.（2020?新全国1山东）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)＝0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A. [)1,1][3,-+∞ B. 3,1][,[01]-- C. [1,0][1,)-?+∞ D. [1,0][1,3]-?
【答案】D
【解析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-?时，()0f x >，当(2,0)
(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，
所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x
01212x x x >??≤-≤-≤-?
或或0x =
解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-?， 故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 19.（2020?新全国1山东）已知函数1
()e
ln ln x f x a x a -=-+．
（1）当a e =时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【答案】（1）
2
1
e -（2）[1,)+∞ 【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数()f x 得导函数()’f x 的单调递增，当a ＝1时由()’10f =得
()()11min f x f ==,符合题意；当a ＞1时，可证1
()(1)0f f a ''<，从而()'f x 存在零点00x >，使得
0100
1
()0x f x ae x -'=-
=，得到min ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式
可以证得()1x ≥恒成立；当01a <<时，研究()f 1.即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围. 解法二：利用指数对数的运算可将()1
11lna x lnx f x e
lna x e lnx +-≥++-≥+转化为,
令()x
g x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,注意到()g x 的单调性，进一步等价转化为
1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,利用导数求得()max h x ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a
的对数不等式，解得a 的取值范围. 【详解】（1）
()ln 1x f x e x =-+，1
()x f x e x
'∴=-
，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1＋e ),
∴函数f (x )在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,
∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(
,0)1e --,∴所求三角形面积为122
2||=
211
e e -??--; （2）解法一：
1()ln ln x f x ae x a -=-+,
11()x f x ae x -'∴=-
，且0a >.设()()g x f x =',则1
21()0,x g x ae x
-'=+> ∴g (x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.
当1a >时，11a < ，111a e -<∴，1
11
()(1)(1)(1)0a f f a e a a
-''∴=--<,
∴存在唯一00x >，使得01
00
1
()0x f x ae
x -'=-
=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，01
1x ae x -∴=
，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此01
min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+
001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =
++-+≥-+=+＞1,
∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；
当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,＋∞). 解法二：()1
11x lna x f x ae
lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于
11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,
令()x
g x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,
显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+， 令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x
-=
-=' 在()0,1上h’(x)＞0,h(x)单调递增；在(1,＋∞)上h’(x)＜0,h(x)单调递减， ∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,＋∞).
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题. 20.（2020?天津卷）函数241
x
y x =
+的图象大致为（ ） A
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
.
【详解】由函数的解析式可得：()()2
41
x
f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，4
2011
y =
=>+，选项B 错误.故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
21.（2020?天津卷）设0.8
0.7
0.713,,log 0.83a b c -??=== ?
??
，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A. a b c <<
B. b a c <<
C. b c a <<
D. c a b <<
【答案】D
【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.7
3
1a =>，0.8
0.80.71333b a -??
==>= ?
??
，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，
所以1c a b <<<.故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：x
y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
22.（2020?天津卷）已知函数3,0,(),0.
x x f x x x ?=?-
()()2()g x f x kx x
k =--∈R 恰有4个零点，
则k 的取值范围是（ ） A. 1,(22,)2??
-∞-+∞ ???
B. 1,(0,22)2??
-∞- ???
C. (,0)(0,22)-∞
D. (,0)
(22,)-∞+∞
【答案】D
【解析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()
()||
f x h x x =
有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()
|2|||
f x kx x -=
恰有3个实根 即可，令()h x =
()||f x x ，即|2|y kx =-与()
()||
f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0
x x f x h x x x ?>==?
()||
f x h x x =
有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()
()||
f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y
x 相切时，联立方程得220x kx -+=，
令0?=得280k -=，解得k =，所以k > 综上，k 的取值范围为(,0)
(22,)-∞+∞.故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
23.（2020?天津卷）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '
为()f x 的导函数．
（Ⅰ）当6k =时，
（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9
()()()g x f x f x x
'
=-+
的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->-．
【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令1
2
x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ) (i) 当k ＝6时，()3
6ln f x x x =+，()2
6
'3f x x x
=+
.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()3
2
3
36ln ,0,g x x x x x x
=-++
∈+∞. 从而可得()2
263'36g x x x x x =-+-，整理可得：32
3(1)(1)()x x g x x
'
-+=， 令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：
所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； g (x )的极小值为g (1)＝1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由3
()ln f x x k x =+，得2
()3k f x x x
'=+
. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令
1
2
(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--
()2233
1121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ????=-+++--+ ? ?????
3322
121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ??=--++-- ???
()3
32213312ln x t t t k t t t ??=-+-+-- ???
. ①
令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞.当x ＞1时，2
2121()110h x x x x '??
=+-=-> ???
，
由此可得()h x 在[
)1,+∞单调递增，所以当t ＞1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t
-->.
因为21x ≥，323
331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，
所以()(
)
332
322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ????
-+-+------- ?
+ ???
??
323
36ln 1t t t t
=-++-. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即3
2
3
36ln 1t t t t
-++
>， 故32
3
36ln 10t t t t
-++
-> ③ 由①②③可得()()()()()()()121
2
1
2
20x x f
x f x f x f x '
'
-+-->.
所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有
()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->
-. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．