三角函数
一、选择填空题
1.（江苏2004年5分）函数y=2cos 2x+1(x ∈R)的最小正周期为【 】 (A)
2
π
(B)π (C)π2 (D)π4 【答案】B 。
【考点】三角函数的周期性及其求法。
【分析】把函数y=2cos2x+1（x ∈R ）化为一个角的一次三角函数的形式，求出周期即可：
∵函数y=2cos 2x+1=cos2x+2，∴它的最小正周期为：
22
π
π=。故选B 。 2（江苏2005年5分）中，A 3
π
=
，BC=3，则ABC ?的周长为【】
A ．33sin 34+???
?
?+
πB B ．36sin 34+??? ?
?
+πB C ．33sin 6+???
?
?
+πB D ．36sin 6+??? ?
?
+πB 【答案】D 。
【考点】正弦定理。
【分析】根据正弦定理分别求得AC 和AB ，最后三边相加整理即可得到答案：
根据正弦定理
AC
AB BC
=232sinB
sinA sin B 3π==??- ?
??
，
∴
AC=23sinB
，
222AB=23sin B 23sin cosB cos sinB 3cosB 3sinB 333πππ????
-=-=+ ? ?????
。
∴△ABC 的周长为23sinB ＋3cosB 3sinB+3+=3cosB 33sinB+3+
=136cosB sinB 36sin cosB cos sinB 36sin B+322666πππ?????
?++=++=+ ? ? ? ???????
。故选D 。
3.（江苏2005年5分）若3
1
6sin =???
??-απ，则??? ??+απ232cos =【】
A ．9
7
-
B ．31-
C ．31
D ．97
【答案】A 。
【考点】运用诱导公式化简求值，二倍角的余弦。 【分析】由3
16sin =???
??-απ可得1cos sin 2663πππαα????-+=-= ? ?????，即1
cos 33πα??+= ???。
由二倍角的余弦公式，得
2
2217cos 22cos 1213339ππαα??????
+=+-=?-=- ? ? ???????
。故选A 。
4.（江苏2006年5分）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 【答案】A 。
【考点】函数的奇偶性，三角函数sin x 的奇偶性的判断。 【分析】∵
()()sin ||sin ||f x x a x a -=--=--,()sin +||f x x a -=-,且函数
R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，
∴sin =sin +||x a x a ---，即2=0a 。∴a ＝0。故选A 。
5.（江苏2006年5分）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π
的图像，只需把函数
R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点【 】
（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（B ）向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变）
（C ）向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
【答案】C 。
【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换。
【分析】先将R x x y ∈=,s i n 2的图象向左平移
6
π
个单位长度，得到函数2sin(),6
y x x R π
=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标
不变）得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像。故选C 。
7.（江苏2006年5分）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ ▲ 【答案】46。 【考点】正弦定理。
【分析】解三角形，已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理。因此，由正弦定理得，
AC BC
sin 45sin 60=
，解得AC 46=。 8.（江苏2006年5分）?-??+??40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ ▲ 【答案】2。
【考点】弦切互化，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正弦函数。
【分析】在求三角的问题中，要注意这样的口决“三看”即（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；（2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；（3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用。
00000cot 20cos103sin10tan 702cos 40+- 00000
00
00000
cos 20cos103sin10sin 702cos 40
sin 20cos 70cos 20cos103sin10cos 202cos 40sin 20
=+-+=- 0000
0000000
00000
cos 20(cos103sin10)2cos 40sin 20
2cos 20(cos10sin 30sin10cos 30)2cos 40sin 20
2cos 20sin 402sin 20cos 40sin 202
+=-+=--=
= 9.（江苏2007年5分）下列函数中，周期为
2
π
的是【 】 A ．sin 2
x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4x
y = D ．cos4y x =
【答案】D 。
【考点】三角函数的周期性及其求法。 【分析】根据公式2T π
ω
=
对选项进行逐一分析即可得到答案：sin
2
x
y =的周期为：T=4π，排除A ；sin 2y x =的周期为：T=π，排除B ；cos 4
x
y =的周期为：T=8π，排除C ；cos4y x
=
的周期为：T=
2
π
。故选D 。 10.（江苏2007年5分）函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是【 】 A ．5[,]6ππ-- B ．5[,]66
ππ-- C ．[,0]3π- D ．[,0]6π
-
【答案】D 。
【考点】正弦函数的单调性，两角差的正弦公式。
【分析】利用两角差的正弦公式对函数解析式化简整理，从而根据正弦函数的单调性求得答案：
13()2sin cos 2cos sin sin cos 2sin()22333f x x x x x x πππ????
=-=-=- ? ? ?????
∵[,0]x π∈-，∴??
?-???-∈-
3,34
3πππ
x 。 ∴根据正弦函数的单调性，???-???-∈-
3,213πππ
x ，即]0,6
1
π???-∈x 时，函数()f x 单调递增。故选D 。
11.（江苏2007年5分）若13
cos(),cos()55
αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= ▲ .
【答案】1
2
。
【考点】两角和与差的余弦函数，弦切互化。
【分析】先由两角和与差的公式展开，得到α，β的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积：
∵1
cos()cos cos sin sin 5
αβαβαβ+=-=，3cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=。
∴二式联立，得2cos cos 5αβ=，1
sin sin 5
αβ=。∴sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==。
12.（江苏2007年5分）某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则
d = ▲ ，其中[0,60]t ∈。
【答案】10sin
60
t
d π=。
【考点】在实际问题中建立三角函数模型。
【分析】由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是360°，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接AB ，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果：
∵ ∠AOB=
26030
t t ππ?=， ∴根据直角三角形的边长求法得到AOB 25sin
10sin 260
t
d π∠=??=。 13.（江苏2008年5分）若函数cos()(0)6
y x π
ωω=->最小正周期为
5
π
，则ω= ▲ . 【答案】10。
【考点】三角函数的周期公式。 【分析】由三角函数的周期公式，得2105
T π
π
ωω
=
=
?=。
14.（江苏2008年5分）满足条件AB 2, AC 2BC ==的三角形ABC 的面积的最大值 ▲ 【答案】22。 【考点】三角形的计算。 【分析】设
BC ＝x ，则
AC ＝
2x ，根据面积公式得
ABC S ?=21
AB BC sin B 1cos 2
x B ???=-，
根据余弦定理得22222AB BC AC 42cos B 2AB BC 4x x x +-+-==?2
44x x
-=
，代入上式得 ABC S ?=()
2
2
22
1281241416
x x x x --??
--=
???
。
由三角形三边关系有22
22x x x x
?+>??+>??，解得222222x -<<+。
∴当2
12,23x x == 时ABC S ?取最大值
128
2216
=。 15.（江苏2009年5分）函数sin()y A x ω?=+（,,A ω?为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= ▲
. 【答案】3。
【考点】三角函数的周期。
【分析】根据函数图象求出函数的周期T ，然后求出ω：
由图中可以看出：32T π=，∴223T π
πω
==。∴3ω=。
16.（江苏2010年5分）定义在区间??
?
?
?
20π,
上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与sin y x =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 ▲ 。 【答案】
23
。 【考点】余弦函数的图象，正切函数的图象。
【分析】先将求P 1P 2的长转化为求sin x 的值，再由x 满足6cos x =5tan x 可求出sin x 的值，从而得到答案：
由三角函数的图象，运用数形结合思想，知线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足
6cos x =5tan x ，解得sin x =23。∴线段P 1P 2的长为2
3
。
17.（江苏2010年5分）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b
a
C a b
+=，则
tan tan tan tan C C
A B
+
= ▲ _。 【答案】4。
【考点】正、余弦定理，同角三角函数基本关系的运用。 【
分
析
】
∵()222222222236cos 6cos 32
b a
c C ab C a b a b c a b a b a b +=?=+?+-=+?+=，
∴2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B
+++=?=?=? 222
2
222222224322
ab c c c c c a b c ab c =?===+--。
18.（江苏2011年5分）已知,2)4
tan(=+π
x 则
x
x
2tan tan 的值为 ▲
【答案】
49
。 【考点】三角函数的和差倍计算。
【分析】∵1tan tan()24
1tan x
x x
π
++
=
=-，
∴1tan 3
x =
。 ∴22
tan tan 1tan 42tan tan 229
1tan x x x x x x
=（－）＝＝－。
19.（江苏2011年5分）函数()sin(),(,,f x A x A ω?ω?=+是常数，
0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则0f ()= ▲
【答案】
2
6
。 【考点】三角函数的图象和性质的应用。
【分析】由函数图象得72 4124T A ,ππ
==-，∴π=T ,
2,2==ωπω
π, 再结合三角函数图象和性质知2 3
3
,π
π
?π??+==
，∴223
f (x )sin(x )π
=+
。
∴6
023
2
f ()sin
π
==
。 20. （2012年江苏省5分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，
0111()201
x x ax f x bx x <+-??
=+??+?≤≤≤，
，，，其中a b ∈R ，．若
1322f f ????
= ? ?????
， 则3a b +的值为 ▲ ． 【答案】10-。
【考点】周期函数的性质。
【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即2
1=
2
b a +-+①。 又∵311=1222f f a ????
=--+ ? ?????，
1322f f ????
= ? ?????
， ∴14
1=23
b a +-+②。
联立①②，解得，=2. =4a b -。∴3=10a b +-。
11．（2012年江苏省5分）设α为锐角，若4cos 65απ?
?+= ??
?，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ．
【答案】
17
250
。 【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
6
6
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+
。 ∵4cos 65απ??+= ???，∴3sin 65απ?
?+= ??
?。
∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ?????
?+=++ ? ? ??????? 。
∴7cos 2325απ?
?+= ??
?。
∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ???
?+
+
-+-+ ? ????
? 2427217=
=225225250
- 。 7（2013江苏卷1）函数)4
2sin(3π
+=x y 的最小正周期为 。
答案：1．π
8（2013江苏卷11） 设α为锐角，若4cos 65απ?
?+= ??
?，则)122sin(πα+的值为 ．
【解析】根据4cos 65απ??+= ??
?，2571251621)6(cos 2)32cos(2
=
-?=-+=+παπα， 因为0)3
2c o s ( π
α
+，所以 25242571)32sin(2
=
??
?
??-=+π
α，因为
50
2
174
sin
)3
2cos(4
cos
)3
2sin(]4
)3
2sin[()12
2sin(=
+
-+
=-
+
=+
π
π
απ
π
απ
π
απ
α. 【点评】重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.
二、解答题
1.（江苏2004年12分）已知0<α<
2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3
π
α-)的值.
【答案】解：由已知5
4
sin ,25sin 22
cot
2tan
===
+ααα
α
得。 23
0, cos 1sin 2
5
π
ααα<<∴=-=
。 ∴3
sin
cos 3
cos sin )3
sin(π
απ
απ
α?-?=-
)334(10
123532154-=?-?=
。 【考点】弦切互化，两角差的正弦函数。 【分析】根据2
tan
cot
2
2
sin α
α
α
+=
求得sin α的值，从而根据α的范围求得cos α的值，最后根据两角和公式求得答案。
3.（江苏2008年14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角αβ，，
它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点．已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255
．
（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值．
【答案】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知225cos ,cos 105
αβ=
=， ∵α为锐角故sin 0α>，∴2
72
sin 1cos 10
αα=-=
。 同理可得 2
5sin 1cos 5
ββ=-=。 ∴1tan 7, tan 2
αβ==
。 ∴tan()αβ+=1
7tan tan 231
1tan tan 172
αβαβ+
+=
=--?-?。 （2）132tan(2)tan[()]11
1(3)2
αβαββ-+
+=++=
=---?
, 30,0,02,222
πππ
αβαβ<<<<<+<又故
∴由 tan(2)1αβ+=-，得 324
π
αβ+=。
B
A
x
y
O
B
C
D
A
O
P 【考点】两角和与差的正切函数。 【分析】（1）先由已知条件得 225
cos ,cos 105
αβ=
=；再求sin α、sin β，从而求出tan α、 tan β；
最后利用tan()αβ+=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
+-?解之。
（2）利用（1）把tan(2)αβ+转化为tan[()]αββ++求之，再根据2αβ+的范
围确定角的值。
4.（江苏2008年14分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． （1）按下列要求建立函数关系式：
（Ⅰ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；
（Ⅱ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
【答案】解：（1）（Ⅰ）延长PO 交AB 于点Q ，由条件知PQ 垂直平分AB ，
若∠BAO=θ(rad) ，则AQ 10
OA cos cos θθ
==
, ∴10
OB cos θ
=。 又
OP
＝
1010tan θ
-，
∴1010
OA OB OP 1010tan cos cos y θθθ
=++=
++-。 ∴所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=
+04πθ?
?≤≤ ??
?。
（Ⅱ）若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ， ∴OA =OB=
()2
22101020200x x x -+=-+。
∴所求函数关系式为()2
220200010y x x x x =
+-+≤≤。
（2）选择函数模型（Ⅰ），
()()
()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθ
θ
-----=
=
，
令'
y =0 得sin 1
2
θ=。 ∵04πθ<<，∴θ=6
π
。
当0,
6πθ??
∈ ??
?
时，'
0y < ，y 是θ的减函数；
当,64ππθ??
∈ ???
时，'0y > ，y 是θ的增函数
∴当θ=
6
π
时，min 10103y =+。 这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边
103
3
km 处。
【考点】在实际问题中建立三角函数模型。
【分析】（1）（Ⅰ）根据题意知PQ 垂直平分AB ，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP ，从而得出y 的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围。（Ⅱ）已知OP ，可得出OQ 的表达式，由勾股定理推出OA ，易得y 的函数关系式。
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合。 5.（江苏2009年14分）
科
网
设
向
量
(4cos , sin ), (sin , 4cos ), (cos , 4sin )a b c ααββββ===-
（1）若a 与2b c -
垂直，求tan()αβ+的值；
（2）求||b c +
的最大值;
（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b
..网
【答案】解：（1）∵a 与2b c -
垂直，∴()
220a b c a b a c ?-=?-?=
即4cos sin 2cos sin 4cos 8sin 0αββαββ-++=（）（）， 即
sin cos cos sin 2cos cos sin sin sin 2cos αβαβαβαβαβαβ+=-+=+（）,（）（）
。
∴sin tan()2cos αβαβαβ++=
=+（）
（）
。
（2）∵22 (sin cos )(4cos 4sin )b c ββββ+=++-
12sin cos 1632cos sin 1715sin2βββββ=++-=-
∴当sin21β=-时，||b c +
取最大值，且最大值为17153242+==。
（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβ
αβ
?=，即 s in sin 16cos cos αβαβ=
∴()() 4cos 4cos sin sin αβαβ?=?，
即(4c o s , s i n )a αα= 与(sin , 4cos )b ββ=
共线。
∴a ∥b 。
【考点】向量的基本概念，同角三角函数的基本关系式，二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式。
【分析】（1）先根据向量的线性运算求出()
220a b c a b a c ?-=?-?=
，可求出αβ+的正余
弦之间的关系，最后可求正切值。
（2）根据向量的求模运算得到||b c +
的关系，然后根据正弦函数的性质可确定答案。
（3）将t a n t a n 16
αβ=化成弦的关系整理即可得到()() 4cos 4cos sin sin αβαβ?=?，
正是a ∥b
的充要条件，从而得证。
6.（江苏2010年14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h =4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
【答案】解：（1）由
H tan AD β=得H AD tan β=
，同理：H
AB tan α
=，BD tan h β=。 ∵ AD
－
AB=DB
，
故
得
H H tan tan tan h
βαβ
-=，解得：
tan 4 1.24
H 124tan tan 1.24 1.20
h αβα?=
==--。
因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。 （2）由题设知AB d =，得H H H tan ,tan AD DB h h
d d αβ-=
===
， 2H H tan tan tan()H H H(H )
1tan tan H(H )1h hd h d d h h d h d d d d
αβαβαβ--
--====
--+?+-+?+。
∵
()
2()H H h d H H h d
-+
≥-，（当且仅当
()125121555d H H h =-=?=时，取等号），
∴当555d =时，tan()αβ-最大。 ∵02
π
βα<<<
，则02
π
αβ<-<
，∴当555d =时，α－β最大。
故所求的d 是555m 。
【考点】解三角形的实际应用，两角差的正切及不等式的应用。 【分析】（1）在Rt △ABE 中可得H AD tan β=
，在Rt △ADE 中可得H
AB tan α
=，在Rt △BCD 中可得BD tan h
β
=
，再根据AD －AB=DB 即可得到H 。 （2）先用d 分别表示出tan α和tan β，再根据两角和公式，求得
tan()H(H )h
h d d
αβ-=
-+
，再根据均值不等式可知当555d = 时，tan()αβ-有最大
值即tan()αβ-有最大值，得到答案。
7.（江苏2010年附加10分）已知△ABC 的三边长都是有理数。
（1）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n ，cos n A 是有理数。
【答案】证明：（1）设三边长分别为,,a b c ，222cosA 2b c a bc
+-=，
∵,,a b c 是有理数，∴222b c a +-是有理数， 2bc 为正有理数。
又∵有理数集对于除法的具有封闭性，∴222
2b c a bc
+-必为有理数，∴cosA
是有理数。
（2）①当1n =时，显然cosA 是有理数，
当2n =时，∵2cos2A 2cos A 1=-，且cosA 是有理数， ∴cos2A 也是有
理数。
②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，即cos k A 、cos(1)A k -均是有理数。 当1n k =+时，cos(1)A cos AcosA sin Asin A k k k +=-
1
cos AcosA [cos(A A)cos(A A)]2k k k =---+
11
cos AcosA cos(1)A cos(1)A 22
k k k =--++，
∴cos(1)A 2cos AcosA cos(1)A k k k +=--。
∵cosA ，cos A k ，cos(1)A k -均是有理数，∴2cos AcosA cos(1)A
k k --是有理数。
∴cos(1)A k +是有理数。 即当1n k =+时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n ，cos n A 也是有理数。
【考点】余弦定理的应用，余弦的两角和公式，数学归纳法。
【分析】（1）设出三边为,,a b c ，根据三者为有理数可推断出222b c a +-是有理数，2bc 是
有理数，从而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出222
2b c a bc
+-也为有理数，根据余
弦定理可知222
2b c a bc
+-=cosA ，因此cosA 是有理数。
（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA 是有理数，当n=2时，根据余弦
的二倍角推断出cos2A 也是有理数。再假设(2)n k k ≤≥时，结论成立，从而可知cos A k ，
cos(1)A k -均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得cos(1)A k +，根据cosA ，cos A k ，cos(1)A k -均是有理数推断出是有理数2cos AcosA cos(1)A k k --是有理数，即cos(1)A k +是有理数。从而1n k =+时成立．最后综合原式得证。
8.（江苏2011年14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6
sin(A A =+
π
求A 的值；
（2）若c b A 3,3
1
cos ==
，求C sin 的值. 【答案】解：（1）由题意知A A A cos 26
sin
cos 6
cos
sin =+π
π
，从而A A cos 3sin =，
∴0 3cos A ,tan A ≠=。 ∵π< π = A 。 （2）由1 33 cos A ,b c ==，及A bc c b a cos 2222-+=，得2 22c a b +=， ∴ABC ?是直角三角形，且2 π = B 。∴3 1cos sin = =A C 。 【考点】同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理。 【分析】（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA ，然后求出A 的值即可。 （2）利用余弦定理以及3b c =，求出ABC ?是直角三角形，即可得出C sin 的值。 也可以由正弦定理得：22sin sin c c A C =，而222sin 1cos ,3A A =-=1 sin 3C ∴=。 9.（2012年江苏省14分）在ABC ?中，已知3AB AC BA BC = ． （1）求证：tan 3tan B A =； （2）若5 cos 5 C =，求A 的值． 【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC = ，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即 c o s =3c o s A C A B C B 。 由正弦定理，得 =sin sin AC BC B A ，∴sin cos =3sin cos B A A B 。 又∵0B>，。∴ sin sin =3cos cos B A B A 即tan 3tan B A =。 （2）∵ 5cos 05C 525 sin 1=55C ??=- ? ??? 。∴tan 2C =。 ∴()tan 2A B π?-+?=??，即()tan 2A B +=-。∴tan tan 21tan tan A B A B +=-- 。 由 （1） ，得24tan 2 13tan A A =--，解得1 tan =1 tan =3A A -，。 ∵cos 0A>，∴tan =1A 。∴= 4 A π 。 【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。 【解析】（1）先将3AB AC BA BC = 表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系 式证明。 （2）由5 cos 5 C = ，可求tan C ，由三角形三角关系，得到()tan A B π?-+???，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A 的值。 7、（2013江苏卷18）.18．本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从 B 沿直线步行到 C 。现有甲．乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为 m in /50m 。在甲出发m in 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行 到C 。假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量， 1312cos = A ，5 3 cos =C 。 （1）求索道AB 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 18．解：（1）∵1312cos = A ，5 3 cos =C ∴） ，（、20π∈C A ∴135sin =A ，5 4 sin =C ∴[]65 63 sin cos cos sin sin sin sin = +=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C AC AB 1040sin sinB == （ 2 ） 设 乙 出 发 t 分 钟 后 ， 甲 ． 乙 距 离 为 d ， 则 13 12 )50100(1302)50100()130(222? +??-++=t t t t d ∴)507037(20022 +-=t t d ∵1301040 0≤ ≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时，即乙出发37 35分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。 C B A （3）由正弦定理 sinB sinA AC BC = 得50013565 631260sin sinB ===A AC BC （m ） 乙从B 出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m ），还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则 350 710 500≤-v ∴3507105003≤-≤ -v ∴14 625 431250≤ ≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在?? ? ???14625,431250范围内 法二：解：（1）如图作BD ⊥CA 于点D ， 设BD ＝20k ，则DC ＝25k ，AD ＝48k ， AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ， 知：AB ＝52k ＝1040m ． （2）设乙出发x 分钟后到达点M ， 此时甲到达N 点，如图所示． 则：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2)， 由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN cos A ＝7400 x 2 －14000 x ＋10000， 其中0≤x ≤8，当x ＝ 35 37 (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． （3）由（1）知：BC ＝500m ，甲到C 用时： 126050 ＝126 5 (min)． 若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC 上用时：86 5 (min) ． 此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝1250 43 m/min ． 若乙等甲3分钟，则乙到C 用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC 上用时：56 5 (min) ． 此时乙的速度最大，且为：500÷565 ＝625 14 m/min ． 故乙步行的速度应控制在[ 125043 ，62514 ]范围内． C B A D M N 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题13 排列组合与二项式定理 一、选择题 1.(2019·全国3·理T4)(1+2x 2)(1+x)4的展开式中x 3 的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】A 【解析】(1+2x 2)(1+x)4的展开式中x 3 的系数为C 43+2C 41=4+8=12.故选A. 2.(2018·全国3·理T5) (x 2+2x )5 的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 【答案】C 【解析】由展开式知T r+1=C 5r (x 2)5-r (2x -1)r =C 5r 2r x 10-3r .当r=2时,x 4的系数为C 5222 =40. 3.(2017·全国1·理T6)(1+1x 2)(1+x)6 展开式中x 2的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 【答案】C 【解析】(1+x )6的二项展开式通项为T r+1=C 6r x r ,(1+1x 2)(1+x )6的展开式中含x 2的项的来源有两部分,一部分 是1×C 62x 2=15x 2,另一部分是1 x 2×C 64x 4=15x 2,故(1+1x 2)(1+x )6的展开式中含x 2的项为15x 2+15x 2=30x 2,其系数是30. 4.(2017·全国3·理T4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 【答案】C 【解析】(2x-y )5的展开式的通项公式T r+1=C 5r (2x )5-r (-y )r . 当r=3时,x (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 53×22×(-1)3 =-40; 当r=2时,y (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 52×23×(-1)2 =80. 故展开式中x 3y 3 的系数为80-40=40. 5.(2017·全国2·理T6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A .12种 B .18种 C .24种 D .36种 【答案】D 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是 （A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C 4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 【答案】5 Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是 【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。 【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。 【答案】 2 3 11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68 2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 2011年—2020年十年新课标全国卷数学分类汇编 （含全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷，共8套全国卷） （附详细答案） 编写说明：研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定套路．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂． 本资料是根据全国卷的特点精心编写，百度文库首发，共包含14个专题，分别是： 1．集合 2．复数 3．逻辑、数学文化、新定义 4．平面向量 5．不等式 6．函数与导数 7．三角函数与解三角形 8．数列 9．立体几何 10．解析几何 11．概率与统计 12．程序框图 13．坐标系与参数方程 14．不等式选讲 2011年—2020年新课标全国卷数学试题分类汇编 14．不等式选讲 (2020·全国卷Ⅰ，理23)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． (2020·全国卷Ⅱ，理23)已知函数2 ()|21|f x x a x a =-+-+． （1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围． (2020·全国卷Ⅲ，理23)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0； （2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ． (2019·全国卷Ⅰ，理23) [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111 a b c a b c ++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++． (2019·全国卷Ⅱ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． (2019·全国卷Ⅲ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分） 设x ，y ，z ∈R ，且x+y +z =1． （1）求2 2 2 (1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2 2 2 1 (2)(1)()3 x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 高考数学真题分类汇编集合专题（基础题） 一、单选题 1.集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（?R M）∩（?R N）等于（） A. （﹣1，3） B. （﹣1，0）∪（2，3） C. （﹣1，0]∪[2，3） D. [﹣1，0]∪（2，3] 2.已知R是实数集，M={x| ＜1}，N={y|y= +1}，N∩?R M=（） A. （1，2） B. [0，2] C. ? D. [1，2] 3.已知集合，，若，则实数的值为（） A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合，，则等于（） A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x＞0}，函数的定义域为集合B，则A∩B=（） A. [3，+∞） B. [2，3] C. （0，2]∪[3，+∞） D. （0，2] 6.已知集合，，则（） A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（?R B）=（） A. {x|x≥4} B. {x|x＞4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x＜﹣2或x≥4} 8.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（） A. 7 B. －1 C. 1 D. －7 9.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}，，则C中元素个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合，，则的子集个数是________． 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4历年高考数学试题分类汇编
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