选修4-5 含绝对值不等式
【2013年高考会这样考】 1．考查含绝对值不等式的解法． 2．考查有关不等式的证明． 3．利用不等式的性质求最值． 【复习指导】
本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.
基础梳理
1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)?－a ＜f (x )＜a ；
(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 3．基本不等式
定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3
abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号
成立．
定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，
则a 1＋a 2＋…＋a n n
≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．
5．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．
双基自测
1．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为________． 答案 (－4，－2)∪(0,2)
2．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________．
解析
令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝???
4，x ≤4，
－2x ＋12，4＜x ≤8，
－4，x ＞8，
当x ≤4时，f (x )＝4＞2；
当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；
当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立． 故原不等式的解集为：{x |x ＜5}． 答案 {x |x ＜5}
3．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________． 解析 ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1. 答案 k ＜1
4．柯西不等式
(1)柯西不等式的代数形式：
设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *
)为实数，则(∑
i ＝1n
a 2i )(∑i ＝1n
b 2
i )≥(∑
i ＝1
n
a i
b i )2，当且仅当
b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝k b i (i ＝1,2，…，
n )时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
4．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．
解析 由|3x －b |＜4，得b －43＜x ＜b ＋4
3，
即?????
0≤b －4
3＜1，3＜b ＋4
3≤4，解得5＜b ＜7.
答案 (5,7)
5．(2011·南京模拟)如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是________．
解析 在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 答案 (－∞，－5]∪[－3，＋∞)
考向一 含绝对值不等式的解法
【例1】?设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．
[审题视点] 第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f (x )的图象可求f (x )的最小值．
解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝?????
－x －5 ? ?
?
??x ＜－12，
3x －3 ? ??
??
－12≤x ＜4
，x ＋5 (x ≥4).
当x ＜－1
2
时，由f (x )＝－x －5＞2得，x ＜－7.∴x ＜－7；
当－12≤x ＜4时，由f (x )＝3x －3＞2，得x ＞5
3，
∴5
3
＜x ＜4； 当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5＞2，得x ＞－3，∴x ≥4.
故原不等式的解集为
??????
???
?x ?
??
x ＜－7或x ＞53. (2)画出f (x )的图象如图： ∴f (x )min ＝－9
2
.
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝
对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 【训练1】 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；
(2)如果?x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，
f (x )＝???
－2x ， x ＜－1，2， －1≤x ≤1，
2x ， x ＞1.
作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．
由图象可知，不等式的解集为????
??x |x ≤－32或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；
若a ＜1，f (x )＝???
－2x ＋a ＋1， x ≤a ，
1－a ， a ＜x ＜1，
2x －(a ＋1)， x ≥1，
f (x )的最小值为1－a .
若a ＞1，f (x )＝???
－2x ＋a ＋1，x ≤1，
a －1，1＜x ＜a ，
2x －(a ＋1)，x ≥a ，
f (x )的最小值为a －1.
∴对于?x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
考向二 不等式的证明
【例2】?证明下列不等式：
(1)设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2； (2)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc ； (3)a 6＋8b 6＋1
27
c 6≥2a 2b 2c 2.
[审题视点] (1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式． 证明 (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b ) ＝(a －b )(3a 2－2b 2)．
∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0. ∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0. ∴3a 2＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. (2)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ， a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ， 4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ， ∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc . (3)a 6
＋8b 6
＋127c 6
≥3 3827
a 6
b 6
c 6
＝3×2
3
a 2
b 2
c 2＝2a 2b 2c 2，
∴a 6＋8b 6＋1
27
c 6≥2a 2b 2c 2.
(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步
骤是：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．
【训练2】 (2010·辽宁)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋? ????
1a ＋1b ＋
1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．
证明 法一 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得，a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )2
3，
①
1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13
， 所以? ????1a ＋1b ＋
1c 2
≥9(abc )－23
，② 故a 2＋b 2＋c 2＋? ????
1a ＋1b ＋
1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－2
3≥227＝63，③
所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－2
3时，③式等号成立．
故当且仅当a ＝b ＝c ＝31
4
时，原不等式等号成立．
法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1
ac
，②
故a 2＋b 2＋c 2＋? ????
1a ＋1b ＋
1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝31
4
时，原不等式等号成立．
考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值
【例3】?已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值．
[审题视点] 先将(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不等式求解．
解法一利用基本不等式
∵(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋23a＋1·3b＋1＋23b＋1·3c＋1＋23a＋1·3c＋1≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)]
＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18，
∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32，
∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝3 2.
法二利用柯西不等式
∵(12＋12＋12)[(3a＋1)2＋(3b＋1)2＋(3c＋1)2]≥(1·3a＋1＋1·3b＋1＋1·3c＋1)2
∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．
又∵a＋b＋c＝1，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤18，
∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤3 2.
当且仅当3a＋1＝3b＋1＝3c＋1时，等号成立．
∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝3 2.
利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．【训练3】已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值．
解法一∵a＋b＋c＝1，
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1，
又∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，
∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤3(a2＋b2＋c2)．
∴a 2＋b 2＋c 2≥1
3
.
当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，∴m min ＝1
3.
法二 利用柯西不等式
∵(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)≥(1·a ＋1·b ＋1·c )＝a ＋b ＋c ＝1. ∴a 2＋b 2＋c 2≥1
3，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
∴m min ＝1
3
如何求解含绝对值不等式的综合问题
从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对《不等式选讲》的考查难度要求有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题．
【示例】? (本题满分10分)(2011·新课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．
第(2)问解不等式|x －a |＋3x ≤0的解集，结果用a 表示，再由{x |x ≤－
1}求a .
[解答示范] (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. (3分)
故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(5分) (2)由f (x )≤0得，|x －a |＋3x ≤0.
此不等式化为不等式组??? x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或???
x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，
即????? x ≥a ，x ≤a 4或????
?
x ≤a ，x ≤－a 2.(8分)
因为
a ＞0，所以不等式组的解集为??????
???
?x ??? x ≤－
a 2.
由题设可得－a
2
＝－1，故a ＝2.(10分)
本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档题．解含绝对值的
不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
【试一试】 (2011·辽宁)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；
(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．
[尝试解答]
(1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝???
－3，x ≤2，
2x －7，2＜x ＜5，
3，x ≥5.
当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3.所以－3≤f (x )≤3.
(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}；
当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}.
含绝对值的不等式教案 一、条件分析 1．学情分析 本课是开学第一课，学生对上学期的知识已经比较陌生，而本课的内容要以上学期的不等式内容为基础，是不等式内容的提升，所以本课先复习上学期的内容，让学生顺利过渡到新知识中来。 2.教材分析 本节教材首先分别讨论含有绝对值的等式的三种情况，从而推导出含有绝对值的不等式的公式，然后例题加以巩固。由于我校学生基础薄弱，对于理论性的知识掌握不牢固，所以我们在教授的时候从简单的具体的例子推导含有绝对值的不等式的公式，由浅入深，层层递进，符合学生的认知。 二、三维目标 知识与技能目标 } A层： 1.理解绝对值的概念； 2.了解绝对值不等式的解法； 3.会解含有绝对值的不等式； 4.通过数轴解不等式培养学生的数形结合的数学思想； 5.通过研究含有绝对值不等式，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和辩证思维能力． B层： 1.理解绝对值的概念； ? 2.了解绝对值不等式的解法； 3.会解含有绝对值的不等式； 4.通过数轴解不等式培养学生的数形结合的数学思想. C层：
1.理解绝对值的概念； 2.了解绝对值不等式的解法； 3.会解含有绝对值的不等式. 过程与方法目标 ( 复习法、讲授法、练习法、自讲法 情感态度与价值观目标 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时培养辩证思维能力。 三、教学重点 含有绝对值不等式的解法 四、教学难点 将含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式 五、主要参考资料： ( 中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。 六、教学进程： 1.复习导入 绝对值的含义 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5，-5的绝对值是5。 正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值还是0。 2.讲授新课 （1）求下列各数的绝对值 ￥ 3、- 4、1 2、1- 2
第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式
3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号)
例2 解不等式135 x <-< 课后练习： 一．选择题（共2小题） 1．（2015春?石城县月考）已知m为整数，则解集可以为﹣1＜x＜1的不等式组是（） A ．B ． C ． D ． 2．（2002?徐州）已知实数x、y同时满足三个条件：①3x﹣2y=4﹣p，②4x﹣3y=2+p，③x＞y，那么实数p 的取值范围是（） A ．p＞﹣1 B ． p＜1 C ． p＜﹣1 D ． p＞1 二．填空题（共7小题） 3．（2012?谷城县校级模拟）若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围 是． 4．（2010?江津区）我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1 ＜＜3，则x+y的值是． 5．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=． 6．关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是． 7．不等式组的解是0＜x＜2，那么a+b的值等于． 8．已知不等式组的解集1≤x＜2，则a=． 9．若关于x的不等式的解集为x＜2，则k的取值范围是． 三．解答题（共4小题）
10．（1）解方程组： （2）求不等式组的整数解． 11．（2013?乐山）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 12．（2011?铜仁地区）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2，单价和为160元． （1）篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？ 13．（2011?邵阳）为庆祝建党90周年，某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛．规则一：合唱队的总人数不得少于50人，且不得超过55人． 规则二：合唱队的队员中，九年级学生占合唱团总人数的，八年级学生占合唱团总人数的，余下的为七年 级学生． 请求出该合唱团中七年级学生的人数．
1 不等式的解法 一、 选择题： 1、下列语句中正确的是 （ ） A 、若b a >，b c >，则c a > B 、若b a >，则22bc ac > C 、若b a >，则c b c a ->- D 、若b a >，d c >，则bd ac > 2、不等式62<≤-x 用区间表示为 （ ） A 、]6,2[- B 、]6,2(- C 、)6,2[- D 、)6,2(- 3、不等式362≤x 的解集是 （ ） A 、}6{±≤x x B 、}66{≤≤-x x C 、}66{<<-x x D 、}6{-≤x x 4、不等式0542>+-x x 的解集是 （ ） A 、),(+∞-∞ B 、),5()1,(+∞--∞ C 、? D 、),1()5,(+∞--∞ 5、不等式032≤-x x 的解集是 （ ） A 、]0,3(- B 、)3,0[ C 、]3,3(- D 、)3,3[- 6、不等式0)2)(1)(2(<--+x x x 的解集是 （ ） A 、)2,1()2,( --∞ B 、),2()1,2(+∞- C 、)2,(--∞ D 、)2,1( 7、不等式35>+x 的解集是 （ ） A 、}88{<<-x x B 、}22{<<-x x C 、}22{>- 含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 绝对值不等式中的含参问题 在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。 一、绝对值的最值问题 1、当绝对值中x的系数相同时。 运用三角不等式：a?b≤a±b≤a+b 例1：求函数f x=x?3+x?4的最值 解：x?3+x?4≥x?3?x?4=1，函数f x的最小值为1。 例2：求函数f x=2x?1?2x?3的最值 解：2x?1?2x?3≤2x?1?2x?3=2，即得到?2≤2x?1?2x?3≤2，函数f x的最小值为?2，最大值为2。 2、当绝对值中x的系数不相同时。 ①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。 例：求函数f x=2x?2+x+2的最值 解：当 x≤?2 ?x+2?(2x?2)即 x≤?2 ?3x， 当 ?2 则有f x= ?3x, x≤?2 ?x+4, ?2 常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ???<<-∈2 1x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 《绝对值与含绝对值的不等式》专题训练 1．绝对值小于3的整数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．有理数中绝对值等于它本身的数是（ ） A ．0 B ．正数 C ．负数 D ．非负数 3．一个数的绝对值是正数，这个数是（ ） A ．不等于0的有理数 B ．正数 C ．任意有理数 D ．非负数 4.设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的数，则a-b+c=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 5. 不等式-2x-4≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 6. 绝对值2（x+1）＜3x 的解集在数轴上表示出来正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 7.-5的绝对值是 8. 绝对值是10的数有 9、解绝对值不等式|2x+1|＞3，并用区间表示 10、已知a 、b 互为倒数，c 和d 互为相反数，x 绝对值是3，求x 2+（c+d ）2011+（ab ）2012的值． 11、已知：a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于3，求a+b+x 3-cdx 的值． 12.解下列不等式 （1）3813x -<； （2）3214x -≥； （3）11223 x +>； （6）11252x +≤. 一元二次方程 1、关于x的一元二次方程x2-ax-3a=0的一个根是-2，求a的值和另一个根 2、已知x=1是一元二次方程x2+bx+5=0的一个解，求b的值及方程的另一个根． 3、当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？ 4、已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 5、已知关于x的一元二次方程kx2-4kx-5=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 6、若（m+1）x|m|+1+6x-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值。 7、若关于x的一元二次方程ax2-2x+6=0有两个实数根，求a的取值范围． 8、若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围 9、当m取何值时，关于x的一元二次方程x2-2x+（m-1）=0没有解？ 10、关于x的方程（k-3）x|k-1|-5x=2是一元二次方程，求k的值． 11、已知m，n是一元二次方程x2-2x-2019=0，求（m+1）（n+1）的值。 12、已知|a?1|+（b+2）2＝0，求一元二次方程bx2-x+a=0的解． 13、若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，求α+β和αβ的值。 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }．．．≠．? 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－， 52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 211212 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝1232 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．???1232 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x ＜m ． 1.4 含绝对值的不等式解法 1．不等式|x-2|>1的解集是（D ） A ．}31|{< C ．3、9 D ．-3、6 提示：必有0>b ，∴b a x b <-<-，即不等式的解为b a x b a +<<-，令3-=-b a ，9=+b a 解得． 6．已知不等式|x+3|≥|x-5|成立，则实数x 的取值范围是（B ） A ．{x|x>1} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x<1} D ．{x|x ≤1} 提示：即0)5()3(22≥--+x x ，∴0)53)(53(≥+-+-++x x x x ． 7．已知a 2=9，则不等式x 2-|a|≥0的解集是（B ） A ．{x|x ≤3-，或x ≥3} B ．{x|x ≤3-，或x ≥3} C ．{x|3-≤x ≤3} D ．{x|3-≤x ≤3} 提示：即32 ≥x ． 8．不等式|21||3|x x ->+的解集是（A ） A ．2 {|3 x x <- ，或4}x > B ．{|3x x <-，或4}x > C ．{|34}x x -<< D ．2 {|4}3 x x - << 提示：原不等式即22(21)(3)x x ->+，∴(213)(213)0x x x x -++--->，即(32)(4)0x x +->，∴2 3 x <-，或4x >，故选A ． 9．设集合M={2|||<-a x x }，P={x | 12 1 2<+-x x }，若M ?P ，则实数a 的取值范围是（A ） A ．{a |0≤≤a 1} B ．{a |0<>的解集是)2()2(∞+--∞，， ，则不等式3|3 |-≤-a a x 的解集是（C ） A ．)1[]1(∞+--∞，， B ．R C ．Ф D ．]11[， - 提示：由已知得a=2，则不等式3|3 | -≤-a a x 即为1||- 【课题】2.4含绝对值的不等式 【教学目标】 知识目标： （1） 理解含绝对值不等式x a <或x a >的解法； （2）了解ax b c +<或ax b c +>的解法． 能力目标： （1） 通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力； （2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力． 【教学重点】 （1）不等式x a <或x a >的解法 ． （2）利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>． 【教学难点】 利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>． 【教学设计】 （1） 从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解； （2） 观察图形得到不等式x a <或x a >的解集； （3） 运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力； （4） 加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 过 程 行为 行为 意图 间 解决 对任意实数x ，有 ,0,0,0,,0.x x x x x x >?? ==??-的解集在数轴上如何表示？ 根据绝对值的意义可知，方程2x =的解是2x =或 2x =-，不等式2x <的解集是(2,2)-（如图（1）所示） ；不等式2x >的解集是(,2)(2,)-∞-+∞（如图（2）所示）． 提问 归纳总结 引导 分析 思考 回答 观察 领会 复习 相关 知识 点为 进一 步学 习做 准备 充分 借助 图像 进行 分析 10 *动脑思考 明确新知 一般地，不等式x a <（0a >）的解集是(),a a -；不等式x a >（0a >）的解集是()(),,a a -∞-+∞． 试一试：写出不等式x a 与x a （0a >）的解集． 总结 强化 理解 记忆 强调 特点 15 *巩固知识 典型例题 例１ 解下列各不等式： （1）310x ->； （2）26x ． 分析：将不等式化成x a <或x a >的形式后求解． 解 （1）由不等式310x ->，得1 3 x >，所以原不等式的 分析 思考 进一 步巩 固知 识点 （2） （1） 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] 答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5分析列出不等式．|x|≤5．解根据题意得2＜5，，其中最小整数为－5x＜－2或2＜x≤从而－5≤．选D答 ．的解集为________不等式4＜|1－3x|≤7例3 利用所学知识对不等式实施同解变形．分析 或－74＜3x－1≤74解原不等式可化为＜|3x－1|≤7，即 ．，5x∈N}，求A例4 已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜转化为解绝对值不等式．分析 可化为|6－2x|＜5＜解∵25＜|2x－6|＜2 ，1，5}．因为x∈N，所以A＝{0说明：注意元素的限制条件．ab＜0，那么例5 实数a，b 满足[ ] |b|A．|a－b|＜|a|＋|a．|a＋b|＞－b|B|a＋b|＜|a－b|C．＋|b||b|＜||a||aD．－根据符号法则及绝对值的意义．分析 、ab异号，解∵b|．＜∴ |a＋b||a－．选答 C ba，的值为2}1b|x例6 设不等式－a|＜的解集为{x|－＜x＜，则[ ] A．＝3ba＝1，3b1aB．＝－，＝3＝－b，1＝－a．C． 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 分析分类讨论． x＜m． {x|1－m＜x＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母． 解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得 说明：分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号，使过程简便． 例9 解不等式|6－|2x＋1||＞1． 分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解． 解事实上原不等式可化为 6－|2x＋1|＞1 ① 或 6－|2x＋1|＜－1 ② 由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2； 由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或x＜－4． 从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论． 例10已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是 ________． 分析可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法． 解法一当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5， ∴a＞5． 当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5． a∴，5＞1－2x而有解，a＜1－2x即a＜3－x＋2＋x是，不等式化为3＞x当． ＞5． 综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空． 解法二 |x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5． 解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得 |x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5． 所以a＞5时不等式有解． 说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x＋1|＞2－x． 分析一对2－x的取值分类讨论解之． 解法一原不等式等价于： 由②得x＞2． 分析二利用绝对值的定义对|x＋1|进行分类讨论解之． 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 不等式(3)----含参不等式的解法 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。 （一）几类常见的含参数不等式 一、含参数的一元二次不等式的解法： 例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈ 分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1 含有绝对值的不等式练习 【同步达纲练习】 A 级 一、选择题 1.设x ∈R ，则不等式｜x ｜<1是x 2 <1成立的( )条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.若a,b,c ∈R ，且｜a-c ｜<｜b ｜，则( ) A.｜a ｜>｜b ｜+｜c ｜ B.｜a ｜<｜b ｜-｜c ｜ C.｜a ｜>｜b ｜-｜c ｜ D.｜a ｜>｜c ｜-｜b ｜ 3.不等式｜x 2 -x-6｜>3-x 的解集是( ) A.(3,+∞) B.(-∞，-3)∪(3,+∞) C.(-∞，-3)∪(-1，+∞) D.(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞) 4.设集合A ＝｛x ｜｜2-x -3｜<1，x ∈N ｝，则A 中元素个数是( ) A.13 B.12 C.11 D.10 5.下面四个式子： ①｜a-b ｜＝｜b-a ｜ ②｜a+b ｜+｜a-b ｜≥2｜a ｜ ③2)(a -＝a ④ 2 1 (｜a ｜+｜b ｜)≥ab 中，成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.对于任意的实数x ，不等式｜x+1｜+｜x-2｜>a 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 7.不等式｜x 2 +2x-1｜≥2的解集是 . 8.不等式｜ x x 1-｜>x x -1的解集是 . 三、解答题 9.解不等式12+x >x. 10.设m 等于｜a ｜、｜b ｜和1中最大的一个，当｜x ｜>m 时，求证： 2 x b x a +<2. AA 级 一、选择题 1.设实数a,b 满足ab<0，则( ) A.｜a+b ｜>｜a-b ｜ B.｜a+b ｜<｜a-b ｜ C.｜a-b ｜<｜a ｜-｜b ｜ D.｜a-b ｜<｜a ｜+｜b ｜ 2.不等式组?? ? ??+->+->x 2x 2x 3x 30x 的解集是( ) A.｛x ｜0 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）公式法：即利用 a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{}a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式 c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0含绝对值的不等式解法练习题及答案
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