定积分的应用练习题
1. 抛物线22y x = 把圆228x y +=分为两部分,分别求出这两部分的面积。
2. 直线将椭圆2236x y y +=分成两部分,分别求出这两部分的面积。
3. 在抛物线21y x =-上找一点00(,)P x y ,其中00x ≠,过00(,)P x y 作抛物线的切线,使
该切线与抛物线及两坐标轴所围成的图形的面积最小。
4. 从抛物线21y x =-上的点00(,)P x y 引另一条抛物线2y x =的切线,求该切线与2
y x =所围成的图形的面积。
5. 求有抛物线24(0)y ax a =>与过焦点的弦所围成图形面积的最小值。
6. 求星形线33cos (02)sin x a t t y a t
π?=≤≤?=?所围成的图形的面积A ,全长L ,绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积,和该旋转体的侧表面积。
7. 求伯努利双纽线22cos2a ρθ=的面积A ,及绕Ox 轴旋转的旋转体的体积和侧表面积。
8. 求圆域222()()x y b a b a +-≤>绕Ox 轴旋转而成的圆环体的体积。
9. (1)求曲线32y x x =-与2y x =所围成的图形的面积;(2)若该图形绕Oy 绕一周,
求所得旋转体的体积。
10. 求螺线(0)m ae θρθπ=≤≤与Ox 轴所围成的面积A ,弧长L ,绕Ox 轴旋转一周所
形成的旋转体的体积,和该旋转体的侧表面积。
11. 在曲线2(04)3
y x =
≤≤上人一点的密度等于该点至原点一段曲线的弧线长度,求其质量。
12. 半径为R ,长为l 的圆柱体平放在深度为2R 的水池中(柱体的侧面与水面相切),设柱
体的密度为(1)ρρ>,问将柱体移出水中需要做多少功?
13. 设半径为R ,高为h 的圆柱体水池盛满了水,若将水池中的水吸干,要做多少功?
14. 将半径为的半圆形板竖直放入水中,是其直径与水面相齐。(1)求该板一侧所受的压力;
(2)欲使压力增加一倍,该板应下移多少米?
15. 一根半径为R 的圆环金属丝,其线密度为ρ,以等角速度ω绕其某一条直径旋转,求
金属丝的动能。
16. 一条半径为R ,中心角为半径为?的圆弧形细棒,其线密度为常数ρ,在圆心处有一
质量为m 的质点,求细棒对质点的引力。
17. (1994年考研题) 求曲线23|1|y x =--与Ox 轴围成的封闭提醒绕直线3y =旋转所的
的旋转体的体积。
18. (1997年考研题) 设()f x 在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内'()0f x >,并满足23'()()(2
a xf x f x x a =+为常数),又曲线()y f x =与1,0x y ==围成的图形的面积等于2。求函数()f x 。
19. (1998年考研题)设曲线y =Ox 轴所
围成的图形绕Ox 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。
20. (1999年考研题) 为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,
已知井深30m ,抓斗自重400N ,抓都抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m/s 。在提升过程中,污泥以20N/s 的速度从抓斗的缝隙里漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口,要克服重力做多少焦耳的功?
21. (2003年考研题)某建筑工地打地基时用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服
土层对桩的阻力做功。设土层对桩的阻力大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k )。汽锤第一次击打将桩打进地下a m ,根据设计方案,要求汽锤每次击打桩是所作的功与前一次击打时所作的功值比为常数(01)r r <<。问:
(1) 汽锤击打3次,可以将桩打进地下多深?
(2) 若击打次数不限,汽锤最多能将桩打入地下多深?
22. 有两根线密度均为ρ的均匀细杆,长度均为l ,位于同一直线上,两杆距离为a 。求它
们之间的引力。
23. (1994年考研题)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0),(0,1,1)。线段AB 绕z 轴旋
转一周所形成的旋转曲面为S 。求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积。
24. (1991年考研题)曲线(1)(2)y x x =--和Ox 轴围成一图形,求此图形绕Oy 轴旋转
一周所成的旋转体的体积。
25. (2007年考研题)设D 为位于曲线2(1,0)x a y a x -=
>≤<+∞的下方,Ox 轴上方的无界区域。
(1)求区域D 绕Ox 旋转一周所形成的旋转体的体积()V a ;
(2)当a 为何值时,体积()V a 最小?
26. (2000年考研题)设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过原点与点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形,问a 为何值时,该图形旋转一周所得的旋转体的体积最大?最大体积为多少?
定积分的简单应用求体 积 Document number:BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习: (1) 求曲边梯形面积的方法是什么 (2) 定积分的几何意义是什么 (3) 微积分基本定理是什么 引入: 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题:设由连续曲线()y f x =和直线x a =,x b =及x 轴围成的平面图形(如图甲) 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ,如何求V 分析: 在区间[,]a b 内插入1n -个分点,使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=,把曲线()y f x =(a x b ≤≤)分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”,如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-,1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片,如图乙所示。当i x ?很小时,第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此,第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和:
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题,则有: 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳: 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =,x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成,则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 (1) 找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数 (2) 分清端点 (3) 确定几何体的构造 (4) 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积,则积分变量变为y ,其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一:求简单几何体的体积 例1:给定一个边长为a 的正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体,求它的体积 思路: 由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。 解:以正方形的一个顶点为原点,两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系,如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为: 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1. 求下列函数与 x 轴所围部分的面积: ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2. 求下列各图中阴影部分的面积: 1. 图 6-1 3.求由下列各曲线围成的图形的面积: ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 (两部分都要计算)=+=y x x y
4.的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5.的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6.的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7.形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8.所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9.。与横轴所围图形的面积(的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10.轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11.求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积: ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2(双纽线)θρ= 抛物体的体积。 轴旋转,计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转,计算所得两个轴及所围成的图形,分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 , 图面都是等边三角形为底,垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则:
定积分及其应用 题一 题面: 求由曲线2 (2)y x =+与x 轴,直线4y x =-所围成的平面图形的面积. 答案:323 . 变式训练一 题面: 函数f (x )=???? ? x +2-2≤x <0, 2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) B .2 | C .3 D .4 答案:D. 详解: 画出分段函数的图象,如图所示,则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2+∫π 202cos x d x =2+2sin x |π20=4. 变式训练二 题面: 由直线y =2x 及曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为( ) ¥ A .2 3 B .9-23 答案: 详解:
注意到直线y =2x 与曲线y =3-x 2的交点A ,B 的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结合图形可知,由直线y =2x 与曲线y =3-x 2围成的封闭图形的 面积为??-3 1(3-x 2-2x )d x =? ???? 3x -13x 3-x 2??? 1 -3=3×1-13×13-12- ? ?? 3×-3-1 3×-3 3 ]- -3 2 =32 3,选D. 题二 ^ 题面: 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ). A .1 B .1 C .1 D .17 变式训练一 题面: 函数f (x )=sin(ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.
定积分的简单应用 一:教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法; 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 4、 体会定积分在物理中应用(变速直线运动的路程、变力沿直线做功)。 过程与方法 情感态度与价值观 二:教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三:教学过程: 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么? 2、定积分的几何意义是什么? 3、微积分基本定理是什么? 2、定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积 例1.计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解:2 01y x x x y x ?=??==? =??及,所以两曲线的交点为 (0,0)、(1,1),面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?,所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2.计算由直线4y x =-,曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析:首先画出草图(图1.7 一2 ) ,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题.与例 1 不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2.为了确定出被积函数和积分的上、下限,需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标, 直线4y x =-与 x 轴的交点. 解:作出直线4y x =-,曲线2y x =的草图,所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积. 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为(8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图, 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限. 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
§1.7 定积分的简单应用(一) 一:教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法; 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 4、 体会定积分在物理中应用(变速直线运动的路程、变力沿直线做功)。 二:教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三:教学过程: 定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积 例1.计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解:201y x x x y x ?=??==?=??及,所以两曲线的交点为(0,0)、(1,1),面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?,所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2.计算由直线4y x =-,曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解:作出直线4y x =-,曲线2y x =的草图,所求面积为图阴影部分的面积. 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为(8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案: 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin = 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案:3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S (-+(= 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M (0,-3) 2 x y =y x = A B C D O
第六章 定积分的应用 (A ) 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1)2 2 1x y =与822=+y x (两部分都要计算) 2)x y 1 =与直线x y =及2=x 3)x e y =,x e y -=与直线1=x 4)θρcos 2a = 5)t a x 3 cos =,t a y 3 sin = 1、求由摆线()t t a x sin -=,()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 2、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
3、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 4、由3 x y =,2=x ,0=y 所围成的图形,分别绕x 轴及y 轴旋转,计算所得两旋转体 的体积 5、计算底面是半径为R 的圆,而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 6、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 7、计算星形线t a x 3 cos =,t a y 3 sin =的全长 8、由实验知道,弹簧在拉伸过程中,需要的力→ F (单位:N )与伸长量S (单位:cm )成
正比,即:kS =→ F (k 是比例常数),如果把弹簧内原长拉伸6cm , 计算所作的功 9、一物体按规律3 ct x =作直线运动,介质的阻力与速度的平方成正比,计算物体由0 =x 移到a x =时,克服介质阻力所作的功 10、 设一锥形储水池,深15m ,口径20m ,盛满水,将水吸尽,问要作多少功? 11、 有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10cm 和6cm ,高为20cm ,较长的底边与水 面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力 12、 设有一长度为λ,线密度为u 的均匀的直棒,在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ,试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1) 求D 的面积S ;2)将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积