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高考数学 数列专题经典试题及解析
1、已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==、
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S 、
【答案】（1）2n
n a =；（2）100480S =.
【解析】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121
208a q a q a q ?+=?=?，
解得解得12,2a q ==，或11
32,2
a q ==
(舍)， 所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n
n a =.
（2）由于1234567
22,24,28,216,232,264,2128=======，所以
1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；
23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；
4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2； 8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15，则89153b b b ==
==，即有32个3；
161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ====，即有42个4； 323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ====，即有52个5； 6465100,,
,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,
,0,100，则64651006b b b ==
==，即有37个6.
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所以2345
1001222324252637480S =?+?+?+?+?+?=.
2、已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==、
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求1
12231(1)n n n a a a a a a -+-+?+-.
【答案】（1）2n
n a =；（2）23
82(1)55
n n +-- 【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则324112
3
120
8a a a q a q a a q ?+=+=?==?， 整理可得：2
2520q q -+=，
11,2,2q q a >==，
数列的通项公式为：1222n n
n a -=?=.
(2)由于：()
()
()
11
211
1
1122112n n n n n n n n a a --++-+=-??=--，故：
112231(1)n n n a a a a a a -+-+?+-
35791212222(1)2n n -+=-+-+?+-?
()()
3223
2
21282(1)5512
n
n n +??--????==----. 3、已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-、
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（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：(
)2
*
21n n n S S S n ++<∈N
；
（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()2
11
32,,,.n n
n n n n n a b n a a c a n b +-+?-?
?=????为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和、
【答案】（Ⅰ）n a n =，1
2
n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949
n n
n n +--+?. 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，
又q ≠0，可得2
440q q -+=，解得q =2， 从而{}n b 的通项公式为1
2
n n b -=.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)
2
n n n S +=
， 故21(1)(2)(3)4
n n S S n n n n +=
+++，()()222
1
1124n S n n +=++， 从而2
211
(1)(2)02
n n n S S S n n ++-=-
++<， 所以2
21n n n S S S ++<.
4 / 19
(Ⅲ)当n 为奇数时，()1112
32(32)222(2)2n n n n n n
n n a b n c a a n n n n
-+-+--=
==-++，
当n 为偶数时，111
2
n n n n a n c b -+-=
=， 对任意的正整数n ，有22222111222121
2121k k n
n
n
k k k c k k n --==??=-=
- ?+-+??∑∑， 和
22311
1
21135
2321
444444
n
n
k k
n n k k k n n c -==---==++++
+∑∑
① 由①得2231411135
2321
4444
44
n k n n k n n c +=--=+++
+
+∑ ② 由①②得2211
121
1312
221121441444
444414
n n k n n n k n n c ++=??
-
?--??=++
+-=
---∑，
由于
11
2111212211211565441443344441234
14
n
n n n n n n n ++??
-
?--+??--=-?--?=-?-， 从而得：
21
565994n
k n
k n c =+=
-?∑. 因此，2212111
4654
21949n n
n
n
k k k n
k k k n c c c n -===+=+=--+?∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为4654
21949
n n
n n +--+?. 4、已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，111112
1,,()n
n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=
?∈*N 、 （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式；
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（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d
+++<+
、*()n N ∈ 【答案】（I ）1142
,.23
n n q a -+==；
（II ）证明见解析. 【解析】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即2
16q q +=，由于0q >，所以解得1
2
q =
，所以1
12n n b -=
. 所以2
112
n n b ++=，故111
12412n n n n n c c c -++=?=?，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=. 所以114n n n n a a c -+==-（*
2,n n N ≥∈）.
所以12
142
144
3
n n n a a --+=+++???+=
，又1n =，11a =符合， 故142
3
-+=
n n a . （II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12
n n
n n c b c b ++=， 所以1
11
n n n n c b c b --+=()*2,n n N ≥∈， 故132112
21n n n n n c c c c c c c c c c ---=
???
??12321
111
43
n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=????? ()1211111111112n n n n n n b b d n b b d b b d b b +++????+??==-=+-≥ ? ? ???????
. 又11c =，而()121211
11
1
1=
111d d
d d
d b b d b b d d ??++?
?+-?=?= ? ??+????
，
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故()111111n n n c n d b b +??
??=+
-≥
? ??
???
所以121223*********n n
n c c c d b b b b b b +??????????++
+=+-+-+
+-?? ? ? ? ???????
???? 11111n d b +?
???=+- ? ?????
.
由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111
111n d b d
+???
?+
-<+
? ??
???. 即121
1n c c c d
++?+<+
， *n N ∈.
模拟试题
1、已知等比数列{}n a 是首项为1的递减数列，且3456a a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）1
12n n a -??= ???
；（2）1
2
42n n n T -+=-
. 【解析】（1）由3456a a a +=，得2
610q q --=，解得12q =
或13
q =-. 数列{}n a 为递减数列，且首项为1，1
2
q ∴=
. 1
1
11122n n n a --??
??∴=?= ?
???
??
.
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（2）012
111123222n T ??????=?+?+? ? ? ???????1
12n n -??
++? ?
??
，
1
2
11112222n T ????∴=?+? ? ?????3
11322n
n ??
??+?++? ? ???
??
.
两式相减得
012
11112222n T ??????=++ ? ? ???????
1
1122n n
n -??
??++-? ? ???
??
11121212n
n
n ??- ?????=- ???-112222222n n n n n +????=-?-?=- ? ?????， 1
2
42
n n n T -+∴=-
. 2、等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ??????
的前n 项和n T .
【答案】（1（13n n a =
（2（21
n n -+ 【解析】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由2
3a ＝9a 2a 6得2
3a ＝92
4a ,所以q 2＝
1
9
、 由条件可知q ＞0,故q ＝
13、由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13
、 故数列{a n }的通项公式为a n ＝
1
3
n 、 （Ⅰ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－
()2
1n n +、
8 / 19
故
()1211211n b n n n n ??=-=-- ?++??
、 12
11
1
1111
122122311n n b b b n n n ????????+++
=--+-++-=- ? ? ???++????
????
所以数列1n b ??????
的前n 项和为21n
n -
+ 3、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
2743a a a =，且3-，4S ，39a 成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()()
1
11n
n n b a n n =-+
+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）3n
n a =；（2）()33141
n
n
n T n ??
--?
?=++. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为2
2743a a a =，所以()62
31113a q a q a q ?=，
因为10a ≠，所以3q =，
又3-，4S ，39a 成等差数列，
所以43293S a =-即
()412121393313
a a -=?--，解得13a =，
所以113n n
n a a q -==；
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（2）由题意()()()11113311
n
n
n
n b n n n n =-?+
=-+-++，
所以()()()12
12111
113331223
1n n n T b b b n n ????=++
+=-+-+
+-+-+-+
+
- ??
?+??
()()()3133
311113141
n
n n n n ????-----?
???=+-=+--++.
4、已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2
12n n n S a S ?
?=-
???
（1）求n S 的表达式；
（2）设21
n
n S b n =
+，求数列{}n b 的前n 项和n T 、 【答案】（1）1
21n S n =
-；（2）111221n T n ??=- ?+??
、
【解析】（1）∵2
12n n n S a S ?
?
=-
??
?
，()12n n n a S S n -=-≥, ()2112n n n n S S S S -??=-- ??
?，112n n n n
S S S S --=-①，
由题意10n n S S -≠，将①式两边同除以1n n S S -得，
()1
11
22n n n S S --=≥ ∴数列1n S ??
????
是首项为
11
111S a ==，公差为2的等差数列、 可得()1
12121n
n n S =+-=-，
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得1
21
n S n =
-； （2）21n
n S b n =
+＝1(21)(21)n n -+＝11122121n n ??- ?-+??
，
11111
1111++=123352121221n T n n n ??????
????=
---- ? ? ? ???-++????????
?? 5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足(
)*
22,n n S a n N =-∈.数列{}n
b 是首项为1
a ，公差不为零的
等差数列，且1311,,b b b 成等比数列、 （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式、
（2）若n
n n
b C a =
，数列{}n c 的前项和为,n n T T m <恒成立，求m 的范围、 【答案】（1）n a 2n
=，n b 31n =-；（2）m 5≥.
【解析】（1）因为n n S 2a 2=-，n 1n 1S 2a 2--=-
所以n n n 1n n 1a S S 2a 2a --=-=- 所以()n n 1a 2a 2n -=≥
所以{}n a 成等比，首项11a S 2==，公比q 2=
所以n a 2n =
由题意知11b a 2==，设{}n b 公差为d
则2
1113b b b =，即()()2
221022d d +=+，
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解得d 3=或d 0=（舍） 所以
n b 31n =-
（2）n n n b 31c a 2
n n -=
= 所以n 12325831T 2222
n n -=
+++?+ n 234112583431
T 222222
n n n n +--=+++?++ 两式相减得1n 123111311123333131535
42T 1122222222212
n n n n n n n n -+++??
- ?--+??=+++?+-=+-=--
所以n 35
T 552
n
n +=-< 所以m 5≥
6、已知等差数列{}n a 的公差0d >，27a =，且1a ，6a ，35a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足
()*111N n n n a n b b +-=∈，且113
b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）23n a n =+；（2）()()
235412n n n
T n n +=
++. 【解析】（1）1a ，6a ，35a 成等比数列，
∴26315a a a =?∴()()2
111552a d a a d +=?+， 整理得221425a d =
∴152a d =
或15
2
a d =-，
12 / 19
当152a d =时，由1
2527
a d a ?=???=?解得152a d =??
=?，满足题意， 当152a d =-时，由12
527a d
a ?=-???=?解得143d =-，不合题意，
∴()21253n n n a +-=+=.
（2）由（1）知，当2n ≥时，()()
12115212
n n n a a a --++++???+=
223n n =+-，
∵111n n n
a b b +-=，∴当2n ≥时，
1111
n n n a b b ---=， 12121321111111n n n a a a b b b b b b --++???+=
-+-+???+-
1
11
n b b =-223n n =+-， 又113
b =∴()12n b n n =+当1n =时，()1111123b ==?+∴()12n b n n =+，*N n ∈. ∴()1111222n b n n n n ??=
=- ?++??
，
∴12n n T b b b =++???+111111123242n n ??=-+-+???+- ?+??()()
213
11352212412n n n n n n +??=-
-= ?++++??. 7、在①224n n n a a S b +=+，且25a =，②224n n n a a S b +=+，且1b <-，③2
24n n n a a S b +=+，且
28S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的b 存在，求出b 和数列{}n a 的通项公式与
前n 项和；若b 不存在，请说明理由.
设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，满足________，是否存在b ，使得数列{}n a 成为等差数列？
13 / 19
【解析】选择①，
因为2
24n n n a a S b +=+，所以2
11124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得
()()()22
11112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，
即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=，
因为25a =，且212a a -=，所以13a =，
由2
24n n n a a S b +=+，得2
11124a a a b +=+，即2
1120a a b --=，
把13a =代入上式，得3b =，
当3b =时，由2
1120a a b --=及10a >，得13a =，
所以13a =，25a =，满足12n n a a +-=，可知数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. 数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+， 数列{}n a 的前n 项和为2(1)
3222
n n n S n n n -=+?=+. 选择②，
因为2
24n n n a a S b +=+，所以2
11124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得
()()()22
11112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，
即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=，
由2
24n n n a a S b +=+，得121124a a a b +=+，即12
120a a b --=， 因为已知数列{}n a 的各项均为正数，所以10a >，
14 / 19
因为关于1a 的一元二次方程12
120a a b --=至少存在一个正实数解的充要条件是
440b ?=+，
解得1b -，
这与已知条件1b <-矛盾，所以满足条件的b 不存在.
（注：若2
1120a a b --=存在两个实数解分别为1x ，2x ，则122x x +=，12x x b =-，
当0b >时，21120a a b --=的解一正一负；当0b =时，2
1120a a b --=的解一正一零；
当10b -≤<时，2
1120a a b --=的解均为正.
所以方程2
1120a a b --=至少存在一个正实数解，当且仅当440b ?=+.）
选择③，因为2
24n n n a a S b +=+，所以2
11124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得
()()()22
11112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，
即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=，
由12n n a a +-=，得212a a -=，又已知2128S a a =+=，
所以13a =，25a =，
由2
24n n n a a S b +=+，得121124a a a b +=+，2112b a a =-，所以2
1123b a a =-=，
当3b =时，由2
1120a a b --=及10a >得13a =，
由2
222243a a S +=+，13a =及20a >，得25a =，
所以13a =和25a =满足12n n a a +-=，
15 / 19
可知数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+， 数列{}n a 的前n 项和为2(1)
3222
n n n S n n n -=+
?=+. 8、在等差数列{}n a 中，已知616a =，1636a =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若______，求数列{}n b 的前n 项和n S .
在①1
4n n n b a a +=
，①()1n
n n b a =-?，①2n
a n n
b a =?，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. 【答案】（1）24n a n =+；（2）答案见解析. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()166166a a d =+-， 即361610d =+，2d =， 故()166224n a n n =+-?=+
∴24n a n =+
（2）选（，
由()()144
24214n n n b a a n n +=
=+++????
()()
11
33
1
22n n n n =
=
-++++
16 / 19
得()
111111113445233333n n S n n n n =
-+-+???+-=-=++++. 选（，由()()
()1124n
n
n n b a n =-=-+得
当n 为偶数时，()234562n S n =-+-+-???++????
212
n
n =??=.
当n 为奇数时，()()2345612n S n n =-+-+-???+--+????
()121252n n n -??=?-+=--????
.
故()()
,5n n n S n n ??=?--??为偶数为奇数
选（，
由()24
242
n n b n +=+?得
()6810246282102242n n S n +=?+?+?+???++?——（
则()()8
10
24
2646282222
242n n n S n n ++=?+?+???++?++?——（
（-（，得
()68102426362222222242n n n S n ++-=?+?+?+???+?-+?
()82426
26
2
22262224212n n n ++??-?=?+-+? ?-??
727552233n n +?
?=?-+? ??
?，
17 / 19
故2735640
299
n n n S ++=
?-
. 9、已知项数为()
*
2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*
1,2,,n a N
n m ∈=；②
12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*·
··1
m n n a a a a b N m +++-=
∈-，
其中1,2,,n m =则称{}n b 为{}n a 的
“伴随数列”.
（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12·
··m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值. 【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33. 【解析】（I ）不存在.理由如下：因为*4135797
51
b N ++++-=
∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.
（II ）因为*1
1,11,1
n n n n a a b b n m n N m ++--=
≤≤-∈-，
又因为12m a a a <<<，所以10n n a a +-<，所以1
101
n n n n a a b b m ++--=
<-，即1n n b b +<，所以12·
··m b b b >>>成立.
（III ）1i j m ?≤<≤，都有1
j j i j a a b b m --=
-，因为*
i b N ∈，12m b b b >>>，
所以*
i j b b N -∈，所以*112048
11
m m a a b b N m m --=
=∈--. 因为*1
11
n n n n a a b b N m ----=
∈-，
所以11n n a a m --≥-.
而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-+
+-≥-+-++-()2
1m =-，即
18 / 19
()2
204911m -≥-，
所以()2
12048m -≤，故46m ≤.
由于
*2048
1
N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33. 10、给定数列12,,,n a a a .对1,2,
,1i n =-，该数列前i 项12,,
,i a a a 的最小值记为i A ，后n i -项
12,,,i i n a a a ++的最大值记为i B ，令i i i d B A =-.
（1）设数列{}n a 为2，1，6，3，写出1d ，2d ，3d 的值；
（2）设12,,,(4)n a a a n ≥是等比数列，公比01q <<，且10a >，证明：121,,,n d d d -是等比数列；
（3）设121,,,n d d d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：121,,
,n a a a -是等差数列.
【答案】（1）14d =，25d =，32d =；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）由题意，112,6A B ==，则111624d B A =-=-=；
221,6A B ==，则222615d B A =-=-=；
331,3A B ==，则333312d B A =-=-=.
（2）因为12,,
,(4)n a a a n ≥是等比数列，公比01q <<，且10a >，所以数列{}n a 是递减数列，
则1,2,
,1i n =-时，i i A a =，1i i B a +=，所以1i i i d a a +=-，且10i i a a +-≠，
所以1,2,
,2i n =-时，()1211i i i i i q d a a a a ++++==--，
所以
()111i i i i i i
a a q a d q d a +++--==，即121,,,n d d d -是等比数列.
19 / 19
（3）由121,,,n d d d -是公差大于0的等差数列，且10d >，可知1210n d d d -<<<
<.
①先用反证法证明121,,
,n a a a -是递减数列，
假设121,,,n a a a -不是递减数列，设k a 是第一个使得1k k a a -≥成立的项，则11k k k A A a --==，1k k B B -≥，
所以11k k k k B A B A --≥--，即1k k d d -≥，与1210n d d d -<<<<相矛盾，
所以121,,,n a a a -是单调递减数列.
②再用反证法证明n a 为数列{}n a 中的最大项， 假设n a 不是数列{}n a 的最大项，即存在k ()1,2,3,
,1k n =-使得k n a a >成立，
若1k =时，满足1n a a >，则11A a =，11B a <，故11111110d B A B a a a =-=-<-=，与10d >矛盾，即
1k ≠；
若2k ≥时，满足k n a a >，则11k k A a --=，1k k B a -=，故11110k k k k k d B A a a ----=-=-<，与10n d ->矛盾，所以n a 为数列{}n a 中的最大项.
综上，121,,
,n a a a -是单调递减数列，且n a 为数列{}n a 中的最大项，
故k k k n k d B A a a =-=-()1,2,3,,1k n =-，即k n k a a d =-，
则1,2,
,2k n =-时，11k n k a a d ++=-，故()11k k k k a a d d ++-=--()1,2,3,
,2k n =-，
所以121,,,n a a a -是等差数列.