导数
一、导数的概念
函数 y=f(x),如果自变量 x 在x 0 处有增量?x ，那么函
数 y 相应地有增量?y =f （x + ?x ）－f （x ），比值 ?y
叫做函数 y=f （x ）在 x 到 x + ?x 之间的平均变化率， 0 0 ?x
0 0
即?y = f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。如果当?x → 0 时， ?y 有极限，我们就说函数 y=f(x) ?x ?x ?x
在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f ’（x 0 ）
或 y ’|
。f’(x 0 )= lim ?y = lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。
x = x 0
?x →0 ?x ?x →0 ?x
例、 若lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) = k ，则lim f (x 0 + 2 ? ?x ) - f (x 0 ) 等于（ ）
?x →0
A. 2k ?x
B. k
C. 1 k 2
?x →0 ?x
D. 以上都不是 变式训练： 设函数 f (x ) 在点 x 0 处可导，试求下列各极限的值．
1. lim
?x →0 f (x 0 - ?x ) - f (x 0 ) ；
?x
2． lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) .
h →0 2h
3．若 f '(x ) = 2 ，则lim f (x 0 - k ) - f (x 0 )
=？
k →0 2k
二、导数的几何意义
函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ）
处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ） 处的切线的
斜率是 f ’（x 0 ）
。
切线方程为 y －y 0 =f /
（x 0 ）（x －x 0 ）
。 三、导数的运算
1．基本函数的导数公式: ① C ' = 0;（C 为常数）
②(x n )' = nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;
④ (cos x )' = -sin x ;
⑤ (e x )' = e x ;
⑥ (a x )' = a x ln a ;
⑦(ln x )' = 1 ;
x
⑧(l o g a
x )' = 1 log e . x a
习题：求下列函数的导数：（8 分钟独立完成） （1） f (x ) = （2） f (x ) = x 4
（3） f (x ) = （4） f (x ) = sin x
（5） f (x ) = -cos x （6） f (x ) = 3x （7） f (x ) = e x （8） f (x ) = log 2 x
（9） f (x ) = ln x （10） f (x ) = 1
x
（11） y = 3 + 1
cos x
4 4 （12） y =
x
1+ x
（13） y = lg x - e x
（14） y = x 3 cos x
2、导数的四则运算法则： [ f (x ) + g (x )]' = f '(x ) + g '(x )
[ f (x ) - g (x )]' = f '(x ) - g '(x ) [ f (x )g (x )]' = f '(x )g (x ) + f (x )g (x )'
? f (x ) ?'
? g (x ) ? = f '(x )g (x ) - f (x )g '(x )
g 2 (x ) ? ? 练习：求下列函数的导数： （1） y = x 2 + 2 x ；
（2） y =
- ln x ；
（3） y = x sin x ；
（4） y = x ln x 。
（5） y = sin x x ；
（6） y = x 2
。 ln x
3、复合函数求导：
如果函数
(x ) 在点 x 处可导，函数 f (u )在点 u=(x ) 处可导，则复合函数 y=
x
x
1 - 2x 1 + x 2
f (u )=f [(x )]在点 x 处也可导，并且
(f [
(x ) ])ˊ=
f '[
(x )]
'(x )
例、求下列函数的导数
（1）y= cos x （2）y=ln (x + )
练习：求下列函数的导数
（1）y =
1
(3x - 1)2
（2） y =sin （3x +
）
4
常考题型：
类型一、求导数相关问题
例 1、若曲线 y ＝e －x 上点 P 处的切线平行于直线 2x ＋y ＋1＝0，则点 P 的坐标是
． 例 2、曲线 y ＝x e x －1 在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
例 3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线 y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为 y ＝2x ，则 a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
类型二、求切线方程
（一）已知切点坐标，求切线方程
例 1.曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点(1， - 1) 处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程
例 2.与直线2x - y + 4 = 0 的平行的抛物线 y = x 2 的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程
例 3.求过点(2，0) 且与曲线 y = 1
相切的直线方程．
x （四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程
例 4.求过曲线 y = x 3 - 2x 上的点(1， - 1) 的切线方程．
变式训练：
1、[2014·广东卷] 曲线 y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2)处的切线方程为 ．
b 2、[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ＝ax 2＋ (a ，b 为常数) x
过点 P (2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x ＋2y ＋3＝0 平行，则 a ＋b 的值是 ．
3、与直线x - y + 1＝0 平行, 且与曲线 y＝
x
3
- 1 相切的直线方程类型三、求单调区间及极值、最值
考点一求不含参数的函数的单调区间
例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间.
变式训练：
1.函数y =x ln x 的单调递减区间是（）
A．(e-1,+∞) B．(-∞, e-1)C．(0, e-1)D．(e,+∞) 2.(05 年广东高考题)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为( ) （Ａ）(2, +∞) （Ｂ）(-∞, 2) （Ｃ）(-∞, 0) （Ｄ）(0, 2)
考点二求含参数的函数的单调区间
考例 1、已知函数f (x) 的单调性. f (x) =
1
x2-m ln x + (m -1)x ，m ∈R ．当m ≤ 0 时，讨论函数
2
例 2、设函数 f(x)= 2x3- 3(a -1)x2+1, 其中a ≥ 1.
求 f(x)的单调区间；
例3、设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a ≥--1，求f(x)的单调区间。
变式训练：
x－1
1、[2014·ft东卷] 设函数f(x)＝a ln x＋，其中a 为常数．
x＋1
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
2、【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：
例1、[2014·新课标全国卷Ⅱ]若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)
例2、[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a 的取值范围是( )
A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)
2
－6，－
8
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，－1) 例 3、[2014·辽宁卷] 当 x ∈[－2，1]时，不等式 ax 3－x 2＋4x ＋3≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
[ 9
]
C ．[－6，－2]
D ．[－4，－3]
变式训练：（ft 东省烟台市 2011 届高三上学期期末考试试题（数学文） 已 知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 的图像经过点 M (1, 4) ，曲线在点 M 处的切线恰好与直线
x + 9 y = 0 垂直.
（Ⅰ）求实数a , b 的值；
（Ⅱ）若函数 f (x ) 在区间[m , m +1] 上单调递增，求m 的取值范围.
考点四：结合单调性求极值问题
求函数的极值的步骤:
(1) 确定函数的定义域，求导数 f '(x ) . (2) 求方程 f '(x ) = 0 的根.
(3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格. 检查
f '(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f (x ) 在这个根处取得极大
值；如果左负右正，那么 f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，
那么 f (x ) 在这个根处无极值.
注:可导函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处取得极值是 f '(x 0 ) = 0 的充分不必要条件. 例 1、已知函数 f (x ) = 2ax - b
+ 4 ln x 在 x = 1与x = 1 处都取得极值．
x
3
（1） 求a 、b 的值；
变式训练：设 x = 1, x = 2 是 f ( x ) = a ln x + bx + x 函数的两个极值点.
（1） 试确定常数 a 和 b 的值；
（2） 试判断 x = 1, x = 2 是函数 f ( x
) 的极大值点还是极小值点，并求相应极
值.
例 2、（06 安徽卷）设函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx (x ∈ R ) ，已知 g (x ) = 奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。
f (x ) - f '(x ) 是
A ．[－5，－3] B.
（Ⅱ）求g(x) 的单调区间与极值。
例 3、已知函数f (x) =ax 3 +bx 2 + (c - 3a - 2b)x +d
（I）求c, d 的值；
的图象如图所示．
（II）若函数f (x) 在x = 2 处的切线方程为3x +y -11 = 0 ，求函数f (x) 的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数y =f (x) 与y =1
f '(x) + 5x +m 的图象有三个不同3
的交点，求m 的取值范围．
例4、[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b) R)．
(1)当b＝4 时，求f(x)的极值；1－2x(b∈
(1)
(2)若f(x)在区间0，
3
变式训练：
上单调递增，求b 的取值范围．
1、已知函数 f (x) =x +b 的图象与函数g(x) =x 2+ 3x + 2 的图象相切,记
F (x) = f (x)g(x) .
（Ⅰ）求实数b 的值及函数 F (x) 的极值；
（Ⅱ）若关于x 的方程 F (x) =k 恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围. 2、（2011 全国Ⅱ文 20）已知函数f (x) =x3+ 3ax2+ (3 - 6a)x +12a - 4(a ∈R)
(Ⅰ)证明：曲线y = f (x)在x = 0 的切线过点(2, 2)
（Ⅱ）若f (x)在x =x0处取得极小值，x0 ∈(1, 3) ,求a 的取值范围.
考点五：结合单调性求最值问题
求函数在[a, b] 上最值的步骤：（1）求出 f (x) 在(a, b) 上的极值.
（2）求出端点函数值f (a), f (b) .
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.
例 1、(2010 年重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数 a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论 g(x)的单调性，并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
例 2、设函数 f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切
线与直线 x－6y－7＝0 垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c 的值；
(2)求函数 f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
例 3、已知函数f (x) =1
x2+a ln x,
2
g(x) = (a +1)x , a ≠-1．
（I）若函数f (x),
求实数a 的取值范围；
g(x) 在区间[1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同，
（II）若 a
∈(1, e] (e = 2.71828 ) ，设 F (x) =f (x) -g(x) ，求证：当x
1
, x
2
∈[1, a]
时，不等式| F (x 1 ) - F (x 2 ) |< 1成立．
例 4、[2014·安徽卷] 设函数 f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中 a ＞0. (1)讨论 f (x )在其定义域上的单调性；
(2)当 x ∈[0，1]时 ，求 f (x )取得最大值和最小值时的 x 的值．
四、导数与不等式
恒成立问题：
可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”
思路 1、m ≥ 思路 2、m ≤ f (x )在x ∈ D 上恒成立 ? m ≥ [ f (x )]max f (x )在x ∈ D 上恒成立 ? m ≤ [ f (x )]min
例 1. 设函数 f (x ) = 2x 3 + 3ax 2 + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值． ①求 a 、b 的值；
②若对于任意的 x ∈[0，3] ，都有 f (x ) < c 2 成立，求 c 的取值范围．
例 2、已知函数 f (x ) = a x 3 - 3
x 2 + (a +1)x +1，其中a 为实数。
3 2
已知不等式 f ' (x ) > x 2 - x - a +1 对任意a ∈(0,+∞)都成立，求实数 x 的取值范围 例 3、设函数 f (x ) = x 4 + ax 3 + 2x 2 + b ,(x ∈ R ) ，其中a , b ∈ R 。
若对于任意的a ∈[- 2,2]，不等式 f (x ) ≤ 1在[-1,1]上恒成立，求b 的取值范围。 例 4、若实数a > 0 且a ≠ 2 ，函数 f (x ) = 1 ax 3 - 1
(a + 2)x 2 + 2x + 1。
3 2
（1） 证明函数 f (x ) 在 x = 1 处取极值，并求出函数 f (x ) 的单调区间。
（2） 若在区间(0,+∞)上至少存在一点 x 0 ，使得 f (x 0 ) < 1 ，求实数a 的取值范围。
变式训练：
1、（2010 辽宁文）已知函数 f (x ) = (a +1) ln x + ax 2 +1.
（Ⅰ）讨论函数 f (x ) 的单调性；
（Ⅱ）设a ≤ -2 ，证明：对任意 x 1 , x 2 ∈(0, +∞) ， | f (x 1 ) - f (x 2 ) |≥ 4 | x 1 - x 2 | . 2、已知函数 f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ＞0)．若 f (x )在[－1，1]上的最小值记为 g (a )．
(1)求 g (a )；
(2)证明：当 x ∈[－1，1]时，恒有 f (x )≤g (a )＋4. 3、设函数 f (x ) = (x - a )2 x , a ∈ R .
(Ⅰ)若 x = 1 为函数 y = f (x ) 的极值点，求实数a ；
min max
（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的 x ∈ (-∞, 2]，恒有 f (x ) ≤4 成立.
4、设函数 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2
x + b 3
(0 < a < 1 , b ∈ R ) .
（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的 x ∈[a + 1, a + 2], 不等式 存在性问题：
f '( x ) ≤ a 成立，求 a 的取值范围。 a > f ( x ) 能成立? a > f ( x ) ； a ≤ f ( x )能成立? a ≤ f ( x )
? 1 ? x
[ ] [ ]
例 1、已知两函数 f (x ) = x ， g (x ) = ? - m ，对任意
x 1 ∈ 0,2 ，存在 x 2 ∈ 1,2 ， ? 2 ? 使得 f (x 1) ≥ g (x 2 ) ，则实数 m 的取值范围为
例 2、已知两函数 f ( x ) = 7x 2 - 28x - c ， g ( x ) = 2x 3 + 4x 2 - 40x 。
（1） 对任意 x ∈[-3,3] ，都有 f ( x ) ≤ g ( x ) )成立，求实数c 的取值范围；
（2） 存在 x ∈[-3,3] ，使 f ( x ) ≤ g ( x ) 成立，求实数c 的取值范围；
（3） 对任意 x 1 , x 2 ∈[-3,3] ，都有 f ( x 1 ) ≤ g ( x 2 ) ，求实数c 的取值范围；
（4）存在 x 1 , x 2 ∈[-3,3] ，都有 f ( x 1 ) ≤ g ( x 2 ) ，求实数c 的取值范围；
2
导数目录 【导数的计算与几何意义】 【三次函数】 【导数与单调性】 【导数与极最值】 【导数与零点】 【导数中的恒成立与存在性问题】 【原函数导函数混合还原】 【导数中的距离问题】 【导数题基础练习】 【分离参数】 【构造新函数类】 【导数中的函数不等式放缩】 【导数中的卡根思想 【可使用洛必达法则】 【先构造，再赋值，证明和式或积式不等式】 【极值点偏移问题】 【极值点减元思想】 【导数解决含有x ln与x e的证明题】 【导数解决含三角函数的证明】 【高考导数真题研究】
[基础知识整合] 1、导数的定义:,)()(lim )(000 0x x f x x f x f x ?-?+='→? x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0 2、导数的几何意义: 导数值)(0x f '是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处的切线的斜率 3、常见函数的导数: ;sin )(cos ;cos )(sin );()(;01x x x x Q n nx x C n n -='='∈='='- ;)(;log 1 )(log ;1)(ln x x a a e e e x x x x ='='= ' ;ln )(a a a x x =' 4、导数的四则运算:[])()(;)(;)(;)(2 x u k x ku v u v v u v u u v v u uv v u v u '=' '+'=''+'=''±'='±; 5、复合函数的导数:[])()())((x u f x f ??'?'=' 6、导函数与单调性: 求增区间，解0)(>'x f ; 求减区间，解0)(<'x f 若函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数0)(≥'?x f 在),(b a 上恒成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上是减函数0)(≤'?x f 在),(b a 上恒成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上存在增区间0)(>'?x f 在),(b a 上成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上存在减区间0)(<'?x f 在),(b a 上成立. 7、导函数与极最值: 确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论 8、导数压轴题: 强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多记题型，总结方法
2012高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用 【知识图解】 【方法点拨】 导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。 1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。 2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。 3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。 4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。 5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。 6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。
利用导数证明不等式 1．（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． (1)讨论()f x 的单调性； (2)若()()140f x a x e +++-≤对任意2 ,x e e ??∈??恒成立， 求实数a 的取值范围（e 为自然常数）； (3)求证()() 13ln 12ln 22+++()()1ln 14ln 2 2+++++n !ln 21n +<() *,2N n n ∈≥（2n ≥，n *∈N ）． 2．（本小题满分10分）（1）设1x >-，试比较ln(1)x +与x 的大小； （2）是否存在常数N a ∈，使得111 (1)1n k k a a n k =<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成 立？若存在，试求出a 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 3．（本小题满分14分） 已知函数()e x f x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）． (Ⅰ)当e a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)求证：对任意正整数n ，都有2 22221212121e n n ?? ?>+++． 4．（本小题满分14分）已知函数()1x f x e x =--，x R ∈， 其中，e 是自然对数的 底数．函数()1g x xsinx cosx =++，0x >． （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）将 ()g x 的全部零点按照从小到大的顺序排成数列{}n a ，求证： （1）(21)(21)22n n n a ππ -+<<，其中*n N ∈； （2）222212311112 ln 1ln 1ln 1ln 13 n a a a a ?? ??????++++++ ++< ? ? ? ??????? ??． 5．（本小题满分12分）已知函数2 ()ln (0)f x ax x x x a =+->. （1）若函数满足(1)2f =,且在定义域内2 ()2f x bx x ≥+恒成立，求实数b 的取值范围； （2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；
第十二章 导数及其应用 【知识图解】 【方法点拨】 导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。 1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。 2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。 3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。 4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。 5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。 6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）
的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。 第1课 导数的概念及运算 【考点导读】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念; 3.熟记基本导数公式； 4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则; 5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】 1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h h x f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。 2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873 741234-+-= ，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。 3．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。 4．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,则当2'=y 时,=x 3 2π±。 5．（1）已知a x x a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。 （2）（理科）设函数5()ln(23)f x x =-，则f ′1 ()3 ＝15-。 6．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。 解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a 函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数 b a +?=+?∴12132，得b=2 又由c +?+=12122，得1-=c 【范例导析】 例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。从时刻0t =开始的t 秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式2 23q t t =+表示。 （1） 求第5秒内时的电流强度； （2） 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？ 分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。 解：（1）从时刻0t 到时刻0t t + 通过导体的这一横截面的电量为：
1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念 1．平均变化率 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□ 01f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□ 02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．瞬时变化率 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□ 03f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□ 04lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝L . 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□ 05lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或□ 06y ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)＝□ 07lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□ 08瞬时变化率．
导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝lim x→x0f(x)－f(x0) x－x0 与概念中的f′(x0)＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx意 义相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．() (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．() (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．() 答案(1)√(2)×(3)× 2．做一做 (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y＝f(x)＝1 x在x＝－1处的导数可表示为________． 答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x ＝－1 探究1求函数的平均变化率 例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0＝ [3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2) Δx ＝6x0·Δx＋3(Δx)2 Δx＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
专题2.3导数中的零点问题 解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目 此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x ==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。所以21a e e =+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题） 这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。 在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可 例3.已知函数2()ln 2f x x x b x =++--在区间1[,]e e 上有两个不同零点，求实数b 的取值范围。
第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商00()() f x x f x x +-△△＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率0lim x y x →△△△通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即00'()lim x y f x x →=△△△． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的 切线的斜率．导函数y ＝f ′(x )的值域即为切线斜率的取值范围． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作y ′或f ′(x)． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) ； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若 f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是增函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是减函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为增函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为减函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，① 如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求 方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那 么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上连续，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点值比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x . 解：(1)∵y ＝(1－x )????1＋1x ＝1x －x ＝1122x x --，∴y ′＝11 22()'()'x x --＝31 221122x x ----.
导数 【知识归纳】 1、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0 →?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作 f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在 点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率 x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f / （x 0）（x －x 0）。 3、几种常见函数的导数: ①0;C '= ②()1 ;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 4、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)' ' ' v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)(' ' ' uv v u uv += 若C 为常数,' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：?? ? ??v u ‘=2 ''v uv v u -（v ≠0）。
导数 一、导数的概念 函数P=f(G),如果自变量G 在G 0处有增量x ?，那么函数P 相应地有增量y ?=f （G 0+x ?）－f （G 0），比值x y ??叫做函数P=f （G ）在G 0到G 0+x ?之间的平均变 化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函 数P=f(G)在点G 0处可导，并把这个极限叫做f （G ）在点G 0处的导数，记作f ’ （G 0）或P ’|0x x =。f ’(G 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 例、若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于（） A ．k 2B ．k C ．k 2 1 D ．以上都不是 变式训练：设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值． 1．x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000； 2．.2) ()(lim 000h h x f h x f h --+→ 3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2) ()(lim 000--→=？ 二、导数的几何意义 函数P=f （G ）在点G 0处的导数的几何意义是曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0）） 处的切线的斜率。也就是说，曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0））处的切线的斜率是f ’（G 0）。 切线方程为P －P 0=f /（G 0）（G －G 0）。 三、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1 ln x x '=; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成） （1）()f x π=（2）4()f x x =（3）()f x =4）()sin f x x =
导数专题 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'
第4讲 导数及其应用 课时讲义 1. 导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等． 2. 研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，其主要考查方式有：(1) 确定函数的零点、图象交点的个数；(2) 由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围． 1. 若a ＞1，则函数f(x)＝1 3 x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为________． 答案：1 解析：f′(x)＝x 2－2ax ，由a ＞1可知，f ′(x)在x ∈(0，2)时恒为负，即f(x)在(0，2)内单 调递减．又f(0)＝1＞0，f(2)＝8 3 －4a ＋1＜0，所以f(x)在(0，2)内只有一个零点． 2. (2018·南通中学)已知函数f(x)＝1 3 x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)．若f(x)＋5≥0恒成立， 则实数m 的取值范围是________． 答案：????179，＋∞ 解析：f′(x)＝x 2－4x ，由f′(x)>0，得x>4或x<0，所以f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[0，＋∞)时，f(x)min ＝f (4)．要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4) ＋5≥0恒成立即可，代入解得m ≥17 9 . 3. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y ＝－1 3 x 3＋81x － 234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件． 答案：9 解析：由题意知，x ＞0，令y′＝－x 2＋81＞0，解得0＜x ＜9；令导数y′＝－x 2＋81＜0， 解得x ＞9.所以函数y ＝－1 3 x 3＋81x －234在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减 函数，所以在x ＝9处取极大值，也是最大值． 4. 已知函数f(x)＝e x ，g (x )＝1 2 x 2＋x ＋1，则与f (x )，g (x )的图象均相切的直线方程是 ________． 答案：y ＝x ＋1 解析：因为函数f (x )＝e x 与函数g (x )＝1 2 x 2＋x ＋1的图象有唯一公共点(0，1)，且f ′(0)＝g ′ (0)＝1，所以它们的公切线方程是y ＝x ＋1. , 一) 函数的零点问题 , 1) (2018·镇江期末)已知b>0，且b ≠1，函数f(x)＝e x ＋b x ，其中e 为自然 对数的底数． (1) 对满足b >0，且b ≠1的任意实数b ，证明函数y ＝f (x )的图象经过唯一定点； (2) 如果关于x 的方程f (x )＝2有且只有一个解，求实数b 的取值范围． 解：(1)假设y ＝f (x )过定点(x 0，y 0)，则y 0＝e x 0＋bx 0对任意b >0，且b ≠1恒成立． 令b ＝2得y 0＝e x 0＋2x 0；令b ＝3得y 0＝e x 0＋3x 0， 所以2x 0＝3x 0，即 ????32x 0 ＝1，解得唯一解x 0＝0，所以y 0＝2， 经检验当x ＝0时，f (0)＝2，所以函数y ＝f (x )的图象经过唯一定点(0，2)．
导数 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函 数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。f ’(x 0)=0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 例、 若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 2 1 D ．以上都不是 变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值． 1．x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000； 2．.2) ()(lim 000h h x f h x f h --+→ 3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2) ()(lim 000--→=？ 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。 切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 三、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
学习 目 标核心素养 １．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．（重点） ２．能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）．（难点、易混点）１．通过导数的实际应用的学习，培养学生的数学建模素养． ２．借助于解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 导数在实际生活中的应用 １．最优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题． ２．用导数解决最优化问题的基本思路 １．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（） Ａ．6 m Ｂ．8 m Ｃ．４m Ｄ．２m [解析] 设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m ２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２.S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）． [答案] C ２．某一件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为______元时，利润最大． [解析] 利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）
＝—x２＋２３0x—6 000， S′（x）＝—２x＋２３0， 由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大． [答案] １１５ 面积、体积的最值问题 示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设A E＝FB＝x（cm）． （１）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm２）最大，试问x应取何值？ （２）某厂商要求包装盒的容积V（cm３）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [思路探究] 弄清题意，根据“侧面积＝４×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值． [解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝错误!x，h＝错误!＝错误!（３0—x），0＜x＜３0． （１）S＝４ah＝8x（３0—x）＝—8（x—１５）２＋１800， 所以当x＝１５时，S取得最大值． （２）V＝a２h＝２错误!（—x３＋３0x２），V′＝6错误!x（２0—x）． 由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝２0． 当x∈（0,２0）时，V′＞0；当x∈（２0,３0）时，V′＜0． 所以当x＝２0时，V取得极大值，也是最大值．
2016高考数学汇编：导数 1.【2016高考新课标1文数】若函数1 ()sin 2sin 3 f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值 范围是（ ） （A ）[]1,1-（B ）11,3??-????（C ）11,33??-????（D ）11,3? ?--?? ? ? 2.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01, ln ,1,x x x x -<?图象上点P 1，P 2处的 切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 3.【2016高考四川文科】已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 4. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________. 5.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数()()()2 2e 1x f x x a x =-+-． (I)讨论()f x 的单调性； (II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 6.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
2012-2017 年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版
学科教师辅导教案 学员姓名年级高三辅导科目数学 授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日： —： 历年高考试题汇编（文）——导数及应用 1．（2014 大纲理）曲线y xe x 1在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A ．2e B．e C．2D．1 2.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图 象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( B ) 4．（2012 陕西文）设函数 f（x）= 2x +lnx 则（ D ）A ．x= 1为 f(x) 的极大值点B．x= 1为
f(x) 的极小值点 C．x=2 为 f(x) 的极大值点D．x=2 为 f(x) 的极小值点 5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在，若p : f ( x0 )0 ： q : x x0是 f ( x) 的极值点，则 A ．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是 q 的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 【答案】 C 6．（2012 广东理）曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为 ___________________. 【答案】 2x-y+1=0 7．（2013 广东理）若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于 x 轴，则k 【答案】 -1 8．（2013 广东文）若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a ． 【答案】1 2 9 ． ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为.
1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念 1．平均变化率 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□ 01f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . 若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□ 02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．瞬时变化率 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□ 03f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□ 04lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝L . 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□ 05 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们 称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)□06y ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)□ 07lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□ 08瞬时变化率．
导数概念的理解 (1)Δx →0是指Δx 从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx 存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导并且导数即为极限值． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0， 于是f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0 与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 意义相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× 2．做一做 (1)自变量x 从1变到2时，函数f (x )＝2x ＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y ＝f (x )＝1 x 在x ＝－1处的导数可表示为________． 答案 (1)2 (2)2 (3)f ′(－1)或y ′|x ＝－1 探究1 求函数的平均变化率 例1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值． [解] 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0 ＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2) Δx ＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2 Δx ＝6x 0＋3Δx . 当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. [结论探究] 在本例中，分别求函数在x 0＝1,2,3附近Δx 取1 2时的平均变化率k 1，k 2，k 3，