第六讲 容斥原理
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A |表示有限集A 的元素的个数。在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成 |A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |。
我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素个数，可以分一下两步进行：
第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来。即先求|A |+|B |（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；
第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A ∩B |（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。
例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？
解：设I ={1、2、3、…、19、20}，A ={I 中2的倍数}，B ={I 中3的倍数}。 显然题目中要求计算并集A ∪B 的元素个数，即求|A ∪B |。 我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。
A ∩
B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3， 根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下：
例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？
解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}， 由题意知|A |=25，|B |=21。
A ∪
B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。 A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}， 由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |， 所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 答：两科都在90分以上的有8人。 画图分析一下：
15
9320
18
16141210
8
642B
A
其中A 的人数是x +n =25，B 的人数是y +n =21，A ∪B 的人数是x +n +y =38，求n 等于多少？
很明显n =(x +n )+(y +n )–(x +y +n )=25+21–38=8。
例3．如图所示，一个边长为2 的正方形与一个边长为3的正方形放在桌面上，它们所盖住的面积有多大？
解：如果把两个正方形的面积加起来是32+22=9+4=13，就会发现多计算了一块阴影的面积，应该从上面的和中减去这一部分。
因此两个正方形所覆盖住的面积是32+22–1.52=13–2.25=10.75。
例4．有100位旅客，其中10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？
解：设A ={懂英语的旅客}，B ={懂俄语的旅客}，那么英语或俄语至少懂一种的旅客是A ∪B ，而两种语言都懂的旅客是A ∩B 。
由题意|A |=75，|B |=83，|A ∪B |=100–10=90，
根据容斥原理得|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A 、B 、C ，我们可以将上面的容斥原理推广得到如下的公式： |A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |。
三个集合的容斥原理告诉我们要计算并集A ∪B ∪C 的元素个数，可以分三步进行： 第一步：求|A |+|B |+|C |；
第二步：减去|A ∩B |，|B ∩C |，|C ∩A |； 第三步：加上|A ∩B ∩C |。 结合下图作出说明。
n
y
x
B A
2
3
由于A ∪B ∪C 可以有七个部分组成，其中I 、II 、III 部分的元素仅属于某个集合，而IV 、V 、VI 部分的元素分别属于某两个集合，第VII 部分则是三个集合的交集。
由于A ∪B ∪C 的元素分别来自集合A 、B 、C ，因此先计算|A |+|B |+|C |。
在这个和里，第I 、II 、III 部分的元素只计算了一次，而第IV 、V 、VI 部分的元素各自计算了两次，第VII 部分的元素计算了三次。
在第二步中减去了|A ∩B |，|B ∩C |，|C ∩A |后，得|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |， 这样显然消除了第IV 、V 、VI 部分的元素的重复计算，但是请注意同时对第VII 部分的元素是减去了三次，这样第VII 部分的元素都被减去了，因此必须补回来，即再加上|A ∩B ∩C |。
综上所述得|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |。
例5．某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋、国际象棋三个组进行。参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有51人，参加国际象棋比赛的有30人。同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人，同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人，同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人，其中三种棋都参加的有3人。问参加棋类比赛的共有多少人？
解：设A ={参加围棋比赛的人}，B ={参加中国象棋比赛的人}，C ={参加国际象棋比赛的人}。那么参加棋类比赛的人的集合为A ∪B ∪C 。
由题意知，|A |=42，|B |=51，|C |=30，又|A ∩B |=13，|A ∩C |=7，|B ∩C |=11，|A ∩B ∩C |=3。 根据容斥原理得
|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |=42+51+30–13–7–11+3=95（人）。 答：参加棋类比赛的共有95人。 画图来计算：
A 、
B 、
C 三个圆表示三个集合，先把三个圆相交的最中间部分填上3，
由于同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人，所以第IV 部分应该是10人；
C VII
VI V
IV III II I
B
A 84310301525
C
VI
V
IV III
II I
B
A
C
VI
V
IV III II
I
B
A
同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人，所以第V 部分应该是8人； 同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人，所以第VI 部分应该是4人； 再根据参加围棋比赛的有42人，于是第I 部分是42–10–3–4=25人； 参加中国象棋比赛的有51人，于是第II 部分是51–10–3–8=30人； 参加国际象棋比赛的有30人。于是第III 部分是30–8–3–4=15人； 由此得出参加棋类比赛的总人数是25+30+15+10+8+4+3=95（人）。
例6．边长分别为6、5、2的三个正方形，如图所示放在桌面上，问它们所盖住的面积是多大？
解：设R 表示正方形区域ABCD ，M 表示正方形区域A 1B 1C 1D 1，N 表示正方形区域A 2B 2C 2D 2，则|R |=36，|M |=25，|N |=4，|R ∩M |=9，|R ∩N |=2，|M ∩N |=2，|R ∩M ∩N |=1，
所以|M ∪M ∪N |=|R |+|M |+|N |–|R ∩M |–|R ∩N |–|M ∩N |+|R ∩M ∩N |
=36+25+4–9–2–2+1=53.
答：三个正方形所盖住的面积是53.
例7．某班学生手中分别拿有红、黄、蓝三种颜色的球。已知手中有红球的共有34人，手中有黄球的共有26人，手中有篮球的共有18人，其中手中有红、黄、蓝三种球的有6人，而手中只有红、黄两种球的有9人，手中只有黄、蓝两种球的有4人，手中只有红、蓝两种球的有3人，那么这个班共有多少人？
解：设A 、B 、C 分别表示手中有、红球、黄球、篮球的人的集合， 由题意，画出图来逐一填上人数计算。
B 1
A D
C
5
6
最中间应该填上6，由手中只有红、黄两种球的有9人，手中只有红、蓝两种球的有3人，手中只有黄、蓝两种球的有4人，则在区域VI 、V 、VI 中分别填上9、3、4。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄球的共有26人，手中有篮球的共有18人，可以填出区域I 、II 、III 内分别填上16、7、5。
所以全班共有16+7+5+9+3+4+6=50（人）。 答：全班共有50人。
解法2：设A 、B 、C 分别表示手中有、红球、黄球、篮球的人的集合， 则|A |=34，|B |=26，|C |=18，所以|A |+|B |+|C |=34+26+18=78，
显然这样的计算中对于区域IV 、V 、VI 的部分重复计算了一次（需要减去1次），而对于区域VII 的部分重复计算了两次，也就是计算了三次（需要减去2次）。
所以全班人数是34+26+18–(9+4+3)–2×6=50（人）。 答：全班共有50人。
例8．求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？ 解：设A ={1到200中间能被2整除的自然数}；B ={1到200中间能被3整除的自然数}；C ={1到200中间能被5整除的自然数}；
那么A ∩B ={1到200中间能被2×3整除的自然数}；A ∩C ={1到200中间能被2×5整除的自然数}；B ∩C ={1到200中间能被3×5整除的自然数}；A ∩B ∩C ={1到200中间能被2×3×5整除的自然数}；
求出|A |=100，|B |=66，|C |=40，|A ∩B |=33，|A ∩C |=20，|B ∩C |=13，|A ∩B ∩C |=6， 所以|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |
=100+66+40–33–20–13+6=146.
这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、5中一个数整除的数的个数。
所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有200–146=54（个）。
练 习 题
1．某班有团员23人，这个班里男生共有20人，则这个班里女生团员比男生非团员多 人。 解：设男生团员为x 人，则女生团员为23–x 若，男生非团员为20–x 人，
所以这个班里女生团员比男生非团员多(23–x )–(20–x )=3（人）。 答：这个班里女生团员比男生非团员多3人。
2．一张纸片的面积为7，另一张是边长为2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌子上，覆盖的面积为8，则两张纸片重合部分的面积是 。
57
43
96C 16
B
A
C
VI V
IV
III II I
B
A
解：设第一张纸片为A，第二张纸片为B，
则|A|=7，|B|=4，|A∪B|=8，所以|A∩B|=7+4–8=3.
答：两张纸片重合部分的面积是3.
3．从1到100的自然数中，
（1）不能被6或10整除的数有个；
（2）至少能被2、3、5中一个数整除的数有个。
解：（1）设A={1到100中被6整除的数}，B={1到100中被10整除的数}，A∩B={1到100中被30整除的数}，其中30是6与10的最小公倍数。
则|A|=16，|B|=10，|A∩B|=3，所以|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|=16+10–3=23.
在1到100中能被6或10整除的数有23个，不能被6或10整除的数有100–23=77（个）。
答：不能被6或10整除的数有77个。
（2）设C={1到100中被2整除的数}；D={1到100中被3整除的数}；E={1到100中被5整除的数}；C∩D={1到100中既能被2整除又能被3整除的数}；C∩E={1到100中既能被2整除又能被5整除的数}；D∩E={1到100中既能被3整除又能被5整除的数}；C∩D∩E={1到100中同时能被2、3、5整除的数}；
|C|=50、|D|=33，|E|=20，|C∩D|=16，|C∩E|=10，|D∩E|=6，|C∩D∩E|=3，
所以|C∪D∪E|=|C|+|D|+|E|–|C∩D|–|C∩E|–|D∩E|+|C∩D∩E|
=50+33+20–16–10–6+3=74（个）。
答：至少能被2、3、5中一个数整除的数有74个。
4．盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、果汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、果汁都要的有2人；雪碧、果汁都要的有2人，三样都要的只有1人。证明：其中有1人这三种饮料都没有要。
解：设A={要可乐的同学}，B={要雪碧的同学}，C={要果汁的同学}，
则|A|=5，|B|=5，|C|=5，|A∩B|=3，|A∩C|=2，|B∩C|=2，|A∩B∩C|=1，
所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|
=5+5+5–3–2–2+1=9（人）。
可见一定有1人没有要饮料。
5．对100个学生课外学科活动的调查结果如下：32人参加数学小组；20人参加英语小组；45人参加生物小组。其中15人既参加了数学小组又参加了生物小组；7人既参加了英语小组又参加了数学小组；10人既参加了英语小组又参加了生物小组。还有30人没有参加上述任何一个学科小组。
（1）求三个学科小组都参加的人数；
（2）在文氏图的8个小区域内填入相应的学生人数，其中A、B、C分别代表参加数学、英语、生物小组的学生的集合，被调查的100个学生的集合为全集I。
解：（1）设A={参加数学小组的学生}；B={参加英语小组的学生}；C={参加生物小组的学生}；A∩B={既参加数学小组又参加英语小组的学生}；A∩C={既参加数学小组又参加生物小组的学生}；B∩C={既参加英语小组又参加生物小组的学生}；A∩B∩C={三个小组都参加的学生}，A∪B∪C={三个小组中至少参加一个小组的学生}
则|A|=32，|B|=20，|C|=45，|A∩B|=7，|A∩C|=15，|B∩C|=10，
|A∪B∪C|=100–30=70.
根据容斥原理
| A∩B∩C |= |A∪B∪C |–|A|–|B|–|C|+|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|
=70–32–20–45+7+15+10=5（人）。
答：三个小组都参加的有5人。
（2）
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---
三集合容斥原理 华图教育梁维维 我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。 三集合容斥原理公式： 三者都不满足的个数。 总个数- = + - - - + + =| | | | | | | | | | | | | || |C B A C B C A B A C B A C B A 有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。 【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( ) A.15 B.16 C.14 D.18 【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。 近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。 【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（） A. 148 B. 248
第31讲容斥原理 例题与方法 例1 在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个？ 例2 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？ 例3 100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人？ 例4 在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？ 例5 某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。这个班最多能有多少人？ 思考与练习 1．某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。问：两样都不爱好的有多少人？ 2．分母是105的最简真分数共有多少个？ 3．一个家电维修站有80%工人精通修彩电，有70%的人精通修空调，10%的人两项不熟悉。问：两项都精通的人占白分之几？ 4．在1～100的自然数中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？ 5．在1～200的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？ 6．在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？ 7．64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。三种杂志都订的有多少人？ 8．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人？
容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素的个数。在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。 我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。 包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。 例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？ 解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。 显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。
我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。 A ∩ B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3， 根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。 此题可以直观地用图表示如下： 例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？ 解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}， 由题意知|A |=25，|B |=21。 A ∪ B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。 A ∩ B ={数学、语文都在90分以上的学生}， 由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |， 所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 159320 1816 1412 1086 42 B A
容斥原理的极值问题文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
有关容斥原理的极值问题 所谓“极值问题”就是通常说的最大值，最小值的问题，题干中通常有“至少”，“至多”等题眼，解决这类问题通常有两种方法，一是极限思想，另一种就是逆向思维。 通过以下几个例题具体看一下： 1. 某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，至少有几个4个活动都参加 解析: 逆向思维，分别考虑不喜欢其中某项活动的人数是多少，由题意可知，分别为11,16,8,6，只有当这四项集合互相没有交集的时候，四项活动都喜欢的人数才最少，因此最少人数为46-11-16-8-6=5 2. 参加某部门招聘考试的共有120人，考试内容共有6道题。1至6道题分别有86人，88人，92人，76人，72人和70人答对，如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试，那么至少有多少人能通过考试 解析（极限思想）：要使通过的人最少，那么就是对1道，2道的人最多，并且应该是对2道的人最多（这样消耗的总题目数最多），假设都只对了2道，那120人总共对了240道，而现在对了86+88+92+76+72+70=484，比240多了244道，每个人还可以多4道（这样总人数最少）,244/4=61。(逆向思维)：先算出来1-6题每题错的人数120-86=34 120-88=32 120- 92=28 120-76=44 120-72=48 120-70=50 要使通过的人数最少，就是没通过的人数最多，让错的人都只错4道就错的人最多，总的错的题数为 34+32+28+44+48+50=236236/4=59120-59=61
三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的标准型公式。 集合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，满足标准型公式： 三集合容斥原理标准型公式：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数 通过观察公式，我们可以看到在公式中，出现了9个量，而这个式子的适用前提就是知8求1，即在题目中，若我们看到了8个已知量，要求1个未知量的时候，就要使用这个公式(注：而题目中有时候也是知7求1，其中的三者都不满足的个数可能为零)，具体题目如下： (陕西2015)针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜
欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。 A.20 B.18 C.17 D.15 E.14 F.13 G.12 H.10 解：通过观察，我们发现了八个已知量，还要我们求另一个未知量，故可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得： 28+30+42-8-10-5+3=100-x，其中x为我们要求的量，求得x=20，答案选择A。 接着，我们来看一下三集合变异型的公式，如下图示：
从上式中，我们可以看出，要使用变异型公式，题目中必须要出现仅满足2个情况的个数，这就是与标准型公式最大的不同，下面我们就看看具体的题目： (广东2015)某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为( )。 A.75 B.82 C.88 D.95 解：由于题目中出现“只参加其中两个项目的有13人”，故使用变异型公式，得到下面列式：49+36+28-1×13-2×9=x，通过尾数法(若题目中选项的尾数都不一样的话，就可以用尾数法快速得到答案)，判断出答案为82，选B。 但是，现在变异型公式也出现一些变形的形式，例如国考2015中的这道三集合容斥原理，就给我带来了一写在解题是需要着重注意的地方，下面我们仔细分析一下题目 (国家2015)某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( ) A.310 B.360
初一数学竞赛系列讲座 容斥原理 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
初一数学竞赛系列讲座(15) 容斥原理 一、 知识要点 1、容斥原理 在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。 如图， 左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。 二、 例题精讲 例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个 分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。 解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2?1，2?2，…，2?100，共100个； 在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3?1，3?2，…，3?66，共66个； 在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6?1， 6?2，…，6?33，共33个； 所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：
国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|政法干警| 招警| 军转干| 党政公选| 法检系统| 路转税| 社会工作师 三集合非标准型容斥原理 ———————————————海南华图数资老师，胡军亮近些年考试经常出现容斥原理的题型，容斥原理分为两集合型跟三集合型，三集合容斥原理又包括标准型和非标准型，三集合容斥原理与三集合标准型容斥原理都是相对好掌握的。这里给大家讲解三集合非标准型容斥原理题的解题方法。首先看下面三个公式 （1） 都不满足 总数- ) (= + + + - + +C B A C A C B B A C B A （2）三条件都不满足 总数 只满足两条件- * 2 -= - + +C B A C B A （3）满足三条件 只满足两条件 只满足一个条件* 3 * 2+ + = + +C B A 公式（1）是标准型公式，公式（2）、（3）都是非标准型公式。 【例1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（） A. 14 B. 21 C. 23 D. 32 解析：该题目为典型的容斥原理题，但是题目提到“两项同时不合格的有5种”，这句话的意思就是只满足两个条件的数量是5，该题属于三集合容斥原理非标准型题，带入公式（2）得到： 7+9+6-5-2*2=36-X，尾数法知道答案选C。 【例2】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则只有一项不合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A. 17 B. 12 C. 15 D. 20 解析：该题涉及到只满足一项不合格、同时两项不合格、三项都不合格，属于三个集合非标准型容斥原理的题，带入公式（3）得到： 8+10+9=X+2*7+1，尾数法知道答案选B。 从上面的两道例题的讲解可以看到三集合非标准型容斥原理虽然不是很好理解，但是记住题型的特征，用正确的公式直接套用来解题还是很容易掌握的。
第一章初高中数学衔接，基本数学思想入门 专题一二次方程 1 专题二二次函数 2 专题三因式、分式、乘方、根式 3 专题四平面几何中的三角形 4 专题五平面几何中的圆 5 专题六巧用方程与函数的数学思想6 专题七巧用数形结合的数学思想 7 专题八巧用分类讨论的数学思想 8 专题九巧用等价变换的数学思想 9 第二章集合、函数 专题一集合的概念及其子集 1 专题二解一次、二次、高次不等式 2 专题三解分式不等式，解简单的绝对值不等式 3 专题四集合的交、并、补运算 4 专题五临时定义的集合题 5 专题六函数的表示法及其抽象函数 6 专题七函数的单调性和奇偶性 7 专题八指数与指数函数 8 专题九对数与对数函数 9 专题十反函数 专题十一幂函数，分式函数y=k/x与y=ax+b/cx+a 10 专题十二对勾函数g（x）=ax+b/x 11 专题十三绝对值函数 12 专题十四函数的零点与方程的图象解法 13 专题十五函数图象的轴对称、中心对称及迭代式 14 专题十六函数的最值，最值的函数 15 第三章立体几何初步 专题一几何体的结构 16 专题二三视图，直观图 17 专题三几何体的表（侧）面积与体积 18 专题四空间点、直线、平面之间的位置关系 19 专题五直线、平面的平行问题 20 专题六直线、平面的垂直问题 21 专题七将平面图折翻为立体图 22 专题八几何体的拼接与分割 23 专题九四面体的外接平行六面体 24 专题十多球问题 25 专题十一体积法 26 第四章平面解析几何初步 专题一直线的倾斜角与斜率 27 专题二直线的方程 28 专题三直线交点坐标与三类距离公式 29 专题四平面区域 30 专题五线性规划 31 专题六圆的方程 32 专题七直线与圆、圆与圆的位置关系 33 专题八解析法 34 第五章算法初步，统计。概率 专题一根据程序框图计算输出结果 35 专题二根据题意完善程序框图 36 专题三随机抽样，样本的频率分布 37 专题四样本数据的众数、中位数、平均数、标准差 38 专题五随机事件的概率，古典概率 39 专题六几何概率模型 40 第六章三角函数，解三角形 专题一任意角的度量，扇形的弧长和面积 41 专题二三角函数定义，三角函数线 42 专题三同角基本公式，诱导公式 43 专题四三角函数的图象与性质 44 专题五三角函数图象的平移与伸缩变换 45 专题六和、差、倍角的三角函数公式 46 专题七正、余弦的降次增倍公式 47 专题八三角函数式的计算、化简与证明 48 专题九正弦定理、余弦定理 49 专题十解三角形 50 专题十一根据三角函数值求角 51 专题十二三角函数的有界性|Asinθ+Bcosθ|≤√A2+B2 52 专题十三三角法 53 第七章平面向量 专题一平面向量的概念及其线性运算 54 专题二平面向量的基本定理 55 专题三平面向量的坐标运算 56 专题四平面向量的数量积 57 专题五三角形背景中的向量表示 58 专题六向量法 59 第八章数列 专题一数列的概念 60 专题二等差数列及其前n项和 61 专题三等比数列及其前咒项和 62 专题四递推数列通项公式的常用求法 63 专题五分式递推数列 64 专题六数列求和 65
2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题 华图教育 三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。 根据上图，可得三集合容斥原理核心公式： =A +B +C -A B -B C -A C +A B C =-x A B C 总数 一、直接利用公式型 【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人 【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x ，则根据三集合容斥原理公式有：22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。因此，本题答案为A 选项。 二、三集合容斥原理作图型 若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。 【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 C x B A
名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（） A.5名 B.6名 C.7名 D.4名 【答案】B 【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。于是有 仰 1 2 2 2 3 4 3 蛙自由 只参加1个项目的人数为1+2+3=6。因此，本题答案为B选项。 【例3】（2012年河北）某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保持期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种？（） A.14 B.21 C.23 D.32 【答案】C 【解析】 a d b c 其中d为三项同时不合格的部分，a+b+c为两项同时不合格的部分。设三项全部合格的食品有x种。根据题意有：36-x=7+9+6-5-2×2，解得x=23。因此，本题答案为C选项。 【注】该题注意，由于7+6+9这部分把三项同时不合格的部分共加了3次，减去5的
第6章 容斥原理及应用 6.7 练习题 3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。 解：∵100001002=,9261213=,10648223= ∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556= ∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883 ∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个 □ 4、确定多重集{}d c b a S ????=5,4,34，的12-组合的个数。 解：设T ：{}d c b a S ?∞?∞?∞?∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合 2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合 4A ：d 的个数大于5的12-组合 要求的是： 4321A A A A ??? = T )(4321A A A A +++- )(434232413121A A A A A A A A A A A A ?+?+?+?+?+?+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ??+??+??+??- )(4321A A A A ???+ T =??? ? ??-+121412=455 1A =???? ??-+7147=120 2A =???? ??-+8148=165 3A =???? ??-+7147=120 4A =??? ? ??-+6146=84
21A A ?=???? ??-+3143=20 31A A ?=???? ??-+2142=10 41A A ?=???? ??-+1141=4 32A A ?=???? ??-+3143=20 42A A ?=???? ??-+2142=10 43A A ?=???? ??-+1141=4 321A A A ??=421A A A ??=431A A A ??=432A A A ??=4321A A A A ???=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34 ∴多重集{}d c b a S ????=5,4,34，的12-组合的个数是34 □ 9、确定方程 204321=+++x x x x 满足 611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x 的整数解的个数。 解：设 116x y -=， 227x y -=， 338x y -=， 446x y -= 则原方程等价于 确定方程 74321=+++y y y y 满足 501≤≤y ， 702≤≤y ， 403≤≤y ， 404≤≤y 的整数解的个数。 设S ：74321=+++y y y y 的所有非负整数解的集合 1A ：74321=+++y y y y 的所有满足61≥y 的非负整数解的集合 2A ：74321=+++y y y y 的所有满足82≥y 的非负整数解的集合 3A ：74321=+++y y y y 的所有满足53≥y 的非负整数解的集合 4A ：74321=+++y y y y 的所有满足54≥y 的非负整数解的集合 若j i ≠，则?=?j i A A ,那么要求的是：
三集合非规范型容斥原理 ———————————————海南华图数资老师，胡军亮近些年考试经常出现容斥原理的题型，容斥原理分为两集合型跟三集合型，三集合容斥原理又包括规范型和非规范型，三集合容斥原理与三集合规范型容斥原理都是相对好掌握的。这里给大家讲解三集合非规范型容斥原理题的解题方法。首先看下面三个公式 （1） （2） （3） 公式（1）是规范型公式，公式（2）、（3）都是非规范型公式。 【例1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（） A. 14 B. 21 C. 23 D. 32 解读：该题目为典型的容斥原理题，但是题目提到“两项同时不合格的有5种”，这句话的意思就是只满足两个条件的数量是5，该题属于三集合容斥原理非规范型题，带入公式（2）得到： 7+9+6-5-2*2=36-X，尾数法知道答案选C。 【例2】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则只有一项不合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A. 17 B. 12 C. 15 D. 20 解读：该题涉及到只满足一项不合格、同时两项不合格、三项都不合格，属于三个集合非规范型容斥原理的题，带入公式（3）得到： 8+10+9=X+2*7+1，尾数法知道答案选B。 从上面的两道例题的讲解可以看到三集合非规范型容斥原理虽然不是很好理解，但是记住题型的特征，用正确的公式直接套用来解题还是很容易掌握的。 1 / 1
第六讲 容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A |表示有限集A 的元素的个数。在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成 |A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |。 我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。 包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素个数，可以分一下两步进行： 第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来。即先求|A |+|B |（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A ∩B |（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。 例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？ 解：设I ={1、2、3、…、19、20}，A ={I 中2的倍数}，B ={I 中3的倍数}。 显然题目中要求计算并集A ∪B 的元素个数，即求|A ∪B |。 我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。 A ∩ B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3， 根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。 此题可以直观地用图表示如下： 例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？ 解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}， 由题意知|A |=25，|B |=21。 A ∪ B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。 A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}， 由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |， 所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 答：两科都在90分以上的有8人。 画图分析一下： 15 9320 18 16141210 8 642B A
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( ) A、27人 B、25人 C、19人 D、10人 【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B 得A∩B=25，所以答案为B。 2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件（） A、15 B、25 C、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。 3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，
不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人（）A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字： 根据每个区域含义应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 ＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 ＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15 根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120. 4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（） 人人人人 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字： 根据各区域含义及应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1 A B
第八讲容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。在并集的讨论中，已经知道，求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| 我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步从上面的和中减去交集的元素个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。 例1 求不超过20的正整数中是2的数倍或3的倍数的数共有多少个。分析与解：设I=｛1，2，3，…，19，20｝，A=｛I中2的倍数｝，B=｛I 中3的倍数｝。 显然，题目要求计算并集|A∪B|的元素个数，即求|A∪B|。 易知， A=｛2，4，6，…，18，20｝， 共有10个元素，即|A|=10， B=｛3，6，9，12，15，18｝， 共有6个元素，即|B|=6。 A∩B=｛I中既是2的倍数又是3的倍数｝ =｛6，12，18｝ 共有3个元素，即|A∩B|=3，所以 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| =10+6-3=13 答：所求的数共有13个。 此题可直观地图示如下： 图8-1中，A表示不超过20的正整数中2的倍数的集合。B表示不超过20的正整数中3的倍数的集合。在不超过20的正整数中既是2的倍数又是3的倍数的数有6，12，18，即A∩B中的数。 例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上有38人。问两科都在90分以上的有多少人？（1985年初一迎春杯数学竞赛试题） 解：设A=｛数学成绩90分以上的学生）， B=｛语文成绩90分以上的学生｝。
7-7-5.容斥原理之最值问题 教学目标 1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积． 1．先包含——A+B 重叠部分A I B计算了2次，多加了1次； 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：
公务员考试行测备考：巧解三集合容斥原理问题 三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想--剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。 根据上图，可得三集合容斥原理核心公式： 一、直接利用公式型 【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人 【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x，则根据三集合容斥原理公式有： 22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。因此，本题答案为A选项。 二、三集合容斥原理作图型 国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|
若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。 【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（） A.5名 B.6名 C.7名 D.4名 【答案】B 【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。于是有 仰 只参加1个项目的人数为1+2+3=6。因此，本题答案为B选项。 国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|
第14讲 容斥问题 知识梳理 森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。”这个统计正确吗？ 同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。 容斥原理1 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 即A∪B = A+B - A∩B 容斥原理2 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A 类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A
类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。 即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 典型例题 容斥原理1 【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 15+12-4=23 【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 【解析】100-(62+34-11)=15 【例2】★一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？ 【解析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。 40-（48－37）=29人。 【小试牛刀】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？ 【解析】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分