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九年级数学上册第23章一元二次方程复习讲义人教新课标版

初三数学第23章一元二次方程复习讲义

一、一元二次方程的定义

方程中只含有一个未知数，?并且未知数的最高次数是2，?这样的整式的方程叫

做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2

+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．

例1

的二次项系数，一次项系数及常数项的积．

例2．若关于x 的方程（m+3）27

m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，

?并计算这个方程的各项系数之和．

例3．若关于x 的方程（k 2

-4）x 2

是一元二次方程，求k 的取值范围．

例4．若α是方程x 2

-5x+1=0的一个根，求α2

α的值．

1．关于x 的一元二次方程22

5250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是

（） A ．4

B ．0或2

C ．1

D ．1-

2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（）

Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）

二、一元二次方程的一般解法基本方法有：

（1）配方法；（2）公式法；（3）因式分解法。联系：

①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：

①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，?再分别使各一次因式等于0．

例1、用三种方法解下列一元二次方程

1、x 2

+8x+12=0 2、3x 2

用适当的方法解一元二次方程

1、x2-2x-2=0

2、2x2

3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）

4、4x2-4x+1=x2+6x+9

5、（x-1）2-2（x2-1）=0

注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法

三、判定一元二次方程的根的情况？

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，

1．△=b2-4ac>0?一元二次方程有两个不相等的实根；

2．△=b2-4ac=0?一元二次方程有两个相等的实数；

3．△=b2-4ac<0?一元二次方程没有实根．

例1、不解方程判断下列方程根的情况

1、x2-（

、 x2-2kx+（2k-1）=0

例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为

例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，?则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求

-b

的值

例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

四、一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1 x2

x1 + x 2= -

x 1 x2=

例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）= 例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

（1）试推导x1+x2=-

，x12x2=

；

（2）?求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:①审 ②设 ③列 ④解 ⑤答应用题常见的几种类型：

1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]

例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?

例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。 1、某工厂今年利润为a 万元，比去年增长10%，去年的利润为万元。 2、某商品连续两次降价10%后的价格为a 元，该商品的原价应为 3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?

2.面积问题[提示：面积问题一定要画图分析] 例：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为

4cm 的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm 3，求长方形铁皮的长与宽。

1、要给一幅长30cm ，宽25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm ，?则依据题意列出的方程是_________．

2、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m ），并在与墙平行的一边开一个宽1m 的门，现有能围成32m 的木板。求仓库的长与宽各是多少？

3.定价问题［提示：单位利润3销量＝总利润］

例1：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400

元。为了扩大销售,增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。经调查发现，如果每台电视机每降价 10元，平均每天可多售出5台。专卖店降价第一天，获利30000元。问：每台电视机降价多少元?

120件，每件盈利40元.为了迎接“十2一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？

2、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商

品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价？

4.球赛问题（注：单循环必须除2）

例：某校初二年级组织象棋比赛，每两个参赛选手之间都必须赛一场，全年级共进行了28场比赛，问这次参赛的选手有几位？

1、新年到了，初三(2)班同学每人都互发贺卡祝福对方，共发了132张贺卡，问全

班多少人？

2、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15

场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？

5.倍增问题

例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几人？例2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分干总数是91，每个支干长出多少小分支？

6.数位问题 [123=13100+2310+331;十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：10a+b]

例：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

1、一个两位数，它的数字和为9，如果十位数字是a，那么这个两位数可表示

为，若这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，这个新数可表示为。

2、一个两位数，十位数字比个位数字小2，如果把这个数的十位数字和个位数字对

调，那么得到的新两位数与原来两位数的积为1855，若设十位为数字为X，则可列方程为：

3、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，

则这个两位是。

7. 中考题选讲

1、如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。问几秒后，点P和点Q的距离是10 cm？

2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

3、云南省2006年至2007年茶叶种植面积

．．．．．．与产茶面积

．．．．情况如表所示，表格中的x、y 分别为2006年和2007年全省茶叶种植面积：（1）请求出表格中x、y的值；

（2）在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．（说明：茶叶种植面积=产茶面积+未产茶面积）

4、2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．

（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运

输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海

大桥到宁波港的运输费用是多少元？

（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，

再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的

运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中

相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800

元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？

第22章一元二次方程复习题

一、选择题

1．下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=1

；

④（a 2

+a+1）x 2

-a=0

．一元二次方程的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．要使方程（a-3）x 2

+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则（） A ．a ≠0 B ．a ≠3

C ．a ≠1且b ≠-1

D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0 3．若（x+y ）（1-x-y ）+6=0，则x+y 的值是（） A ．2 B ．3 C ．-2或3 D ．2或-3

4．若关于x 的一元二次方程3x 2

+k=0有实数根，则（） A ．k>0 B ．k<0 C ．k ≥0 D ．k ≤0

5．下面对于二次三项式-x 2

+4x-5的值的判断正确的是（）

A ．恒大于0

B ．恒小于0

C ．不小于0

D ．可能为0

6．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x 2=a 2

，则x= a ；（2）方程2x （x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 ．?其中答案完全正确的题目个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，?而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（） A ．500元 B ．400元 C ．300元 D ．200元

8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，?则第二季度共生产零件（）

A ．100万个

B ．160万个

C ．180万个

D ．182万个二、填空题

9．若ax 2

+bx+c=0是关于x 的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．

10．已知关于x 的方程x 2+3x+k 2

=0的一个根是-1，则k=_______． 11．若

x 2

-4x+8=________．

12．若（m+1）(2)1

m m x

+-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．

13．若a+b+c=0，且a ≠0，则一元二次方程ax 2

+bx+c=0必有一个定根，它是_______．

14．若矩形的长是6cm ，宽为3cm ，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．

15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．三、计算题（每题9分，共18分） 16．按要求解方程：

（1）4x 2

-3x-1=0（用配方法）；（2）5x 2

（精确到0．1）

17．用适当的方法解方程：

（1）（2x-1）2

-7=3（x+1）；（2）（2x+1）（x-4）=5；

（3）（x 2-3）2-3（3-x 2

）+2=0．

18．若方程x 2

=0的两根是a 和b （a>b ），方程x-4=0的正根是c ，

试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．

19．已知关于x 的方程（a+c ）x 2

+2bx-（c-a ）=0的两根之和为-1，两根之差为1，?其中a ，b ，c 是△ABC 的三边长．

（1）求方程的根；（2）试判断△ABC 的形状．

20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市

场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？

21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11?公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N （N<12

【中考真题】

22.（2008广州）方程(2)0x x +=的根是（）

A 2x =

B 0x =

C 120,2x x ==-

D 120,2x x ==

23.（2008襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81

％，则平均每次降价（） A ．10％

B ．19％

C ．9.5％

D ．20％

24.（2008威海）关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定

25．（2008四川省资阳）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2

+ 2cx

+ (a + b )＝0的根的情况是（）

A ．没有实数根

B ．可能有且只有一个实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．有两个不相等的实数根

26．（200年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于x 的一元二次方程022

=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 .

27.（2008江苏省淮安市）小华在解一元二次方程x 2

-4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．

28．(2008东莞市)在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上

截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

29．(2008

年湘潭)阅读材料：

如果1x ，2x 是一元二次方程2

0a x b x c ++=的两根，那么有

1212,b c

x x x x a a

+=-=.

这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:

设12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求22

12x x +的值.

解法可以这样：126,x x +=-123,x x =-则

222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--?-=. 请你根据以上解法解答下题：

已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求：（1）12

x x +的值；（2）212()x x -的值.

顶尖教育一元二次方程单元测试卷（考试时间：120分，满分： 150分）

姓名成绩评定

一、选一选（每小题3分，共36分）

1．方程x 2

+4x=2的正根为（）

A ．2-6

B ．2+6

C ．-2-6

D ．-2+6

2．已知关于x 的一元二次方程的两个根是1和-2，则这个方程是（） A.022=--x x B.022=-+x x C.0122=--x x D.0122=-+x x 3.某商品两次价格上调后，单价价格从4.05元变为5元,则平均每次调价的百分率约为（）

A ．9%

B ．10%

C ．11%

D ．12%

4.若使分式1

222--+x x x 的值为零，则x 的取值为（）

A ．1或-1 B.-3或1 C.-3 D.-3或1

5．将方程3（2x 2

－1）=（

+3x+5化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为。（）

A ．5，3，5

B ．5，－3，－5

C ．7

2 D ．8，6，1

6．某商店卖出A 、B 两种价格不同的商品，商品A 连续两次提价20%，同时商品B?连续两次降价20%，结果都以a 元出售，则两种商品的原价分别是（） A.（1+20%）2

；a （1－20%）2

B ．

;(120%)(120%)a a +-；

2.(120%);

.(120%)(120%)a

a C a D +-+; a （1－20%）

7．已知一个三角形的两边长是方程1582

+-x x 的根，则第三边长y 的取值范围是（）

A ．y<8 B.2

8．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，?那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这两位数是（）

A ．16

B ．25

C ．52

D ．61 9．若n 是02

=++n mx x 的根（)0≠n ，则m+n 等于（） A ．2

B.-1

C.21

D. 1

10．直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为（） A

.5B C ．7

11．如果关于x 的一元二次方程ax 2

+2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的最大整数值 ( )

(A)1. (B)2. (C)0. (D)－1

12．已知一直角三角形的三边长为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a （x 2

－1）

?－2x+b （x 2

+1）=0的根的情况为（）

A ．有两个相等的实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定二、填一填（每小题3分，共30分）

13．方程（x-2）（x-3）=6的解为____________． 14．若

x 2

-4x+4=________．

15.若关于x 的方程062

=-+mx x 有一根是2，则另一根为___________ 16．已知一元二次方程有一个根为2，那么这个方程可以是____________（只需写一个）

17．某种型号的微机，原售价为7200元/台，经过连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次的百分率为____________________.

18.要给一副长30cm,宽25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm,则根据题意，列出方程是

___________________________

19.代数式322

--x x 的最小值是____________ 20．已知,062

=--y xy x 则

的值是____________； 21．已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实数根，则k 的取值范围

______________

22．若()()

5312222=-+++y x y x ，则22y x +=_____________

三、解答题（仔细是我们要培养的良好习惯）

23．（5分）012022

=-+x x （用配方法） 24. （5分）()2723

2=-x

25．（5分）06552=--x x 26.

（5分）04882

=--x x

27. （5分）()()22241-=+x x 28.（5分）()()0214122=---x x

29．（10分）已知关于x 的方程（m+1）x 21

m ++（m －2）x －1=0，问：（1）m 取何值

时，它是一元二次方程？并求方程的解；

30. （10分）如图，在长为32 m ，宽为20 m 的矩形地面上修建同样宽度的道路（图

中阴影部分），余下的部分种植草坪，要使草坪的面积为540m 2

,求道路的宽？

31．（10分）某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不

变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。

32．（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，

为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调

查发现，?如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场

平均每天要赢利1 200元，?每件衬衫应降价多少元？

温馨提示：恭喜你完成了这份试卷，请仔细再检查一遍，考试高分的技巧在于把会

做的题目做对。

、

一、

1．B 点拨：方程①与a的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，?是一

元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为（a+1

）

．不论a 取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除，?故一元二次方程仅有2个． 2．B 点拨：由a-3≠0，得a ≠3．

3．C 点拨：用换元法求值，可设x+y=a ，原式可化为a （1-a ）+6=0，解得a 1=3，a 2=-2．

4．D 点拨：把原方程移项，变形为：x 2

=-3k ．由于实数的平方均为非负数，故-3

k ≥0，?则k ≤0．

5．B 点拨：-x 2+4x-5=-（x 2-4x+5）=-（x 2-4x+4+1）=-（x-2）2

=-1．

由于不论x 取何值，-（x-2）2≤0，所以-x 2

+4x-5<0．

6．A 点拨：第（1）题的正确答案应是x=±a ；第（2）题的正确答案应是x 1=1，x 2=1

．第（3）题的正确答案是5

7．C 点拨：设商品的原价是x 元．则0.75x+25=0.9x-20．解之得x=300． 8．D 点拨：五月份生产零件：50（1+20%）=60（万个）

六月份生产零件50（1+20%）2

=72（万个）

所以第二季度共生产零件50+60+72=182（万个），故选D ．二、

9．a>-2且a ≠0 点拨：不可忘记a ≠0．

10．

点拨：把-1代入方程：（-1）2

+33（-1）+k 2

=0，则k 2

=2，所以k=

11．14 点拨：由

x-2）2

=10，即

x 2-4x+4=10，? 所以x 2

-4x+8=14．注意整体代入思想的运用． 12．-3或1 点拨：由(2)12,

10.

m m m +-=??

+≠? 解得m=-3或m=1．

13．1 点拨：由a+b+c=0，得b=-（a+c ），原方程可化为ax-（a+c ）x+c=0，

解得x 1=1，x 2=

c a

． 14．

点拨：设正方形的边长为xcm ，则x 2

=633，解之得x=±

边长不能为负，故

．

15．30或-30 点拨：设其中的一个偶数为x ，则x （x+2）=224．解得x 1=14，x 2=-16，?则另一个偶数为16，-14．这两数的和是30或-30．三、

16．解：（1）4x 2-3x-1=0，称，得4x 2

-3x=1，

二次项系数化为1，得x 2

-34x=14，配方，得x 2-34x+（38）2=14+（38

）2，

（x-38）2=2564，x-38=±58，x=38±5

8，

所以x 1=38+58=1，x 2=38-58=1

．

（2）5x 2

）=0，

，

所以x 1

≈=0.9，x 2

≈1.3．点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题．

17．解：（1）（2x-1）2

-7=3（x+1）

整理，得4x 2

-7x-9=0，因为a=4，b=-7，c=-9．

所以

即x1

（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得2x2-7x-9=0，（x+1）（2x-9）=0，即x+1=0或2x-9=0，

所以x1=-1，x2=9

．

（3）设x2-3=y，则原方程可化为y2+3y+2=0．解这个方程，得y1=-1，y2=-2．

当y1=-1时，x2-3=-1．x2=2，x1

当y2=-2时，x2-3=-2，x2=1，x3=1，x4=-1．

点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程，?审题就显得更重要了．方程（3）采用了换元法，使解题变得简单．

18．解：解方程x2

=0，得x1

方程x2-4=0的两根是x1=2，x2=-2．

所以a、b、c

2．

，所以以a、b、c为边的三角形不存在．

点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断．

19．解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1>x2），则x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1．

（2）当x=0时，（a+c）302+2b30-（c-a）=0．

所以c=a．当x=-1时，（a+c）3（-1）2+2b3（-1）-（c-a）=0．a+c-2b-c+a=0，所以a=b．即a=b=c，△ABC为等边三角形．

点拨：先根据题意，列出关于x，x的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和-1．进而把这两个根代入原方程，判断a、b、c的关系，确定三角形

的形状．

20．解：设该产品的成本价平均每月应降低x．

625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500

整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．

1-x=±0.9，x=1±0.9，

x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．

答：该产品的成本价平均每月应降低10%．

点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，?要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，?关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．

21．解：依题意，N+（6-3）3

+（11-6）3

=29.10，

整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10，

由于N<12，所以N1=19.1舍去，所以N=10．

答：起步价是10元．

点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是10元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部分每公里再

付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6?公里的部分，每公里再付

元．

22．C 23。 A 24。B 25。A 26。-2 27。0

28．.解：设小正方形的边长为xcm.

由题意得，2

108480%108

?-=??.

解得，

2,2

x x

==-.

经检验，

x=符合题意，

x=-不符合题意舍去.

∴2

x=.

答：截去的小正方形的边长为2cm.

29．解：

1212

4,2

x x x x

+==

（1）12

1212

114

x x

x x x x

+===

（2）222121212()()44428x x x x x x -=+-=-?=

1、答案：解：（1）设A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x 千米，由题意得

1201023

x x

+=，解得180x =． A ∴地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．

（2）1.8180282380?+?=（元），

∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．

（3）设这批货物有y 车，

由题意得[80020(1)]3808320y y y -?-+=，整理得2

604160y y -+=，解得18y =，252y =（不合题意，舍去），∴这批货物有8车．

∴ 做一个这样的箱子要花3520700?=元钱． ………………………………10分

2、答案：解：（1）据表格，可得792.7154.2298.6565.8x y y +=??-+=?，解方程组，得371.3421.4.

x y =??

=?，（2）设2006年至2008年全省茶叶种植产茶年总产量的平均增长率为p ， ∵2006年全省茶叶种植产茶面积为267.2万亩，从而2006年全省茶叶种植产茶的总产量为267.20.05213.8944?=（万吨）．据题意，得213.8944(1)22p +=，解方程，得1 1.26p +±≈，∴0.26p = 或 2.26p =-（舍去），从而增长率为26%p =． 3、答案：设这种箱子底部宽为x 米，则长为(2)x +米，

依题意，得(2)115x x +?=．解得15x =-（舍），23x =． ∴ 这种箱子底部长为5米、宽为3米．

由长方体展开图知，要购买矩形铁皮面积为(52)(32)35+?+=（米2

）． ……9分

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳第二十一章二次根式一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质（1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a

（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。第二十二章一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元

2014～2015年新人教版七年级上册《数学》教案(全)

2014～2015年新人教版七年级上册《数学》教案

第一章有理数课题：1.1 正数和负数（1）【学习目标】：1、掌握正数和负数概念； 2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数； 3、体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。【重点难点】：正数和负数概念【教学过程】：一、知识链接： 1、小学里学过哪些数请写出来：、、。 2、阅读课本P2三幅图（重点是三个例子，边阅读边思考）回答下面提出的问题： 3、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？二、自主学习 1、正数与负数的产生（1）、生活中具有相反意义的量如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量。请你也举一个具有相反意义量的例子：。（2）负数的产生同样是生活和生产的需要 2、正数和负数的表示方法（1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。（2）活动：两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示. （3）阅读P2的内容 3、正数、负数的概念 1）大于0的数叫做，小于0的数叫做。 2）正数是大于0的数，负数是的数，0既不是正数也不是负数。

【课堂练习】： 1. P3第1，2题（直接做在课本上）。 2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作 _______,-4万元表示________________。 3．已知下列各数：51-，4 32-，3.14，+3065，0，-239；则正数有_____________________；负数有____________________。 4．下列结论中正确的是 …………………………………………（） A ．0既是正数，又是负数 B ．O 是最小的正数 C ．0是最大的负数 D ．0既不是正数，也不是负数【要点归纳】：正数、负数的概念：（1）大于0的数叫做，小于0的数叫做。（2）正数是大于0的数，负数是的数，0既不是正数也不是负数。【拓展训练】： 1．零下15℃，表示为_________，比O ℃低4℃的温度是_________。 2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_______地，最低处为_______地． 3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________。 4．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度。【课后作业】P5第1、2题【板书设计】：【总结反思】：

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章一元二次方程 1．一元二次方程预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个，并且未知数的最高次数是的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的． 3．一元二次方程的一般形式是．例题讲解【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数．基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．