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(完整word版)第1章复变函数习题答案习题详解

第一章习题详解

1．求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1)

231

+ 解：

()()()13

2349232323231231i

i i i i i -=+-=-+-=+

实部：13

231=

???

??+i Re 虚部：132231-=??

??+i Im

共轭复数：1323231i

i +=

??+ 模：131

1323231

22=+=

辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213

3132

2231231+?

?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i

i i --

131 解：

()()()2

532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=--

实部：2

3131=???

??--i i i Re 虚部：25131-=??

??--i i i Im

共轭复数：253131

i i i i +=??

??-- 模：2

4342531312

22=

=+=

--i

i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+????

? ??-=+??? ??--=??? ??--arg

()()i

i i 25243-+

解：

()()()2

26722672

72625243i

i i

i i --=

-+=

--=

-+ 实部：()()2725243-=??

??-+i i i Re

虚部：()()1322625243-=-

=??

??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i

i i i +-=

??-+ 模：

()()

292522627252432

=??

? ??-+??? ??-=-+i

i i

辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ?

?--=??? ??-+ 4) i i

i +-21

解：i i i i i

i 3141421

8-=+-=+-

实部：(

)1421

8=+-i i i Re 虚部：(

)3421

8-=+-i i

i Im

共轭复数：()

i i i i 314218+=+- 模：103142221

=+=+-i i

辐角：(

)()πππk arctg k arctg k i i i i i

i Arg 2321324421821

+-=+??

??-=++-=+-arg

2．当x 、y 等于什么实数时，等式

()i i

y i x +=+-++13531成立？

解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：

()()()i i i y i x 8235131+=++=-++

?=-=+8321y x ?

??==?111

y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。

3．证明虚数单位i 有这样的性质：i i i ==--1

证明：i i i i i

-===

-2

1 i i i i -=-=+=00 i i i ==-∴-1

4．证明 1) z z z

证明：设iy x z +=，则iy x z -=

()(

)22

y x

x iy x z +=+=

+=∴

()()22y x iy x iy x z z +=-+=

z z z =∴2

2) 2121z z z z ±=±

证明：设111iy x z +=，222iy x z +=，则有：

()()()()()()21212121221121y y i x x y y i x x iy x iy x z z ±-±=±+±=+±+=± ()()()()()()21212211221121y y i x x iy x iy x iy x iy x z z ±-±=-±-=+±+=± 2121z z z z ±=±∴

3) 2121z z z z = 证明：设1

11θi e

r z =，2

22θi e

r z =，则有：

()()21212121212121θθθθθθ+-+===i i i i e r r e r r e r e r z z ()21212121212121θθθθθθ+---==?=i i i i i e r r e r e r e r e r z z 2121z z z z =∴ 4) 022

121

≠=????

??z z z z z , 证明：设1

11θi e r z =，2

22θi e

r z =，则有：

()()21212

121212121θθθθθθ---===???

? ??i i i i e r r e r r e r e r z z

()

21212

1212121θθθθθθ----===i i i i i e r r e r e r e r e r z z 2121z z z z =∴ 5) z z =

证明：设iy x z +=，则有

z iy x iy x iy x z =+=-=+=

6) ()()()()

z z i

z z z z -=+=

21Im ,Re 证明：设iy x z +=，则iy x z -=

()

()()z x iy x iy x z z Re ==++-=+21

21 ()

()()[]()()z y y i i

iy x iy x i z z i Im ===--+=-221

2121 5．对任何2

2,z z z =是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立？解：设iy x z +=，则有：

()2

22y xyi x iy x z -+=+= ()()222

y x iy x iy x z

+=+=+=

z z =Θ ???=-=+∴0

222xy y x y x ? 0=y

故当0=y ，即iy x z +=是实数时，2

2z z =成立。

6．当1≤z 时，求a z n +的最大值，其中n 为正整数，a 为复数。解：a z a z

a z n

+=+≤+

1≤z Θ 1≤∴n

z ? a a z n

+≤+1 即a a z n +≤+1

a z n

+的最大值是a +1

7．判定下列命题的真假： 1) 若c 为实常数，则c c =；

解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。 2) 若z 为纯虚数，则z z ≠；

解：真命题。设()0≠=y iy z ，则iy z -=，显然z z ≠。

3) i i 2<；

解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。 4) 零的幅角是零

解：假命题。复数0的幅角是任意的，也是无意义的。 5) 仅存在一个数z ，使得

z z

-=1

；解：假命题。有两个数i z i z -==,，使

z z

-=1

成立。 6) 2121z z z z +=+；

解：假命题。设有两个数i z i z -==21,，使2121z z z z +=+不成立。 7)

iz z i

解：真命题。iz z i z i

=-=1

8．将下列复数化为三角表示式和指数表示式： 1) i

解：1==i r ，()2

i arg

e i i =+=∴sin

cos

2) 1-

解：11=-=r ，()π=-1arg π

ππi e i =+=-∴sin cos 1 3) 31i +

解：231=+=i r ，()

1331π==+arctg

i arg 33

31π

e i i =+=+∴sin

cos

4) ()π???≤≤+-01sin cos i 解：()????

???22222111sin cos cos sin cos sin cos +-+=+-=

+-=i r

()????????? ?

?--=???

?????? ??+-=-=-=22122212122222??????sin cos cos cos cos

22242212222????sin sin sin cos ==?????

+-=

()22211?

π?π?????-=

??? ?

?-=??? ??=-=+-tg arctg arcctg arctg arctg

i cos sin sin cos arg ??

?-=??

???

??? ??-+??? ??-=+-∴22222221?π??π?π???i e i i sin sin cos sin sin cos

另：222222222112?????????cos sin sin sin cos sin cos i i i +=??

??++???

??+-=+-

222

222222?

π?

?π?

π????-=??

??-+-=??? ??

+=i

i i sin sin

cos

sin cos sin sin

另：()()??????sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos ++-=+-+=+-00001i i i i

222222*********?

π????????-=??? ??+-=-++-+-=i

i i sin cos sin sin cos sin sin sin

+-12

解：

()i i

i i i i -=-=--=+-12

2221212

21=-=i r ，()()4

111π

=-=-=-arg arg arg i

424421π

ππi e i i -=???

?????? ??-+??

? ??-=-∴sin cos

()()3

23sin 3cos 5sin 5cos ????i i -+

解：()()

??102

55i i e e i ==+sin cos

()()()[]()i i e e i i ??????933333333--==-+-=-sin cos sin cos ()()()()?????????

19193355199103

sin cos sin cos sin cos i e e

e i i i i i +===-+∴

- 9．将下列坐标公式写成复数的形式：

1) 平移公式：?

??+=+=111

1b y y a x x

解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：

()()1111ib a iy x iy x +++=+

即：A z z +=1 2) 旋转公式：??

?+=-=α

αα

αcos sin sin cos 1111y x y y x x

解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：

()()11111111ix y iy x iy y ix x iy x --+=+-+=+ααααααsin cos cos sin sin cos ()()()()()11111111iy x i iy x ix y i i iy x +++=---+=ααααsin cos sin cos ()()()αααi e iy x i iy x 1111+=++=sin cos ()αααi e z i z z 11=+=∴sin cos

10．一个复数乘以i -，它的模与辐角有何改变？解：设θ

i re z = 2

πi

i -=-

?? ?

--==-∴22

πθπθ

i i

i re

e re iz

即：一个复数乘以i -，它的模不变，辐角减小

。 11．证明：(

212

212z z z z z z +=-++，并说明其几何意义。

证明：()()()(

)

212121212

1z z z z z z z z z z ++=++=+

22212111z z z z z z z z +++=

()()()()

212121212

1z z z z z z z z z z --=--=-

22212111z z z z z z z z +--= (

2122112

1222z z z z z z z z z z +=+=-++∴

几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。 12．证明下列各题： 1) 任何有理分式函数()()()

z Q z P z R =

可以化为iY X +的形式，其中X 与Y 为具有实系数的x 与y 的有理

分式函数；

证明：设()y x z iy x z ,=+=，则：

()()()y x iv y x u z P ,,11+=， ()()()y x iv y x u z Q ,,22+=

其中，()y x u ,1，()y x u ,2，()y x v ,1，()y x v ,2皆为关于y x ,的实系数多项式。

()()()()()()()()()()iY X v u v u v u i v v u u v u iv u iv u y x iv y x u y x iv y x u z Q z P +=+-++=+-+=++=22

2221122121222222112211,,,, 其中：22222121v u v v u u X ++=

，2

2222112v u v u v u Y +-= ? ()()()

iY X z Q z P z R +== Y X ,为具有实系数的关于y x ,的有理分式函数。

2) 如果()z R 为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么()

iY X z R -=；证明：因为()z R 为具有实系数的有理分式函数，所以 ()

()()()()()()()()()

()()2

22222112211v u iv u iv u y x iv y x u y x iv y x u z Q z P z Q z P z R z R -+-=--==????

??==,,,, ()()

iY X v

u v u v u i v v u u -=---+=

21122121

其中：22222121v u v v u u X ++=

，2

222

112v u v u v u Y +-= 3) 如果复数ib a +是实系数方程011

10=++++--n n n n a z a z a z a Λ的根，那么ib a -也是它的根。证明：令()n n n n a z a z

a z a z f ++++=--11

10Λ 因为ib a +是方程()0=z f 的根，()0=+∴ib a f ? ()0=+ib a f 又因为的系数为实数， ()()

()ib a f ib a f ib a f -=+=+∴

因此()0=-ib a f 。即ib a -也是方程()0=z f 的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。 13．如果it

e z =，证明： 1) nt z z n

cos 21

证明：it

e z =Θ ()()

()()nt nt i nt nt i nt e e e e z z n it n it n n cos sin cos sin cos int

int 211=-++=+=+=+

∴- 2) nt i z z n

sin 21

证明：it

e z =Θ

()()

()()nt i nt i nt nt i nt e e e e z z n it n it n n sin sin cos sin cos int

int 211=--+=-=-=-

∴- 14．求下列各式的值： 1)

(

)

3i -

解：6

23πi

i -=-Θ

(

)

i i e e i

i i 16316656532223655

--=??? ??-==???? ?

?=-∴

--πππ

πsin cos 2)

()61i +

解：421π

e i =

+Θ

()

()i i e

e i i

i 82323882212

-=??

? ??

+===???

? ?

?=+∴πππππsin cos

解：π

i e

=-1Θ

()

ππn i e

261

1+=-∴ ()543210,,,,,=n

即：i w 21230+=，i w =1，i w 21232+-=，i w 21233--=，i w -=4，i w 2

235-= 4)

()311i -

解：4

21πi

i -=

-Θ

()

??+-=-∴ππn i e

i 243163

21 ()210,,=n

即：??? ??-==

-1212226

0πππ

sin cos i e

w i

，??? ??+==12712722612761πππ

sin cos i e w i ，

? ??

+==45452264

562πππ

sin cos i e

w i

15．若()()n

i i -=+11,试求n 的值。解：()()n

i i -=+11Θ

()

()??

??+=

???

?????? ?

?+=+4

424421ππππn i n i i n

sin cos sin cos

()()??

??-=

????????? ?

?-=-4

424421ππππn i n i i n

sin cos sin cos

44ππn n sin sin

-=∴ ? 04

=πn sin ? ππ

k n =4 ? k n 4=()Λ,,,210±±=k

16．

1) 求方程083

=+z 的所有根；解：083

=+z Θ 3388πi e z =-=Θ

22ππn i

z +=Θ()210,,=n

即：3123

0i e

z i

+==π

，221-==π

i e

z ，3123

52i e

z i

-==π

2) 求微分方程08'

''=+y y 的一般解。

解：微分方程08'''=+y y 的特征方程为：083

=+r 。由前题得：310i r +=，21-=r ，312i r -= 微分方程08'''=+y y 有三个线性无关的特解：()x i e y 310+=，x e y 21-=，()x i e y 312-=

微分方程08'''=+y y 有三个线性实数特解：x e x 3cos ，x e x

3sin ，x

e 2-

一般解为：()

x c x c e e c y x x 333221sin cos ++=-()R c c c ∈321,,

17．在平面上任意选一点z ，然后在复平面上画出下列各点的位置：z

z z z z 1,1

,1,,,---

解：

18．已知两点1z 与2z （或已知三点321,,z z z ），问下列各点z 位于何处？ 1) ()212

z z z +=

；解：z 位于1z 与2z 连线的中点。

2) ()211z z z λλ++=，其中λ为实数；解：z 位于1z 与2z 连线上，其中2

12z z z z --=

λ。

3) ()3213

z z z z ++=

。解：z 位于以1z ,2z ,3z 为顶点的三角形的重心上。

19．设321,,z z z 三点适合条件0321=++z z z ，1321===z z z 。证明：321,,z z z 是内接于单位圆

1=z 的一个正三角形的顶点。

证明：（方法一）

1321===z z z Θ ? 1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。令111??sin cos i z +=，222??sin cos i z +=，333??sin cos i z +=

其中π???π≤≤≤<-321。? π??2012<-≤，π??2023<-≤，π??2013<-≤ 0321=++z z z Θ ? 321z z z -=+∴ ??

?-=+-=+3

21321??????sin sin sin cos cos cos ()()??

?→?+2

221 ()2112-=-??cos ()3212π??=

-∴或()3

412π

??=- 同理可得：()3223π??=-∴或()3423π

??=-

分析：如果()3412π??=-，()3223π??=-，则()π??213=-；如果()3

412π

??=-，

()3423π??=-，则()3813π??=-与π??2012≤-≤矛盾。()3

212π??=-∴。

同理()3

223π

??=-。

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法二）

1321===z z z Θ ? 1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。

()()()()

211221122

212122

122z z z z z z z z z z z z z z z z +-=+-+=--=-

0321=++z z z Θ ? 12

1=-=+z z z

()()()()

12211221122

212122

12=++=+++=++=+z z z z z z z z z z z z z z z z

12112-=+∴z z z z ? ()

()312221122

2=--=+-=-z z z z z z

同理：32

3=-z z ，32

13=-z z 。于是32

12=-=-=-z z z z z z

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法三）

1321===z z z Θ ? 1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。

0321=++z z z Θ ? 321z z z -=+

()2

122122z z z z z z +=-++Θ

(

)(

)()311122223

222

12=-+=--+=+-+=-∴z

z z z z

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法四）

1321===z z z Θ ? 1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。

设k k k iy x z += ()321,,=k

0321=++z z z Θ ? ???=++=++00321321y y y x x x ? ???--=--=321

21y y y x x x

1321===z z z Θ ? 12

3232222

2121=+=+=+y x y x y x 而()()()()12

322

121=+++=--+--=+y y x x y y x x y x

()()()()()12323223232

222

322

32=+++++=+++∴y y x x y x y x y y x x ()123232-=+∴y y x x 同理?()121121-=+y y x x ，()123131-=+y y x x

()()()()()32212122222

212

21=+-+++=-+-∴y y x x y x y x y y x x 即321=-z z 同理? 332=-z z ，313=-z z

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法五）

设()()()0321=---z z z z z z ，则321,,z z z 是该方程的三个根。

而()()()()()3211332212

3213321z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -+++++-=---

0321=++z z z Θ，1321===z z z

()()()()

123321122332113321133221z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++=++=++ ()0321321133221=++=++∴z z z z z z z z z z z z

()()()03213321=-=---∴z z z z z z z z z z

所以321z z z ，，是的三个根，即321z z z ，，分别是复数321z z z 的三次方根。又因为1321===z z z ，所以321z z z ，，均匀地分布在单位圆1=z 上，即321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法六）

如右图所示：0321=++z z z Θ?321z z z -=+

()121321===-=--∴z z z z z

所以()21z O z -?为等边三角形。同理可知()23z O z -?为等边三角形，于是有：

13ππ

∠Oz z 同理 3221π=

∠Oz z ，3

232π=∠Oz z 1321===z z z Θ，所以321z z z ，，均匀地分布在单位圆1=z 上。命题得证。

20．如果复数321,,z z z 满足等式

11312z z z z z z z z --=--，证明321312z z z z z z -=-=-，并说明这些等

式的几何意义。证明：3

2311312z z z z z z z z --=--Θ

3231212

32221z z z z z z z z z ++=++∴ 且321z z z ≠≠

321z z z ?是等边三角形的充分必要条件是

()()[]()[]{}???

??±-+--=-=-?

????

±-23212323233232123i z z i z z z z e

z z z z z z i arg sin arg cos arg π ()????

??±-=-∴23212321i

z z z z ()()[]()[]{}???

??-+--=-=-?

????

-23212323233233123i z z i z z z z e

z z z z z z i μμarg sin arg cos arg π ()????

??-=-∴23212331i

z z z z μ ()()

()()()2

232

22322232

312

2123212321z z i z z i z z z z z z --=???

? ??-+???? ??±-=-+-∴μ 3231212

32221z z z z z z z z z ++=++∴

因此，满足3

11312z z z z z z z z --=--Θ

的点1z ，2z ，3z 为顶点的三角形是等边三角形，必有

321312z z z z z z -=-=-

21．指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图：

1) 65=-z ；

解：设iy x z +=，则65=-z Θ ? ()3652

=+-y x

即65=-z 是以5=z 为圆心，半径为6的圆周。 2) 12≥+i z ；

解：设iy x z +=，则12≥+i z Θ ? ()122

≥++y x

即12≥+i z 是以i z 2-=为圆心，半径为1的圆周及其外部。 3) ()12Re -=+z ；

解：设iy x z +=，则()12-=+z Re Θ ? 12-=+x 即()12Re -=+z 是平行于y 轴的通过3-=z 的直线。 4) ()

3Re =z i ；

解：设iy x z +=，则()

3=z i Re Θ ? 3=y 即()

3Re =z i 是平行于x 轴的通过i z 3=的直线。 5) i z i z -=+；

解：设iy x z +=，则i z i z -=+Θ ? ()()2

211-+=++y x y x ? 0=y

即i z i z -=+是平行于x 轴。 6) 413=+++z z ；

解：设iy x z +=，则413=+++z z Θ ?

()13

222

=++y x 即413=+++z z 是以3-=z ，1-=z 为焦点，长的半轴为2，短半轴为3的椭圆。 7) ()2Im ≤z ；

解：设iy x z +=，则()2≤z Im Θ ? 2≤y

即()2Im ≤z 是过i z 2=的平行于x 轴的直线及其下半平面。

≥--z z ；

解：设iy x z +=，则

123≥--z z ? ()()22

2223y x y x +-≥+- ? 2

5≤x ()2≠z 即

123≥--z z 是去掉过2=z 的半平面2

≤x 。 9) π<

解：满足π<

-i z arg 。

解：设iy x z +=，则()4

=-i z arg Θ ? ()[]4

1π

-+y i x arg

即()4

-i z arg 是以i z =为端点的射线1+=x y ，0>x 。

22．描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的： 1) ()0Im >z ；

解：设iy x z +=，则()0Im >z ?0>y ，表示不包含实轴的上半平面，是无界的单连通域。 2) 41>-z ；

解：设iy x z +=，由41>-z 得()1612

>+-y x ，表示以1=z 为圆心半径为4的圆（不含圆周）

的外部，是无界的多单连通域。 3) ()1Re 0<

解：设iy x z +=，则()1Re 0<

解：32≤≤z 表示介于圆2=z 与3=z 之间的圆环域（含两圆周），是有界的多连通域。 5) 31+<-z z ；

解：设iy x z +=，由31+<-z z ?1->x ，表示直线1-=x 右边的半平面区域（不含直线），是无界的单连通域。

6) π+-<<-1arg 1z ；

解：π+-<<-1arg 1z 表示由射线1-=?与π?+-=1所围成的角形区域（不含两射线），是无界的单连通域。

7) 141+<-z z ；

解：设iy x z +=，由141+<-z z ?2

21581517?

? ??>+??? ??+y x ，表示以1517-=z 为圆心半径为158的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。 8) 622≤++-z z ；

解：622≤++-z z 表示以2=z 与2-=z 为焦点长半轴3=a 短半轴5=b 的椭圆及其内部，是有

界的单连通闭域。 9) 122>+--z z ；

解：122>+--z z 表示以2=z 与2-=z 为焦点实半轴2

=a 虚半轴215=b 的双曲线左边一支的

左侧，是无界的单连通域。 10) ()()422≤--+-z i z i z z 。

解：设iy x z +=，由()()422≤--+-z i z i z z ?()()2

312≤++-y x ，表示以点i z -=2为圆

心半径为3的圆及其内部，是有界的单连通闭域。

23．证明复平面上的直线方程可写成：c z a z a =+，（0≠a 为复常数，c 为实常数）。证明：设点iy x z +=在直线上，则直线方程可写成：c By Ax =+ ()R c B A ∈,,

又()

x z z =+21Θ

，()

y z z i =-21

()()

c z z B i

z z A =-++∴21

21 整理得：()()c z iB A z iB A =++-21

令()iB A a +=21，则()iB A a -=2

。因为B A ,不全为零，所以0≠a 。

? c z a z a =+ 是复平面上的直线方程（0≠a 为复常数，c 为实常数）。

24．证明复平面上的圆周方程可写成：0=+++c z a z a z z （其中a 为复常数，c 为实常数）。证明：设点iy x z +=在圆上任意一点，点000iy x z +=为圆心，半径为a ，则圆的方程为：

()()22020a y y x x =-+-

()x z z =+21Θ，()

y z z i =-21。代入上式，得：()

()

02121a y z z i x z z =??

????--+??????-+。整理得：()()022*******=-+++---a y x z iy x z iy x z z 令c a y x =-+2

2020，()00iy x +-=α，()00iy x --=α

? 0=+++c z z z z αα 是复平面上的圆的方程（α为复常数，c 为实常数）。

25．将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： 1) ()i t z +=1；

解：设iy x z +=，则()i t iy x z +=+=1 ? ???==t

y t

x ? x y =

2) t ib t a z sin cos +=，（b a ,为实常数）；

解：设iy x z +=，则t ib t a iy x z sin cos +=+= ? ???==t

b y t a x sin cos ? 122

22=+b y a x

3) t

t z +

=；解：设iy x z +=，则t i t iy x z +=+= ? ??

??==t y t

x 1 ? x y 1=

4) 22

t z +

=；解：设iy x z +=，则22

t i t iy x z +=+= ? ??

???==2

t y t x ? ()001≥≥=y x x y , 5) ibsht acht z +=，（b a ,为实常数）；

解：设iy x z +=，则ibsht acht iy x z +=+= ? ???==bsht

y acht x ? 12222=-b y a x 12

2=-t sh t ch Θ

6) it

ae z -+=；

解：设iy x z +=，则it

ae iy x z -+=+=?()()?

??-=+=t b a y t b a x sin cos ? ()()12

22=-++b a y b a x 7) t

e z α=，（bi a +=α为复数）。

解：设iy x z +=，则()t

bi a t

e e

iy x z +==+=α??????==bt e y bt e x at

sin cos ? ?????==+bt

y e y x at

tan 222 ? ??

???==+x y b t e y x at arctan

1222 ? x

b a e

y x arctan 222=+

26．函数z

w 1

把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1) 42

=+y x ；

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ ? ???

???

+-=

+=2222y x y v y x x u

422=+y x Θ ? 4

+v u 是w 平面上的圆。 2) x y =；

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ ? ???

???

+-=

+=2222y x y v y x x u

y x =Θ ? v u -=且0≠z 是w 平面上的直线。 3) 1=x ；

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ ? ???

???+-=

+=2222y x y v y x x u

1=x Θ ? 2

v u u += ? 412122

=+??? ?

-v u 是w 平面上的圆。

()112

2=+-y x 。

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ ? ???

???

+-=

+=2222y x y v y x x u

()1122

=+-y x Θ ? x y x 22

2=+ ? 2

u 是w 平面上的直线。 27．已知映射3

z w =，求： 1) 点i z =1，i z +=12，i z +=

33在w 平面上的象；

解：i i z w -===3

311 ()i i z w 2213

322+-=+==

(

)

i i i

z w 82233

33=+-=+=

2) 区域3

0π

解：3

0π

0?<

<∴π

w arg ? π<<∴w arg 0

28．证明§6定理二与定理三。

定理二如果()A z f z z =→lim 0

，()B z g z z =→lim 0

，那么

1) ()()[]B A z g z f z z ±=±→lim 0

；

()()[]AB z g z f z z =?→lim 0

；

3) ()()()00

≠=→B B

z g z f z z lim

证明：

1) ()A z f z z =→lim 0

，()B z g z z =→lim 0

，则0>?ε

01>?δ，使100δ<-

<-A z f 02>?δ，使200δ<-

-B z g

取()21δδδ,m in =，则当δ<-<00z z 时，必有

()()[]()()()εε

<-+-≤±-±2

B z g A z f B A z g z f 成立。

故()()[]B A z g z f z z ±=±→lim 0

。

2) ()B z g z z =→lim 0

，则01

>?δ

及0>M ，使100δ<-

0>?ε，()A z f z z =→lim 0

，02>?∴δ，使200δ<-

M A z f +<

-ε

；

又()B z g z z =→lim 0

，故存在03>δ，使300δ<-

M B z g +<

-ε

取()321δδδδ,,m in =，则当δ<-<00z z 时，必有

()()()()()()εε

=+++≤

-+-=-A

M A

M AB z Ag z Ag z g z f AB z g z f

故

()()[]AB z g z f z z =?→lim 0

。

3) ()()00

≠=→B B z g z z lim Θ，则01>?δ及0>M ，使100δ<-

B z g <

0>?ε，()A z f z z =→lim 0

，()B z g z z =→lim 0

>?∴δ

，使200δ<-

()()

B A B A z f +<

-22ε

03>?δ，使300δ<-

B A B B z g +<-22ε

取()321δδδδ,,m in =，则当δ<-<00z z 时，必有

()()()()()()()()()[]()[]()B

z g B z g A A z f B B z g AB z Ag AB z Bf B z g z Ag z Bf B A

z g z f ?---=?+--=?-=- ()()()()()

εε

ε=+++=

?-+-≤

222

22B B A B A B A B B B

z g B

z g A A z f B

故

()()()00

≠=→B B

z g z f z z lim

。定理三函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在000iy x z +=处连续的充要条件是：

()y x u ,和()y x v ,在点()00y x ,处连续。

证明：()()()y x iv y x u z f ,,+=在000iy x z +=处连续，()()0

z f z f z z =∴→lim ，即

()()[]()()0

y x iv y x u y x iv y x u z z ,,,,lim +=+→ ?

()()0

0y x u y x u y y x x ,,lim ,=→→，()()0

0y x v y x v y y x x ,,lim ,=→→

即()y x u ,和()y x v ,在点()00y x ,处连续。

29．设函数()z f 在0z 连续且()00≠z f ，那么可找到0z 的小邻域，在这邻域内()0≠z f 。证明：()00≠z f Θ ()00>∴z f 函数()z f 在0z 连续，即()()0

z f z f z z =→lim

可取()02

z f ε，存在()0>εδ，使得当()εδ<-0z z 时，有 ()()()002

z f z f z f =<-ε 又()()()()00z f z f z f z f -<- ? ()()()002

z f z f z f <- ()()()()02

21000>=->∴z f z f z f z f

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

复变函数第二章标准答案

复变函数第二章答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第二章解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零

复变函数经典习题及答案

练习题一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ），主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（绝对收敛）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点；二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

复变函数第二章习题答案精编版.doc

第二章解析函数 1-6 题中：（1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析（2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。（1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。（1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y).

证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。，，解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2

复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解 1．利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数）解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2．下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =

第一章复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-；（2） ππ2(cos isin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1i e +；（5）i sin R e θ ；（6）i + 答案（1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ．（2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数（1 （2 答案（1）（2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．

【解】令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.

复变函数课后部分习题解答

（1）(3-i) 5 解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°] (3-i)5 =25[cos(30°?5)-isin(30°?5)] =25(-3/2-i/2) =-163-16i

（2）（1+i ）6 解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 Θx>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ= 4 π ∴1+i=2（cos 4π+isin 4 π ） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 4 6π ） =8（0-i ） =-8i 1.2求下式的值 (3)61-

因为 -1=（cos π+sin π）所以 6 1-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2（4）求(1-i)3 1的值。

解：(1-i)3 1 =[2(cos-4∏+isin-4 ∏ )]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12 ) 18(-k ∏)] (k=0,1,2) 1.3求方程3z +8=0的所有根。解：所求方程的根就是w=38- 因为-8=8（cos π+isin π）所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2

其中ρ=3r=38=2 即 w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i 1 w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2 2 w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i 3 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)>0 解：设z=x+iy 因为Im(z)>0，即，y>0

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（）。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）

复变函数试题及答案

一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续

B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1

复变函数与积分变换试题及答案(2)

复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z

理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分：（1）?+-C n z z z 1 0) (d ,

其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数；（2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环（1）1||0<

7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。

9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换；（2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。

复变函数测试题及答案-精品

第一章复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）

复变函数D卷答案

湖南科技学院二○○ 年学期期末考试专业年级试题考试类型：闭卷试卷类型：D 卷考试时量： 120 分钟一（共7分，每小题1分) 1．nLnz Lnz n =（n 为正整数）（） 2．),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x u 是),(y x v 的共轭调函数。（） 3．函数在可去奇点处的留数为0。（） 4．0是2sin )(z z z f = 的一阶极点。 ( ) 5．复数0的辐角主值为0。（） 6．在复变函数中，0cos ,0sin ,1|cos |,1|sin |2 2 ≥≥≤≤z z z z 同样成立。（） 7．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是其解析区域内的调和函数。（）二、填空题（共28分，每小题4分) 1． i i -1=_________. 2．? =-2 |1|2 z z dz = 。 3． dz z c ?=__________。（其中c 是从1到的直线段） 4．幂级数n n n z n ∑ +∞ =1 的收敛半径R =

5．0为 )1()(2-=z e z z f 的阶零点。 6．2 ||2(1)(3)z dz z z =--?=____________ 7． )1(Re z z s z +∞== 。 8.1z =+arg z =_______________。三、计算题（共39分) 1. 已知),(),()(y x iv y x u z f +=在z 平面上是解析函数，且2 33),(xy x y x u -=，求解)(z f ，使得i f 2)0(=。（12分） 2. 求 ) 1(1 -z z 在10<z 内的展开式。（15分） 3. 利用留数求定积分20 1 .51sin 82 I d π θθ=-? （12分）四、证明题（共12分）若函数)(),(z f z f 在区域D 内都解析，证明在D 内)(z f 为常数。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 31i -的幅角是（ 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）； 3. 2 11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点； 5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周 3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2 ) 1(3--z z ；（C ） 2)2()1(3--z z ；（D ） 2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ） i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数 )(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v

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(完整word版)第1章复变函数习题答案习题详解

复变函数试题与答案

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复变函数第二章标准答案

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复变函数习题答案第2章习题详解

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