专题7 曲线运动1—【讲】
第一部分：考点梳理
考点一、曲线运动的条件与特点
考点二、运动的合成与分解
考点三、小船渡河问题
考点四、关联速度问题
考点五、平抛运动的规律
考点一、曲线运动的条件与特点
1．质点做曲线运动的条件：
方法1——从运动学与动力学的角度判断
方法2——从运动轨迹的角度判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2.曲线运动的特点：
做曲线运动的物体，其速度方向与运动轨迹相切，所受的合力方向与速度方向不在同一条直线上，合考点风向标
力改变物体的运动状态，据此可以判断：
(1)已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间(凹侧)，如图所示。
(2)根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向。
(3)根据合力方向与速度方向间的夹角，判断物体的速率变化情况：夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变，这是匀速圆周运动的受力条件。
（典例应用1）“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射升空，在靠近轨道沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小，在此过程中“神舟十一号”所受合力的方向可能是()
【答案】： C
【解析】：考虑到合力方向指向轨迹凹侧，且由M到N速率减小，可知选项C正确。
(典例应用2)(多选)某质点在几个恒力作用下做匀速直线运动。现突然将与质点速度方向相反的一个力旋转90°，则关于质点运动情况的叙述正确的是()
A．质点的速度一定越来越大
B．质点的速度可能先变大后变小
C．质点做类平抛运动
D．质点一定做匀变速曲线运动
【答案】：AD
【解析】：将与速度反方向的作用力F水平旋转90°时，该力与其余力的合力夹角为90°，这时物体的合力大小为2F，方向与速度的夹角为45°，物体受力的方向与运动的方向之间的夹角是锐角，所以物体做速
度增大的曲线运动，A正确，B错误。开始时物体受力方向与速度的夹角为45°，所以质点的运动不是类平
抛运动，C错误。根据牛顿第二定律得加速度a＝2F
m，所以物体做加速度不变的匀变速曲线运动，D正确。
考点二、运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
(典例应用3)(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，其在x方向的速度图象和y方向的位移图象分别如图所示，下列说法正确的是()
A．质点的初速度为5 m/s
B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动
C．2 s末质点速度大小为6 m/s
D．2 s内质点的位移大小约为12 m
【答案】：ABD
【解析】：由x方向的速度图象可知，质点在x方向的加速度为1.5 m/s2，x方向的受力F x＝3 N，由y方向的位移图象可知，质点在y方向做匀速直线运动，速度v y＝4 m/s，y方向的受力F y＝0，因此质点的初速
度为5 m/s ，A 选项正确；质点受到的合外力为3 N ，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，做匀加速曲线运动，B 选项正确；2 s 末质点速度大小为v ＝62＋42 m/s ＝213 m/s ，C 选项错误；2 s 内水平方向上的位移大小x ＝1
2×(3＋6)×2 m ＝9 m ，竖直方向上位移大小y ＝8 m ，合位移大小l ＝x 2＋y 2＝145
m≈12 m ，D 选项正确。
（典例应用4）在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，已知物体速度越大受到的空气阻力越大。下列描述运动员下落速度的水平分量大小v x 、竖直分量大小v y 与时间t 的图象，可能正确的是( )
【答案】： B
【解析】： 运动员跳伞后做曲线运动，其受空气阻力方向与运动方向相反。空气阻力在水平方向的分力使运动员水平速度减小，所以水平方向上做减速运动的加速度也在减小，直到速度为零；在竖直方向上，随着速度的增大，空气阻力增大，做加速运动的加速度逐渐减小，直至为零，故B 正确，A 、C 、D 均错误。
方法总结：
“化曲为直”思想在运动合成与分解中的应用
(1)分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解。 (2)要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解。 (3)两个分方向上的运动具有等时性，这是处理运动分解问题的关键点。
考点三 小船渡河模型
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：船在静水中的速度v 船、水的流速v 水、船的实际速度v 。 3．两种渡河方式
方式
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最
短时间t min ＝
d v 船
渡河位移最短
当v 水 当v 水>v 船时，如果船头方向(即v 船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最 短渡河位移为x min ＝ d v 水 v 船 (m 处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min 到达正对岸。求： (1)水流的速度。 (2)船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。 【答案】： (1)0.2 m/s (2)1 3 m/s 200 m 53° 【解析】： (1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示： 由x＝v2t1得：v2＝x t1＝120 600m/s＝0.2 m/s (2)由(1)可知d＝v1t1 船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示： v2＝v1cos α d＝v1t2sin α 解以上各式得：α＝53°，v1＝1 3m/s d＝200 m 方法总结1 “三模型、两方案”解决小船渡河问题 方法总结2 解决这类问题的关键 正确区分分运动和合运动，船的划行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。 （典例应用6）(多选)小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船头方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则( ) A ．越接近河岸水流速度越小 B ．越接近河岸水流速度越大 C ．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短 D ．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响 【答案】： AC 【解析】： 由船的运动轨迹可知，河流的中心水流速度最大，越接近河岸水流速度越小，故A 正确，B 错误；由于船头垂直河岸，则这种方式过河的时间最短，C 正确；船过河的时间与水流速度无关，D 错误。 （典例应用7）.如图所示，河道宽L ＝200 m ，越到河中央河水的流速越大，且流速大小满足u ＝0.2x(x 是离河岸的距离，0≤x≤L 2)。一小船在静水中的速度v ＝10 m/s ，自A 处出发，船头垂直河岸方向渡河到达对岸 B 处。设船的运动方向与水流方向夹角为θ，下列说法正确的是( ) A.小船渡河时间大于20 s B.A 、B 两点间距离为200 2 m C.到达河中央前小船加速度大小为0.2 m/s2 D.在河中央时θ最小，且tan θ＝0.5 【答案】：BD 【解析】：小船船头垂直于河岸方向；根据运动的独立性；小船的渡河时间为：s v L t 2010 200 === ； 故A 选项错误；用赋值法小船到达河中央时x=100m ，代入公式u ＝0.2x 得小船到达河中央时的速度大小为v=20m/s;从河岸到河中央水流的速度为匀加速；结合速度公式v=at ；t=10s 可得a=2m/s 2 ，所以C 错误； 小船运动到河中央时的水平位移为；m at x 1002 12 == ，所以小船到达对岸时产生的水平位移为2x=200m ； m x AB 220020020022=+=；故B 选项正确；如图所示；结合矢量三角形得：x v v 0.210 tan = = 水 船θ，小船到达河中央时x=100m 5.0tan =θ，最小；故D 选项正确； 考点四、关联速度问题 1．速度特点：沿绳或杆方向的分速度大小相等。 2．解题的一般思路 (1)明确合速度→物体的实际运动速度v (2)明确分速度→? ???? ①沿绳或杆的分速度v ∥ ②与绳或杆垂直的分速度v ⊥ 3．常见的模型 (典例应用8)如图所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动。则() A．小船速度v2总小于汽车速度v1 B．汽车速度v1总等于小船速度v2 C．如果汽车匀速前进，则小船减速前进 D．如果汽车匀速前进，则小船加速前进 【答案】： D 【解析】： 船的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，如图所示，根据平行四边形定则有v2cos θ ＝v1，则v2＝v1 cos θ，由上可知，小船的速度v2总大于汽车速度v1，故A、B错误；如果汽车匀速前进，随着夹角θ在增大，则小船加速前进，故C错误，D正确。 方法总结 绳(杆)牵连物体的分析技巧 (1)解题关键 找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。 (2)基本思路 ①先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。 ②分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动。 ③确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度 大小相等。 （典例应用9）如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连。由于B 的质量较大，故在释放B 后，A 将沿杆上升，当A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v 1≠0，若这时B 的速度为v 2，则( ) A ．v 2＝v 1 B ．v 2>v 1 C ．v 2≠0 D ．v 2＝0 【答案】： D 【解析】： 如图所示，分解A 上升的速度v 1，v 2＝v 1cos α，当A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α＝90°，故v 2＝0，即B 的速度为零。 考点五、平抛运动的基本规律 1．飞行时间：由t ＝ 2h g 知，飞行时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关。 2．水平射程：x ＝v 0t ＝v 0 2h g ，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定。 3．落地速度：v ＝v 20＋v 2y ＝v 2 0＋2gh ，落地时速度与水平方向夹角为θ，有tan θ＝v y v x ＝2gh v 0。故落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关。 4．速度改变量：做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示。 水平方向 v x ＝v 0，x ＝v 0t 竖直方向 v y ＝gt ，y ＝1 2 gt 2 合速度 大小 v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋(gt )2 方向 与水平方向夹角的正切tan θ＝v y v x ＝gt v 0 合位移 大小 s ＝x 2＋y 2 方向 与水平方向夹角的正切tan α＝y x ＝gt 2v 0 （典例应用10）物体在某一高度处以初速度v 0水平抛出，落地时速度为v ，则该物体在空中运动的时间为(不计空气阻力)( ) A.v －v 0 g B ．v ＋v 0g C.v 2－v 2 0g D ．v 20＋v 2 g 【答案】： C 【解析】： 竖直分速度大小v y ＝v 2 －v 20，与时间 t 的关系为v y ＝gt ，联立两式得t ＝v 2－v 20 g ，故选项C 正确。 (典例应用11)在地面上方某一点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( ) A ．速度和加速度的方向都在不断变化 B ．速度与加速度方向之间的夹角一直减小 C ．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等 D ．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等 【答案】： B 【解析】： 由于物体做平抛运动，故物体只受重力作用，加速度不变，速度的大小和方向时刻在变化，故选项A 错误；设某时刻速度与竖直方向夹角为θ，则tan θ＝v 0v y ＝v 0 gt ，故随着时间t 的变大，tan θ变小，θ 变小，选项B 正确；根据加速度定义式a ＝Δv Δt ＝g ，得Δv ＝g Δt ，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相 等，故选项C 错误；根据动能定理，在相等的时间间隔内，动能的改变量等于重力的功，即W G ＝mgh ，而平抛运动在相等时间内竖直方向上的位移不相等，故选项D 错误。
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