高一数学必修1、必修2基本公式

高一数学必修1、必修2基本公式

一、集合

1、集合的三个性质：确定性、互异性、无序性； 例如：高一数学难题能不能够成一个集合。

2、常用的数集符号有：自然数集N 、整数Z 、有理数Q 、实数R 、空集?； 注意：（1）最小的自然数为0；（2）?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3、元素与集合的关系是∈与?的关系，集合与集合是?与?的关系，

4、集合{}1,2,3A =的子集有3

28=个，有{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3?。

5、集合的运算：

{}{},A B x x A x B A B x x A x B ?=∈∈?=∈∈或且，{}U C A x x U x A =∈?且

6、重要结论：（1）如果,A B ?则,A B B A B A ?=?=；反之结论也成立；

（2）,U U A C A U A C A ?=?=?。

7、集合的代表元素一定要注意。

例如、（1）集合{}2),(=+=y x y x M ，{}

4),(=-=y x y x N 则集合N M = . （2）、集合{}{}

1,1A x y x B y y x ==-==-，这两个集合的关系 。 二、函数

1、映射：对于集合A 中任意一个元素，在集合B 都有唯一元素对应。

2、定义域：自变量X 的取值范围构成的集合； 常见的题型有四类：（1）分母不为0；（2）开偶次方根，被开方数大于或等于0；（3）对数的真数大于0；（4）0次幂的底数不能等于0。

例：求下列函数的定义域051

(1),(2),(3)log ,(4)(3)2

y y x y x y x x =

===+-。 3、值域：函数值Y 的取值范围构成的集合。求值域的常见方法：直接法、图象法等。

直接法：利用常见函数的值域来求

①一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； ②反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； ③二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a

b a

c y y 4)4(|2

-≤

}. 例 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)(

③1

+=

x x

y ④223y x x =++ 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}

③1

111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵

01

1

≠+x ∴1≠y ，即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） 4、（1）函数的单调性：当12,x x >都有12()()f x f x >，则函数在该区间内为增函数；

当12,x x >都有12()()f x f x <，则函数在该区间内为减函数。

（2）证明函数的单调性一般是根据定义来证明。步骤是：①先在定义域内任取12,x x ，②做差比较12()()f x f x -的大小，这一步最重要的是变形（常见的变形有通分、因式分解、配方法），③下结论。

（3）常见函数的单调性： ①一次函数单调性y kx b =+，当0k >，函数在R 为增函数，当0k <，函数在R 为减函数； ②反比例函数k

y x

=

，当0k >，函数在(,0),(0,)-∞+∞为减函数；当0k <，函数在(,0),(0,)-∞+∞为增函数；

③二次函数2y ax bx c =++的单调性由抛物线的开口方向与对称轴2b

x a

=-决定，其单调区间可数形结合写出。

④指数函数x y a =，当1a >，函数在R 为增函数，当01a <<，函数在R 为减函数； ⑤对数函数log a y x =，当1a >，函数在(0,)+∞为增函数，当01a <<，函数在(0,)+∞为减函数； 5、（1）函数的奇偶性：如果()()f x f x -=，则()f x 为偶函数；如果()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；判断函数奇偶性的前提条件是定义域要关于原点对称。

（2）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于Y 轴对称，反之结论也成立。 （3）奇函数过原点（0在定义域范围内）；

（4）奇函数的单调性在其对称区间内一致，偶函数的单调性在其对称区间内是相反的。 6、反函数：同底的指导数函数与对数函数互为反函数，它们的图形关于直线Y=X 对称。

例、指数函数3x y =与对数函数3log y x =互为反函数。 7、（1）指数公式整数指数幂的概念

*)(N n a a a a a a

n n ∈??=

个 )0(10

≠=a a *),0(1

N n a a

a n n

∈≠=

-

（2）运算性质： ,(),()m n m n m n m n n n

n

a a a a a a

b a b

+?===?。 （3）根式的运算性质：①当n 为奇数时，

n

n a =a ；②当n 为偶数时，

n

n a =|a|=??

?<-≥)

0()0(a a a a . 例 33)8(-= ；②2

)10(-= ；③44)3(π-= （4）指数函数：)10(≠>=a a a y x 且。图象和性质如下表： a>1

0

图 象

6

54321

-1

-4-2

2460

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2

246

1

性 质

(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R 上是增函数

（4）在R 上是减函数

8、（1）对数：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b

=，那么数 b

叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数

例如：1642

= ? 216log 4=

（2）重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵01log =a ，1log =a a ⑶对数恒等式N a

N

a =log

（3）特殊对数：常用对数：以10为底的对数叫做常用对数常用对数N 10log 简记作lgN 。

例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.

自然对数：以无理数e=2.718为底的对数叫自然对数，自然对数N e log 简记作lnN

例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10

（4）对数的运算法则，如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 则 有：

)

()()

(3R)M(n nlog M log 2N log M log N

M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=

（5）对数换底公式：a

N

N m m a log log log =

（6）两个常用的推论:①1log log =?a b b a ， ② b m

n

b a n

a m log log =

。 （7）函数x y a log =)10(≠>a a 且叫对数函数；它是指数函数x a y =的反函数

对数函数对数函数的性质：

a>1

0

图 象

32.5

21.51

0.5-0.5

-1-1.5-2-2.5

-1

1

23456780

1

1

32.5

2

1.5

1

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-1

1

2345678

1

1

性 质

定义域：（0，+∞） 值域：R

过点（1，0），即当1=x 时，0=y

)1,0(∈x 时 0

),1(+∞∈x 时 0>y

)1,0(∈x 时 0>y

),1(+∞∈x 时0

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

13、幂函数：函数a y x =叫做幂函数。例幂函数21,,,y x y y x y x x

====。

当0a >时，在(0,)+∞为增函数；当0a <时，函数在(0,)+∞为减函数。 14、（1）零点就是使()0f x =的实数，零点不是点；

（2）方程()0f x =有实数根?函数()y f x =图象与X 轴有交点?函数()y f x =有零点。

（3）零点定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

()()0f a f b <，那么()y f x =在区间(,)a b 内有零点。

三、直线 1、直线的倾斜角：直线向上的方向与X 轴所成最小正角。倾斜角取值范围是0°≤α＜180。 2.斜率公式：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式21

21

tan y y k x x α-=

=-，

所有的直线都有倾斜角，当直线的倾斜角α＝?90，没有斜率王新敞

3．直线的方程： 直线名称 已知条件

直线方程

使用范围

示意图

点斜式 k y x P ),,(111 )(11x x k y y -=-

存在k 斜截式

b k ，

b kx y +=

存在k

两点式

)

,(11y x （),22y x

1

21

121x x x x y y y y --=

-- 2121,y y x x ≠≠

截距式 b a ,

1=+b

y

a x 0,0≠≠

b a

一般式

0=++C By Ax

A 、

B 不全为0

4、两条直线的位置关系： （1）．特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：

①当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； ②当另一条直线的斜率为0时，两直线互相垂直王新敞

（2）．斜率存在时两直线的平行与垂直．

设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k ，它们的方程分别是：1l ：11b x k y +=；2l ：22b x k y +=．

①21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ ②21l l ⊥?2

11

k k -

=?121-=k k 王新敞

（3）已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ， ①1l ∥2l ?

2

1

2121C C B B A A ≠

=； ②1l ⊥2l ?02121=+B B A A ； ③1l 与2l 相交?

11

22

A B A B ≠； ④1l 与2l 重合?

111

222

A B C A B C ==。 （4）求两直线的交点：解方程组。 四、圆

1、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆王新敞

2、圆的标准方程 ：2

22)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ，

特殊：若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是2

22r y x =+王新敞

3、圆的一般方程：只有当042

2>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程。当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2

E ）为圆心,

F E D 42

1

22-+为半径的圆； 4、点与圆的位置关系：点00(,)M x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系的判断方法：

①22200()()x a y b r -+-=?点在圆上； ②22200()()x a y b r -+->?点在圆外； ③22200()()x a y b r -+-

5、直线与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么

①直线和⊙O 相交d ＜r ， ②直线和⊙O 相切d=r ， ③直线和⊙O 相离

d ＞r 。

6、圆与圆的位置关系：如果两圆的半径分别为R 、r,圆心距为d,则

两圆外离d r R >+；两圆外切 d r R =+；两圆相交 R r d r R -<<+ ；两圆内切d R r =- 两圆内含 d R r <-。

五、立体几何

1、公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

2、公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

3、公理3 经过不共线的三点，有且只有一个平面

推论1：经过直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。 4、空间两直线的位置关系：（1）相交——有且只有一个公共点；

（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．

一个平面内，没有公共点； 5、公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行

6、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.

7、直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）；（2）和（3）称为直线在平面外。

8、线面平行的判定定理：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

9、平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．

10、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

11、两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

12、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 13、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 14、夹在两个平行平面间的两条平行线段相等．

15、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 16、直线和平面所成角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

17、二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面

18、二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线

,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角

19、两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

20、棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高。

21、棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；

22、球的体积公式：34

3

V R π=

；球的表面积公式24S R π=。 23、长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和。

24、边长为a 的等边三角形面积为2

34

a s =。

25、正方体内切球，球内接正方体的关系：2,32a r a r ==。