13.1.2 线段的垂直平分线的性质
教学目标：
〔知识与技能〕
1．探索作出轴对称图形的对称轴的方法．掌握轴对称图形对称轴的作法．
2．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．
〔过程与方法〕
1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数
学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。
〔情感、态度与价值观〕
1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；
2、会应用数学知识解决
一些简单的实际问题，增强应用意识。
教学重点：
轴对称图形对称轴的作法．
教学难点：
探索轴对称图形对称轴的作法．
教具准备：圆规、三角尺
教学过程
一．提出问题，引入新课
1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，?你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？
2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．
4.问题：如何作出线段的垂直平分线？
二．导入新课
1.要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．
[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
已知：线段AB[如图（1）]．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）
(1)．分别以点A、B为圆心，以大于1
2
AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
(2)．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
2.[例]图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
作法：
1．找出五角星的一对对应点A和A′，
连结AA′．
2．作出线段AA′的垂直平分线L．
则L就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
三．随堂练习
（一）课本35练习1、2、3
如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．
答案：与A成轴对称的是图形D（或B）．
四．课时小结
本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，?作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴．
五．课后作业
课本P36-37习题12.1 5、10、11、12题．
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定
八年级上册数学教案人教版(全册) 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题
1．先在其中一纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1
《线段的垂直平分线》教案 教学目标 知识与技能： 1、能用多种方法作出线段的垂直平分线并说明其正确性. 2、掌握线段垂直平分线的性质定理，能够证明线段垂直平分线的性质定理.并能用定理解决一些实际问题. 过程与方法： 1、通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力. 2、体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 情感与价值观要求： 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重难点 重点：线段垂直平分线性质定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 难点：线段垂直平分线的性质定理的内涵和证明. 教学方法 引导探索 教学过程 一、忆一忆，由旧引新 1、什么叫做轴对称图形？又什么是轴对称？ 2、线段是轴对称图形吗？对称轴有几条？(引出垂直平分线) 3、你能画线段的垂直平分线吗？它又有什么性质？ 二、动手操作，合作交流 1．已知线段AB，画出它的垂直平分线. A B 说出你的作图思路.议一议：能否说出这种画法的依据，小组讨论交流一下. 2．线段垂直平分线的作法 ①折纸法：(学生动手，教师引导) ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；(学生动手，教师引导) ③尺规法：(师生一起动手) (1)分别以点A、B为圆心，以大于1 2 AB长为半径画弧(为什么？)交于点E、F； (2)过点E、F作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
(为什么直线EF是线段AB的垂直平分线呢？这就要证明OA=OB且∠AOE=900或∠BOE= 900，请同学们思考、讨论、交流，最后老师给出证明) 证明：分别连接AE、AF、BE、BF，则AE=AF=BE=BF Array在△AEF和△BEF中 AE=BE AF=BF EF=EF ∴△AEF≌△BEF (SSS) ∴∠AEF=∠BEF 在△AOE和△BOE中 AE=BE ∠AEF=∠BEF ∴△AOE≌△BOE(SAS) ∴ OA=OB∠AOE=∠BOE OE=OE ∵∠AOE+∠BOE=180° ∴∠AOE=∠BOE =90° 即直线EF垂直平分线段AB 三、合作探究 1.探索线段垂直平分线性质定理 问题1：已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足为O，在EF上任取一点P，连结P A、PB；测量P A、PB的长，你能发现什么？ 测量时要求学生变换P点的位置，看看P点到线段两个端点的距离的大小？面向全班提问：不难得到：P A=PB，在引到学生用语言表达猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等. 猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等. 此时让学生说说该猜想的题设(线段垂直平分线上的点)与结论点(这一点与线段两端的距离相等)，并用数学式子来表达： 已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足是O，P是EF上任意一点，连结P A、PB. 求证：P A=PB 此时要做好分析，证明线段相等，通常是证明这两条线段所在的三角形全等，如果不能，再用别的方法，引导学生思考后再证明，可以让学生上黑板板演，教师点评) 证明：∵EF⊥AB (已知)
人教版数学八年级上册教案一（4） 数学教案：课题直角三角形全等的判定（四） 教学目标：1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题； 3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。 教学重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学过程 Ⅰ．提出问题，复习旧知 1、判定两个三角形全等的方法：、、、 2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E， （1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）Ⅱ．导入新课 （一）探索练习：（画图）：斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ） （二）巩固练习： 1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法） 2、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F， （1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据 （2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据 （3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据 （4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据 （5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（） A、两条直角边对应相等 B、斜边和一锐角对应相等 C、斜边和一条直角边对应相等 D、两个锐角对应相等 4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？
第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形 的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. n-·180° ⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2) ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. n-条对角 ⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)
线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 第十二章 全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
人教版八年级数学上册教案全套 第十一章 三角形 11．1 与三角形有关的线段 11．1.1 三角形的边 【出示目标】 1．通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和表达能力． 2．通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素． 3．学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类． 4．掌握三角形三条边之间的关系． 【预习导学】 自学指导：阅读教材P2—4，完成下列各题． 【自学反馈】 一、三角形 1．定义：由不在__同一条直线上__的三条线段首尾__顺次相接__所组成的图形叫做三角形． 2．有关概念 如图，线段AB ，BC ，CA 是三角形的__边__，点A ，B ，C 是三角形的__顶点__，∠A ，∠B ，∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的__内角__，简称三角形的角． 3．表示方法：顶点是A ，B ，C 的三角形，记作“__△ABC __”，读作“__三角形ABC __”． 二、三角形的分类 1．等边三角形：三条边都__相等__的三角形． 2．等腰三角形：有两边__相等__的三角形，其中相等的两条边叫做__腰__，另一边叫做__底边__，两腰的夹角叫做__顶角__，腰和底边的夹角叫做__底角__． 3．不等边三角形：三条边都__不相等__的三角形． 4．三角形按边的相等关系分类 三角形???? ?不等边三角形等腰三角形?????底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 【合作探究】 活动1 自主学习三角形的相关概念 (1)什么是三角形：
如图，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． (2)三角形的有关概念： ①边：组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边． ②角：三角形相邻两边的夹角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． (3)三角形的表示： 如图，以A 、B 、C 为顶点的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”． 【教师点拨】(1)三角形的表示方法中“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排，即△ABC ，△ACB ，△BAC ，△BCA ，△CAB ，△CBA 为同一个三角形． (2)角的两边为射线，三角形的三条边为线段． (3)由于在三角形内一个角对着一条边，那么这条边就叫这个角的对边，同理，这个角也叫做这个边的对角．如图，∠A 的对边是BC (经常也用a 表示)，∠B 的对边是AC (经常也用b 表示)，∠C 的对边为AB (经常也用c 表示)；AB 的对角为∠C ，AC 的对角为∠B ，BC 的对角为∠A . 活动2 跟踪训练 1．小强用三根木棒组成下列图形，其中符合三角形概念是( C ) 2．找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来． 解：图中有5个三角形．分别是：△ABE 、△DEC 、△BEC 、△ABC 、△DBC . 活动3 三角形的分类 三角形按角分类如下：三角形???? ?锐角三角形直角三角形纯角三角形 三角形按边分类如下：三角形?????等腰三角形??? ??腰和底边不相等的等腰三角形等边三角形不等边三角形
《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢？
线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应该先怎样呢？（把文字语言转化成符号语言） A B l P P P
八年级2016—2017学年度第一学期 数 学 教 案 第十三章：轴对称 2016年10月-11月 教师：李治民 第11章三角形
教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和 等于1800 ，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800 的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1) C B A
设计者：方礼花 使用班级：初二一班 姓名： 寄语： 同学们一定要努力，争取期末取得优异的成绩 ！ 第十一章 三角形 (共5页，每页61份) 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.（可以判断三边是否能够成三角形） 3.三角形的分类：按角可以分为三类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。按边可以分为两类：不等边三角形和等腰三角形。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. （锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形交于直角顶点处，钝角三角形交于外部一点） 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三角形的中线将三角形的面积平均分成相等的两份） 其交点称为重心。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（在生活中运用于未安装好的窗户加一条木条） 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（经常用于角度计算中） 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（经常用于证明两个角度比较大小） ⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. （6）正多边形每个内角度数：用(2)n -·180°除以n,每个外角度数：360°除以n 。
第2课时作线段的垂直平分线 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 能够作出轴对称图形以及轴对称的对称轴,明确对称轴是直线. 【过程与方法】 1.经历探索、猜测、动手操作的过程,进一步发展学生的动手操作能力; 2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神. 【情感、态度与价值观】 通过积极参与数学学习活动,在数学活动中获得成功的体验,建立学习的自信心. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 画轴对称图形的对称轴. 【教学难点】 作轴对称图形. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们知道某些图形是轴对称图形,你能想出除折叠外其他画出对称轴的方法吗? 二、合作探究 探究点1垂直平分线的尺规作图 典例1如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是() A.∠A的平分线 B.AC边的中线 C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线
[解析]分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则DA=DB,EA=EB,所以点D,E在线段AB的垂直平分线上. [答案]D () A.过已知点作一条直线与已知直线相交 B.过已知点作一条直线与已知直线垂直 C.过已知点作一条直线与已知直线平行 D.不确定 [答案]B 探究点2画对称轴 典例2用刻度尺分别画下列图形的对称轴,可以不用刻度尺上的刻度画的是() A.①②③④ B.②③ C.③④ D.①②所有 [解析]①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴. [答案]A ,对称轴条数是四条的图形是() [答案]A 三、板书设计 作线段的垂直平分线 轴对称图形 ◇教学反思◇ 本节的内容是画轴对称图形的对称轴,在设计上可以通过给出轴对称图形让学生画对称轴的方式,让学生通过小组合作交流,探究、讨论,归纳出画对称轴的方法,体现学生自主学习和合作交流的学习方式,空间想象能力得到加强,创新意识得到培养,并且体验到成功的快乐.
第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学内容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四张大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题 1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合． 2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，?记作△ABC≌△DBC． 【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 【学生活动】经过观察得到下面性质： 1．全等三角形对应边相等； 2．全等三角形对应角相等． 二、随堂练习，巩固深化 课本P4练习． 【探研时空】 1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6） 2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．?（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°） 三、课堂总结，发展潜能 1．什么叫做全等三角形？ 2．全等三角形具有哪些性质？ 四、布置作业，专题突破 1．课本P4习题11．1第1，2，3，4题． 2．选用课时作业设计． 板书设计 把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板书学生的练习． 疑难解析 由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，?公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．
com 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 ：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
六、课堂小结 1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。 2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。作业： 课本69面3、4；70面8、9题。 11.1.3三角形的稳定性 [教学目标] 1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。 [重点难点] 三角形稳定性及应用。[教学过程]一、情景导入 盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？ 二、三角形的稳定性https://www.doczj.com/doc/536650902.html, 〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 不会改变。 2 、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？会改变。 3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它， 它的形状会改变吗？ 不会改变。 从上面的实验中，你能得出什么结论？ 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。 三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用 三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。如： （2）
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗？四、课堂练习3、课本68面练习。作业：69面5；70面10题。 11.2.1三角形的内角 [教学目标]掌握三角形内角和定理。 [重点难点] 三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。[教学过程] 一、导入新课 我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？ 二、三角形内角和的证明 回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？ 把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1] 图1想一想，还可以怎样拼？ ①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。 图2 ②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。 B ∠ C ∠
线段的垂直平分线教案 线段的垂直平分线教学内容: 线段的垂直 平分线教学目的: 1、使学生理解线段的垂直平分线的性质定 理及逆定理,掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何 问题。 2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。 3、结合教学内 容培养学生的动作思维、形象思维和抽象思维能力。教学重点: 线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。教学难 点: 线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。教学关键: 1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。 2、到线段 两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。教 具:投影仪及投影胶片。教学过程: 一、提问 1、角平分 线的性质定理及逆定理是什么? 2、怎样做一条线段的垂直平分线? 二、新课 1、请同学们在课堂练习本上做线段ab的垂直平分线 ef(请一名同学在黑板上做)。 2、在ef上任取一点p,连结pa、 pb量出pa=?,pb=?引导学生观察这两个值有什么关系? 通过学生 的观察、分析得出结果 pa=pb,再取一点p'试一试仍然有p'a=p'b, 引导学生猜想ef上的所有点和点a、点b的距离都相等,再请同学把 这一结论叙述成命题(用幻灯展示)。定理:线段的垂直平分线上 的点和这条线段的两个端点的距离相等。这个命题,是我们通过 作图、观察、猜想得到的,还得在理论上加以证明是真命题才能做为 定理。已知:如图,直线ef⊥ab,垂足为c,且ac=cb,点p在ef上
求证:pa=pb 如何证明pa=pb学生分析得出只要证 rtδpca≌rtδpcb 证明:∵pc⊥ab(已知) ∴∠pca=∠pcb(垂直的定义) 在δpca和δpcb中∴δpca≌δpcb(sas) 即:pa=pb(全等三角形的对应边相等)。反过来,如果 pa=pb,p1a=p1b,点p,p1在什么线上? 过p,p1做直线ef交ab于c,可证明δpa p1≌pb p1(sss) ∴ef是等腰三角型δpab的顶角平分线∴ef是ab的垂直平分线(等腰三角形三线合一性质) ∴p,p1在ab的垂直平分线上,于是得出上述定理的逆定理(启发学生叙述)(用幻灯展示)。逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。根据上述定理和逆定理可以知道:直线mn可以看作和两点a、b的距离相等的所有点的集合。线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 三、举例(用幻灯展示) 例:已知,如图δabc中,边ab,bc的垂直平分线相交于点p,求证:pa=pb=pc。证明:∵点p在线段ab的垂直平分线上∴pa=pb 同理pb=pc ∴pa=pb=pc 由例题pa=pc知点p在ac的垂直平分线上,所以三角形三边的垂直平分线交于一点p,这点到三个顶点的距离相等。四、小结正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论,加强证明前的分析, 找出证明的途径。定理的作用是可证明两条线段相等或点在线段的垂直平分线上。五、练习与作业练习:第87页 1、2 作业:第95页 2、3、4 《教案设计说明》线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,都是几何中的重要定理,也是一条重要轨迹。在几何
第一单元 三角形 【知识归纳】 1. 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形. 2. 三角形的分类 三角形(按角分) ?? ? ??钝角三角形直角三角形锐角三角形 三角形(按边分) ?????? ?) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3. 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4. 三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) 5. 三角形具有稳定性 6. 三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。 推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 7. 多边形定义：在平面内，由不共线的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，组 成多边形的线段，叫做多边形的边，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做外角． 8. 多边形按其组成图形的线段的条数分类，一个多边形由n 条线段构成，那么这个多边形 就叫做n 边形． 9. n 边形的内角和等于(n －2)·180°（n≥3的正整数） 10. 多边形的外角和恒为360°。 11. 正多边形：如果多边形的各内角都相等，各边也都相等，那就称它为正多边形. 12. 正多边形与镶嵌 可以进行镶嵌的条件是：一个顶点各个内角和是360°。 【同步练习】 一、选择题 1. 能把一个任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是三角形的（ ） A 、角平分线 B 、中线 C 、高 D 、两边中点连线 2. 如图，在ABC ?中，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且2 4cm S ABC =△，则B E F S △的值为 。
湘教版八年级上册数学全册教案
八年级上学期数学教学计划 一、指导思想： 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 二、学生的基本情况： 上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需要加强训练与培养。 三、教材分析： 本学期的教学内容共计五章：
八年级数学上册全册教案 八年级数学教案 —年八年级数学上册全册教案第一章勾股定理 1.探索勾股定理（第1课时） 一、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力?在小学,他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）,但运用面积法和割补思想解 决问题的意识和能力还远远不够?部分学生听说过勾三股四弦五”但并没有真正认识什么是勾股定理”此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强. 二、教学任务分析 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第一章《勾股定理》第一节第1课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用?本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性?此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.
为此本节课的教学目标是 1?用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用. 2?让学生经历观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法. 3?进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系. 4?在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习. 三、教学过程设计 本节课设计了五个教学环节：第一环节:创设情境，引入新课；第二环节:探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节:课堂小结;第五环节:布置作业. 第一环节:创设情境，引入新课 内容: 世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标:
新人教版八年级数学上册知识点总结（上）（含思维导图） 因式分解： 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 5．因式分解的注意事项： （1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理； （6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：
（2）提负号； （3）全变号； （4）换元； （5）配方； （6）把相同的式子看作整体； （7）灵活分组； （8）提取分数系数； （9）展开部分括号或全部括号； （10）拆项或补项. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.
4．分式的基本性质与应用： （1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； （3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解. 6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.