第一章 任意角的三角函数
一、任意角 1.角的概念：
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2.象限角的概念：
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例. 若α是第四象限角，则απ-是 （ ）
A ． 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限
3.终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合
{|360,}S k k Z ββα?==+?∈
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
例. 在直角坐标系中，若角α与β终边互为反向延长线，α与β之间的关系是（ ）
A ．αβ=
B ．()2k k Z απβ=+∈
C ．απβ=+
D ．()()21k k Z απβ=++∈
4.用角的集合表示平面区域
例．如图，分别写出适合下列条件的角的集合： （1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
5.已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n
α
终边所落在的区域．
例. 若α是第二象限的角，则2α
是第 象限的角。
二、弧度制
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 2. 弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3. 角度和弧度的转化：
1___r a d ?=,1___rad =度
4．半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r
α=．
(1)l R α=; (2)12S lR =; (3)21
2
S R α=.
其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（ ）
A ．等于1弧度
B ．大于1弧度
C ．小于1弧度
D ．无法判断
三、 任意角的三角函数的定义:
1. 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P （x,y ），则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=
x x
y
α 2. 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）(异于原点), r=22y x +
则 正弦sin α=r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x
y
例. 角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ．
2
2 B ．-
2
2 C ．±
2
2 D ．1 例. α是第二象限角，其终边上一点P （x ，
5），且
cos α＝4
2
x ，则sin α的值为（ ） A ．4
10
B ．
4
6 C ．
4
2
D ．－
410
3各象限的符号：
sin α cos α tan α
例. 设角α是第二象限角，且|cos 2
α
|＝－cos 2
α
，则角2
α
是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
例. 函数x x x x y sin cos 1cos sin 122-+
-=的值域是（ ）
x y
O — +
+
— +
y O
— +
+ —
4.三角函数线
过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反 向延长线交与点T . 由四个图看出：
当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有
sin 1y y y MP r α=
===， cos 1
x x
x OM r α====， tan y MP AT AT x OM OA
α=
===． 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
例. 若a =sin 460
,b =cos 460
,c =tan460
，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ． c > a > b B. a > b > c C. a >c > b D. b > c > a 四.同角三角函数的基本关系式：
1. 平方关系：1cos sin 2
2
=+
α
α
2 商数关系：α
α
αcos sin tan =
例. 已知
45
cos sin -
=-αα，则ααcos sin ?等于（ ）
A ．47
B ．－169
C ．－329
D ．329
例. 化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）
A 、4cos 4sin +
B 、4cos 4sin -
C 、4sin 4cos -
D 、4cos 4sin --
例. 若0cos 3sin =+αα，则
α
αα
αsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .
五诱导公式
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
()5sin cos 2π
αα??-=
???，cos sin 2παα??
-= ???
． ()6sin cos 2π
αα??+=
???，cos sin 2παα??
+=- ???
．
三角函数诱导公式：“ （2
k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”
典型例题
例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4
5π
例2．求下列各式的值： （1）sin(－3
4π
)； (2)cos(－60o)－sin(－210o)
例3．化简 )
180sin()180cos()
1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
例4．已知cos(π+α)=－
2
1，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．
(A)
2
3
(B)
21 (C)－2
3 (D)±
2
3
例5、求证： )
2
cos()5cos()
2sin()4sin()
cot()2tan()23cos()2sin(
απαπαπ
απαπαπαπαπ
+-+--=
+-+---+k k k
例6 的值。
求)4
(cos )4(cos 22α+π
+α-π
例7. 若cos α＝23
，α是第四象限角，求
sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)
απαπαππαπααπ-+--------的值
例8 .sin 49πtan 3
7π= _________
第二讲 三角函数的图像与性质
一、图象与性质
1．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA
最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω
=
T ，频率是π
2=
f ，其图象的对称轴是直线)(2
Z k k x ∈+
=+π
π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
2．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
3．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式： 4．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图：
15. 下列说法只不正确的是 ( )
A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]；
C ．余弦函数在[2kπ+
2π,2kπ+32
π]( k ∈Z)上都是减函数； D ．余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k ∈Z)上都是减函数
二、三角函数的图象变换
先平移后伸缩
sin y x =的图象
???0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ?=+的图象
()
ωωω
?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变得sin()y x ω?=+的图象 ()
A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ω?=+的图象
(0)(0)k k k >
得sin()y A x k ?=++的图象． 先伸缩后平移
sin y x =的图象
(1)(01)A A A ><
得sin y A x =的图象 (01)(1)
1
()
ωωω
<<>?????????→
横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)???
ω
>
个单位
得sin ()y A x x ω?=+的图象
(0)(0)k k k >
得sin()y A x k ω?=++的图象．
例．试述如何由y =3
1sin （2x +
3
π
）的图象得到y =sin x 的图象。
课后练习
1、3sin(2)4
y x π
=+的最小正周期是 、对称轴是 、单调递增区间
是 、单调递减区间是 ；振幅是 、相位是 、初相是 。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由
sin y x =变化而来。
2、求3sin(2),[,]422y x x πππ
=+∈-的单调递减区间。
3、比较大小 6cos(),sin
,sin 876πππ
-； tan1,tan 2,tan 3
4、求3sin(2),[,]366y x x πππ
=+∈-的最大值、最小值及对应的x 的取值范围。
5、为了得到3sin(2)6y x π=+的图象，只须将3sin(2)3y x π
=-的图象向 平移 个单位。
6、若sin()(0,0,)2
y A x B A π
ω?ω?=++>><，在其一个周期内的图象上有一个最高点(
,3)12
π
和一
个最低点7(
,5)12
π
-，求这个函数的解析式。
7．（2015?柳州一模）若函数y=tan ωx （ω∈N *）的一个对称中心是（，0），则ω的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
8．（2015?石家庄一模）函数f （x ）=tan ωx （ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，
A．﹣B．C．1 D．
9．（2015?浙江模拟）已知函数f（x）=tan（2x﹣），则下列说法错误的是（）A．函数f（x）的周期为
B．函数f（x）的值域为R
C．点（，0）是函数f（x）的图象一个对称中心
D．f（）＜f（）
10．（2015?福建模拟）下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（）
A．y=﹣x3B．y=sinx C．y=tanx D．y=（）x
11．（2015春?恩施州期末）函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（）
A．﹣B．C．D．1
12．（2016?绵阳模拟）为了得到函数的图象，只需把函数
的图象上所有的点的（）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
第三讲 三角函数两角和公式
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB
tanA +-
cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA
cotB 1
cotAcotB -+
倍角公式
tan2A =A
tan 12tanA
2
- Sin2A=2SinA?CosA
三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA
tan3a = tana·tan(3π+a)·tan(3
π
-a)
半角公式 sin(
2A )=2cos 1A - cos(2A )=2
cos 1A + tan(
2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A
A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 万能公式
sina=
2)2(tan 12tan
2a a + cosa= 22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2
)2
(tan 12tan
2a
a
-
例1. 求值：（1）
.75cos 75sin 75cos 75sin )2(;70sin 20sin 10cos 2?
-??
+???-?
例2. 已知3sin β＝sin （2α＋β）且tan α＝1，求tan （α＋β）
.
例3. 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0（a ＞1）的两根分别为tan α，tan β且α，β∈ （－
2
,2π
π)，求sin 2（α＋β）＋sin （α＋β）cos （α＋β）＋2cos 2（α＋β)的值.
例4. ()()();cos 2sin 2sin 1 B A A
B A +-+化简
()().cos ,tan ,cos ,的值求为锐角、已知β-=β-α=αβα3
154 2
例5. （1）如果方程()102
≠=++c c bx x 的两根为tanα、tanβ，求
()()()()βαβαβαβα++++++22cos cos sin sin c b 的值；
（2）在非直角△ABC 中，求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanA·tanB·tanC ．
例6. 化简().8sin 15sin 7sin 8sin 15cos 7sin 1??-??
?+? ()()
.50cos 50sin 2110tan 3180sin 50sin 2
2?
?+?+?+?
例7. 已知2
1
cos cos ,31sin sin =
--=-βαβα，α、β都是锐角，求tan （α－β）的值．
课后练习
1．选择题
())(
37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为??-??
(A)23-
(B)21- (C)2
1
(D)23
())(
75tan 75tan 1 22的值为?
?
-
(A)32 (B)332
()32 -C (D)3
3
2- ())(
3232 3的值是则若x ,x cos x cos x sin x sin =
(A)10π
(B)6π (C)5
π
(D)4π
2．填空题
().________3sin ,2,2
3,5
1cos 4=??
? ?
?
+??
? ??∈=πθππθθ则若
()._________15tan 3115tan 3
5=?
+?
-
()()()._________sin sin cos cos 6=+++ββαββα
3．解答题
()()().60tan tan 360tan tan 7αααα-?+
-?+化简
()().cos ,,2
,2,0,14
11cos ,7
1cos 8的值求且已知βππβαπαβαα??
?
??∈+??
? ??∈-=+=
()().cos ,0cos cos cos sin sin sin 9的值求若βαγβαγ
βα-=++=++
第四讲 三角函数复习
一、知识点整理与归纳:
1、角的概念的推广、角的集合的表示、角的度量制与换算
换算关系:：180()π=弧度 ，弧长公式:l r θ= ，扇形面积公式:211
22
S lr r θ== 2、三角函数的定义熟记三角函数在各象限的符号：sin ,cos ,tan y x y
r r x
α
αα=
== 3、三角函数线及简单应用（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）
4、正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =、正切函数tan y x =的图像和性质：
5、函数sin()y A x ??=+的图像和性质：作图时常用两种方法：
①五点法：
②图象变换法：
(1)sin()sin()sin sin()(2)sin ()
y x y x y x y A x y x
y six x ????????=+→=+=→
→=+=→=+
6、结合函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的简图可知： 该函数的最大值是B A +，最小值是A B -，
周期是ω
π
2=
T ，频率是π
ω
2=
f ，相位是?ω+x ，初相是?； 7、几组重要公式
一）同角三角函数的基本关系式：
2）商式关系：
αα
α
tan cos sin =；sinα=tanα·cosα 二）诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”。 三）和角公式和差角公式：
()S αβ+：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ
-=-
()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-
()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=
- ，
()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+
四）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2
2
cos 2cos sin ααα=-，2
2tan tan 21tan α
αα
=
- 五）合一变形公式： a sinα＋b cosα＝22b a +sin （α＋φ）＝22b a +cos （α－θ）
六）降次公式： 2
21cos 21cos 2cos ,sin 22
αα
αα+-=
=
， (sinα±cosα)2＝1±sin2α， 七）正弦定理：R C
c
B b A a 2sin sin sin ===及其变形公式有：
（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；（2）R
c
C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin =
==； （3）sin sin sin ::::A B C a b c =等．
八）余弦定理：222
2cos a b c bc A =+- 及其变形：222cos 2b c a A bc
+-=等；
九）三角形面积公式：1111
sin sin sin 2222
ABC S ah bc A ab C ac B ?====．
8、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下四类解斜三角形问题：
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角， （3）已知三边求三内角；
（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。 9、解斜三角形的应用题的解题步骤：
（1）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等）； （2）依题意画出示意图，并把已知量标在示意图中；
（3）最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解，并进行求解； （4）检验并作答.
典型例题： 例1、定义在区间??
?
?
?20π,
上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_________。
例2、已知434π<α<π，40π<β<，53)4cos(-=α+π，13
5
)43sin(=β+π，求sin(α + β)的值。
例3、已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ω?=+。 （１）右图是sin()I A t ω?=+（ω＞0，||2
π
?<）在一个周期内的
图象，根据图中
数据求sin()I A t ω?=+的解析式； （２）如果t 在任意一段1
150
秒的时间内，电流sin()I A t ω?=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
例5、已知函数()f x
2
cos 2cos 1()x x x x R +-∈。
(1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值： (2)若06()5f x =，0,42x ππ??
∈????
，求0cos 2x 的值。
课后作业
1、设α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝
2
4
x ，则sin α的值 .
3、满足sin α<
2
2
，且α∈(0，π)的角α的集合是_____________． 4、已知tan α＝2
3，则 sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α的值为 .
5、已知cos(3π2＋α)＝－3
5，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)的值为 .
6、函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π
2
)内的图象大致是( )
7、已知sin α、cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为 . 8、函数32tan(
3)4
y x π
=-的单调递减区间是 ． 9、若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α的值为 .
10、已知f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间????0，π
3上的最大值是2，则ω＝________. 11、已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m
m ＋5，则tan θ＝________.
12、化简：
sin(2π－α)tan(α＋π)tan(－α－π)
cos(π－α)tan(3π－α)
= .
13、曲线sin()y A x ω?=+的一个最高点为????14，3，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x 轴于????－1
4，0，最低点纵坐标为－3，求此曲线的解析式.
14、将最小正周期为π2的函数g (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π4)(ω>0，|φ|<2π)的图象向左平移π
4个单位长度，则得到偶函数图象，
求满足题意的φ的所有可能的值．
15、已知函数.3
cos 33cos 3sin )(2x x x x f += （1）将f(x)写成sin()A x B ωφ++的形式，（2）求其图象对称中心；
16、（1）已知关于x 的方程2sin ???
?x ＋π
4＝k 在[0，π]上有两解，求实数k 的取值范围． （2）设关于x 的方程sin ????2x ＋π6＝k ＋12在????0，π2内有两个不同根α、β，求α＋β的值及k 的取值范围．