二次函数的应用二
（抛物线与几何图形问题）（讲案）
一讲考点——考点梳理
1、二次函数：基本性质，解析式.
2、几何图形：直角三角形、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆.
性质与判定.
3、数学思想：方程思想、分类讨论思想、数形结合思想.
4、把复杂图形简单化，能在以二次函数为背景的几何题中寻找基本图形.
二讲题型——题型解析
（一）对抛物线与基本图形的考查.
例1、（2015内蒙古巴彦淖尔）如图所示，抛物线2
4y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣2，0）、B （4，0），其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上的一个动点（不与B 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）设P 点的坐标为（x ，y ），△PBE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S 取值最大值时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，△PEF 沿直线EF 折叠，点P 的对应点为点P ′，请直接写出P ′点的坐标，并判断点P ′是否在该抛物线上．
例2.（2015广西桂林）如图，已知抛物线212
y x bx c =-++与坐标轴分别交于点A （0，8）、B （8，0）和点E ，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式： ；
（2）求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P （点E 除外），使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（二）对抛物线与图形面积问题的考查.
例3、（2015江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆，B 为半圆上一点，连接AB 并延长至C ，使BC=AB ，过C 作CD ⊥x 轴于点D ，交线段OB 于点E ，已知CD=8，抛物线经过O 、E 、A 三点．
（1）∠OBA= °；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）若P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有3个？
（三）对抛物线与图形变换问题的考查
例4、（2015浙江湖州)如图，已知抛物线C 1：y=a 1x 2+b 1x+c 1和C 2：y=a 2x 2
+b 2x+c 2都经过原点，顶点分别为A ，B ，与x 轴的另一个交点分别为M 、N ，如果点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线C 1和C 2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 1和C 2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是_______________________和_________________________
例5、（2015浙江金华）如图，抛物线2
y ax c =+（0a ≠）与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H ．
（1）求a、c的值．
（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
（四）对几何图形中动点产生的二次函数关系的考查
例6、（2015辽宁本溪）如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（）
例7、（2015甘肃天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣2
1x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．
（1）如图，若抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的解析式．
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上并沿AC 方向滑动距离为2时，试证明：平移后的抛物线与直线AC 交于x 轴上的同一点．
（3）在（2）的情况下，若沿AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为Q ，取BC 的中点N ，试探究NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
（五） 对几何图形中动线产生的二次函数关系的考查
例8、（2015内蒙古包头、乌兰察布）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿BC 方向运动，动点Q 从点C 出发以2厘米/秒的速度沿CD 方向运动，P ，Q 两点同时出发，当点Q 到达点D 时停止运动，点P 也随之停止，设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）求线段CD的长；
（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？
（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．
①t为何值时，l经过点C？
②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．
（六）对几何图形中动面产生的二次函数关系的考查
例9、（2015吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）当点C落在边EF上时，x= cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．
三讲方法——方法点睛
（一）注意弄清题目中所涉及的概念，熟悉与之相关的定理、公式、技巧和方法；注意剖析综合问题的结构，弄清知识点之间的联系，善于把一个综合题分成若干个基本题，各个知识点之间的结合部，往往是由一个基本问题转化到另一个基本问题的关键；注意从不同的角度来探索解题的途径，注意运用“从已知看
可知”，“从结论看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论。
（二）综合使用分析法和综合法，运用方程的思想，，使用分类讨论的思想，运用数形结合的思想，运用转化的思想。
四练实题——随堂小练
1.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）
2.如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（）
A． B． C． D．
3.如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的R t△GEF的一边GF重合．正方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）
A． B． C． D．