高二数学试卷
（全卷满分16０分,考试时间1２0分钟） 2016．0１
注意事项:
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. ２.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效．
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共７０分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“210x R x x ?∈++>，”的否定是 .
２.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比为2∶3∶5,现用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本，样本中Ａ型号产品有15件,那么样本容量ｎ为 ．
3. 在区间]4,0[上任取一个实数x ，则2x >的概率是 ．
4. 根据如图所示的伪代码，如果输入x 的值为0,则输出结果 y 为 .
5．若()5sin f x x =，则()2
f π
'= ．
6.在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一
张（不放回），两人都中奖的概率为 ．
7.如右图,该程序运行后输出的y 值为 .
8．一个圆锥筒的底面半径为3cm ，其母线长为5cm ，则这个圆锥筒的 体积为 3cm .
9.若双曲线22
143
x y -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为双曲线上一点，13PF =,则
2PF = ．
10.设l ,m 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若α∥β，l α⊥，则l β⊥; ②若l ∥m ,l α?，m β?,则α∥β； ③若m α⊥，l m ⊥,则l ∥α; ④若l ∥α,l β⊥,则αβ⊥．
其中真命题的序号．．有 .(写出所有正确命题的序号．．)
1１．已知抛物线2
y =的准线恰好是双曲线22
214
x y a -=的左准线，则双曲线的渐近
线方程为 ．
12.已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足()f x <)(x f '，则不等式
2016()(2016)x f x f e -≥的解集是 .
１3.若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为4x =-，则该椭圆被直线
1y x =+截得的弦长为 .
1４.若0,0a b >>,且函数2
()(3)x
f x ae b x =+-在0x =处取得极值,则ab 的最大值
等于 .
C
M
D
B
N
Q
A
二、解答题:(本大题共６小题,计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分１4分)
某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[]50,100之间)
（1）求频率分布直方图中a 的值; （2）估算该班级的平均分；
（３)若规定成绩达到８０分及以上为优秀等级，从该班级4０名学生中任选一人,求此人成绩为优秀等级的概率．
1６．(本小题满分１4分)
如图,在四面体ABCD 中,AB CD ⊥,AB AD ⊥．M ，N ,Q 分别为棱AD ,BD ，AC 的中点.
(1）求证：//CD 平面MNQ ;
（2）求证:平面MNQ ⊥平面ACD .
17.（本小题满分15分）
已知命题:p “存在2
,20x R x x m ∈-+≤”,命题q ：“曲线
22
151x y m m
+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆”,命题:r 1t m t <<+ (１)若“p 且q ”是真命题,求m 的取值范围; (2）若q 是r 的必要不充分条件，求t 的取值范围.
N
18．（本小题满分1５分）
已知函数3
2
()39f x x x x a =-+++.
（１)当2a =-时，求()f x 在2x =处的切线方程；
(2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为22,求它在该区间上的最小值.
19.(本小题满分16分）
椭圆2222:b y a x E +)0(1>>=b a
经过点,且离心率为
2
2
,过点P 的动直线l 与椭圆相交于B A ,两点．
(1)求椭圆E 的方程;
(2）若椭圆E 的右焦点是P ,其右准线与x 轴交于点Q ,直线AQ 的斜率为1k ,直线BQ 的斜率为2k ,求证:120k k +=;
（3） 设点(),0P t 是椭圆E 的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA
QB PB
=
恒成立？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.
20．(本小题满分16分)
已知函数2
(1)()ln 2
x f x x -=-,1)(-=x x g
(１)求函数()f x 的单调递减区间；
（２)若关于x 的方程()()0f x g x a -+=在区间1(,)e e
上有两个不等的根,求实数a 的取
值范围;
（3）若存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有)()(x kg x f >,求实数k 的取值范围.
2０1６年１月高二数 学 试 题 参 考 答 案
一、填空题：
１．210x R x x ?∈++≤， ２．7５ 3．12 4.5 5. 0 6.1
3
7. 32 8. 12π 9.7 10．①④ 11．y x =± 12．[)2016,+∞ 13．24
7
14．2
二、解答题：
１5.解:（1)由题110)76322(=?++++a a a a a ，11020=?∴a , ---－-－-－２分
∴005.0=a ， -－-－---- 4分
(2） 6.5----９分
(3) …… 14分
16.证明：(1）因为M ,Q 分别为棱AD ，AC 的中点,
所
以
//MQ CD ， …… 3分
又CD ?平面MNQ ，MQ ?平面MNQ ， 故
//
CD 平面
MNQ ． …… ７分
（2)因为M ,N 分别为棱AD ，BD 的中点,所以//MN AB ， 又AB CD ⊥，AB AD ⊥,故MN AD ⊥,
MN CD ⊥. …… ９分
因为,AD CD D ?=，,AD CD ?平面ACD , 所以MN ⊥平面ACD 又MN ?平面MNQ , 所以平面MNQ ⊥平面ACD . …… 14分
(注:若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．)
17.解：（1)若p 为真：044≥-=?m ----－---1分 解
得
1≤m
－－----－-2分 若q 为真：则
?
?
?>++>-0115m m
m ------3分 解
得
21<<-m
--－-－---4分 若
“
p 且q ”是真命题，则
?
?
?<<-≤211
m m -－－---－－6分 解
得
11≤<-m
-----－--７分
(2）由q 是r 的必要不充分条件，则可得)1,(+t t ≠?)2,1(- --－----11分 即
??
?≤+-≥2
11
t t (等号不同时成立）
------－1３分 解
得
11≤≤-t
-----－--15分
１8.解:（1) ()f x '＝-3x ２
+6x ＋9,切线的斜率为9， 所以()f x 在2x =处的切线方程为
209(2)y x -=-,即920x y -+=. -－－-－-－－6分
(2)令()f x '=－３x ２
+6x ＋9＝0，得3x =（舍)或1x =-
当(2,1)x ∈--时，()0f x '<，所以()f x 在(2,1)x ∈--时单调递减，当(1,2)x ∈-时
()0f x '>，所以()f x 在(1,2)x ∈-时单调递增,又(2)f -＝2a +，(2)f =22a +，
所以(2)f >(2)f -.因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[]2,2-上的最大值和最小值，于是有 2222a +=，解得 0a =． －-－－----12分
故3
2
()39f x x x x =-++，因此(1)5f -=-
即函数()f x 在区间[]2,2-上的最小值为5-. -－-----
－15分
19．解： (１
)22222
1112a b a b c c a
?+=???-=??
?=??，解得2,1a b ==.所以椭圆Ｅ的方程为2212x y +=．--- 4
分
(2）设()()1122,,,A x y B x y ，则222
212121122
x x y y +=+=，．
由题意()()10,20P Q ，
， ()
()11221221121,1,AP BP x y x y x y x y y y ∴--∴-=-.
()()()()22222222
12211221122112212
2
21
+==2222x y x y x y x y x y x y y y y y y y
-----=-
()()()()22122112211212+=22=2+x y x y y y y y y y y y ∴---
若12=y y ，则120k k ==,结论成立．(此处不交代扣1分)
()12122112+=2+y y x y x y y y ≠若则
()()()
12211212121212+2+02222x y x y y y y y
k k x x x x -∴+=
+==----．-－-－----10分 备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分.
（3）当直线l 与y 轴平行时,设直线l 与椭圆相交于D C ,两点,如果存在定点Q 满足条件,则有
QC PC
QD PD
=
,即QC QD =，所以Q 在x 轴上,可设Q 点的坐标为()0,0x . 当直线l 与y 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于N M ,两点，则N M
,
的坐标分别为
．由
QM PM QN PN =
02x t =.所以,若存在不同
于点P 不同的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为2
(,0)t
．－--－----１2分
下面证明：对任意直线l ，均有
QA PA
QB PB
=
．记直线AQ 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，设()()1122,,,A x y B x y ,则222
212121122
x x y y +=+=，．由题意
()20,0P t Q t ??
???
，，()()()1122122112,,AP BP x t y x t y x y x y t y y ∴--∴-=-.
()()()()22222222
12211221122112212
221
+==2222x y x y x y x y x y x y y y y y y y
-----=-
()()()()22122112211212+t =22=2+x y x y y y y y y y y y ∴---
若12=y y ,则120k k ==.
()121221122
+=
+y y x y x y y y t
≠若则 ()122112*********
++02222x y x y y y y y t k k x x x x t
t
t t -
∴+=
+
=
=????-
-
-- ???
?
???． 易知，点B 于x 轴对称的点B '的坐标为),(22y x -.QA QB k k '∴=,,Q A B '∴三点共线.
12y QA QA PA
QB QB y PB ∴
===
'．所以对任意直线l ,均有QA PA QB PB
=－-----－-1６分
20．解:(Ｉ)()211
1x x f x x x x -++'=-+=,()0,x ∈+∞．由0)(<'x f 得???<++->0
102
x x x 解得2
51+>
x ． 故()f x 的单调递减区间是?
??
?
??∞++，251． －---－－--４分
(2)设()()()x f x g x a ?=-+211
ln 22
x x a =-
++,()0,x ∈+∞则问题转化为()x ?在1
(,)e e
上有两个不同的零点； 因为2
1()x x x
?-'=.故当)1,0(∈x 时，()0x ?'>，当()1,x ∈+∞时，()0x ?'<，
所以()x ?
在)1,0(∈x 递增.，在[)1,+∞上单调递减.;则由题意得:(1)0()01()0
e e ?????>?
?>??
<-??
?<+??
故211
022a e
<<
+ -－－----－10分
（3)当1k =时,令)()()(x g x f x F -=2
1
21ln 2+-
=x x ，()0,x ∈+∞.则有()2
1F x x x
-'=．当)1,0(∈x 时，0)(>'x F ,当()1,x ∈+∞时,()F 0x '<，所以()F x 在)1,0(∈x 递增．
，在[)1,+∞上单调递减.0)1()(max ==∴F x F ， ∴对任意的),,0(+∞∈x 恒有)()(x g x f ≤,故不存在01x >满足题意． －------－12分
当1k >时,对于1x >,有()()()f x g x kg x <<，，从而不存在01x >满足题意------－－13分
当1k <时,令)()()(x kg x f x G -=,()0,x ∈+∞，则有
()()2111
G 1x k x x x k x x
-+-+'=-+-=
. 由()G 0x '=得，()2
110x k x -+-+=．
解得
10x =
<,
21x =
>.
当()21,x x ∈时,()G 0x '>,故()G x 在[)21,x 内单调递增.从而当()21,x x ∈时,G()G(1)
x 0，即()()1f x k x >-.
综
上
，
k
的
取
值
范
围
是
()
,1-∞.
---－--－-１６分