２０10年江西省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
１．（5分）（20１0?江西)对于实数a，b，c，“ａ＞b”是“ac2＞bｃ2”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等关系与不等式.
【分析】不等式的基本性质，“a>b”?“ａc２>bc2”必须有ｃ２>0这一条件．
【解答】解:主要考查不等式的性质．当C=0时显然左边无法推导出右边,但右边可以推出左边
故选B
【点评】充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．
2.(５分)(2010?江西)若集合Ａ=｛ｘ｜|x|≤1,x∈Ｒ},Ｂ＝{ｙ|ｙ=ｘ2,x∈R｝,则A∩B=(）A．{x|﹣1≤x≤１}?Ｂ．{x｜x≥0}?C.{x|0≤x≤1} D.?
【考点】交集及其运算．
【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算.
【解答】解:由题得:Ａ={x｜﹣1≤ｘ≤1}，Ｂ={ｙ|y≥０},
∴A∩Ｂ={x|0≤x≤1}．
故选C．
【点评】在应试中可采用特值检验完成.
3．（5分)(2010?江西）(1﹣x）10展开式中x３项的系数为()
A.﹣720
B.720?C．１２0?Ｄ．﹣１20
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第ｒ+1项,令ｘ的指数为３求出展开式中ｘ３项的系数.
【解答】解:二项展开式的通项为T r+１=Ｃ10r（﹣x)ｒ=(﹣1）r C10r x r，
令r=３,
得展开式中ｘ3项的系数为(﹣１)3C103=﹣1２0．
故选项为D
【点评】考查二项式定理展开式中特定项问题,解决此类问题主要是依据二项展开式的通项，
４．（５分)(20１０?江西)若f（x)=ax4+bx2＋c满足f′(1）＝２,则f′(﹣1)=( ）
A．﹣4?B.﹣２?Ｃ.２?D.4
【考点】导数的运算．
【专题】整体思想．
【分析】先求导，然后表示出f′（1)与f′（﹣1),易得f′（﹣1)=﹣f′（１)，结合已知，即可求解.
【解答】解：∵ｆ(x）=aｘ4＋bx2+c，
∴f′(x)＝４ax3+2bx,
∴f′（1）=4a+２b=2，
∴f′(﹣1)＝﹣4a﹣2ｂ=﹣（４a+2b）=﹣2，
故选：B.
【点评】本题考查了导数的运算，注意整体思想的应用.
5.（5分)(20１0?江西）不等式｜x﹣2|>x﹣2的解集是( ）
A．(﹣∞,2)?B.（﹣∞，+∞) C.(2，+∞）?D．(﹣∞，2)∪(2，+∞)
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】方法一:特殊值法，把x=1代入不等式检验,把x＝3代入不等式检验．
方法二:利用一个数的绝对值大于它本身，这个数一定是负数．
【解答】解：方法一：特殊值法,把ｘ=1代入不等式检验，满足不等式,故x＝1在解集内，排除答案C、D．
把ｘ=3代入不等式检验,不满足不等式,故x=3不在解集内,排除答案B，故答案选A.
方法二：∵不等式|x﹣２｜>ｘ﹣2，∴x﹣2<0,即ｘ<2
∴解集为（﹣∞，2），
故选答案A
【点评】对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解,可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值.
6．(5分）（201０?江西）函数ｙ＝sin2ｘ﹣sinx﹣1的值域为（）
A．[﹣1，1]?B．[,﹣1]Ｃ.［,1]?Ｄ.［1，]
【考点】函数的值域；三角函数的最值.
【专题】计算题；转化思想;换元法．
【分析】令t＝siｎx,将函数y=ｓin2x﹣siｎx﹣1的值域的问题变为求y＝t2﹣t﹣1在区间[﹣1,1]上的值域的问题,利用二次函数的单调性求之．
【解答】解:令sinＸ=t可得y＝t２﹣t﹣１,ｔ∈[﹣１,1］
y=t2﹣ｔ﹣１的对称轴是t＝
故≤y≤y（﹣1）
即≤y≤1
即值域为[,1］
故应选Ｃ.
【点评】本题考点是复合函数的单调性，考查求复合函数的值域,本题直接证明复合三角函数的单调性比较困难，故采取了换元法求值域的技巧，对于解复合函数的值域的问题，换元法是一个比较好的技巧.
７.（5分）（2０１0?江西)等比数列{a n｝中，|a１｜=1,ａ5=﹣８a２，ａ５＞a2,则aｎ=（）A．(﹣2)ｎ﹣1Ｂ.﹣（﹣2n﹣1）?C.(﹣2)ｎD．﹣(﹣2)n
【考点】等比数列的性质.
【专题】计算题．
【分析】根据等比数列的性质,由ａ5＝﹣8a2得到等于q3，求出公比q的值，然后由a５
＞a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于０，化简已知|a1|=1，得到ａ１的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到a n的值即可.
【解答】解:由a5=﹣8ａ２，得到＝q3=﹣8,解得ｑ=﹣2,
又a５>a2,得到16a1＞﹣2ａ1,解得a1＞0,所以|a１|=a1=１
则a n=a１q n﹣1＝(﹣2）n﹣１
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前ｎ项和的公式化简求值,是一道中档题. ８．（5分）（2０10?江西）若函数ｙ=的图象关于直线ｙ=x对称，则a为()
Ａ.１B．﹣1 Ｃ.±1?Ｄ．任意实数
【考点】反函数．
【专题】计算题．
【分析】因为图象本身关于直线y=x对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案.
【解答】解：∵函数y=的图象关于直线y＝x对称
∴利用反函数的性质，依题知（1，）与(,１）皆在原函数图象上，
(１,)与（,1)为不同的点，即a≠2；
∴
∴ａ＝﹣１或ａ=2(舍去）
故可得a=﹣1
【点评】本题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容.对函数的反函数的研究,我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.
9.(5分）（201０?江西）有n位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是ｐ（０＜p＜1），假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为（）
Ａ．(１﹣Pp）nＢ．1﹣ｐn?C．p n D．1﹣(1﹣）n
【考点】互斥事件与对立事件;n次独立重复试验中恰好发生ｋ次的概率.
【专题】概率与统计.
【分析】根据题意，“至少有一位同学通过测试”与“没有人通过通过测试”为对立事件,先由独立事件的概率乘法公式,可得“没有人通过通过测试”的概率，进而可得答案.
【解答】解：根据题意,“至少有一位同学通过测试”与“没有人通过通过测试”为对立事件，记“至少有一位同学通过测试”为A．则=“没有人通过通过测试”,
易得P（)=(１﹣ｐ)n,
则P(A)=1﹣(１﹣ｐ)ｎ，
故选D．
【点评】本题考查对立事件的概率，一般在至多、最多、最少、至少等情况下运用对立事件的概率，可以简化运算.
10.(5分）(2０１0?江西)直线y=ｋx+3与圆（x﹣３）2+（y﹣2）2=4相交于M,N两点,若｜ＭＮ|≥2，则k的取值范围是()
Ａ.[﹣，０］?B. C.[﹣]Ｄ．[﹣,０]
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．
【专题】压轴题．
【分析】先求圆心坐标和半径,求出最大弦心距,利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围.
【解答】解:解法1:圆心的坐标为(3，2),且圆与x轴相切．
当，弦心距最大，
由点到直线距离公式得
解得k∈；
故选A．
解法2:数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,不取+∞,排除B，考虑区间不对称,排除C,利用斜率估值,
故选A.
【点评】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法,选择题中常用．
1１．(5分）（２010?江西)如图,M是正方体ＡBCD﹣A1B1Ｃ1D1的棱DＤ１的中点,给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B１C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AＢ、B1C1都垂直；
③过Ｍ点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B１C1都平行．
其中真命题是（）
A.②③④B．①③④?C．①②④?Ｄ.①②③
【考点】直线与平面平行的性质;平面与平面垂直的性质.
【专题】压轴题;数形结合．
【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以,过M点有且只有一条直线与直线AB、B1Ｃ１都相交，①正确．
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B１C１都垂直,正确.
过Ｍ点有无数个平面与直线AB、B1Ｃ1都相交,③不正确.
④过Ｍ点有且只有一个平面与直线AＢ、Ｂ1C1都平行,正确.
【解答】解：直线AＢ与Ｂ1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上,如图所示：
取C１C的中点N，则MN∥AB,且MＮ=AB，设BＮ与B1C1交于Ｈ，则点Ａ、B、M、Ｎ、Ｈ共面，
直线HＭ必与ＡB直线相交于某点O．
所以,过M点有且只有一条直线HＯ与直线AB、B1C1都相交；故①正确．
过M点有且只有一条直线与直线AＢ、B１C１都垂直，此垂线就是棱ＤD1,故②正确．
过M点有无数个平面与直线ＡB、Ｂ1Ｃ１都相交,故③不正确.
过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行,此平面就是过Ｍ点与正方体的上下底都平行的平面,故④正确．
综上，①②④正确,③不正确，
故选 C.
【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想.
1２.(5分)(2０1０?江西）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y=sin2x，,的图象如下．结果发现其中有一位同学作出的图象有错误,那么有错误的图象是（）
Ａ. B.
C．
D.
【考点】正弦函数的图象．
【专题】作图题.
【分析】可采用排除法,取一个特殊点来观察,如当y=sｉn2x的图象取最高点时其他两函数对应的点一定不是最值点或零点,从而只有Ｃ不合适
【解答】解：y=sｉn2x的图象取最高点时，x=kπ+，k∈Z
此时,x+=kπ+,ｘ﹣=kπ﹣
∴,的函数值一定不是１或0，
即y＝sin2x的图象取最高点时,其他两函数对应的点一定不是最值点或零点，而C不适合，故选C
【点评】本题考查了三角函数的图象及性质,y=Aｓin(ωx+φ)型函数的对称性,排除法解图象选择题
二、填空题(共4小题,每小题4分，满分16分)
1３．(4分）(2010?江西）已知向量,满足｜|＝2，与的夹角为60°,则在上的投影
是1．
【考点】向量的投影．
【专题】常规题型；计算题.
【分析】根据投影的定义，应用公式||coｓ<,＞=求解.
【解答】解:根据向量的投影定义,在上的投影等于||cos<，>＝2×=1
故答案为:1
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用.
1４．(4分)(2０10?江西)将5位志愿者分成3组，其中两组各２人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有9０种（用数字作答).
【考点】排列、组合的实际应用.
【专题】计算题.
【分析】根据分组分配问题的思路,先将5人分成3组,计算可得其分组情况，进而将其分配到三个不同场馆，由排列公式可得其情况种数，由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解：根据题意，首先将5人分成3组，
由分组公式可得,共有=15种不同分组方法,
进而将其分配到三个不同场馆,有A33=6种情况,
由分步计数原理可得，不同的分配方案有１5×6＝9０种,
故答案为90.
【点评】本题考查排列组合里分组分配问题，注意一般分析顺序为先分组，再分配．15．（４分）(2０10?江西)点A（ｘ0,ｙ0）在双曲线的右支上，若点A到右焦点
的距离等于2x０，则ｘ0= 2.
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题设条件先求出a,b,由此能求出x０的值．
【解答】解：a＝2．c=6，∴右焦点F(６，0)
把A(x0,y0)代入双曲线，得y02=8x02﹣32，
∴|AＦ｜=
∴．
故答案为：２．
【点评】本题考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化,解题时要注意公式的合理运用．
16.（４分）（20１０?江西）长方体ABCD﹣A1B1C１D１的顶点均在同一个球面上，AB＝ＡA1=1,BＣ=，则A，Ｂ两点间的球面距离为．
【考点】球面距离及相关计算.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】考查球面距离的问题,可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角,再利用球面距离公式得出答案.
【解答】解：设球的球心为Ｏ，球的直径即为长方体的对角线长,
即２R=，
∴Ｒ=１，
在等腰三角形OAB中,
球心角∠ＡOB=，
∴利用球面距离公式得出：
距离公式=.
答案:．
【点评】本题主要考查球的性质、球面距离，属于基础题.
三、解答题(共6小题,满分７４分）
17.(1２分）（2０１0?江西)设函数f(x）=6x3+３（a＋2）x2＋2aｘ．
(１）若f(x）的两个极值点为ｘ1，x２,且x1x2=１，求实数a的值;
(２)是否存在实数a,使得ｆ(ｘ）是（﹣∞，+∞)上的单调函数?若存在，求出ａ的值;若不存在，说明理由.
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.
【专题】计算题．
【分析】（1)先求原函数的导函数,根据导函数在极值点处的值为零建立等式关系，求出参数a即可；
（２）根据二次函数的判别式进行判定能否使导函数恒大于零，如果能就存在，否则就不存在.
【解答】解:f′（x）=18x2+6（a＋2)x+２a
(１）由已知有f′（x1)=f′(x2）＝0,
从而,
所以a=9;
(2）由△=3６(a＋2）2﹣４×１８×2a＝36(ａ２+4）＞0,
所以不存在实a，使得f(x)是R上的单调函数.
【点评】本题主要考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识，是高考中常考的问题,属于基础题.
１8.（１2分）（20１0?江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机（即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫;若是2号、３号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止．
(1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
（2)求走出迷宫的时间超过３小时的概率.
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题.
【分析】(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的所有事件数为3，而满足条件的事件数是1，根据古典概型的概率公式得到结果．
(2)走出迷宫的时间超过3小时这一事件,包括三种情况，且这三种情况是互斥的，一是进入2号通道，回来后又进入3号通道,二是进入3号通道,回来后又进入2号通道，三是进入３号通道,回来后又进入1号通道的概率，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率
∵试验发生包含的所有事件数为3,
而满足条件的事件数是1，
设Ａ表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件,
∴P（A)=.
(2)设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，
本事件包括三种情况,且这三种情况是互斥的,
一是进入2号通道，回来后又进入3号通道的概率是=
二是进入3号通道，回来后又进入2号通道的概率是=
三是进入３号通道，回来后又进入1号通道的概率是=
则P（Ｂ)==.
【点评】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查.
１9.(12分)(2０10?江西）已知函数ｆ(x）=(1+ｃotx）ｓin2x﹣2sｉｎ（x＋)ｓｉn(x﹣)．（1）若tanα=２，求f(α）；
(2)若x∈[，],求ｆ（x）的取值范围.
【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】（1）利用正切化为正弦、余弦,利用两角和与差的三角函数展开,二倍角公式的应用化为，通过tａnα＝2,求出sin２α，cos2α,然后求出ｆ(α);
（2）化简函数为:，由ｘ∈[,］,求出2x+的范围，然后求f（ｘ）的取值范围．
【解答】解:(1)∵f(ｘ)=（１+cｏtx）sin2ｘ﹣２sin(x＋)sin（x﹣)＝sin2x+sｉnxcｏsx+cos ２x
=+=
∵tanα＝2,∴sｉn2α=2ｓinαcosα＝＝=，
cｏs2α==
所以.
(2)由(1)得
由得,所以
从而．
【点评】三角函数的化简,包括降幂扩角公式、辅助角公式都是高考考查的重点内容,另外对于三角函数的化简到最简形式一定要求掌握.熟练利用正余弦函数的图象求形如y=Aｓin （ωx+φ)性质．
20.（１2分)(２01０?江西）如图，△BＣD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面ＭC Ｄ⊥平面ＢCD，AB⊥平面BCD，ＡB=2．
(1）求直线AＭ与平面ＢCD所成的角的大小；
（2)求平面ACM与平面ＢCＤ所成的二面角的正弦值.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面所成的角．
【专题】计算题．
【分析】(1）取ＣD中点O，连OB，OＭ,延长AＭ、BO相交于E，根据线面所成角的定义可知∠ＡＥB就是AM与平面BＣＤ所成的角,在三角形AEＢ中求出此角即可;
(2)CE是平面ACＭ与平面BＣD的交线，作BF⊥EC于Ｆ,连ＡＦ，根据二面角的平面角的定义可知∠ＡFB就是二面角A﹣ＥC﹣B的平面角,在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值.
【解答】解：(１)取CＤ中点O,连ＯＢ,ＯM,则ＯＢ⊥CＤ,ＯM⊥ＣD．
又平面ＭＣD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD，
所以MO∥AB,A、Ｂ、O、M共面.延长ＡＭ、BＯ相交于E，
则∠ＡEB就是AＭ与平面BCD所成的角.
ＯB=MO=,MO∥ＡＢ，则，,所以，故∠AEB=45°. （2）CＥ是平面ACM与平面ＢＣＤ的交线．