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一元二次函数的性质和图像

一元二次函数的性质和图像
一元二次函数的性质和图像

一元二次函数的性质和图像

教材分析:一元二次函数是一种重要的函数,虽然初中已学过一些基本知识,但由于其是非常重要的一类函数,有必要在中学阶段打下扎实的基础。因此,高中教材再安排一节来介绍二次函数的性质和图像,本节重点是教会学生如何正确简便地画一元二次函数的图像以及利用其性质解决实际问题。

教学目标:

知识与能力:掌握一元二次函数的性质,会画其图像。

过程与方法:师生合作交流,共同探求知识。

情感态度与价值观:创设问题情境,增强学生自信心,积极主动参与课堂教学。

教学重点:一元二次函数的性质和图像

教学难点:熟练画一元二次函数的图像,理解并掌握一元二次函数的性质。

教学方法:讲授、启发、自主探究。

教学过程:

一、复习导入新课:

1.简要回顾初中已学过的二次函数知识。

2.如何正确、简便画一元二次函数y=21x 2+x-2

5,x R ε的图像? 二、新课讲授,传授新知。

1.画二次函数图像的步骤

列表 描点 连线

2.引导学生观察总结性质:

①指导学生的动手操作:

配方:y=ax 2+bx+c (a 不等于0) x εR

=a(x 2+a

b x)+

c =a[x 2+a b x+(a b 2)2-(a

b 2)2]+c

=a(x+a b 2)2+a b ac 442

- ②归纳总结

I :图像有对称轴x=-a

b 2 II :图像顶点(-a b 2,a

b a

c 442

-) III :当a>0时,图像开口向上,函数在x= -a b 2处达到最小值a b ac 442

-,函数在区间(-a b 2+co )上是增函数,在区间(-00,-a

b 2)上是减函数。 当a<0时,图像开口向下,函数在x= -a b 2处达到最大值a

b a

c 442

-,函数在(-a b 2,+00)上是减函数,在(+0,-a

b 2)上是增函数。 IV :一元二次函数的图像是一条抛物线。

三、例题剖析,巩固新知。

例:求下列函数的最大值或最小值。

(1)y=2x 2-6x+5

(2)y=-2x 2-6x+5

解:(1)因为a=2>0,因此函数有最小值,把函数的表达式配方法, y=2[x 2-3x+(23)2-(2

3)2]+5 =2[(x-23)2+2

1] 由此得出,当x=23时,y 达到最小值2

1 (2)因此a=-2<0,因此函数有最大值,把表达式配方法: Y=-2(x+23)2+2

19 由此得:当x=23时,y 达到最大值2

19 思考:

1.你还有其他办法求例1中最大值或最小值吗?

2.找学生口答,P 119辩一辩

四、小结:练习与作业

小结:本节课主要学习一元二次函数的图像和性质。虽然这一节内容在初中已基本接触过,但又由于其内容十分重要,故在高中阶段继续学习并利用。同学们通过学习要会画一元二次函数的图像,掌握其性质。

练习:P 120 B 组1、2、3

作业:P 120 A 组1、2

附:板书设计

3.8 一元二次函数的性质和图像

1.画二次函数图像的步骤 3.例题

2.二次函数的图像和性质

参考例题:

1.若函数f(x)=21x-x+3

2的定义域和值域都是[1,6](6>0),求6的解。 分析:先确定函数f(x)在[1,6]上的单调性,由此确定关于b 的方程。

2.若x 、y 满足x 2-y 2=4x 且S= x 2+ y 2,求S 的最值。

分析:S 的表达式中含有两个变量x 、y ,由已知条件可消去y 转化为关于x 的二次函数未求,但应注意由y 2=x 2-4x 0,先确定x 的范围。

教学反思:

一元二次函数的性质和图像是高中数学的重要知识点,本节教学中,我重在引导学生观察、分析及对动手画图能力的培养,为此做了以下几点处理:

①要求每位同学回顾初中已学二次函数知识

②学生观察讨论、二次函数图像,总结归纳其性质

③掌握配方法的基本思维,培养学生灵活处理问题的思维能力,在例题或配方过程中,今后教学中可提出与一元二次方程的配方进行比较,可加深学生对配方这一数学思想方法的理解。

一元二次函数的图像和性质

§ 3.4一元二次函数的图象和性质 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

二次函数图像及一元二次方程与二次函数关系

第十五讲 二次函数的图像与性质 二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1、二次函数的表示方法: 1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+, c bx ax y ++=2 =a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222 -+ +=????? ?+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2 ax y =的图像的形状、开口方向均相同, 只是位置不同,可以通过平移得到。 2、二次函数c bx ax y ++=2 的图像特征 (1)二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线; 3、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小; 当2b x a >- 时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a >- 时,y 随x 的增大而减小; 当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 3. 常数项c ⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0;

(完整版)一元二次函数的图像性质

星火教育讲义 教学步骤: 一、新授内容 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

例题精解 一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数642 12 ++= x x y 的图象 【解】 )128(21 642122++=++=x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 … y … 25 0 23- -2 2 3- 0 25 … 【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分,列表 【点评】画二次函数图象步骤: (1)配方; (2)列表; (3)描点成图; 也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知:顶点坐标为)73(--,,对称轴为3-=x ; 01>Θ ∴当3-=x 时, 7min -=y 函数在区间]3(--∞,上是减函数,在区间)3[∞+-,上是增函数。 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b Θ,2029)5(431)5(44422=-?-?-?=-a b ac x -2 -1 0 1 2 y 7 6 5 4 3

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?

专题08 一元二次函数的图像和性质(原卷版)

专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲 【问题1】函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系? 为了研究这一问题,我们可以先画出y=2x2,y=1 2 x2,y=-2x2的图象,通过这些函数图象与函数y=x2 的图象之间的关系,推导出函数y=ax2与y=x2的图象之间所存在的关系. 先画出函数y=x2,y=2x2的图象. 先列表: x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … x2…9 4 1 0 1 4 9 … 2x2…18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出,要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了. 再描点、连线,就分别得到了函数y=x2,y=2x2的图象(如图2-1所示),从图2-1我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数y=2x2的图象可以由函数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到. 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=1 2 x2,y=-2x2的图象,并研究这两个函数图象与函数y= x2的图象之间的关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小. 【问题2】函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系?

同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y =2(x +1)2+1与y =2x 2的图象(如图2-2所示),从函数的同学我们不难发现,只要把函数y =2x 2的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数y =2(x +1)2+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点. 类似地,还可以通过画函数y =-3x 2,y =-3(x -1)2+1的图象,研究它们图象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数y =a(x +h)2+k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y =ax 2+bx +c(a≠0)的图象的方法: 由于y =ax 2 +bx +c =a(x 2 +b x a )+c =a(x 2 +b x a +224b a )+c - 24b a 2 24()24b ac b a x a a -=++ , 所以,y =ax 2+bx +c(a≠0)的图象可以看作是将函数y =ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函数y =ax 2+bx +c(a≠0)具有下列性质: (1)当a >0时,函数y =ax 2 +bx +c 图象开口向上;顶点坐标为2 4(,)24b ac b a a --, 对称轴为直线x =-2b a ;当x <2b a - 时,y 随着x 的增大而减小;当x >2b a -时,y 随着x 的增大而增大;当x =2b a -时,函数取最小值y =2 44ac b a -.

初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学 教师:学生:年级:日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大,所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标:1、理解二次函数的概念;会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数; 2、熟练的画出各种抛物线的图像,根据解析式的变化判断图像的平移方法; 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移;待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容: 知识回顾 1.一般地,形如y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其中,x 是自变量, a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 (1)二次函数解析式的一般式(通式):,它的顶点坐标为(,),对称轴为;(2)二次函数解析式的顶点式(通式):,顶点坐标为(,)对称轴是;(3)二次函数解析式的交 点式:。此时抛物线的对称轴为。其中,(x 1,0)(x 2 ,0)是抛 物线与X轴的交点坐标。显然,与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a,b,c的符号与图像性质的关系: 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法: 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时,可选用y=ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y=ax2+bx+c(a≠0)为一般式(三点式)。 例:二次函数图象经过A(1,3)、B(-1,5)、C(2,-1)三点,求此二次函数的解析式。 说明:因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上,反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组,解方程组得a、b、c的值,即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时,可选用y=a(x+m)2+k (a≠0)求解。我们称y =a(x+m)2+k (a≠0)为顶点式(配方式)。 例:若二次函数图像的顶点坐标为(-2,3),且过点(-3,5),求此二次函数的解析式。 说明:由于顶点式中要确定a、m、k的值,而已知顶点坐标即已知了-m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的,不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)为双根式(交点式)。 例:已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3)三点,求此二次函数的解析式。 说明:很多同学看到此例会想到使用一般式来解,将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标,而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时,可选用 或 例:抛物线y=2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4,求此二次函数的解析式。 说明:对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程,记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之,要求一个二次函数的解析式,可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法,使计算过程简单化,达到迅速解题的目的。当然,也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数,才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法,提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),那么y叫做x的二次函数 注意:二次函数的表达形式为整式,且二次项系数不为0,b ,c可分别为0,也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习:

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

高考数学一元二次函数性质综合考查

高考数学二轮复习一元二次函数性质及其综合考查 一、一元二次函数图象与性质:(学生画出函数图象,写出函数性质) 二.高考题热身 1.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,1 2 〕成立,则a的取值范围是() A.0 B. –2 C.-5 2 D.-3 2.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定 3.过点(-1,0)作抛物线21 y x x =++的切线,则其中一条切线为 (A)220 x y ++=(B)330 x y -+=(C)10 x y ++=(D)10 x y -+= 3.设0 a>,2 () f x ax bx c =++,曲线() y f x =在点 00 (,()) P x f x处切线的倾斜角的取值范围为 0, 4 π ?? ?? ?? ,则点P到曲线() y f x =对称轴距离的取值范围是() 1 .0, 2 A ?? ?? ??B .] 2 1 ,0[ a .0, 2 b C a ?? ?? ?? 1 .0, 2 b D a ?-? ?? ?? 4.设0 > b,二次函数1 2 2- + + =a bx ax y的图像为下列之一() 则a的值为 (A)1(B)1 -(C) 2 5 1- -(D) 2 5 1+ - 5.不等式组? ? ? > - < - 1 )1 ( log 2 |2 | 2 2 x x 的解集为 ( ) (A) (0,3);(B) (3,2);(C) (3,4);(D) (2,4)。 6.一元二次方程2210,(0) ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是:()A.0 aC.1 a<- D.1 a> 7. 已知方程22 (2)(2)0 x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为1 4 的等差数列,则 m n -=( ) A 1 B 3 4 C 1 2 D 3 8 8.已知{}{} 2 ||21|3,|6, A x x B x x x =+>=+≤A B= I( )

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移;当0>h 时向左平移;当0

3.二次函数的最值公式: 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ;时当0?时抛物线与x 轴有两个交点;当0=?抛物线与x 轴有一个交点;当 0

一元二次函数的图像和性质教学设计

§ 3.4一元二次函数的图象和性质教学设计 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b a c a b -- ,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2+k 和c bx ax y ++=2图象,能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口 方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2的性质: 2. y =ax 2+k 的性质: (k 上加下减) 3. y =a (x -h )2的性质: (h 左加右减)

4. y =a (x -h)2+k 的性质: 5. y =ax 2+bx+c 的性质: 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如 下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二:

二次函数的图像和性质知识点与练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2 ,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象, 能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质: x y O

2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质:

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二:

二次函数图像与性质

二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念: 一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2 h x a y -=; ④()k h x a y +-=2 ;⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0

二次函数图像与性质总结

二次函数图像与性质总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后 者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中 2 424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴 对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2 b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3.两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).

一元二次函数的图像及性质

§ 一元二次函数的图象和性质 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b a c y 442 min -=,无最大 值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小 值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

【解】 )128(2 1 642122++=++= x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x 以 为中间值,取x 的一些值,列表如下: … …【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分,列表 【点评】画二次函数图象步骤: (1)配方; (2)列表; (3)描点成图; 也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知:顶点坐标为)73(--,,对称轴为3-=x ; 01> ∴当3-=x 时, 7min -=y 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b ,2029)5(4 31)5(44422=-?-?-?=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103( ,对称轴为2029=x 05<- ∴当103=x 时,函数取得最大值20 29 =maz y

中考数学-二次函数图像及其性质

中考数学 二次函数图像 【一】二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的 五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 【二】二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值 2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ? ??,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值 244ac b a -. 【三】二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠. ⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,

一元二次函数的图像性质

一、新授内容 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+= x x 以4-=x 为中间值,取x 的一些值,列表如下: 【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2 -+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2 ++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分,列表 【点评】画二次函数图象步骤: (1)配方; (2)列表; (3)描点成图; 也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间。 【解】 7)3(796262 2 2 -+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知:顶点坐标为)73(--,,对称轴为3- =x ; 01>Θ ∴当3-=x 时, 7min -=y 函数在区间]3(--∞,上是减函数,在区间)3[∞+-,上是增函数。

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