课时规范练 A 组 基础对点练
1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x
D ．y ＝e x －e －x
解析：因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D
2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x
D ．y ＝cos x
解析：A 项中的函数是非奇非偶函数；B 项中的函数是偶函数但不存在零点；C 项中的函数是奇函数；D 项中的函数既是偶函数又存在零点． 答案：D
3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1
x B ．y ＝|x |－1 C ．y ＝lg x
D ．y ＝? ??
??12ln|x |
解析：A 项，y ＝1
x 是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；易知B 正确；C 项，y ＝lg x 是非奇非偶函数，故C 错误；D 项，y ＝? ????12ln|x |
是递减的．
答案：B
4．设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为R
D ．f (x )是周期函数
解析：因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故选D.
答案：D
5．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝() A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，
∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．
答案：C
6．若f(x)＝e x－a e－x为奇函数，则f(x－1)＜e－1
e的解集为()
A．(－∞，2) B．(－∞，1)
C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：因为f(x)＝e x－a e－x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)
＝e x－e－x在R上单调递增，且f(1)＝e－1
e.则由f(x－1)＜e－1
e
，得f(x－1)＜f(1)，
即x－1＜1，解得x＜2，所以不等式f(x－1)＜e－1
e
的解集为(－∞，2)．故选A.
答案：A
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝__________．
解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
8．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是__________．
解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
9．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________． 解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案：3
10．函数f (x )＝e x ＋3x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )
的和，则g (0)＝________．
解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋3x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －3x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝e －x －3x ②. 由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2， 所以g (0)＝e 0＋e 0
2＝1. 答案：1
B 组 能力提升练
11．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ? ????
13的x 的取值范围是( )
A.? ????13，23
B.??????
13，23 C.? ??
??12，23 D.????
??12，23 解析：法一：偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，
有f (2x －1)＜f ? ????13?f (|2x －1|)＜f ? ????
13，
进而转化为不等式|2x －1|＜1
3，
解这个不等式即得x 的取值范围是? ????
13，23.故选A.
法二：设2x －1＝t ，若f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 则f (x )在(－∞，0)上单调递减，如图， ∴f (t )＜f ? ??
??
13，有
－13＜t ＜13，即－13＜2x －1＜13， ∴13＜x ＜2
3，故选A. 答案：A
12．若函数f (x )＝2x ＋1
2x －a
是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1，0)
C ．(0，1)
D ．(1，＋∞)
解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x ＋1
2x －a ，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x ，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x
－1
.由f (x )>3
得0 13．已知函数f (x )＝lg({x }－x )，其中{x }表示不小于x 的最小整数，则关于f (x ) 的性质表述正确的是( ) A ．定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B ．在定义域内为增函数 C ．f (x )为周期函数 D ．在定义域内为减函数 解析：由题意，得{x }－x ＞0，x 的取值范围为{x |x Z }，故A 错误，由定 义域可知其图象不连续，{x }－x ∈(0，1)，故函数是周期函数，在定义域内不具有单调性，故选C. 答案：C 14．(2019·潍坊模拟)设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且 x ∈R ，满足f ? ?? ?? x －32＝ f ? ???? x ＋12，当x ∈[2，3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2，0]时，f (x )＝( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1| D ．3－|x ＋1| 解析：∵x ∈R ，满足f ? ????x －32＝f ? ?? ?? x ＋12， ∴ x ∈R ，满足f ? ????x ＋32－32＝f ? ?? ?? x ＋32＋12， 即f (x )＝f (x ＋2)， 若x ∈[0，1]，则x ＋2∈[2，3]， f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2， 若x ∈[－1，0]，则－x ∈[0，1]， ∵函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数， ∴f (－x )＝－x ＋2＝f (x )， 即f (x )＝－x ＋2，x ∈[－1，0]； 若x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0，1]， 则f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2＋2＝x ＋4， x ∈[－2，－1]． 综上，f (x )＝?????x ＋4，－2≤x ＜－1， －x ＋2，－1≤x ≤0，故选D. 答案：D 15．已知y ＝f (x ＋1)＋2是定义域为R 的奇函数，则f (e)＋f (2－e)＝________． 解析：法一：y ＝f (x ＋1)＋2的图象关于原点(0，0)对称，y ＝f (x )是由y ＝f (x ＋1)＋2的图象向右平移1个单位、向下平移2个单位得到的，则y ＝f (x )的图象关于点(1，－2)对称，则f (e)＋f (2－e)＝－4. 法二：由y ＝f (x ＋1)＋2是定义域为R 的奇函数，得f (－x ＋1)＋2＝－[f (x ＋1)＋2]，即f (1－x )＋2＝－f (1＋x )－2，∴f (1＋x )＋f (1－x )＝－4.令x ＝e －1，得f (1＋e －1)＋f (1－e ＋1)＝－4，故f (e)＋f (2－e)＝－4. 答案：－4 16．(2019·保定调研)已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)， 若f (a )＝－2，则实数a ＝________. 解析：x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)＝? ????x ＋122－1 4的最小值为0，所以f (a )＝－2时， a ＜0，因为f (x )为R 上的奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x (－x ＋1)＝x 2－x ＝－f (x )，所以x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x ，则f (a )＝－a 2＋a ＝－2，所以a ＝－1. 答案：－1
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