O
D G C
A
E F
B P 课后习题
1、如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,P 为AD 上一点,CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ,求证: PB 2=PE ?PF ．
2.(本小题满分12分)
如图,A 是以BC 为直径的O 上一点,AD BC ⊥于点D , 过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,
延长AF 与CB 的延长线相交于点P .
(1)求证:BF EF =；
(2)求证:PA 是O 的切线；
(3)若FG BF =,且O 的半径长为32,求BD 和FG 的长度.
3.(本小题满分14分)
如图1,点C 将线段AB 分成两．
部分,如果AC BC
AB AC
=
,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果12
1
S S S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF (如图3),则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．
(4)如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线.请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点.
参考答案
1. 【解析】连结PC ,易证,PC PB ABP ACP =∠=∠
∵//CF AB ∴F ABP ∠=∠,从而F ACP ∠=∠
又EPC ∠为CPE ?与FPC ?的公共角,
第3题图
O D G C A E
F B P 从而CPE FPC ??,∴
CP PE
FP PC
=
∴2PC PE PF =? 又PC PB =, ∴2PB PE PF =?,命题得证.
2. 【解析】(1)证明：BC ∵是O 的直径，BE 是O 的切线，
EB BC ⊥∴．又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．
易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△． BF CF EF CF DG CG AG CG
==
∴，．BF EF
DG AG =∴． G ∵是AD 的中点，DG AG =∴．BF EF =∴．
(2)证明：连结AO AB ，．BC ∵是O 的直径，90BAC ∠=∴°． 在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE 的中点，
AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴． BE ∵是O 的切线，90EBO ∠=∴°．
90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O 的切线． (3)解：过点F 作FH AD ⊥于点H ．BD AD FH AD ⊥⊥∵，，FH BC ∴∥． 由(1)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．
由已知，有BF FG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形．
FH AD ⊥∵，AH GH =∴．DG AG =∵，2DG HG =∴，即
1
2
HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°，∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =．
FH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△．FH FG HG CD CG DG ==∴
，即1
2BD FG HG CD CG DG ===． O ∵的半径长为32，62BC =∴．1
262BD BD BD CD BC BD BD ===--∴
． 解得22BD =．22BD FH ==∴．12FG HG CG DG ==∵，1
2
FG CG =∴．3CF FG =∴．
在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =，由勾股定理，得222CF BF BC =+． 222(3)(62)FG FG =+∴．解得3FG =（负值舍去）．3FG =∴．
［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△，FG HG =∴，故
2CG FG =，3CF FG =．由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，22
33
CD CG FG CB CF FG ===∴
． 由622362
BD -=，解得22BD =．又在Rt CFB △中，由勾股定理，得
222(3)(62)FG FG =+，3FG =∴（舍去负值）．］
3. 【解析】(1)直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下:设ABC △的边AB 上的高为h ．
F
C
B D E A N M
G （第4题答图1） F
C B
D
E A N M （第4题答图2） 12ADC S AD h =
△,12BDC S BD h =△,1
2
ABC S AB h =△,所以ADC ABC S AD S AB =
△△，BDC ADC S BD S AD =△△ 又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BD
AB AD
=
．因此ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线.
(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时121
2
s s s ==,即121s s s s ≠，所以
三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.
(3)因为DF CE ∥,∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△
设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形
DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．
又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFC
AEF ABC AEF
S S S S =四边形△△△. 因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． (4)画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．
画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．