第18章 量子力学基础 习题解答
1．一波长为300nm 的光子，假定其波长的测量精度为6
10-，即61
10
λ
λ
?=
，求该光子位置的不确定量。 解： 光子λ
h
p =
，λλλλ?=
?-
=?2
2
h
h
p
由测不准关系，光子位置的不准确量为
292
6
30010 2.3910244410
x m m p λλπλπλλπ---??=====????? 2．原子的线度为10
10
m -，求原子中电子速度的不确定量。
解：依题意，电子位置的不确定量为10
10x m -?=，由不确定关系，有
2
x x p x m v ??=??≥
346
3110
1.0510/0.610/229.11010
v m s m s m x ---??≥==????? 3．波函数模的二次方的物理意义是什么？波函数必须满足哪些条件？
解：波函数是描述粒子运动状态的函数，是微观粒子具有波动性的数学描述，波函数描述的波是概率波，波函数模的平方表示粒子在空间出现的概率，即概率密度。波函数要满足标准条件（即波函数必须是单值、连续和有限的）和归一化条件。
4．波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间分布的概率会发生什么变化? 解：不变．因为波函数是计算粒子t 时刻空间各点出现概率的数学量．概率是相对值．则21、点的概率比值为：
2
2
212
2
21φφφφD D =
∴ 概率分布不变．
5．假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写：
0,(,)sin 0i Et x x a
x t Ae x x a
a ψπ
-≤≥??=?≤≤?
?
式中，E 和a 分别为确定常数，A 为归一化系数，计算归—化的波函数和概率密度。
解：根据波函数的归一化条件，有
2
22
2
(,)sin 12
a
a
x
a x t dx A dx A a
πψ===?
? 得 A =
故归一化波函数为 ?
????≤≤≥≤=-a
x x a e a
a
x x t x Et i 0sin 2,00
),(πψ
相应的概率密度()P x =20
0,2sin 0x x a x x a
a
a π≤≥??
?≤≤??
6．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
3()2x
x a πψ=
)(a x a ≤≤-
那么，粒子在a x 6
5
=
处出现的概率密度为多少? 解： 2
2
*
)23cos
1(
a
x a
πψψψ== a
a a a a a a
a 21)21(14cos 1)4(cos 145cos 12653cos 122222===+===πππππ
7．粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
()n n x x a
πψ=
)0(a x << 若粒子处于1=n 的状态，在0～4
a
区间发现粒子的概率是多少? 解：x a
x a x w d sin 2d d 22
πψ== ∴ 在4
~
0a
区间发现粒子的概率为： ??
?===40
2024
4)(d sin 2d sin 2a a a
x a
a x a a x a x a dw p ππππ
091.0)(]2cos 1[212
4
/0=-=?x a
d a x a π
ππ 8．宽度为a 的一维无限深势阱中粒子的波函数为x a
n A x π
ψsin )(=，求：(1)归一化系数A ；(2)在2=n 时何处发现粒子的概率最大？
解：(1)归一化系数??
==+∞
∞
-a
x x 0
2
2
1d d ψψ
即
??=a
a x a
n x a n A n a x x a n A 0022
2)(d sin d sin ππππ ?-=a x a n x a n A n a 02)(d )2cos 1(2π
ππ
12
222===A a
n A n a ππ
∴ =
A a
2
粒子的波函数 x a n a x πψsin 2)(=
(2)当2=n 时， x a
a πψ2sin 22= 几率密度]4cos 1[12sin 222
2
x a
a x a a w ππψ-==
= 令0d d =x w ，即04sin 4=x a a ππ,即,04sin =x a
π， ,2,1,0,4==k k x a
ππ
∴ 4
a
k x =
又因a x <<0，4 ∴当4a x =和a x 43 =时w 有极大值， 当2 a x =时，0=w ． ∴极大值的地方为4a ，a 4 3 处 9．求一电子处在宽度为0.1a nm =和a =1m 的势阱中运动的能级值。把结果同室温(T =300K)下电子的平均平动动能进行比较，可得到什么结论？ 解：由电子在势阱中的能级公式得 当0.1a nm =时，222 2 2n n E ma π==237.7eV n 当m a 1=时，2222 2n n E ma π==192 3.7710eV n -? 在室温(T =300K)下电子的平均平动动能t ε=2 3.8810eV -?。 故对宏观问题，电子的量子效应可以忽略。 10．质量为m 、电量为1q 的粒子在点电荷2q 所产生的电场中运动，求其定态薛定谔方程。 解：系统的势能函数为 120()4q q U r r πε= 故其定态薛定谔方程为： 2 2120()()24q q E m r ψψπε?? - ?+= ???r r 11．描述原子中电子定态需要哪几个量子数？它们的取值范围如何？它们各代表什么含义？ 解：主量子数n ：n =1，2，…，它基本上决定了原子中电子的能级； 角量子数0,1,2,(1)l l n =-：，它决定了电子轨道角动量的大小，对能量也有一定影响； 磁量子数l m m ±±±=,,2,1,0 ：，它确定了电子轨道角动量的可能空间取向； 自旋磁量子数1 2 s s m m =±：，它确定了电子自旋角动量的可能空间取向。 12．原子内电子的量子态由n 、l 、m 、s m 四个量子数表征。当n 、l 、m 一定时，不同的量子态数目是多少？当n 、l 一定时，不同的量子态数目是多少？当n 一定时，不同的量子态数目是多少？ 解：(1)2 )2 1 (±=s m (2))12(2+l ，每个l 有12+l 个l m ，每个l m 可容纳2 1 ±=s m 的2个量子态． (3)2 2n 13．计算氢原子中l = 4的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值，并画出电子角动量 L 在磁场中空间量子化的示意图。 解： 20)14(4)1(=+= +=l l L 磁场为Z 方向，Z L m =，0m =,1±，2±，3±，4±． ∴ )4,3,2,1,0,1,2,3,4(----=Z L 14．求出能够占据一个d 支壳层的最多电子数，并写出这些电子的m 和s m 值。 解：d 分壳层的量子数2=l ，可容纳最大电子数为10)122(2)12(2=+?=+=l Z l 个，这些电子的： 0m =，1±，2±， 2 1±=s m 15．某原子处在基态时，其K 、L 、M 壳层和4s 、4p 、4d 支壳层都填满电子。试问这是哪种原子？ 解：由题意可得46Z =，可知该原子为钯 ()d P （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
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