b βα
2019-2020学年高三数学一轮复习 课时7 空间中的垂直关系学案文
一、高考考纲要求
1.理解掌握两条直线垂直；
2.理解掌握直线和平面垂直；
3.理解掌握平面和平面垂直． 二、基础知识梳理 1.两条直线垂直
（1）定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直.
（2）判定：<1>平面几何中的重要结论：
①等腰三角形ABC 中，D 为BC 的中点，
则 ； ②若四边形ABCD 为菱形，则 ； ③已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，则有 ； ④已知MN 为圆O 的一条弦，P 为MN 的中点，则有 .
<2>若//a b ，b c ⊥，则 .
<3>线面垂直的性质：若a α⊥，b α?，则 .
2.直线和平面垂直
（1）定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和 ，我们就说这条直线
和这个平面垂直，记作 ，直线叫做平面的 ，平面叫做直
线
的 ，交点叫做垂足. （2）判定：
<1>线面垂直的判定定理： 如图（1）；<2>线面垂直判定定理的推论:如图（2）； <3>面面平行的性质：如图（3）； <4>面面垂直的性质：如图（4）.
3.面面垂直
（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面β垂
平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直.平面α与直，记作 .
（2）两个平面垂直的判定： 三、课前检测
1. 下列说法中正确的是（ ）
A.如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；
B.如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l α⊥；
A n
m b
α
c
b
α
β
b
α
n m β
α
图1
图2
图3
图4
重点处理的问题（预习存在的问题）： D C B A C N
M P
B
A O α
b a
D. 如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也有无数条直线与直线l 垂直.
2. 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交相交不垂直D ．不确定
3. 对于直线m 、n 和平面α、β，能得出αβ⊥的一个条件是（ ） A.m n ⊥,//m α,//n β B. m n ⊥,m α
β=,n α?
C.//m n ,n β⊥,m α?
D. //m n ,m α⊥,n β⊥
4. 设b ，c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题正确的是 A.若,//,//b c c b αα?则 B.若,//,//b b c c αα?则 C.若,,c c ααββ?⊥⊥则
D.若,,c c αβαβ?⊥⊥则
5.如图所示，已知A 是BCD ?所在平面外一点，
,,AB AD AB BC AD DC =⊥⊥，E 是BD 的中点.
求证：平面AEC ⊥平面ABD ,平面AEC ⊥平面BCD . E
D
C
B
A
课时6 空间中的垂直关系(课内探究案) 考点一：线线垂直问题 【典例1】（2015年广东）如图，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ． 【跟进练习1】如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，BF ⊥平面ACE 于点F ，且点F 在CE 上. （1）求证：AE EC ⊥；（2）DE BE ⊥； （3）设点M 在线段AB 上，且MA MB =，试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN 面DAE . . M A
E
B
D C F
备课札记 学习笔记
【典例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，其中2AB =,60BAD ∠=.
（I ）求证:BD ⊥平面PAC ；
（II ）若PA AB =，求四棱锥P ABCD -的体积.
【跟进练习2】
已知ABC ?中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥. 求证：AD ⊥面SBC ．
学习笔记
D
C
B
A
P
D
C
B
A
S
【典例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==，2AB =，120PAB ∠=，90PBC ∠=. （1）求证：平面PAD ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABC -的体积.
【跟进练习3】 （2015年湖南）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点． 证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ． 学习笔记
D C B
A P
课堂检测
1.已知直线m 、
n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ?α，要使n ⊥β，则应增加的条件是（ ）
A . m ∥n
B . n ⊥m
C . n ∥α
D . n ⊥α 2.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：
①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ；②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥. 其中正确的个数为（ ） A ．0个
B ．1个
C ． 2个
D ． 3个
3. 如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，ABC ?内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题： ①BC PC ⊥； ②//OM APC 平面；
③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长． 其中真命题的序号为 ．
备课札记 学习笔记
课时7 空间中的垂直关系(课后巩固案)
1.
【2010山东】在空间，下列命题正确的是（ ） A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两个平面平行 2. 【2015浙江】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α?，m β?，则（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥
B ．若αβ⊥，则l m ⊥
C ．若//l β，则//αβ
D ．若//αβ，则//l m 3.设 α、β、γ是三个互不重合的平面，m n 、是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．,αββγαγ⊥⊥⊥若，则 B ．//,,//,//m m m αββαβ?若则 C ．,//m m αβαβ⊥⊥若，则 D ．//,//,m n m n αβαβ⊥⊥若，则 4.（2015年山东）如图，三棱台DEF ABC -中，2AB D
E G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ； （II ）若C
F BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH ． 备课札记
学习笔记
6.（2015年北京）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ?AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C 2A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点． （I ）求证：V //B 平面C MO ； （II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ．
教后反思（学后反思）
备课札记 学习笔记
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