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八年级数学竞赛试卷

八年级数学竞赛试卷
八年级数学竞赛试卷

数学竞赛八年级试题

一、 填空题(每小题5分,共50分)

1、化简:=--a

a 21

2(

2、已知平行四边形的对角线分别为10和16,则它的边长x 的取值范围是.

3、若

则,0121322=+-++-b b a a =-+

b a

2

21

a 4、若=

=-+-222009则,2010)2009(-m m m m

5、=+

=-=+y

x

x

xy y x y 则

,4,5已知

6、已知,x 、y 均为正数,且,)5(3)(y y y x +=+x x

=

-+

++

y

xy x y xy x 32

7、如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道

当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值为8,则菱形的周长的最大值为。

8、在菱形ABCD 中,AB=4a,E 在BC 上,BE=2a,∠BAD=1200,P 点在BD 上,则PE+PC 的最小值为。

9、已知如图正方形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,E 、F 分别是边AD 、DC 上的点,若AE=4,CF=3,且OE ⊥OF ,则EF=。

10、如图,在矩形ABCD 中,E 是AD 的中点,将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE,延长BG 交CD 于点F,若CF=1,FD=2,则BC=。

(7)

(8) (9)

(10) 二、解答题(共70分)

11、(10分)如图,圆柱形容器中,高为1.2m ,底面周长为1m ,在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为多少m (容器厚度忽略不计).

12、(15分)如图,△ABC 中,点O 是边AC 上一个动点,过O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠ACB 的平分线于点E ,交∠ACB 的外角平分线于点F . (1)求证:OE=OF ;

(2)若CE=12,CF=5,求OC 的长;

(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时,四边形AECF 是矩形?并说明理由.

13、(10分)由于过度砍伐森林,我国许多地区遭沙尘暴的侵袭,近日,A 市气象局测得沙尘暴在A 市的正西方向300km 的B 处,以107km/h 的速度向东偏南300的

E

BF 方向移动,距沙尘暴中心200km 的范围是受沙尘暴严重影响的区域,问:A 市是否受到沙尘暴的影响,请计算说明。

(1)试求玫瑰花,蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少?

(2)甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草,根据市场调查,要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积(两种花卉的种植面积均为整数亩),花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴,种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分,每亩补贴100元;超过15亩但不超过20亩的部分,每亩补贴200元;超过20亩的部分每亩补贴300元.为了使总收入不低于127500元,则他们有几种种植方案?

15、(20分)已知直线PA:y=x+n (n >0)与x 轴交于A ,与y 轴交于Q ,另一条直线y=-2x+m(m >n)与x 轴交于B,与直线PA 交于P 求:(1)A ,B ,Q ,P 四点的坐标(用m

2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析

2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题(本大题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分) 1.集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是. 2.设函数()f x 是R R →的函数,满足对一切R x ∈,都有()(2)2f x xf x +-=,则()f x 的解析式为()f x =. 3.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>,F 为椭圆的右焦点,AB 为过中心O 的弦,则ABF ?面积的最大值为. 4.设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ,记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = (单元数集的元素积是这个元素本身),则1263p p p +++ =. 5.已知一个等腰三角形的底边长为3,则它的一条底角的角平分线长的取值范围是. 6.设实数,,a b c 满足2221a b c ++=,记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m , 则M m -=. 7.在三棱锥P ABC -中,已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是. 8.在平面直角坐标系xoy 中,有2018个圆:⊙1A ,⊙2A ,…,⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ,半径为21(1,2,,2018)4k a k = ,这里12201812018a a a >>>= ,且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ,则1a =. 二、解答题(本大题满分60分,每小题15分) 9.已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? . (1)求证:1()2 A B C A B C ≥++ (这里,X 表示有限集合X 的元素个数); (2)举例说明(1)中的等号可能成立. 10.求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数. 11.设,,, abcd 是实数,求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值.

八年级数学竞赛讲座三角形的有关概念

八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念 一、知识结构: 1、三角形的定义; 2、三角形的角平分线、中线、高; 3、三角形的三边之间的关系; 4、三角形的内角和定理及其推论; 5、同一个三角形中边与角之间的关系; 6、三角形的分类; 二、典型例题: 1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2 c b a bc a -=-,则这个三角形一定是( ) A.三边不相等的三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,2 2 2 ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( ) A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 3、已知等腰三角形的一边等于4,一边等于9,则它的周长是( ) A 、17 B 、22 C 、12或22 D 、20 4、下面四个命题中不正确的是( ) A .在△ABC 中,设三个内角中最小的角为α,则0°<α≤60° B .在△AB C 中,三个内角α:β:γ=1:2:3,则这个三角形是直角三角形; C .在△ABC 中,β为三个内角中最大的角,则60°<β<180° D .在△ABC 的内角中,锐角的个数最多; 5、等腰三角形ABC 中,AB=AC ,一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长; 6、如图:AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线, 且∠B=36°,∠C=76°,求∠DAF 的度数; 7、△ABC 中,AB=5,AC=3,则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少? 8、已知斜三角形ABC 中,∠A=55°,三条高所在直线交点为H ,求∠BHC 的度数; A B D F C

六年级数学竞赛试题及答案

六年级数学竞赛试题 学校: 班级: 姓名: ★亲爱的同学,经过这段时间的中学数学学习,你的数学能力一定有了较大的提高,展示你才能的机会来了!祝你在这次数学竞赛中取得好成绩!别忘了要沉着冷静、细心答题哟! 一、选择题(每小题6分,共36分) 1、如果m 是大于1的偶数,那么m 一定小于它的……………………( ) A 、相反数 B 、倒数 C 、绝对值 D 、平方 2、当x=-2时, 37ax bx +-的值为9,则当x=2时,3 7ax bx +-的值是 ( ) A 、-23 B 、-17 C 、23 D 、17 3、255 ,344 ,533 ,622 这四个数中最小的数是………………………( ) A. 255 B. 344 C. 533 D. 622 4、把14个棱长为1的正方体,在地面上堆叠成如图1所示的立体,然后将露出的表面部分染成红色.那么红色部分的面积为 ( ). A 、21 B 、24 C 、33 D 、37 5、有理数的大小关系如图2所示,则下列式子 中一定成立的是…… ( ) A 、c b a ++>0 B 、c b a <+ C 、c a c a +=- D 、a c c b ->-

6、某动物园有老虎和狮子,老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每天吃肉4.5千克,每只狮子每天吃肉3.5千克,那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉…… …… ( ) A 、 625千克 B 、 725千克 C 、825千克 D 、9 25千克 二、填空题(每小题6分,共36分) 7、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27,则x 的值是_____ 8、三个有理数a、b、c之积是负数,其和是正数,当x = c c b b a a + + 时,则 ______29219=+-x x 。 9、当整数m =_________ 时,代数式 1 36 -m 的值是整数。 10、A 、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,统计出A 、B 、C 、D 、E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球,则还没与B 队比赛的球队是______ 。 11、甲从A 地到B 地,去时步行,返回时坐车,共用x 小时,若他往返都座车,则全程 只需x 3 小时,,若他往返都步行,则需____________小时。 12、 ._______2007 20061431321211=?+?+?+?K 三、解答题(共28分) 13、现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列,再用正方形任意框出16个数。(14分) (1)设任意一个这样的正方形框中的最小数为n ,请用n 的代数式表示该框中的16个数,然后填入右表中相应的空格处,并求出这16个数中的最小数和最大数,然后填入右表中相应的空格处,并求出这16个数的和。(用n 的代数式表示) (2)在图中,要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能?若不可能,请说明理由;若可能,请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 · · · · · · · 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 图2

上海市高三数学竞赛解答 供参考

2017年上海市高三数学竞赛()解答(供参 考) 一、填空题:(本大题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分) 1、函数y = lg[arcsin(2x 2-x )] 的定义域是__________,值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[,,,]2 πlg ∞(,- 【提示】求定义域:]10(∈2(2 ,-x)x ,求值域: ]2 π 0(∈2arcsin(2 ,-x)x . 2、数列{}n a 是递增数列,满足:a n +12+a n 2+81 = 18(a n +a n +1) + 2a n a n +1 , n = 1,2,……,而且a 1 = 1,则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n -4)2 或者 (3n -2)2 【提示】(方法一)找规律+数学归纳法 / 代入检验。 计算可得:

归纳得:a n = (3n -4)2 或者 (3n -2)2(数学归纳法证明 / 代入检验略)。 (方法二)严格推导(注意舍去增根) 原方程变形可得:a n +12-(2a n +18)a n +1+a n 2-18a n +81 = 0 ; 由求根公式可得:2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a + ; 开方可得:|3±|=1+n n a a ; 计算可得:a 2 = 4或者16,当a 2 = 4,a 3 = 25;当a 2 = 16,a 3 = 49,

由已知数列{}n a 是递增数列,所以当n ≥ 3,n ∈N *时,3±= 1+n n a a , 进而3=1++n n a a , (小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去); 可证数列n a 从第三项开始等差数列,验证可得前两项也符合,本题有两解。 3、用一张正方形纸片(不能裁剪)完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥,则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6+ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开,把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来,使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面,那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片,分别写着数字0,1,2,……,9 ,从中任意

八年级数学竞赛讲座四边形

八年级数学竞赛讲座四 边形 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-

八年级数学竞赛讲座 四边形(2) 一、 知识要点: 1、梯形的定义、判定; 2、等腰梯形的定义、性质、判定; 3、三角形、梯形的中位线定理; 二、 例题: 1、用长为1,4,4,5的线段为边作梯形,求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和; 2、已知:如图,等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,且AB >CD ,两对角线AC 、BD 相互垂直,若BC=213,AB+CD=34,求AB ,CD 的长; 3、如图:在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAC=90°,AB=AC ,BD=BC ,AC 与BD 相交于点E ,求∠DCE 的度数; 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AB=CD ,E 、F 分别 是BC 、AD 的中点,BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于点M 、N 求证:∠AMF=∠CNE 5、已知:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 、F 分别是 两底AD 、BC 的中点,且EF=2 1(BC -AD ), 求证:∠B+∠C=90°;

6、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 为BC 的中点, G 为AD 的中点,CG 的延长线交AB 于点E ,EF ∥AC 交AD 于 点F ,求证:BE=2CF ; 7、已知:如图,M 是AB 的中点,C 是AB 上任意一点,N 、P 分别是DC 、DB 的中点,Q 是MN 的中点,PQ 的延长线交AC 于点E , 求证:E 是AC 的中点; 8、如图:四边形ABCD 中,∠BAD=∠BCD ,∠ABC ≠∠ADC , ∠ABC ,∠BCD ,∠CDA ,∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H , 求证:四边形EFGH 为等腰梯形; 9、已知:梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,E 为AB 的中点,DE ⊥CE ,求证:AD+BC=DC ; 10、已知,如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 为CD 中点, EF ⊥AB 于F , 求证:AB EF S ABCD ?=梯形 11、在直角梯形ABCD 中,AB ⊥AD ,CD ⊥AD ,将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°,得到线段BE ,连接AE 、CE ,(如图(1))。 ①若AB=2厘米,DC=3厘米,求证:1=?ABE S 平方厘米; A D F E B C

2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1

2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分,共70分.) 1.如图,已知□ABCD 中,过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G .若BE =5,EF =2,则FG 的长是 . 2.有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ,已知A 、B 的底面 边长均为3,C 、D 的底面边长均为a ,A 、C 的高均为3,B 、D 的高均为a ,在只知道a ≠3,且不考虑容器壁厚度的条件下,可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3,若n 的十进位制表示为99……9(20个9),则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 . 4.在△ ABC 中,若AB =5,BC =6,CA =7,H 为垂心,则AH 的长为 . 5.若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ,则m 的取值范围是 . 6.若关于x 的方程|1-x|=mx 有解,则实数阴的取值范围是 7.从1 000到9 999中,四个数码各不相同,且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个. 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ,y)= 9.如图,正△ABC 中,点M 、N 分别在AB 、AC 上,且AN =BM ,BN 与CM 相交于点O .若S △ABC =7,S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数,且使100x 116-x ++=y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数:能被111整除,且除得的商等于该四位数的各位数之和.

2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)

2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷 (2019年3月22日 星期日 上午8:30~10:30) 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分) 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞,则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈,且1 2121999x y -+++=++++,则将y 表示成x 的函数,其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-,若()()f a f b =,且0a b <<,则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数,则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合,即{1,2, ,2009}A =,集合L A ?, 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4,则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线,在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中,至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.(本题满分14分)设函数()f x 定义于闭区间[0,1],满足(0)0,(1)1f f ==,且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤,都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+,其中常数a 满足01a <<,求a 的值。 10. (本题满分14分)如图,A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点,过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ,问直线MN 这样的定点,请说明理由;如果存在这样的定点P 11. (本题满分16分)设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集,使得A 不是B 的 子集,B 也不是A 的子集,求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. (本题满分16分)设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切

新课标八年级数学竞赛讲座:第七讲 二次根式的运算

第七讲 二次根式的运算 式子a (a ≥0)叫二次根式,二次根式的运算是以下列运算法则为基础. (1)c b a c b c a )(±=± (≥0); (2)ab b a =? (0,0≥≥b a ); (3) b a b a = (0,0>≥b a ); (4)22)(a a =(≥a 0). 同类二次根式,有理化是二次根式中重要概念,它们贯穿于二次根式运算的始终,因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,二次根式除法、混合运算常用到有理化概念. 二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的,常常用到有理式运算的方法与技巧,如换元、字母化、拆项相消、分解相约等. 例题求解 【例1】 已知2542 4 52 22+-----= x x x x y ,则22y x += . (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量,初看似乎条件不足,不妨从二次根式的定义入手. 注: 二次根式有如下重要性质: (1)0≥a ,说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数; (2) a a =2)( (≥a 0),解二次根式问题的途径——通过平方,去掉根号有理化; (3) a a =2)(,揭示了与绝对值的内在一致性. 著名数学教育家玻利亚曾说,“回到定义中去”,当我们面对条件较少的问题时,记住玻利亚的忠告,充分运用概念解题. 【例2】 化简2 2 ) 1(111++ + n n ,所得的结果为( ) A .1111++ + n n B .1111++-n n C .1111+-+n n D .1 1 11+--n n (武汉市选拔赛试题) 思路点拔 待选项不再含根号,从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式. 注 特殊与一般是能相互转化的,而一般化是数学创造的基本形式,数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律.

新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开

2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ,则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ,._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、,,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ,FD 的延长线交AC 的延长线于G ,则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式;当1a x =或者 5432a a a a x +++=时,5)(=x f , 当21a a x +=时,,)(p x f =当543a a a x ++=时,q x f =)(,则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15,则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根,则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013,E 为AD 上一点,CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ,那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ,延长DC 到P 使得2=CP ,过B 作AP BF ⊥交CD 于E ,交AP 于F ,则._________=DE 二、解答题(第9题、第10题15分,第11题、第12题20分) 9.已知?=∠90BAC ,四边形ADEF 是正方形且边长为1,求CA BC AB 111++的最大值.

高中数学竞赛试卷A及答案

高中数学竞赛试卷A 及答案 考生注意:1、本试卷共三大题(16个小题),全卷满分150分。 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,满分36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.记[x]为不大于x 的最大整数,设有集合}2]x [x |x {A 2=-=,}2|x ||x {B <=,则=B A ( ) A .(-2,2) B .[-2,2] C .}1,3{- D .}1,3{- 2.若()() 2006 34554 x 57x 53x 2x 2x f +--+=,则??? ? ??-21111f = ( ) A .-1 B . 1 C . 2005 D .2007 3.四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上,若四条边长的平方和为t ,则t 的取值区间是 ( ) A .[1,2] B .[2,4] C .[1,3] D .[3,6] 4.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 为棱 AB 上一点,过点P 在空间作直线l ,使l 与平面 ABCD 和平面ABC 1D 1均成 30角,则这样的直 线条数是 ( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 5.等腰直角三角形?ABC 中,斜边BC=24,一个 椭圆以C 为其焦点,另一个焦点在线段AB 上,且 椭圆经过A ,B 两点,则该椭圆的标准方程是(焦点在x 轴上) ( ) A .12 4y 246x 22=+ + B . 12 43y 2 46x 22=++ + C . 1246y 24x 2 2 =++ D . 1246y 243x 2 2 =++ + (注:原卷中答案A 、D 是一样的,这里做了改动) 6.将正方形的每条边8等分,再取分点为顶点(不包括正方形的顶点),可以得到不同的三角形个数为 ( ) A .1372 B . 2024 C . 3136 D .4495 二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,满分36分,请将正确答案填在横线上。) A C D

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分) 1.已知函数()2f x ax bx c =++(0a ≠,,,a b c 均为常数),函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称,函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称,则函数 ()2f x 的解析式为 . 答案:()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ,得()2 1f x ax bx c =-+,在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ,得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =,2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 . 答案:2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+,则22 1a b +=, ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=,于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 . 答案:2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=,所以arctan 2arctan 22 x x π -+= , 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ,则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子,每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6,则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36,共有 种可能. 答案:48.

八年级数学竞赛讲座由中点想到什么附答案

第十八讲由中点想到什么 线段的中点是几何图形中一个特殊的点,它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识,恰当地利用中点,处理中点是解与中点有关问题的关键,由中点想到什么?常见的联想路径是: 1.中线倍长; 2.作直角三角形斜边中线; 3.构造中位线; 4.构造中心对称全等三角形等. 熟悉以下基本图形,基本结论: 例题求解 【例1】如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点, AB=10cm,则MD的长为.(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨取AB中点N,为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件. 注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型,利用中点是一个有效途径,基本方法有: (1)利用直角三角斜边中线定理; (2)运用中位线定理; (3)倍长(或折半)法. 【例2】如图,在四边形ABCD中,一组对边AB=CD,另一组对边AD≠BC,分别取AD、BC的中点M、N,连结MN.则AB与MN的关系是( ) A.AB=MN B.AB>MN C.AB

思路点拨 中点M 、N 不能直接运用,需增设中点,常见的方法是作对角线的中点. 【例3】如图,在△ABC 中,AB=AC ,延长AB 到D ,使BD =AB ,E 为AB 中点,连结CE 、CD ,求证:C D=2EC . (浙江省宁波市中考题) 思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识,将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明,解题的关键是恰当添辅助线. 【例4】 已知:如图l ,BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线,过点A 作AF ⊥BD ,AG ⊥ CE ,垂足分别为F 、G ,连结FG ,延长AF 、AG ,与直线BC 相交,易证FG= 21(AB+BC+AC). 若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2); (2)BD 为△ABC 的内角平分线,CE 为△ABC 的外角平分线(如图3),则在图2、图3两种情况下,线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明. (2003年黑龙江省中考题) 思路点拨 图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线),对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用,而由平分线、垂线发现中点,这是解题的基础. 注 三角形与梯形的中位线.在位置上涉及到平行,在数量上是上下底和的一半,它起着传递角的位置关系和线段长度的功能,在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用.

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续,故dx x ?1 02-1存在,且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i , 所以,= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中,无论a 为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必 须为无穷小量,于是可知必有0=b ,当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?, 由上式可知:当0→x 时,若1≠a ,则此极限存在,且其值为0;若1=a ,则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x , 综上所述,得到如下结论:;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】 作变换t x -= 2 π ,则 =I 22 20π π = ?dt , 所以,4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0, 容易看出:当e x <<0时,0<'y ;当e x >时,0>'y 。 所以,x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <

八年级数学竞赛讲座数形互助附答案

第三十讲 数形互助 数和形是数学研究的基本对象,是数学产生和发展的两块基石,在数学发展的过程中,数和形常常结合在一起,在方法上互相渗透,在内容上互相联系. 以数助形,即恰当地引参或设元,把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示,利用图形的性质,寻找几何图形元素之间的关系,通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题. 用形辅数,即把一个代数问题转化为一个图形,问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,借助图形的直观性辅助解题,在代数的学习中,我们广泛地使用了用形辅数的方法,如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等. 例题求解 【例1】 若a 、b 均为正数,且22b a +,242b a +,224b a +是一个三角形的三 条边的长,那么这个三角形的面积等于 . ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 直接用三角形面积公式求面积较为复杂,利用22n m +的几何意义(表示直角边分别为m ,n 的直角三角形斜边长),构造图形求面积. 注 古埃及,在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学.“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”,我国宋元时期巳将某些几何问题代数化,把图形之间的几何关系,表示成代数式之间的代数关系. 17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标,用“数”研究“形”,为18、19世纪数学的空前发展作了准备. 【例2】 如图,在△ABD 中,C 为AD 上一点,AB=CD=1,∠ABC=90°,∠CBD=30°,则AC=( ) A .1 B .32 C .2 D .3 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 过D 作DE ⊥AB 交AB 延长线于E ,设AC=x ,BE=y ,运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组,通过解方程组求AC 的值. 【例3】 如图,E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,CE=1,CF=3 4,直线FC 交AB 的延长线于G ,过线段FG 上的动点H 作HM ⊥AG ,HN ⊥AD ,垂足分别为M ,N ,设HM=x ,矩形AMHN 的面 积为y . (1)用x 的代数式表示y ;

上海市高中数学竞赛

上海市高中数学竞赛 说明:解答本试题不得使用计算器 一、填空题(本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分) 1.方程组2 71211x x y x y ++?=??+=??的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动(点A 在点B 的左边),点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 . 3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r = 4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则 AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C 的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x -1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 . 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组. 7.已知圆C 的方程为x 2+y 2-4x -2y +1=0(圆心为C ),直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜;乙必须再胜3局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 . 二、解答题: 9.(本题满分为14分)对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x , 使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }. 10. (本题满分为14分)如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且

八年级数学竞赛讲座整体的方法附答案

第二十五讲 整体的方法 我们知道成语“一叶障目”和“只见树木,不见森林”,它们的意思是说,如果过分关注细节,而忽视全局,我们就不会真正理解一个问题. 解数学题也是这样,在加强对局部的研究与分析的基础上,从整体上把握问题.所谓整体方法就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理. 整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用,整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用. 例题求解 【例1】 若x 、y 、z 满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001,则分式 y x z y x 3200020002000+++的值为 .(安庆市竞赛题) 思路点拨 原式=y x z y x 3)(2000+++,视x+3 y 与x+y+z 为两个整体,对方程组进行整体改造. 【例2】 若△ABC 的三边长是a 、b 、c 且满足22444c b c b a -+=,22444c a a c b -+=,22444b a b a c -+=,则△ABC 是( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 三个等式结构一样,孤立地从一个等式入手,都导不出a 、b 、c 的关系,不妨从整体叠加入手. 【例3】 已知2 19941+=x ,求多项式20023)199419974(--x x 的值. 思路点拨 直接代入计算繁难,由已知条件得199412=-x ,两边平方有理化,可得到零值多项式,整体代入求值. 【例4】如图,凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中,∠A l =∠A 5,∠A 2 =∠A 6 ,∠A 3 =∠A 7 ,∠A 4=∠A 8,试证明:该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值. (山东省竞赛题)

2007 年新知杯上海市初中数学竞赛

2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题(第1~5小题,每题8分,第6~10小题,每题10分,共90分) 1. 已知?1<2x ?1<1,则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中,P 为边BC 的中点,点Q 在边AC 上,且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ,则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10,则a b 的值为 . 4. 数x 1 ,x 2 ,…, x 100 满足如下条件:对于k = 1,2,…,100,x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ,且b ≠ 0。若实数x 1 ,x 2, y 1 ,y 2满足x 12+ax 22=b ,x 2y 1-x 1y 2=a , x 1y 1+ax 2y 2=c ,则y 12+ay 22的值为 . 6.如图,设P 是凸四边形ABCD 内一点,过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线,垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3,HD=4,DG=1,GC=5,CF=6,FB=4,且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图,△ABC 的面积为1,点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上,BD <DA ,DG ∥BC , DE ∥AC ,GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ,使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数,使得对任意正整数n ,2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.

2017奥林匹克数学竞赛试题及答案

绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛试题 选手须知: 1、本卷共三部分,第一部分:填空题,共计50分;第二部分:计算题,共计12分;第三部分:解答题,共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题(A卷) (本试卷满分120分,考试时间90分钟) 一、填空题。(每题5分,共计50分) 1、仔细观察,想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟,5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中,15辆坦克排成一队,从前往后数,战士小李驾驶的坦克是第6辆,那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班,小青想搭8:45的一班车去图书馆,但是她到达车站的时间已经是8:47,那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量,1只松鼠的重量是3只小鸡的重量,1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路,西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级,还要招收30人。若编成每班50人的班级,还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤,让小军动手切8块,小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子,从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里,两个篮子里桃子就一样多,已知第二个篮子里原来有8个桃子,第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。 二、计算题。(每题6分,共计12分) 11、2015+201+20-15+5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。(第13题6分,第14题8分,第15题10分,第16题10分,第17题12分,第18题12分,共计58分) 13、一条大鲨鱼,尾长是身长的一半,头长是尾长的一半,已知头长3米,这条大鲨鱼全长有多少米? 14、超市新进6箱足球,连续4天,每天卖出8个。服务员重新整理一下,剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球? 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯,小丽跑到3楼时,小晴恰好跑到2楼,照这样计算,小丽跑到9楼,小晴跑到几楼? 16、三年级(2)班有46人,新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长,每人只能投一票。投票结束(没人弃权),A得24票,B得选票占第二位,C、D得票同样多,E得票最少只得4票。那B得多少票? 17、有两层书架,共有书173本,从第一层拿走38本后,第二层的书是第一层的2倍还多6本,第二层原有多少本书? 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行,小张每分钟行120米,小赵每分钟行80米,如果一只狗与小张同时同向而行,每分钟跑460米,遇到小赵后,立即回头向小张跑去,遇到小张再向小赵跑去,这样不断地来回跑,直到小张和小赵相遇为止,狗共跑了多少米?

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