专题：数与式
【知识梳理】
【方法集会】
<一>比较大小的基本方法与技巧： （1）作差法：设a b ，
为两个实数，则 000a b a b
a b a b a b a b
->?>-=?=-
（3）平方法：无理数比较大小时，可以采用平方法将无理数变成有理数再进行比较． （4）估算法：设a b ，
为两个正实数，先估算出a b ，
两数或两数某部分的取值范围，再进行
比较。
（5）倒数法：设a b ，为两个正实数，先分别求出a b ，的倒数，则 11
11
a b a b
a b a b
>?<
<二>运算注意事项
（1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，原括号里各项的符号都要改变． （2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项．
（3）注意负数的乘方，若为偶数次方则为正数，奇数次方则为负数．即“奇负偶正”．例如：
22()n n a a -=；2+121()n n a a +-=-．
（4
=时，注意a 、b
（5
=
（0a ≥，0b >），注意a 非负，b 必须大于0否则不成立． （6）解分母有理化题目时，要从特殊到一般，
=再利用这个公式解题．
（7）在计算二次根式时，要注意结果要求最简形式，被开方数中不含能开得尽方的因数或
（8
）分母有理化时，要注意类似于
22()()a b a b a b +-=-；
（9
）要注意2(0)a a =≥
a 的区别． （10）把根号下的数放入根号下时步骤为 ①判断整体符号， ②变成平方塞到根号下面， ③检查整体符号和原来是否一致， ④判断根号下是否符合非负数的条件． <三>应用公式的注意事项 （1）完全平方公式的变换
222()2a b a b ab +=+- 222()+2a b a b ab +=-
22()()+4a b a b ab +=-
（2）分解因式时，特别是高次平方差公式要注意分解完全． 例：44222222()()()()()a b a b a b a b a b a b -=-+=+-+
（3）当平方差公式前含有系数时，要记得把系数写成平方数再用公式． 例：22222516(5)(4)(54)(54)a b a b a b a b -=-=+-
（4）平方差公式一定是两个数平方异号才能用；完全平方公式一定要两个平方项同号才能用。
例：
2222)()a ab b a b --=-+（-； 2222)()a ab b a b +-=--（-； 2222()()2)a b a b a ab b --=+=++（； 22222()()()2)a b a b b a a ab b -+=-=-=-+（ <四>分式的相关解题技巧 （1）0分式有意义→分母≠0 分式无意义→分母=0
分式的值为0→分母≠0且分子=0 分式的值为1→分子＝分母≠0 分式的值为负数→分子、分母异号 分式的值为正数→分子、分母同号
（2）根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程． 示例：已知
234x y z ==，则4653x y z
z
-+=_____________． （3）见到比例，可以设辅助的未知数来求值．
示例：已知实数x y ，
满足:4:7x y =，则3x y
x y
-=+__________． <五>其他易错点
（1）0的特殊性：0既不是正数，也不是负数。相反数等于本身的数只有0． 绝对值最小的数是0．0没有倒数。 （2）负数不能开偶次方根。
（3）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数。 （4）任何数都有奇次方根，而且都只有一个奇次方根。
【考点突破】
小专题：实数
考点一：正负数的意义
例1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（）
A．B．C．D．
变式1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元
变式2．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（）
A．亏损3% B．亏损8% C．盈利2% D．少赚3%
考点二：倒数、相反数、绝对值
例1．（1）﹣3的相反数是（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
（2）﹣2的绝对值是（）
A．﹣2 B．﹣ C．D．2
（3）﹣3的倒数是（）
A．3 B．C．﹣ D．﹣3
变式1．（1）﹣|﹣2|的倒数是（）
A．2 B．C．D．﹣2
（2）的倒数是．
（3）﹣0.5的相反数是0.5，倒数是﹣2，绝对值是0.5．
例2、同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|5﹣（﹣2）|=．
（2）同理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数是．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+6|+|x﹣3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
变式1．（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．
④当x=时，|x+1|+|x﹣2|=5．
变式2.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为
|AB|=|a﹣b|．
理解：
（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是；
（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是；
应用：
（1）当代数式|x﹣1|+|x+2|取最小值时，相应的x的取值范围，最小值为；（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x+2|的值3（填写“≥、≤或=”）．
考点三：实数的大小比较
例1．在：0，﹣2，1，这四个数中，最小的数是（）
A．0 B．﹣2 C．1 D．
变式1：在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．
变式2：在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（）
A．﹣3 B．0 C．D．﹣1
例2、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）
A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a
例3、下面实数比较大小正确的是（）
A．3＞7 B． C．0＜﹣2 D．22＜3
变式1：比较大小关系：32．
考点四：科学记数法与近似数
例1、今年参观“12?12”海口冬交会的总人数约为589000人，将589000用科学记数法表示为（）
A．58.9×104 B．5.89×105 C．5.89×104 D．0.589×106
变式1：2016年10月16日上午7：45南京马拉松正式开跑，约21000名中外运动爱好者参加了此次活动．21000用科学记数法可表示为（）
A．0.21×105 B．0.21×104 C．2.1×104D．2.1×103
例2、肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（）
A．0.7×10﹣3 B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣5
变式1：世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109D．7.6×108
例3、G20峰会来了，在全民的公益热潮中，杭州的志愿者们摩拳擦掌，想为世界展示一个美丽幸福文明的杭州．据统计，目前杭州市注册志愿者已达9.17×105人．而这个数字，还在不断地增加．请问近似数9.17×105的精确度是（）
A．百分位B．个位C．千位D．十万位
考点五：数轴
例1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（）
A．点B与点D B．点A与点C C．点A与点D D．点B与点C
变式1：如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的点是（）
A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点D D．点B与点C:
变式2：已知三个数a、b、c的平均数是0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（）A．B．
C．D．
考点六：无理数的估算
例1、的整数部分是．
变式1：若，则x的整数解为．
例2：设n为整数，且n＜＜n+1，则n=．
变式1：已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=．
考点七：平方根、算数平方根和立方根
A．8 B．±8 C．﹣8 D．±4
变式1：4的平方根是（）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．4
例2、9的算术平方根是3．
变式1：的算术平方根是．
例3、8的立方根是2．
变式1、27的立方根为3．
变式2：若实数x，y满足（2x+3）2+|9﹣4y|=0，则xy的立方根为．
考点八：非负性的相关题目
例1、已知|x﹣3|+|y+2|=0，求3x+2y的值．
变式1、已知|x﹣4|+|5﹣y|=0，求（x+y）的值．
例2、已知（a﹣3）2+|b﹣4|=0，则的值是（）
A．B．﹣ C． D．
变式1、若x，y为实数，且满足|x﹣3|+（y+3）2=0，则（）2016的值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
例3、实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0，则b a的值为（）
A．2 B．C．﹣2 D．﹣
变式1、已知和|8b﹣3|互为相反数，求（ab）﹣2﹣27的值．
例4、若|x﹣1|+（y+3）2+=0，求4x﹣2y+3z的平方根．
变式1、已知a、b、c满足2|a﹣1|++c2﹣c+=0．求a+b+c的值．
变式2、若△ABC的三边a、b、c满足|a﹣15|+（b﹣8）2+=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
考点九：实数的运算
例1、计算﹣42的结果等于（）
A．﹣8 B．﹣16 C．16 D．8
A．9 B．﹣9 C．﹣6 D．6
变式2、下列各组数中，互为相反数的是（）
A．2﹣3与23B．（﹣2）﹣2与2﹣2C．33与（﹣）3D．（﹣3）﹣3与（）3
例2、下列各式：①﹣（﹣2）；②﹣|﹣2|；③﹣22；④﹣（﹣2）2，计算结果为负数的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式1、下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④﹣（﹣1）﹣2，其中结果等于﹣1的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
变式2、下列各组数中，互为相反数的有（）
①﹣（﹣2）和﹣|﹣2|；②（﹣1）2和﹣12；③23和32；④（﹣2）3和﹣23．
例3、|﹣5|+﹣32=．
变式1、计算（﹣4）0+﹣（）﹣1的结果是．
变式2、计算：|﹣5|+=．
【计算强化】
1、计算：+（）﹣3+20160．
2．计算：cos60°﹣2﹣1+﹣（π﹣3）0．
3．计算：|﹣3|﹣+（）0．
4．计算：4sin60°﹣|﹣2|﹣+（﹣1）2016．
5．+（2﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣1|
6．．
7.计算：（﹣1）2016﹣+（cos60°）﹣1+（﹣）0+83×（﹣0.125）3．
8．计算：|﹣1|﹣tan45°+﹣30．
9．（）﹣1﹣6cos30°﹣（）0+．
10．（﹣1）2016+2?cos60°﹣（﹣）﹣2+（）0．
11．（）﹣2﹣（2016﹣π）0﹣2sin45°+|﹣1|
12．计算：﹣|1﹣|+（7+π）0．
13．计算：|﹣3|﹣（﹣2016）0+（﹣2）×（﹣3）+tan45°．
14．计算：|﹣8|+（﹣2）3+tan45°﹣．
15．计算：（π﹣2016）0+|1﹣|+2﹣1﹣2sin45°．
16．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（）﹣1﹣（π﹣）0．
17．计算：﹣（π﹣2016）0+|﹣2|+2sin60°．
18．计算：（）﹣2+（π﹣3.14）0﹣||﹣2cos30°．
19．计算：．
20．计算：20160+|﹣1|+（）﹣1﹣3101×（）100．
小专题：整式和分式
考点一：整式的基本概念
例1、单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是（）
A．﹣π，5 B．﹣1，6 C．﹣3π，6 D．﹣3，7
变式1.单项式3x2y2的（）
A．系数是0，次数是4 B．系数是﹣1，次数是2
C．系数是3，次数是4 D．系数是﹣1，次数是3
例2、下列各式中，是二次三项式的是（）
A．B．32+3+1 C．32+a+ab D．x2+y2+x﹣y
变式1、下列关于多项式5ab2﹣2a2bc﹣1的说法中，正确的是（）A．它的常数项是1 B．它是四次两项式
C．它的最高次项是﹣2a2bc D．它是三次三项式
例2、多项式的各项分别是（）
A．B．
C．D．
变式1、多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是（）
A．3x2，2x，1 B．3x2，﹣2x，1 C．﹣3x2，2x，﹣1 D．3x2，﹣2x，﹣1
考点二：幂的运算性质
例1、（1）计算a3?a2正确的是（）
A．a B．a5C．a6D．a9
（2）下列计算正确的是（）
A．a2?a3=a6B．（ab）2=a2b2C．（a2）3=a5D．a2+2a2=3a4
（3）计算：a3÷a2=a．
（4）下列运算中，正确的是（）
A．x?x3=x3B．（x2）3=x5 C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2
变式1、（1）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（）
A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5
（2）下列运算正确的是（）
A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2?a4=a8C．=±3 D．=﹣2
（3）（﹣a5）2+（﹣a2）5的结果是（）
A．0 B．﹣2a7C．2a10D．﹣2a10
（4）计算：a8÷a4=．
例2、已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
变式1、（1）已知2m=3，4n=5，则23m+2n的值为（）
A．45 B．135 C．225 D．675
（2）已知x m=5，x n=7，求x2m+n的值．
（3）若2?8n?16n=222，求n的值．
变式2、若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．
考点三：整式的运算
例1、计算6a2﹣5a+3与5a2+2a﹣1的差，结果正确的是（）
A．a2﹣3a+4 B．a2﹣3a+2 C．a2﹣7a+2 D．a2﹣7a+4
变式1、化简2（a﹣b）﹣（3a+b）的结果是（）
A．﹣a﹣2b B．﹣a﹣3b C．﹣a﹣b D．﹣a﹣5b
变式2、若代数式2x3﹣8x2+x﹣1与代数式3x3+2mx2﹣5x+3的和不含x2项，则m等于（）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
例2、（1）计算：（﹣8ab）（）=．
（2）计算；
（3）（2x﹣y）（x+y）．
变式1：（1）计算：（﹣3a2b）?（ab2）3=．
（2）．
（3）计算：（3a+2）×（a﹣4）
例3、（1）计算8x8÷（﹣2x2）的结果是（）
A．﹣4x2B．﹣4x4C．﹣4x6D．4x6
（2）化简：（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）
变式1、（1）计算：（6x3﹣9x2+3x）÷3x．
（2）（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷（﹣2a）2．
例4、化简：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）
变式1、化简：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）
例5、代数式y2+2y+7的值是6，则4y2+8y﹣5的值是（）
A．9 B．﹣9 C．18 D．﹣18
变式1、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（）A．1 B．4 C．7 D．不能确定
变式2、已知3﹣x+2y=0，则3x﹣6y+9的值是（）
A．3 B．9 C．18 D．27
变式3、已知a2﹣2b=1，则代数式2a2﹣4b﹣3的值是（）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
例6、若x2﹣x﹣2=0，则（2x+3）（2x﹣5）+2=．
变式1、已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．【整式化简求值强化】
1、已知x2+x﹣5=0，求代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值．
2、已知x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．
3、已知x2+4x﹣5=0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2的值．
4、如果m2﹣m=1，求代数式（m﹣1）2+（m+1）（m﹣1）+2015的值．
5．已知x2﹣5x﹣4=0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）的值．
考点四：乘法公式与因式分解
例1、利用图中图形面积关系可以解释的公式是（）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）（a2﹣ab+b3）=a3+b3
例2、已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（）
A．1 B．13 C．17 D．25
变式1、计算：已知：a+b=3，ab=1，则a2+b2=．
例3、如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
变式1：在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）
A．x B．3x C．6x D．9x
变式2、已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
例5、若x﹣=1，则x2+的值是（）
A．3 B．2 C．1 D．4
变式1、若x2+3x﹣1=0，则的值为（）
A．4 B．7 C．11 D．﹣4
例6、如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
变式1、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A．a2﹣b2=（2a+2b）（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
例7、计算（x﹣3y）（x+3y）的结果是（）
A．x2﹣3y2B．x2﹣6y2C．x2﹣9y2D．2x2﹣6y2
解：（x﹣3y）（x+3y）=x2﹣（3y）2=x2﹣9y2，故选C．
变式1：下列算式能用平方差公式计算的是（）
A．（2a+b）（2b﹣a）B．
C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）
例8、因式分解：x2﹣3x=x（x﹣3）．
变式1、分解因式：2a2+ab=．
变式2、分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）=．
例9、（1）分解因式：x2﹣9=．x2﹣6x+9=．x2﹣4x+4=．
4x2﹣4xy+y2=．8a3﹣8a2+2a=．
例10、若x2+px+q=（x+1）（x﹣2），则p=，q=．
变式1、若x2﹣3x﹣10=（x+a）（x+b），则a=2或﹣5，b=﹣5或2．
变式2、（1）分解因式：x2﹣2x﹣15=．
（2）分解因式：2x2+x﹣6=．
例11、多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）
A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y
变式1、若将多项式x2﹣mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m n=．考点五：分式有意义的条件
例1、若分式有意义，则x的取值范围是．
变式1、要使式子有意义，则a的取值范围是（）
A．a≠0 B．a＞﹣2且a≠0 C．a＞﹣2或a≠0 D．a≥﹣2且a≠0 变式2、使分式有意义的x的取值范围在数轴上表示应为（）A．
B．
C．
D．
考点六：分式值为0的条件
例1、若分式的值为0，则x=（）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
变式1、当分式的值为0时，x的值为（）
A．0 B．3 C．﹣3 D．±3
变式2、已知分式的值为0，那么x的值是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2
变式3、若分式的值为0，则x的值为（）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．4
例2、使分式的值为负数的条件是（）
A．B．x＞0 C．D．x＜0
考点七：分式的运算及化简求值
例1、化简的结果为（）
A．B．C．D．
变式1、约简分式后得（）
A．B．C．D．
例2、已知：，则的值为（）
A．B．C．D．
变式1、已知a+2b=2016，则=．
变式2、已知x=2+1，则分式的值为．
变式3、当a=﹣1时，代数式的值是．
例3、下列分式，，的最简公分母为（）
A．（x2+1）（x﹣1）B．（x﹣1）2C．（x﹣1）2（x2+1）D．（x2﹣1）（x2+1）变式1．分式的最简公分母是（）
A．（a2﹣b2）（a+b）（a﹣b）B．（a2﹣b2）（a+b）
C．（a2﹣b2）（b﹣a）D．a2﹣b2
例4．（1）计算（1﹣）（x+1）的结果是．
（2）计算：÷，其结果正确的是（）
A．B．C．D．
变式1、化简÷的结果是（）
A．m B．C．m﹣1 D．
变式2、化简的结果是（）
A．B．a C．1 D．0
例5．化简的结果是（）A．B．C．x+1 D．x﹣1
变式1、化简（）?ab，其结果是（）A．B．C．D．
变式2、计算（a﹣）÷的结果是．
例6、化简：（）?（1﹣）
变式1、化简÷（1+）
例7、计算：﹣．
变式1、计算：．
变式2、计算或化简：
（1）﹣；
（2）（a+1﹣）?．
例8、化简：﹣÷．
变式1、已知m=﹣1，求的值．
变式2、已知，求代数式的值．
小专题：二次根式
考点一：二次根式的基本概念
例1、如果有意义，那么x的取值范围是（）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
变式1、若代数式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≠1 D．x≤1
变式2、已知，则2xy的值为（）
A．﹣15 B．15 C．D．
例2、下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
变式1、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A． B． C．D．
变式2、已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（）
A．B． C．D．
例3、化简的结果为（）
A．2+B．2﹣C．﹣2+D．﹣2﹣
变式1、由于=﹣1，=﹣，=﹣，…，则（+++…+）（+1）=（）
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
例3、如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5
变式1、下列各式中与是同类二次根式的是（）
A． B．C． D．
例4、下列计算正确的是（）
A．+=B．﹣=C．×=6 D．=4 变式1、下列各式中，运算正确的是（）
A．B．C．D．
变式2、下列计算正确的是（）
A．=±4 B．=﹣=1
C．（2﹣）（2+）=1 D．=3﹣1
考点二：二次根式的基本运算
例1、．
变式1、计算：．
变式2、计算：
（1）4+﹣+4
（2）6﹣2﹣3．
（3）
（4）
（5）﹣4+
（6）（﹣）+（﹣）（+）
（7）化简，结果正确的是（）A．1 B．C．D．
例2、（1）已知a+b=﹣3，ab=1，求的值．
（2）已知x2﹣3x+1=0，求的值．
变式1、（1）已知：a+b=﹣5，ab=1，求：的值．
（2）已知：x2﹣3x+1=0，求的值．
例3、已知a 2+b 2﹣4a ﹣2b+5=0，求
的值．
变式1、．
变式2、．
【模考链接】
一、选择题
1．（2016朝阳二模）2015年6月国家主席习大大和比利时国王菲利普，在人民大会堂共同见证了两国公司在集成电路方面进行合作研发的签约仪式，两国将共同着力研发14纳米量产技术，这标志着我国芯片制造能力将进入国际顶尖水平．14纳米为0.000 000 014米，将0.000 000 014用科学记数法表示应为
A ．70.1410-?
B ．81.410-?
C ．60.01410-?
D ．91410-?
2．（2016东城一模）数据显示，2015年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果.将数据51 660 000用科学记数法表示应为
A ．75.16610?
B ．85.16610?
C ．651.6610?
D ．80.516610? 3．（2016顺义一模）中国传统节日清明节距今已有二千五百多年的历史，是最重要的祭祀节日之一，是祭祖和扫墓的日子．2016年4月4日是今年的清明节，全国各地迎来群众集中祭扫高峰．根据民政部清明节工作办公室对全国150个祭扫观察点数据统计分析，当日共接待祭扫群众5 433 000人次，把5 433 000用科学记数法表示正确的是 A ．7
543310.?B ．6
543310.? C ．4
543310.? D ．3543310
?
4．（2016朝阳二模）如图，在单位长度为1的数轴上，点A 、B 表示的两个数互为相反数，那么点A 表示的数是
A ．2
B ．-2
C ． 3
D ．-3
5．（2016朝阳一模）实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实
数是
20XX 年中考数学专题复习 （数与式的计算） 试题特点：通过学习孝感市07年——14年的本类考题，参考湖北省其他地市的命题，作以下预测： 1.继续保持原来的命题模式，一个6分的考题。 2.一个实数计算题，再加一个分式化简求值（或解分式方程）。20XX 年黄石、宜昌、咸宁等市是这样命题的。3.解不等式组及在数轴上表示解集。 1.题型①分式化简求值②将多项式变形为x+y ，xy ，x-y 的形式计算 ③解分式方程④实数计算 考查学生的数感、式感、符号感、计算能力，灵活运用知识能力。 .知识点：负指数，平方根，立方根，绝对值，分式四则运算，因式分解，解分式方程。 常见错误： ① 00 =a (a ≠0)② p p a a -=- (a ≠0,p 为正整数) ③ 2323-=- ④ () 52522 -=- ⑤漏掉负号 ⑥解分式方程漏乘，移项不变号，无检验。 ⑦解分式方程与分式化简混为一谈。 应对措施： 1.牢固记忆及正确使用概念，公式，性质. 幂米的运算法则特殊角的三角函数值. 分式的基本性质，等式性质及其区别。 2.在易错处讲清来龙去脉，说透缘由；作业及时纠错。 3.按法则计算，按步骤计算，不跳步，慎用口算，确保准确无误，立足一次成功。 4.回头看：教师将错题整理，让学生再做一遍。 5.将 含计算技巧的题目总结规律，提炼方法。 19．（2010湖北孝感，19，6分）解方程：21 133x x x -+=--． 19、（2011?孝感）解关于的方程：1 2 13-+ =+x x x ． 19．(2012?孝感6分)先化简，再求值：??? ? ? ?--÷-a b ab a a b a 2 2，其中13+=a ，13-=b ．
中考数学中的“新定义” 近年来的中考试题中，“新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析． 一、定义新符号 例l (2014·新疆维吾尔自治区)规定用符号[ ]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3， ]=l ，按此规定1]= 分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵9<13<16，∴3<<4，∴1<3， ∴1]=2．故应填2． 二、定义新数 例2 (2010·杭州市)定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数．下面给出特征数为 [2m ，1一m ，一1一m ]的函数的一些结论： ①当m = 一3时，函数图象的顶点坐标是(18,33 )； ②当m >0时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于 32； ③当m <0时，函数在x > 14 时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是 ( )． A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 分析及解答不妨把m = 一3代入知道，a = 一6，b =4，C =2， 22186426()33y x x x =-++=--+ ，所以函数图象的顶点坐标是(18,33 )．①正确排除选项D ；由于当m <0时，对称轴124b m x a m -=-=-大于14 ，所以③错误，排除A 、C ．综上可知，故选B ． 三、定义新图形 (1)定义新点 例3 (2014·北京市)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (,)x y ，我们把点P (1,1)y x -++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…
垂直（直角）类 联想融通：试试看，与垂直（直角）相关的知识与题型能想起多少？ 与垂直（直角）相关的知识极多，如：三线合一、角平分线性质及其逆、三角的比中大数等于两小数之和的三角形形是Rt △、勾股定理、勾股数与特殊三角形（3:4:5，5:12:13，2:1:1，2:3:1，5:2:1，10:3:1等）、见特殊角与三角函数构造直角三角形、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、对角线相互垂直的四边形面积及其中点四边形的特殊性、直角梯形可分割成矩形和直角三角形，正八边形可拼成一个直角、HL 判全等、等腰三角形两腰上高相等、垂直出相似、三角形的两高交出六对相似三角形、摄影定理及其逆、面积公式可建立方程、轴对称、绕直角顶点旋转三角形形连结另两对对应点的线段相互垂直、正方形绕其中心旋转90°与自身重合、垂径定理、直径所对的圆周角是直角及其逆、知圆周角所对的弦长求直径时转化为以直径为斜边的直角三角形、两个直角的两组分别相交时得四点共圆、切线切点、两圆连心线垂直平分公共弦......还有很多，随便写出30条. 本单元只对“过直角顶点的直线类、直角边相交成的双直角四边形类、用面积法建立方程类、重合直角顶点的双直角类。勾股定理”五个方面进行研究. 一、见过直角顶点的直线 解法归一：见过直角顶点的直线l ，从直角两边上的点分别向直线l 作垂线，必得全等或相似；然后再利用全等或相似进行转换. 例5-1-1 已知△ABC 是直角三角形，AC =BC ，直线MN 经过直角顶点C ，分别过A 、B 作直线MN 的垂线AD 、BE 分别交MN 于D 、E . 图5-1-1① 图5-1-1② （2）如图5-1-1②，当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧时，试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间的关系，并给予证明.
中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（） A．7队B．6队C．5队D．4队 考点二：特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.
数与式 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．3-的相反数是( ) A ．1 3 B ． 1 3- C ． 3 D ． －3 2.下列数022cos 607π，中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下列计算中，结果正确的是( ) Ａ．030= Ｂ．1221 -=?- Ｃ．331-=- Ｄ．527-+=- 4.若式子x 的取值范围是( ) A.1 12x x ≥-≠且 B.1x ≠ C.12x ≥- D.1 12x x >-≠且 5. 下列运算中，结果正确的是( )
A ．235x x x += B ．326x x x ?= C ．55x x x ÷= D ．()2 3539x x x ?= 6．a ，b 是两个连续整数，若a ＜7＜b ，则a ，b 分别是( ) ，3 ，2 ，4 ，8 7．若2(1)20m n -++=，则m n +的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 8．我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=， []33=，[]35.2-=-，若5104=?? ????+x ，则x 的取值可以是( ) 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．四个实数2-，0，2-，1中，最小的实数是 . 10．分解因式：22(21)a a --= ．
11.古生物学家发现350 000 000年前，地球上每年大约是400天，用科学记数法表示350 000 000＝_________. 12．如图，一个正方形纸盒的展开图，在其中的四个正方形内标有数字1，2，3和－3，要在其余的正方形内分别填上―1，―2，使得按虚线折成的正方体后，相对面上的两个数互为相反数， 则A 处应填 . 13. 计算：323()a a ?= ． 14．当分式24 2 +-x x 的值为0时，x 的值是 _． 15．已知2x y -＝3，则代数式624x y -+的值为 . 16．观察下列等式： 1 11122=-?，1112323=-?，111 3434=-?， 将以上三个等式两边分别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 13 111223342233444++=-+-+-=-=???． 那么，计算1 1 1 1 12233420142015++++????L 的结果是
2020年中考数学总复习二十个专题知识复习讲 义（精华版） 中考总复习1 有理数 知识要点 1、有理数的基本概念 (1)正数和负数 定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 0既不是正数，也不是负数。 (2)有理数 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。 2、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 3、相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。
4、绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a |=a ； 如果a =0，那么|a |=0； 如果a <0，那么|a |=-a 。 a =|a |所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a ≥0。 5、倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 1a a =所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 6、数的比较大小 法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：43421Λa n n a a a a 个???=读作a 的n 次方（幂），在a n 中，a 叫做底数，n 叫 做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 8、科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式(其中a 大于或等于1且
天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习 数与式 专题练习题 1．下列实数中，是有理数的为( ) A. 2 B ．3 4 C ．π D ．0 2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( ) A ．5×109千克 B ．50×109千克 C ．5×1010千克 D ．0.5×1011千克 3．若|a －1|＝a －1，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ＜1 D ．a ＞1 4．下列计算正确的是( ) A ．4x 3·2x 2＝8x 6 B ．a 4＋a 3＝a 7 C ．(－x 2)5＝－x 10 D ．(a －b)2＝a 2－b 2 5．如果a ＋a 2－4a ＋4＝2，那么a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ≤2 C ．a ≥－2 D ．a ≥2 6．在代数式2x ，13(x ＋y)，x π－3，5a －x ，x （x －y ）x ，x ＋3（x ＋1）（x －2） 中，分式有____个． 7．如图，数轴上点A ，B 所表示的两个数的和的绝对值是____． 8．分解因式：8－2x 2＝____ ． 9．若a ＜6＜b ，且a ，b 是两个连续的整数，则a b ＝____． 10．若分式x 2－2x －3x ＋1 的值为0，则x 的值为____． 11．计算： 8＋|22－3|－( 13 )－1－(2015＋2)0；
12．已知x＋y＝－7，xy＝12，求y x y ＋x y x 的值． 13．先化简，再求值：a2－b2 a ÷(a－ 2ab－b2 a )，其中a＝2＋3，b＝2－3； 14．观察下列等式： 31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…. 解答下列问题： (1)32016的末位数字是多少？ (2)3＋32＋33＋33＋…＋32016的末位数字是多少？
2019 届中考数学专题复习讲义方程（组）与不等式（组） 方程（组）与不等式（组）是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识， 应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程（组）与不 等式（组）的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定 理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组）来解决，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 近几年中考注重对学生“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分 析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问 题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。 方程（组）与不等式（组）是代数中的重要内容，有的已知方程（组）的解求方程（组）、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等．解决有关方程（组）与不等式（组） 的试题，首先弄清题目的要求；其次，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确． 类型之一根据图表信息列方程 ( 组 ) 或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于 得到数量之间的关系。 1.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也 相等，则一块巧克力的质量是g． 2.教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献 一束鲜花，每束由 4 支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征 尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、 二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格． 3.某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶ 20~12∶ 00，下午 14∶ 00~16∶ 00，每月25 元； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60 件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数 ( 件 ) 所用总时间生产乙产品件数 ( 件 ) ( 分 ) 1010350 3020850 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得 1.50 元，每生产一件乙产品可得 2.80 元．根据以上信息，回答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ （2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
课件园https://www.doczj.com/doc/5d9410543.html, - 1 - 2014年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2012?白银）方程的解是（ ） A ．x=±1 B ． x =1 C ． x =﹣1 D ． x =0 思路分析： 观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x 2﹣1=0， 即（x+1）（x ﹣1）=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B ． 点评： 此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．（2012?南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ） A ．7队 B ．6队 C ．5队 D ．4队 考点二：特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. 例2 （2012?常州）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且 a c b d ，给出下列四个不等式：
2019-2020年中考数学专题训练：专题1 数与式 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．绝对值大于2而小于5的所有正整数之和为（） A、7 B、8 C、9 D、10 2．数轴上的点P与表示有理数2的点的距离是6个单位长度，由点P表示的数是（） A、6 B、8 C、8或－4 D、8 3．若，则的取值范围是（） A．B．C．D． 4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（） A．B．C．D． 5．分式有意义的条件是（） A．B．C．D． 6．下列计算中，结果正确的是 A．2x2+3x3=5x5 B．2x3·3x2=6x6C．2x3÷x2=2x D．(2x2)3=2x6 7．下列计算结果为正数的是( ) A. B. C. D. 8．－2的绝对值等于 A．2 B．－2 C．1 2D．4 9．已知，，则的值为（） A、7 B、5 C、3 D、1 10．下列计算中,正确的有( ) ①②③④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．将分式约分可得； 12．当时，分式的值为零． 13．甲数的与乙数的差可以表示为_________ 14．．当时，化简的结果是．
15．根据如图所示的计算程序，若输出的值为－1，则输入的值为 _ _ ． 16．使有意义的的取值范围为 ． 17．把一根32㎝长的铁丝弯成长宽之比5:3的长方形，则长方形的面积为（ ） 18．若|m －2|＋|n ＋3|=0，则n m 。 19．一组按规律排列的式子…，其中第8个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）. 20．248－1能够被60～70之间的两个数整除，则这两个数是______________. 三、解答题（共60分） 21 ()()202532014?-+-+ 22．先化简，再求值：，其中． 23．已知，求()() ()32235156a a a a a ++--+的值.
中点类 联想融通：试试看，与中点有关的知识与题目能想起多少？ 中点等分线段，是线段的对称中心、是线段中垂线的垂足，进而得到等腰三角形三线合一、垂径定理、中点加平行可出现全等三角形、相似三角形，过中点的中线等分该三角形面积、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、由两条同圆直径共中点得矩形；由圆弧中点可得相等的圆心角、圆周角、角平分线...... 本单元只对“中线等分三角形面积、等腰三角形底边上中线、直角三角形斜边上中线、见中点造全等、见中点作中位线”五个方面进行研究. 一、中线等分三角形面积 我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法. 解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决. 例3 -1 -1 （1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l-1③中△ABC的面积四等分． 图3-l-l①图3-l-1②图3-l-1③ 交流分享：三角形中线等分三角形面积！连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分. （2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分. 图3-l-2④图3-l -2⑤图3-l -2⑥ 交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一.
例3-1-2 （1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO 与△FHO面积相等的理由； （3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法． 图3-1-2①图3-1-2②图3-1-2③ 交流分享：解决（3）需要把（1）、（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线. 体验与感悟03-1 1、定义：“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．” （1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是__________； （2）平行四边形的一条面积等分线是________； （3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线．
中考数学数与式专题测试卷（附答案） 一、单选题（共12题；共24分） 1.下列各式中正确的是（） A. B. C. D. 2.下列各式中，计算正确的是（） A. B. C. D. 3.2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 4.要使分式有意义，则x的取值范围是（） A. B. C. D. 5.－3相反数是（） A. 3 B. －3 C. D. 6.下列式子运算正确的是（） A. B. C. D. 7.已知，则a+2b的值是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8.﹣3的相反数是（） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 9.近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐．截至2019年12月底，华为5G手机全球总发货量突破690万台．将690万用科学记数法表示为（） A. 0.69×107 B. 69×105 C. 6.9×105 D. 6.9×106 10.若有意义，则a的取值范围是（） A. a≥1 B. a≤1 C. a≥0 D. a≤﹣1 11.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 12.下列等式成立的是（） A. B. C. D. 二、填空题（共6题；共12分） 13.计算：________．
14.因式分解：x3y﹣4xy3＝________． 15.若多项式是关于x，y的三次多项式，则________． 16.关于x的分式方程的解为正实数，则k的取值范围是________． 17.计算：＝________． 18.计算的结果是________． 三、计算题（共3题；共25分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再从中选择合适的值代入求值． 20. （1）计算：| ﹣3|+2 cos60°﹣× ﹣（﹣）0． （2）先化简，再求值：（x+2+ ）÷ ，其中x＝﹣1． 21.先化简，再求值：，其中． 四、综合题（共4题；共39分） 22.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如： ． （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 23.阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数． （2）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 24.已知
状元廊数学思维方法讲义之六 年级：九年级 2019-2020 年中考数学第一轮思维方法复习讲义：第 6 讲中期专题训练 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 21．如果 a 、 b 是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 a 3 a 2 b ab 2 b 3 的值为 ． 22．已知 x 关于的方程 x 2 3x 2k 1 0 有实数根，反比例函数 y 1 2k 的图像在各自象限内 y x 随 x 增大而减小，则满足上述条件的 k 的整数值为 ． 23．如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ C=90o ， D 是 BC 的中点，将 △ABC 折叠，使 A 点与 D 点重合， EF 为折痕，则若 sin ∠ BED 的值为 ， DE 的值为 。 DF C F D A E B 23 小题图 24 小题图 25 小题图 二、（共 8 分） 26．建设北路街道改建工程指挥部， 要对该路段工程进行招标， 接到了甲、 乙两个工程队的投标书 . 从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 2 ； 3 若由甲队先做 10 天，则剩下的工程由甲、乙两队合作 30 天就可以完成 . （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （ 2）已知甲队每天的施工费用为 0.84 万元，乙队每天的施工费用为 0.56 万元 .工程预算的施工 费用为 50 万元 .为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工 程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由 . 24．Rt △ABC 中， AB =AC ，点 D 为 BC 中点．∠ MDN =90 °，∠ MDN 绕点 D 旋转， DM 、DN 分别与 边 AB 、AC 交于 E 、F 两点．下列结论：① BE+CF = 2 1 AD ·EF ， BC ，② S AEF S ABC ，③ S 四边形AEDF 2 4 ④ AD ≥EF ，⑤ AD 与 EF 可能互相平分。其中正确的结论是 （填番号） 25．如图， 点 A ，B 为直线 y=x 上的两点， 过 A ，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y k （ x ＞ 0） x 于 C ，D 两点．若 BD =2AC ，则 4OC 2－ OD 2的值为 _________.
中考数学专题复习 专题一 数与式 [基础训练] 1.如果a 与2-的和为O ，那么a 是（ ） A .2 B . 12 C .1 2 - D .2- 2.23 4 ()m m 等于（ ） A.9 m B ．10 m C ．12 m D ．14 m 3. 若4x =，则5x -的值是（ ） A ．1 B ．－1 C ．9 D ．－9 4、5-的相反数是 ，9的算术平方根是 ，-3倒数是 . 4.已知(a-b)2 =4,ab=2 1，则(a+b)2 = 5.在函数1-=x y 中，自变量x 6.若分式 1 2 --x x 的值为零，则=x . 7.因式分解：=+-2 2 3 2xy y x x 9.根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1则输出y 的值为 10.计算或化简： （1）0 3260tan 33 ? ? ? ? ? - +?+ 11.已知12+=x ，求代数式x x x x x x x 1 12122÷??? ??+---+的值． （第9题图）
[精选例题] 例题１（１）１：２的倒数是（ ） Ａ 21 Ｂ－21 Ｃ ±2 1 Ｄ２ （２）写出一个比-1大的负有理数是________,写出一个比-1大的负无理数是_________. （３）若()的值为则n m n m 2,0)3(32+=++- A -4 B -1 C 0 D4 说明：本题考查对数与式基本概念的理解 （1）倒数的概念（2）有理数与无理数的概念和大小比较（3）绝对值和完全平方的非负性 例题2（1）如图，在数轴上表示15的点可能是（ A 点P B 点Q C 点M D 点N （2）当x=_____时，分式 3 3--x x 无意义. (3)已知 a a a a -=-112 ，则a 的取值范围是（ ） A a 0≤ B a<0 C 00 说明：本题考查对数与式有关性质的掌握 （1）实数的大小和数轴上的表示（2）分式在什么时候无意义和绝对值的意义 （3）平方根的意义和性质 例题3（1）下列运算正确的是（ ） A 2 2 a a a =? B 2 a a a =+ C 2 36a a a =÷ D () 62 3 a a = (2)化简a+b+(a-b)的最后结果正确的是（ ） A 2a+2b B 2b C 2a D0 （3）下列计算错误的是（ ） A -（-2）=2 B 228= C 2 22532x x x =+ D () 53 2 a a = (4)先化简4 1 )231(2 -+÷-+a a a , 然后请你给a 选取一个合适的值, 再求此时原式的值．
2020年中考数学总复习精品复习讲义 （完整版） 一有理数 知识要点 1、有理数的基本概念 (1)正数和负数 定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 0既不是正数，也不是负数。 (2)有理数 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。 2、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 3、相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。
a =-a 所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 4、绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a |=a ； 如果a =0，那么|a |=0； 如果a <0，那么|a |=-a 。 a =|a |所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a ≥0。 5、倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 1a a =所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 6、数的比较大小 法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如： a n n a a a a 个???=读作a 的n 次方（幂），在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 8、科学记数法
抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y =a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0 的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二 次函数2 tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ， OC OB OA ?=2 ？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=2 3 ，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ?=2 来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论 t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图,抛物线2 4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.
（1）求点A 的坐标; （2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; （3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2 x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点 P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的 坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 )0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝3 1 ． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ， 使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在， y B O A P M x 2x =
2020年中考数学总复习满分方法技巧解读专题讲座（共十三个专题） 2020年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2019年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2019?白银）方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
【中考快递】2020年中考数学复习专题动点问题（讲义）★★ 动点问题 课前预习 按要求完成下列题目： 如图，直线 y = - 4 x + 4 和 x 轴，y 轴的交点分别为点 B ，点 3 点 A 的坐标是(-2，0)．动点 M 以每秒 3 个单位长度的速度从 点 O 出发沿 O -B -O 方向运动，同时动点 N 以每秒 1 个单位长度的速度从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设点 M 运动 t 秒时，△MON 的面积为 S ．求 S 与 t 的函数关系式． 要求： ①研究背景图形，将信息标注到图形上，发现△ABC 为 三角形； ②补全运动过程分析图，确定起点、终点及各个分段； ③根据运动过程，画出各段对应图形情况； ④借助 s =vt ，三角形相似表达相关线段长，并求出 S 与 t 之间的函数关系式． M ： N ：
知识点睛 动点问题的处理思路 1. 研究背景图形． 2. 分析运动过程，画线段图，分段，定范围．（关注四要素） ①根据起点、终点，确定运动路径； ②速度（注意速度是否变化），借助 s =vt 确定时间（范围）； ③状态转折点，确定分段，常见状态转折点为拐点； ④所求目标——明确思考方向． 3. 表达，分析几何特征，设计方案求解． 画出符合题意的图形，表达线段长，根据几何特征列方程求 解，结合范围验证结果． 精讲精练 1. 如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米，∠B =60°．从初始时刻开始，点 P ，Q 同时从点 A 出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A →C →B 的方向运动，点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿 A →B → C →D 的方向运动，当点 Q 运动到点 D 时，P ，Q 两点同时停止运动．设 P ，Q 运动 x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的 面积为 y 平方厘米，解答下列问题： （1）点 P ，Q 从出发到相遇所用时间是 秒； （2）在点 P ，Q 运动的过程中，当△APQ 是等边三角形时， x 的值为 ； （3）求 y 与 x 之间的函数关系式．
2009中考数学专题讲座解选择题的策略 概述： 1．选择题在中考中占的比例较大，题比较基础，做题时要细心认真，?失分很不合算，因为它只要一个答案，并不看你的解答过程，若在某个细节上出问题，全题就一分不得． 2．解选择题的方法大致有以下几种：综合法、分析法、验算法、?排除法（筛选法）等．典型例题精析 例1．在下列计算中，正确的是（） （A）（ab2）3=ab6（B）（3xy）3=9x3y3 （C）（-2a2）2=-4a4（D）（-2）-2=1 4 解：宜用排除法．（A）中，没有3次方，（B）中32≠9，（C）中（-2）2≠4． ∴应选D． 例2．二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（） （A）6 （B）4 （C）3 （D）1 解：宜用综合法，令x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3， ∴│AB│=│3-1│=2，令x=0得y=3．? ∴C（0，3），即△CAB中，AB边上的高为3， ∴S△ABC=1 2 ×2×3=3 故选（C）． 例3．若m